1.1 探索勾股定理（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|勾股定理概念及直接应用|以选择、填空为主，直接考查公式应用（如已知两边求第三边）| |技能应用|面积计算及几何综合|结合正方形面积、网格作图，培养空间观念（如求阴影部分面积）| |综合拓展|实际情境与跨学科应用|融入生活问题（如树折断、引葭赴岸）及数学文化（赵爽弦图），发展应用意识|

分层作业 1.1 探索勾股定理 参考答案 勾股定理的认识题型01 1． B 2．D 3．4.8 4.【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边，a＝1，b＝2， 由勾股定理得：； （2）∵a，b为直角边，c为斜边，a＝4，c＝5， 由勾股定理得：． 5.【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝13cm，BC＝5cm， ∴AB12（cm）． 利用勾股定理求面积题型02 6．D 7．A 8.【解答】解：在△ABD中，AB＝13，AD＝12，BD＝5， ∵AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2． ∴CD2＝202﹣122＝256， ∵CD＞0， ∴CD＝16． ∴S△ABCBC×AD（5+16）×12＝126． 9.【解答】解：（1）∵5， ∴两条直角边长为3和4的直角三角形ABC即为所求， 如图1所示： （2）∵面积为10的正方形的边长为， ， ∴四边形ABCD即为所求， 如图2所示： 【解答】解：（1）∵5， ∴两条直角边长为3和4的直角三角形ABC即为所求， 如图1所示： （2）∵面积为10的正方形的边长为， ， ∴四边形ABCD即为所求， 如图2所示： 【解答】解：（1）根据勾股定理得正方形的边长为5cm， ∴着色部分的面积为5×5＝25cm2； （2）根据勾股定理得长方形的长为17cm， ∴着色部分的面积为17×3＝51cm2； （3）根据勾股定理得半圆的直径为8cm， ∴半径为4cm， ∴着色部分的面积为π•42＝8π cm2． 勾股定理的实际应用题型03 11.C 12.A 13．C 14.．【解答】解：一根竹子高1丈，即10尺，设AC＝x尺，则AB＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中，BC＝4尺， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2， ∴（10﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝4.2， ∴折断处离地面的高度是4.2尺， 故答案为：4.2． 15.【解答】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴DE＝CE， ∵DN⊥AB，CM⊥AB， ∴∠CME＝∠END＝90°， ∴ME2+CM2＝CE2，NE2+DN2＝DE2， ∴ME2+CM2＝NE2+DN2， 设ME＝xkm，则NE＝MN﹣ME＝（25﹣x）km， ∵CM＝15km，DN＝10km， ∴x2+152＝（25﹣x）2+102， 解得：x＝10， ∴ME＝10km， ∴E站到M点的距离为10km， 故答案为：10km． 16.【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝27°； （2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， 由勾股定理得：AC4（cm）， S△ABCAC•BCAB•CD， 则CDcm． 17.【解答】解：在Rt△AEB中，AB5， 矩形ABCD的面积＝10×5＝50（米2） 答：矩形玻璃的面积是50平方米． 18.【解答】解：（1）四分之一圆的面积为：； 直角三角形的面积为：； 所以，广场空地的面积为：； （2）当a＝150米，b＝50米，r＝20米，π＝3.14时， （平方米）， 19.【解答】解：居民楼P会受噪声影响， 如图所示，过点P作PA⊥MN于点A， ∵NP＝200m，MN＝250m，MP＝150m， ∴MP2+NP2＝1502+2002＝62500＝2502＝MN2， ∴△MNP是直角三角形，∠NPM＝90°， ∴， ∴MP•NP＝PA•MN， ∴150×200＝250×PA， ∴， ∵卡车周围130m以内为受噪声影响区域， ∴居民楼P会受噪声影响， 当BP＝CP＝130m时，卡车在BC段行驶会影响居民楼P， 此时AB＝AC， ∵BP2＝PA2+BA2， ∴1302＝1202+BA2， ∴BA＝50m， ∴BC＝2BA＝100m， ∵卡车的行驶速度为30km/h， ∴， 答：卡车噪声影响该居民楼持续的时长为12s． 1．C 2．C 3．【解答】解：（1）由正方形的性质和勾股定理得：小正方形的面积为S1＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，大正方形的面积为S2＝a2+b2， 故答案为：a2﹣2ab+b2，a2+b2； （2）∵S1＝16，S2＝136， ∴a2﹣2ab+b2＝16①，a2+b2＝136②， ②×2﹣①得：a2+2ab+b2＝256， 即（a+b）2＝256， ∵a＞b＞0， ∴a+b16， 即a+b的长为16． 4．【解答】解：∵大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， ∴a2+b2＝c2＝100，（a﹣b）2＝4， ∴a2+b2﹣2ab＝4， 即100﹣2ab＝4， ∴2ab＝96， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196． 5.【解答】解：（1）∵物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm， 设AB＝x dm，则BC＝（16﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴82+（16﹣x）2＝x2， 解得：x＝10， ∴AB＝10dm， ∴绳子长度＝AB+AC＝10+8＝18（dm）； （2）如图2， 若物体C升高7dm，则此时AB＝10+7＝17（cm）， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴BE＝BD﹣ED＝15﹣6＝9（cm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 1．【解答】解：（1）∵， 又∵， ∵是同一图形的面积，面积相等， ∴， ∴a2+b2＝c2． （2）设CA为x米，则AH＝（x﹣18）米，AB＝AC＝x米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∵在Rt△CHA中，CH＝24米，∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， 即x2＝242+（x﹣18）2， 解得：x＝25， ∴CA＝25（米）， ∴CA﹣CH＝25﹣24＝1（米）， ∴新路CH比原路CA少1米． （3）由题意设：AH为y米， 又∵AB＝21米，AC＝15米，BC＝18米， ∴HB＝AB﹣AH＝（21﹣y）米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∴在Rt△CHA中，∠CHA＝90°， CH2＝AC2﹣AH2＝152﹣y2， 在Rt△CHB中，∠CHB＝90°， CH2＝CB2﹣HB2＝182﹣（21﹣y）2， ∴152﹣y2＝182﹣（21﹣y）2， 解得：， ∴若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，则AH的长度为米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 探索勾股定理 勾股定理的认识题型01 1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为3，则斜边长为（　　） A．4 B．5 C．25 D．16 【解答】解：设斜边长为x，则直角边长为x﹣1， ∵另一直角边长为3． 由勾股定理得：（x﹣1）2+32＝x2 解得：x＝5， 即斜边长为5． 故选：B． 2．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若c＝5，则a2+b2+c2的值为（　　） A．10 B．15 C．25 D．50 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2+c2＝2c2， ∵c＝5， ∴a2+b2+c2＝2×52＝50， 故选：D． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝8，CD＝4.8，AC＝6，那么点C到AB的距离为　4.8　 ． 【解答】解：∵CD⊥AB，CD＝4.8， ∴点C到AB的距离是4.8， 故答案为：4.8． 4．已知△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边． （1）若a＝1，b＝2，求c； （2）若a＝4，c＝5，求b． 【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边，a＝1，b＝2， 由勾股定理得：； （2）∵a，b为直角边，c为斜边，a＝4，c＝5， 由勾股定理得：． 5．在△ABC中，∠B＝90°，AC＝13cm，BC＝5cm．求AB的长． 【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝13cm，BC＝5cm， ∴AB12（cm）． 利用勾股定理求面积题型02 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝16cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　） A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．256cm2 【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， 即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为AB2＝162＝256cm2， 故选：D． 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（　　） A．8 B．14 C．16 D．18 【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可得，S1+S2＝S3， 又∵S1+S3﹣S2＝32， ∴2S1＝32， ∴S1＝16， ∴阴影部分面积为8， 故选：A． 8．如图，在△ABC中，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝20，求△ABC的面积． 【解答】解：在△ABD中，AB＝13，AD＝12，BD＝5， ∵AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2． ∴CD2＝202﹣122＝256， ∵CD＞0， ∴CD＝16． ∴S△ABCBC×AD（5+16）×12＝126． 9．如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图1中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数． （2）在图2中，画出一个面积为10的正方形． 【解答】解：（1）∵5， ∴两条直角边长为3和4的直角三角形ABC即为所求， 如图1所示： （2）∵面积为10的正方形的边长为， ， ∴四边形ABCD即为所求， 如图2所示： 10．求下列各图形着色部分的面积： （1）着色部分是正方形； （2）着色部分是长方形； （3）着色部分是半圆． 【解答】解：（1）根据勾股定理得正方形的边长为5cm， ∴着色部分的面积为5×5＝25cm2； （2）根据勾股定理得长方形的长为17cm， ∴着色部分的面积为17×3＝51cm2； （3）根据勾股定理得半圆的直径为8cm， ∴半径为4cm， ∴着色部分的面积为π•42＝8π cm2． 勾股定理的实际应用题型03 11．如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有（　　） A．5米 B．7米 C．8米 D．10米 【解答】解：如图： ∵AB＝3米，AC＝4米 ∵∠A＝90° ∴AB2+AC2＝BC2 ∴BC＝5米 ∴树折断之前有8米．故选：C． 12．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 【解答】解：由题意知：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形， 在直角三角形ABC中，BC＝5米，AC＝13米， 由勾股定理得：（米）， 故选：A． 13．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（　　） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【解答】解：设水深GF长为x尺，则芦苇GE＝AG＝（x+1）尺， ∵GF2+AF2＝AG2， ∴， 解得：x＝12， 则芦苇的长度为x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：C． 14．如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处．折断处离地面的高度是　4.2　 尺．（1丈＝10尺） 【解答】解：一根竹子高1丈，即10尺，设AC＝x尺，则AB＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中，BC＝4尺， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2， ∴（10﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝4.2， ∴折断处离地面的高度是4.2尺， 故答案为：4.2． 15．如图，一条笔直的铁路AB的同侧有两个村庄C，D，它们到铁路AB的距离分别为15km和10km，分别过C，D两点作AB的垂线，垂足为M，N，测量得MN＝25km．现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站到M点的距离为　10km ． 【解答】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴DE＝CE， ∵DN⊥AB，CM⊥AB， ∴∠CME＝∠END＝90°， ∴ME2+CM2＝CE2，NE2+DN2＝DE2， ∴ME2+CM2＝NE2+DN2， 设ME＝xkm，则NE＝MN﹣ME＝（25﹣x）km， ∵CM＝15km，DN＝10km， ∴x2+152＝（25﹣x）2+102， 解得：x＝10， ∴ME＝10km， ∴E站到M点的距离为10km， 故答案为：10km． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． （1）若∠BCD＝27°，求∠A的度数． （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求CD的长度． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝27°； （2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， 由勾股定理得：AC4（cm）， S△ABCAC•BCAB•CD， 则CDcm． 17．如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE＝4米，高AE＝3米，且AE⊥BE，长AD＝10米，棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮盖，不计墙的厚度，请计算矩形玻璃ABCD的面积． 【解答】解：在Rt△AEB中，AB5， 矩形ABCD的面积＝10×5＝50（米2） 答：矩形玻璃的面积是50平方米． 18．如图，在一个直角三角形休闲广场的直角处设计一块四分之一圆形花坛，若圆形的半径为r米，广场一直角边长为2a米，另一直角边长为b米． （1）列式表示广场空地的面积（用含π的式子表示）； （2）若a＝150米，b＝50米，r＝20米，求广场空地的面积（π取3.14）． 【解答】解：（1）四分之一圆的面积为：； 直角三角形的面积为：； 所以，广场空地的面积为：； （2）当a＝150米，b＝50米，r＝20米，π＝3.14时， （平方米）， 19．新情境如图，有一辆卡车沿笔直公路由点M向点N匀速行驶，点P为一栋居民楼，且点P与点M，N的距离分别为150m和200m，MN＝250m，已知卡车的行驶速度为30km/h，卡车周围130m以内为受噪声影响区域．则居民楼P是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 【解答】解：居民楼P会受噪声影响， 如图所示，过点P作PA⊥MN于点A， ∵NP＝200m，MN＝250m，MP＝150m， ∴MP2+NP2＝1502+2002＝62500＝2502＝MN2， ∴△MNP是直角三角形，∠NPM＝90°， ∴， ∴MP•NP＝PA•MN， ∴150×200＝250×PA， ∴， ∵卡车周围130m以内为受噪声影响区域， ∴居民楼P会受噪声影响， 当BP＝CP＝130m时，卡车在BC段行驶会影响居民楼P， 此时AB＝AC， ∵BP2＝PA2+BA2， ∴1302＝1202+BA2， ∴BA＝50m， ∴BC＝2BA＝100m， ∵卡车的行驶速度为30km/h， ∴， 答：卡车噪声影响该居民楼持续的时长为12s． 1．如图，分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，再以FD为斜边作Rt△DEF，最后以EF、DE为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以AB为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（　　） A．5 B．3 C．16 D．6 【解答】解：∵四边形ACFD是正方形， ∴AC＝FD． ∵以EF、DE为边的作两个小正方形的面积分别是1、3， ∴AC2＝FD2＝1+3＝4． ∵以AB为边的正方形面积为2， ∴AB2＝2， ∴以BC为边的正方形面积为：BC2＝AB2+AC2＝2+4＝6， ∴图中5个正方形的面积总和是：1+3+4+2+6＝16， 故选：C． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE．若AB＝5，BC＝3，则AE2﹣CE2等于（　　） A．7 B．9 C．16 D．25 【解答】解：连接AC，与BD交于点O， ∵AC⊥BD， 在Rt△AOE中，AE2＝AO2+OE2， 在Rt△COE中，CE2＝CO2+OE2， ∴AE2﹣CE2＝AO2﹣CO2， 在Rt△AOB中，AO2＝AB2﹣OB2， 在Rt△COB中，CO2＝BC2﹣OB2， ∴AO2﹣CO2＝AB2﹣BC2＝52﹣32＝16， ∴AE2﹣CE2＝16， 故选：C． 3．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b（a＞b），设小正方形的面积为S1，大正方形面积为S2． （1）用含有a，b的代数式分别表示：S1＝a2﹣2ab+b2 ，S2＝a2+b2 ；（结果化简） （2）若S1＝16，S2＝136，求a+b的长． 【解答】解：（1）由正方形的性质和勾股定理得：小正方形的面积为S1＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，大正方形的面积为S2＝a2+b2， 故答案为：a2﹣2ab+b2，a2+b2； （2）∵S1＝16，S2＝136， ∴a2﹣2ab+b2＝16①，a2+b2＝136②， ②×2﹣①得：a2+2ab+b2＝256， 即（a+b）2＝256， ∵a＞b＞0， ∴a+b16， 即a+b的长为16． 4．如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值． 【解答】解：∵大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， ∴a2+b2＝c2＝100，（a﹣b）2＝4， ∴a2+b2﹣2ab＝4， 即100﹣2ab＝4， ∴2ab＝96， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196． 5．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【解答】解：（1）∵物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm， 设AB＝x dm，则BC＝（16﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴82+（16﹣x）2＝x2， 解得：x＝10， ∴AB＝10dm， ∴绳子长度＝AB+AC＝10+8＝18（dm）； （2）如图2， 若物体C升高7dm，则此时AB＝10+7＝17（cm）， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴BE＝BD﹣ED＝15﹣6＝9（cm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 1．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度． 【解答】解：（1）∵， 又∵， ∵是同一图形的面积，面积相等， ∴， ∴a2+b2＝c2． （2）设CA为x米，则AH＝（x﹣18）米，AB＝AC＝x米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∵在Rt△CHA中，CH＝24米，∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， 即x2＝242+（x﹣18）2， 解得：x＝25， ∴CA＝25（米）， ∴CA﹣CH＝25﹣24＝1（米）， ∴新路CH比原路CA少1米． （3）由题意设：AH为y米， 又∵AB＝21米，AC＝15米，BC＝18米， ∴HB＝AB﹣AH＝（21﹣y）米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∴在Rt△CHA中，∠CHA＝90°， CH2＝AC2﹣AH2＝152﹣y2， 在Rt△CHB中，∠CHB＝90°， CH2＝CB2﹣HB2＝182﹣（21﹣y）2， ∴152﹣y2＝182﹣（21﹣y）2， 解得：， ∴若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，则AH的长度为米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 探索勾股定理 勾股定理的认识题型01 1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为3，则斜边长为（　　） A．4 B．5 C．25 D．16 2．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若c＝5，则a2+b2+c2的值为（　　） A．10 B．15 C．25 D．50 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝8，CD＝4.8，AC＝6，那么点C到AB的距离为　4.8　 ． 4．已知△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边． （1）若a＝1，b＝2，求c； （2）若a＝4，c＝5，求b． 5．在△ABC中，∠B＝90°，AC＝13cm，BC＝5cm．求AB的长． 利用勾股定理求面积题型02 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝16cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　） A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．256cm2 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（　　） A．8 B．14 C．16 D．18 8．如图，在△ABC中，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝20，求△ABC的面积． 9．如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图1中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数． （2）在图2中，画出一个面积为10的正方形． 10．求下列各图形着色部分的面积： （1）着色部分是正方形； （2）着色部分是长方形； （3）着色部分是半圆． 勾股定理的实际应用题型03 11．如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有（　　） A．5米 B．7米 C．8米 D．10米 12．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 13．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（　　） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 14．如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处．折断处离地面的高度是　4.2　 尺．（1丈＝10尺） 15．如图，一条笔直的铁路AB的同侧有两个村庄C，D，它们到铁路AB的距离分别为15km和10km，分别过C，D两点作AB的垂线，垂足为M，N，测量得MN＝25km．现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站到M点的距离为　 ． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． （1）若∠BCD＝27°，求∠A的度数． （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求CD的长度． 17．如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE＝4米，高AE＝3米，且AE⊥BE，长AD＝10米，棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮盖，不计墙的厚度，请计算矩形玻璃ABCD的面积． 18．如图，在一个直角三角形休闲广场的直角处设计一块四分之一圆形花坛，若圆形的半径为r米，广场一直角边长为2a米，另一直角边长为b米． （1）列式表示广场空地的面积（用含π的式子表示）； （2）若a＝150米，b＝50米，r＝20米，求广场空地的面积（π取3.14）． 19．新情境如图，有一辆卡车沿笔直公路由点M向点N匀速行驶，点P为一栋居民楼，且点P与点M，N的距离分别为150m和200m，MN＝250m，已知卡车的行驶速度为30km/h，卡车周围130m以内为受噪声影响区域．则居民楼P是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 1．如图，分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，再以FD为斜边作Rt△DEF，最后以EF、DE为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以AB为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（　　） A．5 B．3 C．16 D．6 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE．若AB＝5，BC＝3，则AE2﹣CE2等于（　　） A．7 B．9 C．16 D．25 3．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b（a＞b），设小正方形的面积为S1，大正方形面积为S2． （1）用含有a，b的代数式分别表示：S1＝　 　 ，S2＝　 　 ；（结果化简） （2）若S1＝16，S2＝136，求a+b的长． 4．如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值． 5．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 1．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $