3.1 勾股定理的探究 专项练习 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 以勾股定理证明方法为核心，通过多种构图方案、面积法及应用拓展，系统培养几何直观与推理能力的专项训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明方法探究|选择1-4、7、12、19(2)、22(1)，典例赵爽弦图、总统证法|数形结合思想、面积法|从无字证明到多种构图验证，构建定理推导逻辑链| |定理应用|选择5-6、8-10、填空11、13-15、解答17-18、20，典例折叠问题、动点问题|方程思想、分类讨论|从方格计算到实际应用，形成"概念-计算-综合"应用体系| |拓展延伸|填空16、解答21，典例锐角/钝角三角形关系推导|迁移推理|从直角到非直角三角形拓展，深化定理本质理解|

3.1勾股定理的探究专项练习 答案解析 一、选择题 1、答案：C 解析：“无字证明” 通过图形的几何直观来验证代数规律，将数与形结合起来，体现了数形结合的数学思想。 2、答案：A 解析：伽菲尔德的 “总统证法”，通过梯形面积等于三个直角三角形的面积之和，最终推导出勾股定理。 3、答案：C 解析： 甲同学的直角梯形：可通过梯形总面积等于两个直角三角形与中间等腰三角形的面积之和，推导出勾股定理； 乙同学的大正方形：可通过大正方形总面积等于四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，同样可以推导出勾股定理。 因此甲、乙的方案都可以证明勾股定理。 4、答案：A 解析：大正方形边长，即直角三角形的斜边长为 5；已知，根据勾股定理，直角三角形的另一条直角边为。因此小正方形的边长为，面积为。 5、答案：D 解析：阴影正方形的边长可看作直角边为 1 和 3 的直角三角形的斜边，根据勾股定理，边长为。 6、答案：B 解析：正方形 A、B、C 的面积分别为 9、16、25，满足，对应到直角三角形中，就是两条直角边的平方和等于斜边的平方，即。 7、答案：A 解析：设直角三角形的两直角边为、（）： 大正方形边长为 13，因此； 小正方形边长为 7，因此，两边平方得。 将代入，可得。因此，解得，即两直角边之和为 17。 8、答案：A 解析：在中，，，因此斜边。 折叠后，因此。设，则，在中，根据勾股定理： 解得，因此。 9、答案：A 解析：已知，两边平方得，即。 在中，，代入可得，即。 因此三角形的面积为。 10、答案：B 解析：是的平分线，根据角平分线的对称性，上的点关于的对称点一定在上。因此的最小值，就转化为点到直线的垂线段的长度。 在中，，，因此，三角形的面积为。因此到的距离为，即的最小值为 4.8。 二、填空题 11、答案：25 解析：根据勾股定理，直角三角形斜边对应的正方形的面积，等于两条直角边对应的正方形的面积之和。已知直角边对应的正方形面积为 9 和 16，因此正方形 C 的面积为。 12、答案： 解析：小正方形的边长为较长直角边减去较短直角边，即，因此小正方形的面积为。 13、答案：50 解析：通过证明、，可得，，。 由此可得梯形的底，梯形面积为。 再减去三个直角三角形的面积：、、，以及中间的空白三角形面积 12，最终实线围成的面积为。 14、 答案：6 解析：原路径的长度为米，走捷径的长度， 根据勾股定理为米。因此少走了米。 15、答案：（或 1.75） 解析：在中，，，因此。 是的垂直平分线，因此。设，则，即。在中，根据勾股定理： 解得，即的长度为。 16、答案：48 解析：设直角三角形的直角边为、，则： 因此，代入，可得， 解得。 三、解答题 17、解： 因为，所以是直角三角形。 已知，，根据勾股定理，斜边。 由题意，以为圆心，为半径画弧，因此。 所以。 18、解： （1）尺规作图：以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点；再作，交于点，连接即可（保留作图痕迹）。 （2）在中，，，因此斜边。 由折叠的性质可知，，因此，且。 设，则，在中，根据勾股定理： 展开得，解得。 因此的长度为。 19、证明： （1）因为，，所以是等腰直角三角形，因此。 在和中： 所以（HL），因此。 因为，且，所以，因此，即。 （2）由图可知，阴影部分的面积为，而整个图形中，的面积可以表示为： 同时，结合全等三角形的性质，我们可以得到面积关系： 其中： ， 因此： 整理得，勾股定理得证。 20、解： （1）在中，，，因此斜边。 因为是边上的高，根据三角形面积公式： 代入数据得，解得。 （2）动点的运动路径为，总路程为，当在边上时，运动时间满足，即，此时。 分三种情况讨论为等腰三角形： ① 当时：，解得； ② 当时：此时为上使得的点，结合，可得，因此，即，解得； ③ 当时：此时为的中点，，即，解得。 综上，当为 9.5s、10s 或 10.6s 时，为等腰三角形。 21、解： 过点作，交的延长线于点，则。 在中，； 在中，。 因此： 代入，得： 展开整理得： 即。 因为，，所以，即。 22、解： （1）大正方形的边长为，因此大正方形的面积为。 同时，大正方形的面积也等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，即： 展开右边： 因此，勾股定理得证。 （2）在中，，，因此斜边。 因为是边上的高，根据三角形面积公式： 代入数据得，解得。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1勾股定理的探究专项练习 一、选择题 1、在勾股定理的学习中，我们学会了 “无字证明”，这种根据图形直观推论或验证数学规律的方法，体现的数学思想是（ ） A. 函数思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 整体思想 2、伽菲尔德的 “总统证法” 中，利用梯形面积证明勾股定理，若直角三角形的两直角边为、，斜边为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3、在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲，乙都可以 D. 甲，乙都不可以 4、如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个 “赵爽弦图”，若，，则正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5、 如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是 1，则该阴影正方形的边长为（ ） A. B. 2 C. D. 6、如图，每个小方格的面积为 1，正方形、、的面积分别为 9、16、25，这说明（ ） A. B. C. D. 7、赵爽弦图中，大正方形的边长为 13，小正方形的边长为 7，则直角三角形的两直角边之和为（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 25 8、如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（      ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 9、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是 ( ) A.24 cm² 10、如图所示，中，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题 11、如图，每个小方格的边长为 1，直角三角形的斜边对应的正方形的面积为 。 12、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的面积为______（用含a、b的代数式表示）。 13、如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积 ． 14、时代公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路比走路”少了 米． 15、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC，于点D，E．若AB＝10，BC＝6，则线段EC的长度等于 　 　． 16、如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=144，则S2的值是 　 　。 三、解答题 17．如图，直线，垂足为O，线段，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线于点C．求的长． 18、如图是一张直角三角形纸片示意图，． （1）现将该纸片对折，使BC边落在AB边上，C的对应点为，折痕为BD，请用尺规作图作出及，并连接；（保留清晰作图痕迹，不必写作法与证明） （2）在（1）的基础上，已知，请求出AD的长度． 19、如图，在中，于=，点E为上一点，连接、，的延长线交于，已知，． （1）求证：； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在中，，，，，求证：． 20、已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． （1）求的长； （2）当O在AB边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ 21、在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c．若∠C为直角，则a2+b2＝c2；若∠C为锐角或钝角，则a2+b2与c2之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧． （1）阅读并填空：如图1，若∠C为锐角，则a2+b2＞c2． 证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD． 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2， ∴AB2-BD2=AC2-CD2 　． 即c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2， ∴a2+b2﹣c2＝2a•CD． ∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2﹣c2＞0，∴a2+b2＞c2． （2）解答问题：如图3，若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的大小关系． 22、第十四届国际数学教育大会于 2021 年在上海举办，其大会标识的中心图案是赵爽弦图，它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法。 (1) 如图 2 是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2) 如图 3，在中，，是边上的高，，，求的长度。 学科网（北京）股份有限公司 $