微专题02 集合中Venn图、容斥原理、新定义的问题专项训练【3大考点】-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合三大核心应用，以Venn图直观表示、容斥原理量化计算、新定义创新延伸为逻辑主线，覆盖不同难度题型，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |Venn图求集合|8题|结合交并补运算考查阴影部分表示|从集合关系直观表示到抽象运算转化| |容斥原理应用|8题|三集合/两集合实际计数问题|从集合元素重叠到量化公式应用| |集合新定义|8题|抽象集合性质判断与应用|从集合基本概念到创新情境迁移|

微专题02 集合中Venn图、容斥原理、新定义的问题 3大考点汇总 考点01 利用Venn图求集合 考点02 容斥原理的应用 考点03 集合新定义 题型专练 考点01 利用Venn图求集合 1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 2．（25-26高二下·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 3．（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 4．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 5．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集、补集的概念求出. 【详解】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D 6．（25-26高一上·全国·专项训练）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解. 【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 7．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 8．（25-26高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 考点02 容斥原理的应用 9．（25-26高一上·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【答案】B 【分析】设只选择了白色的小朋友有人，由题意列出方程求解即可. 【详解】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 10．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【分析】设学生中同时参加径赛和射击的有人，应用容斥原理列方程求，进而求出只参加一项比赛的人数. 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 11．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. 【答案】4 【分析】根据题意结合韦恩图求各类情况的人数，进而可得三个地方都没去过的同学的人数. 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. 12．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 【答案】7 【分析】用集合的观点，通过画出相应的图，根据已知人数关系列方程求解同时观看的人数，进而可求只观看了《长安的荔枝》的人数. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字， 则，解得， 因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》， 所以只观看了《长安的荔枝》的有人. 故答案为：. 13．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名． 【答案】 60 40 【分析】本题可根据集合的性质，通过分析选A菜品和选B菜品的顾客人数，利用集合交集的性质来确定A、B两种菜品都选了的顾客人数的最大值和最小值． 【详解】当选了B菜品的顾客也选了A菜品时，两种菜品都选了的顾客最多，最多有60名， 当这100名顾客至少选了两种菜品中的一种时，两种菜品都选了的顾客最少， 最少有名． 故答案为：60；40． 14．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【答案】8 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即可得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 15．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 16．（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据容斥原理进行求解即可. 【详解】设参加机器人社、编程社、航模社的学生集合分别为，三个社团都参加的人数为， 则根据容斥原理可得 ， 所以，解得. 故选：A. 考点03 集合新定义 17．（25-26高二下·安徽·期末）（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 18．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 19．（25-26高一上·广东梅州·期末）（多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】准确理解集合的新定义，结合元素与集合的关系、集合间的关系求解即可. 【详解】选项A：根据函数的定义，当时，. 已知集合，因为，所以，A正确； 选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误； 选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于， 所以，所以，C错误； 选项D：，， 所以，而， 所以，D正确. 故选：AD 20．（25-26高一上·北京昌平·期末）设集合A是的子集，对于，定义. 给出下列四个结论： ①若，，则且； ②存在的两个不同子集A，B，对任意，都有且； ③任取的两个不同子集A，B，对任意，都有； ④设，，对任意，都有. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【分析】对于①④，根据定义判断正误即可，对于②③结合实例判断正误即可. 【详解】∵对于，， 对于①，因为，，， 故，①正确； 对于②，取， 则，故对任意，都有且， 故②正确； 对于③， 取， 当时，,, , ③错误； 对于④， ，， 则，， 若为偶数且，则，则且， 故，则有； 若为偶数且，则，， 故，则有； 若为奇数，则，， 故，则有； 故总成立，故④正确 ∴所有正确结论的序号是：①②④. 故答案为：①②④. 21．（25-26高一上·上海·期中）如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 【答案】(1)不是集，是集. (2) 证明：因为是集，且. 因为是集合中最大的元素，且，所以，即. 又因为，所以，即. 同理，.相加可得， 即， 因为，所以，所以. (3)17 【分析】（1）根据集的定义可判断； （2）根据集的特征得出，求和整理可证； （3）根据推理出所有的集，求出最小值即可. 【详解】（1）不是集，是集. 因为A的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，所以A不是集； 由于，符合集定义，所以B是集. （2）略 （3）因为，且是集，所以7可以表示为集合中其他两个元素的和. 由于，所以集合中至少有4个元素. 由，且7是最大元素，； 若集合中含有元素6，则必有3，若有3，则必有2，此时； 若集合中含有元素5，则必有2和3，此时； 若集合中含有元素4，则必有2和3，此时； 所以集合中所有元素的和的最小值为. 22．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C 23．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据闭集合的定义判断①、②，举反例判断③、④. 【详解】对于①：， 当，时，， 但，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，故集合为闭集合．故②正确； 对于③：设， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，则集合为闭集合． 由②分析可知也为闭集合． ， 当，时，， 但，即不是闭集合，故③错误； 对于④：设，若，则，， 则都为闭集合，又，且， 不存在，使得，即不存在，使得，故④错误； 故选：B. 24．（25-26高一下·北京西城·期末）给定正整数，设n维向量集合.对任意，其中，，定义. 设，若A同时满足下面两个性质，则称A具有性质P. ①对任意，有； ②对任意，其中，均存在，使得. (1)已知，，判断，是否具有性质P（结论无需证明）； (2)当时，若集合A具有性质P，且元素个数为3.证明：对任意，且，有； (3)当时，若集合A具有性质P，求A中元素个数的最小值. 【答案】(1)不具有性质具有性质； (2)证明：由中元素个数为3，设． 假设存在，且，使得． 不妨设． 由性质①，得中恰有一个中恰有一个1． 所以存在，使得，不妨设． 对于任意的，其中，有，且． 由集合具有性质②，故对任意的，有． 所以，与性质①矛盾！ 故． (3)6 【详解】（1）不具有性质具有性质． 由，，得 ， 对， 因为， 则符合性质①， 当时，若，此时， 若时，此时，故不符合性质②； 对，因为中的每个元素均含有4个1和1个0，故满足性质①， 当时，此时或使得， 当时，此时使得， 当时，此时或使得， 当时，此时使得， 当时，此时或使得， 当时，此时或或使得， 当时，此时或使得， 当时，此时或使得， 当时，此时使得， 当时，此时或使得， 故满足性质②， 综上不具有性质具有性质． （2）略 （3）设集合中元素个数为． 设．由性质①，得中1的个数恰为4． 所以中所有元素的各个分量中，1的总个数恰为． 由性质②，设． 取，则对于任意的，均存在，使得． 因为各个分量中1的个数为4， 所以对任意，均恰好存在互不相等，且不为1的,,使得． 故集合中至少有3个元素满足． 同理，集合中至少有3个向量满足． 故集合中的所有元素的各个分量中，1的个数至少为． 所以，即． 又， 时，具有性质． 故集合中元素个数的最小值为6． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 集合中Venn图、容斥原理、新定义的问题 3大考点汇总 考点01 利用Venn图求集合 考点02 容斥原理的应用 考点03 集合新定义 题型专练 考点01 利用Venn图求集合 1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 3．（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 5．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·专项训练）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 考点02 容斥原理的应用 9．（25-26高一上·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 10．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 11．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. 12．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 13．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名． 14．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 15．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 16．（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 考点03 集合新定义 17．（25-26高二下·安徽·期末）（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 18．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 19．（25-26高一上·广东梅州·期末）（多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·北京昌平·期末）设集合A是的子集，对于，定义. 给出下列四个结论： ①若，，则且； ②存在的两个不同子集A，B，对任意，都有且； ③任取的两个不同子集A，B，对任意，都有； ④设，，对任意，都有. 其中所有正确结论的序号是______. 21．（25-26高一上·上海·期中）如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 22．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 23．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 24．（25-26高一下·北京西城·期末）给定正整数，设n维向量集合.对任意，其中，，定义. 设，若A同时满足下面两个性质，则称A具有性质P. ①对任意，有； ②对任意，其中，均存在，使得. (1)已知，，判断，是否具有性质P（结论无需证明）； (2)当时，若集合A具有性质P，且元素个数为3.证明：对任意，且，有； (3)当时，若集合A具有性质P，求A中元素个数的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $