专题01 勾股定理及勾股定理逆定理（8大题型）（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

专题01 勾股定理及勾股定理逆定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股数的判断 1 题型二、求几何图形面积 3 题型三、判断能否构成直角三角形 5 题型四、用勾股定理解三角形 8 题型五、勾股定理与网格问题 11 题型六、勾股定理的证明方法 13 题型七、勾股定理的应用 18 题型八、利用勾股定理的逆定理求解 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股数的判断 1．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13 3．（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列四组数中，是勾股数的一组是（    ）． A．1，1，2 B．，， C．3，4，5 D．3，4，6 4．（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．6，7，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．16，30，34 题型二、求几何图形面积 5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数字及字母m表示所在正方形的边长，其中m的值为（    ） A．5 B．25 C．7 D．14 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，中，；分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 7．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．9 C． D． 8．（25-26八年级上·河南新乡·月考）如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B．20 C．24 D．48 题型三、判断能否构成直角三角形 9．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在中，的对边分别是．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C．，， D． 10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 11．（25-26八年级上·河南南阳·月考）满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）在中，，，．下列条件中：①，②，③，④，⑤．能确定是直角三角形的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型四、用勾股定理解三角形 13．（24-25八年级上·四川成都·月考）如图，在中，，，垂足为D．如果，，则的长为 ． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ． 16．（24-25八年级下·广西防城港·期末）在中，，，，，求： (1)已知，，求； (2)已知，，求． 题型五、勾股定理与网格问题 17．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 18．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 19．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 20．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，点，，在边长为的正方形组成的网格格点上，解答下列问题： (1)线段的长为______，线段 的长为______； (2)连接，判断的形状，并证明你的结论． 题型六、勾股定理的证明方法 21．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 22．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 23．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 题型七、勾股定理的应用 24．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 25．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 26．（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，． (1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？ (2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）． 27．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 题型八、利用勾股定理的逆定理求解 28．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 29．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 30．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 31．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．1，1， C．9，12，15 D．5，7，12 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．， 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则(    ) A．184 B．86 C．119 D．81 4．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）已知一个直角三角形的两边长分别为，，则这个三角形的第三条边长为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，则的度数为 ． 7．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，三条直线a，b，c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上，已知，，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则的面积为 ． 9．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为 ． 10．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，于点，，，．求的长． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在中，，、、所对的边分别为、、． (1)已知，，求的度数和、的值； (2)已知，，求的度数和、的值． 13．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 14．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）已知在中，，，，点D是上一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，t的值为________； (3)过点D作于点E，当P在点C的左侧运动时，要使，_______． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理及勾股定理逆定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股数的判断 1 题型二、求几何图形面积 3 题型三、判断能否构成直角三角形 5 题型四、用勾股定理解三角形 8 题型五、勾股定理与网格问题 11 题型六、勾股定理的证明方法 13 题型七、勾股定理的应用 18 题型八、利用勾股定理的逆定理求解 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股数的判断 1．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； C．，，，故该选项是勾股数，符合题意； D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数是三个正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、含，不是正整数，不符合定义，故该选项错误； B、，，，不符合定义，故该选项错误； C、，，，不符合定义，故该选项错误； D、，，相等且均为正整数，符合定义，故该选项正确； 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列四组数中，是勾股数的一组是（    ）． A．1，1，2 B．，， C．3，4，5 D．3，4，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； D、，故此项不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．6，7，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．16，30，34 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项分析即可解答． 【详解】解： A、，，，∴6，7，10不是勾股数．故此选项不符合题意； B、∵0.3， 0.4，0.5 非整数，∴0.3， 0.4，0.5不是勾股数．故此选项不符合题意； C、非整数，∴1，1，不是勾股数．故此选项不符合题意； D、，，，∴16，30，34是勾股数．故此选项符合题意． 故选：D． 题型二、求几何图形面积 5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数字及字母m表示所在正方形的边长，其中m的值为（    ） A．5 B．25 C．7 D．14 【答案】A 【分析】根据勾股定理可知边长为4和边长为3的正方形的边长的平方和等于边长为的正方形边长的平方，据此可得答案． 本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 【详解】解：每个正方形中的数及字母表示所在正方形的边长， 由勾股定理得：, 则（负数舍去）． 故选：A． 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，中，；分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，运用代数推导思想，解题关键是建立面积与边长平方的联系． 通过勾股定理将正方形面积转化为直角三角形边长的平方，进而推导阴影部分面积即可． 【详解】解：设的三边为，，， 由题意得，，；由勾股定理， 已知，即， ∴， 解得， ∵阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度， ∴阴影面积为． 故选：A． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可知,即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 【详解】由勾股定理可知, , , 由图形可知，阴影部分的面积为． 故选:． 8．（25-26八年级上·河南新乡·月考）如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形和圆的面积公式，根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，根据三角形的面积公式计算的面积，再利用割补法即可求出“希波克拉底月牙”的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 的面积为， ∴“希波克拉底月牙”的面积是． 故选：C． 题型三、判断能否构成直角三角形 9．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在中，的对边分别是．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C．，， D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴ ∴不是直角三角形，则符合题意； B．∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，则不符合题意； C．∵， ∴ ∴是直角三角形，则不符合题意； D．∵， ∴设， ∴， ∴是直角三角形，则不符合题意． 故选：A． 10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算各选项判断是否能构成直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，，∴，故是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故不是直角三角形，符合题意； D、∵，且， ∴，即， ∴， 故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 11．（25-26八年级上·河南南阳·月考）满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理逆定理和三角形内角和定理.通过判断每个选项是否满足直角三角形条件，通过计算得到选项D的角比例计算后均为锐角，因此不是直角三角形，从而得到答案. 【详解】解：A、∵ ∴ ， 由勾股定理逆定理，是以b为斜边的直角三角形. B、 ∵ ，且， ∴是直角三角形. C、 ∵ ，且， 代入得， ∴ ，是直角三角形. D、 设，则， 解得：， ∴ ，均小于， ∴不是直角三角形. 12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）在中，，，．下列条件中：①，②，③，④，⑤．能确定是直角三角形的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：对于条件①：∵，且， ∴，即， ∴是直角三角形． 对于条件②：设，则， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． 对于条件③：∵ ， ∴由勾股定理逆定理，是直角三角形． 对于条件④：∵，即， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． 对于条件⑤：设，则， ∴， ∴是直角三角形． ∴能确定是直角三角形的条件有①、③、⑤，共 3 个． 故选：C 题型四、用勾股定理解三角形 13．（24-25八年级上·四川成都·月考）如图，在中，，，垂足为D．如果，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积．根据勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 在上取点E，使得，连接，，证明，得到，因此．过点C作于点H，则，根据勾股定理求出，进而根据的面积求出，即可解答． 【详解】解：在上取点E，使得，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点H， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 16．（24-25八年级下·广西防城港·期末）在中，，，，，求： (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边． （1）由于所求边是斜边，所以利用勾股定理直接可得，代入，的值即可求得的值； （2）由于所求边是直角边，所以利用勾股定理直接可得，代入，的值即可求得的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴； （2）解：在中，，， ∴． 题型五、勾股定理与网格问题 17．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 18．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 19．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 20．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，点，，在边长为的正方形组成的网格格点上，解答下列问题： (1)线段的长为______，线段 的长为______； (2)连接，判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)，； (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：由图可知，，， 故答案为：，； （2）解：是直角三角形， 证明：由知，，， ， ， 是直角三角形． 题型六、勾股定理的证明方法 21．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 22．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 23．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 题型七、勾股定理的应用 24．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】的长为厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 在中，先利用勾股定理求出，再结合题意求出，然后在中利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解： ， ∴在中，； ∵，， ∴在中，， ． 25．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 26．（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，． (1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？ (2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)的长是攀梯A到泳道l的最近距离，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理，推导出，即，由垂线段最短，得到的长是攀梯A到泳道l的最近距离，即可解答； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：的长是攀梯A到泳道l的最近距离．理由如下： 在中， ， ，即， 由垂线段最短， 的长为攀梯A到泳道l的最近距离． （2）， ． 在中， ． 答：的长度为． 27．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 题型八、利用勾股定理的逆定理求解 28．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：米，米，米， ， ， ； （2）解：， ， （米）， （米）． 29．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 30．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 【答案】种植矮牵牛的面积为，种植三色堇的面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得，进而由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 又∵， ∴，则是直角三角形，， ∴种植矮牵牛的面积为， 种植三色堇的面积为． 31．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11300元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．1，1， C．9，12，15 D．5，7，12 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，勾股数的定义，需同时满足正整数和勾股定理两个条件． 根据三角形三边关系判断是否构成三角形，根据勾股数是满足的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足勾股定理， 对于A：，，不是正整数，故不是勾股数； 对于B：不是正整数，故不是勾股数； 对于C：9，12，15均为正整数，且，满足勾股定理，故是勾股数； 对于D：5，7，12均为正整数，但，不能构成三角形，故不是勾股数； 故选：C． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理及勾股定理的逆定理等知识点，掌握有一个角为直角的三角形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键．通过计算角度或验证勾股定理逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形即可得答案． 【详解】解：A．∵， ∴最大角为，故不是直角三角形，符合题意， B．∵， ∴设，，，则，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； C．∵，，， ∴，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； D．∵，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则(    ) A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B 【分析】本题考查与弦图有关的计算，勾股定理，连接，利用勾股定理，可以推出，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知∶， 连接， 在直角和中，， 即， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质．过点分别作的垂线，垂足分别为，根据勾股定理求得，等面积法求得，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）已知一个直角三角形的两边长分别为，，则这个三角形的第三条边长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，分为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵ 直角三角形两边长分别为，， ∴ 当为直角边时，第三边（斜边）为  ， 当为斜边时，第三边（直角边）为 ， ∴第三边长为或， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，算术平方根，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 7．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，，，利用三角形面积公式表示出阴影面积即可得答案． 【详解】解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∵，，， ∴阴影部分的面积 ， ∵， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，三条直线a，b，c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上，已知，，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作于D，交直线c于点E，证明，得出，根据勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 通过延长线构造全等三角形，得出的长度，结合勾股定理先求出的长度，再求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，于点，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出，再根据推出，再由勾股定理求的长． 【详解】解：， ， 由勾股定理得：， 又， ， 由勾股定理得：， ． 答：的长为． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在中，，、、所对的边分别为、、． (1)已知，，求的度数和、的值； (2)已知，，求的度数和、的值． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质（两锐角互余、含角的直角三角形性质、等腰直角三角形性质）及勾股定理，熟练掌握直角三角形的角与边的关系是解题的关键． （1）先由直角三角形两锐角互余求，再用含角的直角三角形性质及勾股定理求、； （2）先由直角三角形两锐角互余求，再根据等腰直角三角形的性质求，最后用勾股定理求． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴−， ∵，， ∴， 由勾股定理： ； （2）解：∵在中，，， ∴−， ∵， ∴， 由勾股定理： ． 13．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）先运用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据四边形的面积等于与的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ． （2）解：∵，， ， ∴是直角三角形，， ∴ ． 14．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）已知在中，，，，点D是上一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，t的值为________； (3)过点D作于点E，当P在点C的左侧运动时，要使，_______． 【答案】(1) (2)或16或5 (3)5 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． （1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）根据勾股定理求出 ， 连接，则．证明， 得到，则∴，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，，，， 在中，根据勾股定理，得． （2）解：由题意可知，， ①当时， ∵， ，解得； ②当时，如图 ∵， ∴， ∴； ③若，则， 在中，， ∴ 解得：； 综上所述：t的值或16或5； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 如图，连接， ∵P在C点的左侧， ∴． 又∵，，且， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据正方形的面积为，或，即可得到，化简即可证明； （2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； ②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，正方形的边长为，则面积为， 又正方形由正方形和4个全等的三角形组成，故面积为， ∴， 即， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，即， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． ∴绳索的长为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $