3.2 勾股定理的逆定理 专项练习 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理的概念辨析、实际应用与综合探究，通过分层题型构建“基础判断-情境建模-动态推理”的知识逻辑链，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-5、8，填空11-13|直接判断直角三角形、勾股数识别、边长关系转化|从勾股定理逆定理的基本形式（a²+b²=c²）出发，关联角度关系（∠A=∠C-∠B）与边长比（5:4:3），构建概念网络| |实际应用|选择3、10、18、21，填空16|行程方向、秋千索长、圆柱最短路径等情境问题|将现实场景抽象为直角三角形模型，运用逆定理解决距离计算与安全范围判断，发展应用意识| |综合探究|选择6、7、9，填空14-15，解答17-20、22|动态动点、垂直平分线、面积综合及规律探究|结合代数运算（方程思想）与几何推理（分类讨论），深化逆定理在复杂图形中的迁移应用，提升推理能力|

3.2勾股定理的逆定理专项练习 一、选择题 1、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，10 2、下列各组数中是勾股数的为（ ） A． B． C．7，8，9 D．9，40，41 3、如图，从笔直的公路旁一点 P 出发，向西走 6km 到达；从 P 出发向北走 6km 也到达．下列说法错误的是（ ） A．从点 P 向北偏西 45° 走 3km 到达 B．公路的走向是南偏西 45° C．公路的走向是北偏东 45° D．从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 4、满足下列条件时，不是直角三角形的是 ( ) A. B. C. D. 5、如图中字母 A 所代表的正方形的面积为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.64 6、若一个三角形的三边长为 6,8,10，则它的最长边上的高为（ ） A. B. C. 5 D. 10 7、直角三角形中一直角边的长为 9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为 ( ) A.121 B.120 C.90 D. 不能确定 8、三角形的三边长 满足 , 则此三角形是 ( ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 9、如图，四边形中，，，则这个四边形的面积是（） A.24 B.36 C.48 D.60 10、我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（    ） A．12尺 B．13.5尺 C．14.5尺 D．15.5尺 二、填空题 11、若三角形的三边长为 5,12,13，则这个三角形的面积为 。 12、如图，每个小正方形的边长为 1，则的形状是 三角形。 13、在△ABC中，下列说法：①∠A＝∠C－∠B；②(b＋c)(b－c)＝a2；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④AB∶AC∶BC＝5∶4∶3；⑤AB2∶AC2∶BC2＝1∶2∶3．其中不能判断△ABC为直角三角形的条件有 （填序号）． 14、如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E．连接，则的长为 ． 15、如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时，△PBQ为直角三角形． 16、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m（容器厚度忽略不计）． 三、解答题 17、如图，在中，CD⊥AB于点D，求的长，并判断的形状。 18、甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行；乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，计算它们出发1.5小时后两船的距离． 19、“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米. (1)判断△ACM的形状，并说明理由； (2)求公路AB的长. 20、如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t． （1）当t为何值时，AE＝AF； （2）当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由． 21、如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC． （1）求A，B两村之间的距离； （2）为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 22、寻求某些股数的规律． （1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42=52，若把它扩大2倍，3倍就分别是62+82=102和92+122=152，…若把它扩大11倍，就得到（____），若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（____）； （2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为32=52-42； 若勾股数为5，12，13，则有52=12+13； ①若勾股数为7，24，25，则有（____）； ②若勾股数为17，a,b（a＜b），根据以上的规律，求a、b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2勾股定理的逆定理专项练习答案解析 一、选择题 1、答案：B 解析：判断三边能否构成直角三角形，只需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方： A 选项：，可以； B 选项：，，，不可以； C 选项：，可以； D 选项：，可以。 2、答案：D 解析：勾股数的定义是：满足的正整数，称为勾股数。 A、B 选项包含无理数，不符合正整数的要求； C 选项：，不满足勾股定理； D 选项：，且均为正整数，是勾股数。 3、答案：A 4、答案：B 解析： A 选项：，，因此，是直角三角形； B 选项：角度比为，则三个角分别为、、，没有直角，不是直角三角形； C 选项：，满足勾股定理，是直角三角形； D 选项：边长比为，满足勾股定理，是直角三角形。 5、答案：D 解析：根据勾股定理，直角三角形中，斜边对应的正方形的面积，等于两条直角边对应的正方形的面积之和。因此字母 A 的正方形的面积为。 6、答案：B 解析：三边长 6,8,10 满足，是直角三角形，最长边为 10。 三角形的面积为，因此最长边上的高为。 7、答案：C 解析：设另一条直角边为，则斜边为，根据勾股定理： 展开得，解得，因此斜边为 41，周长为。 8、答案：C 解析：对等式展开整理： 消去后可得，满足勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形。 9、答案：B 解析：在中，，，，因此。 在中，，，，满足，因此是直角三角形。 因此四边形的面积为。 10、答案：C 解析：设秋千的绳索长为尺，则绳索顶端到踏板的竖直距离为尺。 在直角三角形中，根据勾股定理： 展开得，解得，即索长为 14.5 尺。 二、填空题 11、答案：30 解析：三边长 5,12,13 满足，是直角三角形，因此面积为。 12、答案：直角 解析：计算三边的平方： ，， 满足，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形。 13、答案：③ 解析：逐一分析条件： ①，可得，因此，可以判断； ②，整理得，即，可以判断； ③，三个角为 45°、60°、75°，没有直角，不能判断； ④，满足，可以判断； ⑤，满足，可以判断。 因此不能判断的是③。 14、答案：（或 1.75） 解析：已知，，，满足，因此是直角三角形，。 是的垂直平分线，因此，设，则。 在中，根据勾股定理： 解得，即的长度为。 15、答案：或（或 1.5 或 2.4） 解析：等边三角形边长为 6，运动时间为时，，，，分两种情况： ① 当时，，因此，即，解得； ② 当时，，因此，即，解得。 16、答案：1.3 解析：将圆柱的侧面展开为长方形，作点关于容器上沿的对称点，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为的长度。 因此最短距离为 1.3m。 三、解答题 17、解：因为，所以是直角三角形。 已知，，根据勾股定理： 因此。 接下来验证的形状： ，， 因此，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形。 18、解： 甲船的速度为 16 海里 / 时，1.5 小时后航行的距离为海里； 乙船的速度为 12 海里 / 时，1.5 小时后航行的距离为海里。 甲的方向为北偏东 75°，乙的方向为南偏东 15°，因此两船航行方向的夹角为，两船的距离为直角三角形的斜边： 因此出发 1.5 小时后两船的距离为 30 海里。 19、解： (1) 是直角三角形，理由如下： 已知，，， 因为，即， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且。 (2) 因为，所以。 设，则。 在中，根据勾股定理： 代入得， 展开得，解得。 因此公路的长为 16.9 千米。 20、解： (1) 点运动时间为时，，是的中点，因此，，。 若，则： 即， 展开得，整理得， 解得（舍去），即当时，。 (2) 当时，，。 计算三边的长度： 因此， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形。 21、解： (1) 因为，所以是直角三角形， 因此米，即 A、B 两村之间的距离为 1500 米。 (2) 过点作于点，根据三角形面积公式： 代入数据得米。 因为，所以公路段有危险，需要封锁。 设、是上的点，满足，则： 因此封锁的路段长度米。 22、解： (1) 3,4,5 扩大 11 倍后，得到 33,44,55；扩大倍后，得到。 (2) ① 对于勾股数 7,24,25，有。 ② 对于奇数 17，根据规律，，且， 因此，，解得，。 学科网（北京）股份有限公司 $