专题04 利用勾股定理求最短路径问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理和“两点之间线段最短”为核心，通过“展开—转化—勾股”三步法系统突破圆柱、长方体等四类最短路径模型，构建立体问题平面化的解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆柱模型|3题|展开侧面为矩形，分周长/半周长计算|立体转平面，勾股定理求线段长| |长方体模型|4题|分类讨论“前+右”等三种展开情况|多情况展开，比较路径最小值| |阶梯模型|3题|展开台阶面为长方形，连线用勾股|平面展开简化路径，直观化求解| |将军饮马模型|4题|对称转化同侧点为异侧，连线得最短|对称思想转化问题，结合勾股计算|

专题04 利用勾股定理求最短路径问题 常考题型·精准突破 题型1 圆柱中的最短路径模型（高频） 题型2 长方体中的最短路径模型（难） 题型3 阶梯中的最短路径模型 题型4 将军饮马与最短路径模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1圆柱中的最短路径模型 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算. 注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； （2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短. 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【答案】5 【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题． 【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点出发，沿着线段爬行时，距离最短； 由题意知，，为圆柱体底面周长的一半，即， ∴， 即爬行的最短距离是． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 【答案】13 【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的中点，高， ∴， 将圆柱侧面展开，如图所示： ∵这个圆柱的底面圆的直径为， ∴在侧面展开图中，，， ∴在中，， 即一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为13． 3．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 【答案】90；12；16；勾股定理；20；两点之间，线段最短；；20 【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可． 【详解】解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，，，，则运用“勾股定理”可求． 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段的长，即绳长至少为20． ◆题型2 长方体中的最短路径模型 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论. 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同. 【最值原理】两点之间线段最短. 4．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从点向点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______． 【答案】 【分析】分为从上表面爬到和从右侧面爬行两种情况讨论，画出对应的展开图，再利用勾股定理进行计算，对比后得出结论． 【详解】解：①当蚂蚁从上表面爬到点时，长方体表面展开如下： ∴； ②当蚂蚁从右侧面爬到点时，长方体表面展开如下： ∴， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离的平方为． 5．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 6．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． ◆题型3 阶梯中的最短路径模型 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 注意：展开—定点—连线—勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短. 7．（2026·山东潍坊·一模）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 【答案】 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ，， ， 即蚂蚁爬行的最短线路为． 8．（25-26八年级下·吉林松原·期中）2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 【答案】20 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 从点滑到点，滑行的最短路程是． 9．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键． 先画出展开图，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， 长为米；宽为4米． ∴最短路径为：（米）． ◆题型4 将军饮马与最短路径模型 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决. 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解. 【最值原理】两点之间线段最短. 10．（25-26八年级上·四川成都·期中）有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒，蚂蚁想吃B处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬________． 【答案】17 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中为圆柱体的底面周长的一半，再由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图：作沿上沿B点的对称点，作于C， ∵高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底的B点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点B处， ∴依题意得：， ， 连接，则即为最短距离， 故答案为：17． 11．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，点、是位于笔直河道两侧的两个工厂，工厂到河道的距离为，工厂到河道的距离为，是垂直于的地下管道，且交的延长线于点，经测量，，现准备在河边某处修一个污水处理厂，为使点到工厂、之间的距离之和最小，点需在线段上，求此时点到工厂和工厂的距离之和．（污水处理厂、工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计） 【答案】 【分析】连接交于点，依题意，，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 依题意，， 在中，，即为． 12．（25-26八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（   ）． A．14 B．12 C．10 D． 【答案】C 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，平面展开图如下所示， 则， 即从点A攀爬到点B的最短路径长为． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题、轴对称的性质，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，将圆柱的侧面展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出结果． 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面展开， 则有，，， 作点关于的对称点，作交的延长线于点， 则，， ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，且，，，则，两点间的最短路径是（    ） A． B．20 C． D．24 【答案】B 【分析】过F作，交的延长线于，分别求出两直角边的长，再根据勾股定理解答即可. 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接． 在中， ， ， ． 故，两点间的最短路径是20． 故选：B. 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，几何体的展开图认识，将长方体展开得出，，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，正确将长方体展开是解此题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开： ∵底面是正方形，，， ∴，， ∴， ∴从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，行走的最短距离相当于直角三角形的斜边的长， ∵， ∴最短距离为， 故选：D． 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在底面周长约为的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A处沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶点C，且B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约，则这串装饰彩灯至少长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈灯的长度，最后乘2即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意把圆柱体的侧面展开， 由条件可知米，米， （米， 则这串装饰彩灯至少长为米． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________． 【答案】13 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，画出展开图，然后利用勾股定理求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为13． 故答案为： 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______m的路程． 【答案】17 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 将半圆柱的凸起部分展平，则线段的长度为半圆周长，根据勾股定理即可解得． 【详解】解：如图，将半圆柱的凸起部分展平，得到线段、，连接． 半圆柱的底面直径为， 半圆周长为． ， ． ， 在中，． 蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：17． 9．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为和，且，若河岸的长度为，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离_____． 【答案】/1000米 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理解三角形，作A关于的对称点，连接与，，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是的长．然后结合图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作A关于的对称点，交于点M，连接，，，如图所示：    根据轴对称可知：，，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴、、三点共线时，最小，即最小， ∴此时最小， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵，河岸的长度为， ∴，， ∴（米）， ∴牧童从处把牛牵到河边饮水再回家的最短距离是． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个直六棱柱，底面边长均为，侧棱，有一只蚂蚁从底面的顶点A处绕六棱柱侧面爬行一圈到达上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短路线长为___________． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，运用转化思想是解题关键． 将直六棱柱的侧面展开为平面图形，使用勾股定理计算即可． 【详解】解：直六棱柱的侧面展开图如图所示， 由题意可知，，， 由勾股定理得，， 根据“两点之间，线段最短”可知，蚂蚁沿着爬行时，路径最短， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 12．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．    (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）蚂蚁可从柜角A处沿着木柜的前面和右侧面爬到柜角处；也可从柜角A处沿着木柜的前面和上面爬到柜角处； （2）分别计算和即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为 13．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 14．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04利用勾股定理求最短路径问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1圆柱中的最短路径模型（高频） 题型2长方体中的最短路径模型（难） 题型3阶梯中的最短路径模型 题型4将军饮马与最短路径模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1圆柱中的最短路径模型 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： B 展开 圆柱 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定 理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周 长的一半进行计算 注意：(1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算： (2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短： 1.(25-26八年级下广东广州期末)如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高AB为4，BC是上底的直径， 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到C,则爬行的最短距离是 1/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 24 2.(25-26七年级下陕西西安期末)如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径4B=元，高BC=10'p为 BC的中点.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 3. (25-26八年级下·河南安阳阶段检测)如图①，一个圆柱的底面周长为12cm,高为16cm,用一根绳 子从点A出发绕侧面一周到点B,则绳长至少为多少？ ① ② 解：圆柱①的侧面沿AB剪开，展开图如图②所示. 在△ABC中，∠C= °，ACx cm,BC= cm,则运用“ ”可求AB= cm 由“ ”可知，绳子的最短长度就是线段的长，即绳长至少为 cm ◆题型2长方体中的最短路径模型 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： D 丙 长方体 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理 进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论 注意：1)长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论： 2)两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同， 【最值原理】两点之间线段最短 4.(25-26八年级上江苏徐州阶段检测)如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只 蚂蚁在长方体的表面上从N点向M点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 5 M 5.(25-26八年级上·全国单元复习)如图，长方体的长AB=5,宽BC=4,高AE=6,三只蚂蚁沿长方 体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处.蚂蚁甲的行走路径为翻过棱EH后到达点G处（即 A→P→G),蚂蚁乙的行走路径为翻过棱EF后到达点G处（即A→M→G),蚂蚁丙的行走路径为 翻过棱BF后到达点G处（即A→N→C). H M (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 6.(2026八年级上山东青岛·专题练习)课本再现： B B 12 9 图1 图2 图3 图4 图5 方法探究：(I)对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A,B两点的位 置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图2，在圆柱的侧面展开图中，点 A,B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法应用：(2)如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm,高为l0cm.在其侧面从点A 开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止.彩条的最短长度为 (3)如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知 此六棱柱的高AB为7cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为 (4)如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm,底面半圆直径AC为4cm,点A处有一只蚂蚁沿 如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是 (π取3) ◆题型3阶梯中的最短路径模型 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 阶梯问题 注意：展开一定点一连线一勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短 7.(2026山东潍坊一模)如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5dm、3dm、ldm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从A点沿着台阶面爬到B点，其爬行的最短距离是 dm B 8.(25-26八年级下·吉林松原·期中)2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子 U型池场地金牌的运动员，如图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑 行的部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=18m,点E在CD上，CE=2m.从A点滑到E点， 滑行的最短路程是_m.（边缘部分的厚度忽略不计，π取3) 4/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26八年级上江西景德镇期末)如图，在一个长AB为7m,宽AD为4m的长方形草地上放着一根 长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为lm的正方形，一只蚂蚁从点A处爬 过木块到达点C处需要走的最短路程是多少？ ◆题型4将军饮马与最短路径模型 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： A D 蚂蚁 B蜂蜜 将军饮马问题 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决， 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定 理求解 【最值原理】两点之间线段最短 10.(25-26八年级上：四川成都期中)有一个圆柱形玻璃杯高9cm,底面周长为30cm,有一只蚂蚁在一 侧距下底3c的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底7cm的B点处有一饭粒，蚂蚁想吃B处的饭粒， 要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬 cm 11.(25-26八年级下·陕西渭南期末)如图，点A、B是位于笔直河道CD两侧的两个工厂，工厂A到河 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 道的距离AC为6km,工厂B到河道的距离BD为3km,BF是垂直于AC的地下管道，且BF交AC的延长 线于点F,经测量，BF=I2km,现准备在河边某处修一个污水处理厂E,为使点E到工厂A、B之间的 距离之和最小，点E需在线段AB上，求此时点E到工厂A和工厂B的距离之和AE+BE.(污水处理厂、 工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计) D 12.(25-26八年级下·广东深圳期中)“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法， 阅读以下素材并解决问题. 素 【提出问题】求代数式 材 V2+32+V12-x)'+2的最小 值. 【建立模型】如图1，V2+32可看 作直角边分别是x和3的直角三角 形的斜边，、 (12-x+2是直角边 素 分别是12-x和2的直角三角形的斜 材 边.构造两个直角三角形，使它们 6 B(E)12-x F 二 的一个顶点重合、各有一条直角边 图1 在同一直线上，这时 CF =x+12-x=12 AC=3DF 问题就转为“在CF上求点B, 使.AB+BD最小”问题. 【解答过程】如图2，连接AD,交 素 CF于点B,此时.AB+DB的值最 材 B 小，将AC延长至点H,使得 CH=DF=2,连接HD.: 图2 AH=AC+CH=3+2=5,HD=CF= 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.在Rt△ADH中， AD=V52+122=13, 4B+DBnin =AD=13,.. V2+32+V12-x)2+2的最小值 是13 B ● A 图3 ()任务一：【解决问题】代数式V2+2+V4-x)}+32的最小值为_： (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽8km,村庄A点到河岸的垂直距离为3km,村 庄B点到河岸的垂直距离为5km，且点A,B到河岸的垂足之间的水平距离为l5km.现计划在河上建一座 垂直于河岸的桥PQ,使得从A到P,过桥PQ,再从O到B的路程最短，则最短路程为_km, (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足V81-x2+V144-x2=15,求x的值. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下云南昆明期中)攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目， 如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面.小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点 B的最短路径长为()m. 7/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 6 m 6m 2m A.14 B.12 C.10 D.6√2 2.(25-26八年级上广东茂名·期末)如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm,底面周 长为l2cm,在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的容器外壁， 且距离容器项部lCm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是() A.10cm B.8cm C.12cm D.13cm 3.(25-26八年级下全国课后作业)如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3, BC=DE=8,EF=6,则A,F两点间的最短路径是() B E D A.16V5 B.20 C.205 D.24 4.(25-26八年级上山西运城期中)一座长方体建筑，其底面为正方形ABCD,现已知AB=30m, AA'=50m,欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点A处，则最短距离为 ()m. D' D A.80 B.100 C.120 D.130 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上陕西宝鸡期末)如图，在底面周长约为6m的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点 A处沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶点C,且B为AC的中点.已知装饰彩灯部分的柱高约l6m,则这 串装饰彩灯至少长为() A.20m B.16m C.24m D.32m 二、填空题 6.(25-26八年级上·贵州贵阳期中)如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中 AE=2,DE=4,BC=5.若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是 D 7.(25-26八年级上湖南岳阳阶段检测)如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点 C的距离是5Cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，,需要爬行的最短路程是 cm 5cm B 20cm A 10cm 15cm 8. (25-26八年级上江苏无锡期中)如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD,因使用时间而变形， 8 中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为元m,己知AB+BF=11m'BC=8m'一只蚂蚁从4 点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程. D H 9.(25-26八年级上江西南昌期末)如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A,B到河岸的距离分别为AC 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和BD,且AC=BD=300m,若河岸CD的长度为800m,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距 D河 B 10.(25-26八年级上·陕西渭南期末)如图是一个直六棱柱，底面边长均为4cm,侧棱AB=7cm,有一 只蚂蚁从底面的顶点A处绕六棱柱侧面爬行一圈到达上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短路线长为 cm 三、解答题 11.(25-26八年级上山西临汾·期末)临汾是帝尧之都，有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲 天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图，在底面周长约为6 米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从 点A到点C,B为AC的中点)，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多 少米？ B 12.(25-26八年级下·全国·单元测试)如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝 隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处. 10/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A B (备用图) (I)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径： (②)当AB=BC=4,CC=5时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方. 13.(25-26八年级上·江苏泰州阶段检测)如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人 员上下油罐使用.为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手.旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成 50 两段，该平台的长度约为1m·若油罐高约18m,油罐底面圆直径约为3m，且顶处的扶手位置处于底面 扶手正对面上. (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为9m,求旋梯的扶手长度的最小值. (②)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值.（本题(1）(2)中π≈3) 14.(25-26八年级上河南郑州期中)综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB,经过计算得到 AB长度即为最短路程，则AB=dm 【变式探究】 (2)如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发 沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展应用】 (3)如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程 是多少厘米？（杯壁厚度不计） 20 20 蚂蚁 蜂蜜 B B 单位：dm 图1 图2 图3 图4 15.(25-26八年级上江苏扬州期中)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 AB⊥BD,ED L BD,连接AC、EC,已知AB=5,DE=l,BD=8,设CD=x. (1)则AC的长为. (用含x的代数式表示)，CE的长为， (用含x的代数式表示)； (②)当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值： (3)根据(2中的规律和结论，则代数式V2+4+V12-x)+9的最小值为。 (④)仿照上面的方法，则代数式V(4-x)+9-V2+4(x是任意实数)的最大值为 12/12函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04利用勾股定理求最短路径问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1圆柱中的最短路径模型（高频） 题型2长方体中的最短路径模型（难） 题型3阶梯中的最短路径模型 题型4将军饮马与最短路径模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1圆柱中的最短路径模型 1.5 2.13 3. 【答案】解：圆柱①的侧面沿AB剪开，展开图如图②所示. 在△ABC中，∠C=90°，AC=12cm,BC=16cm,则运用“勾股定理”可求AB=V12+16=20(cm). 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段AB的长，即绳长至少为20Cm. ◆题型2长方体中的最短路径模型 4.74 5. 【答案】(1)解：将长方体表面展开， 如图1，连接AG, 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图1 在RtAAFG中，∠AFG=90° .S=AG2=GF2+(AE+EF)2=42+(6+5)2=42+112=137, 如图2，连接AG, H E M 图2 在Rt△ABG中，∠ABG=90° .S2=AG2=AB2+(BF+FG)2=52+(6+4)2=52+102=125, 如图3，连接AG, F G B 图3 在RtAACG中，∠ACG=90°， ∴.S=AG2=(AB+BC)2+CG2=(5+4)2+62=92+62=117. .甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是137,125,117； (2)解：137>125>117，即S>S2>S, .S甲>S2>S丙， 又：三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发， .行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 2111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6. 【答案】解：(I)展开后A、B、C构成直角三角形，两直角边分别为9cm和l2cm, 根据勾股定理，最短路径为：V92+122=V81+144=√225=15cm (2)底面是正方形，周长为3×4=12cm,垂直方向为直四棱柱的高10cm,绕一周高为10÷2=5(cm）, 根据勾股定理，V122+52=V144+25=√169=13cm, 绕两周彩条最短长度为：13×2=26cm: (3)底面是正六边形的直六棱柱，周长为4×6=24cm,绕一周垂直长度为7cm; 根据勾股定理，金属丝最短长度为：√24+7=√576+49=√625=25cm (4)底面是半圆长加一个半径，πr+r=3×2+2=8,高为6cm, 根据勾股定理，爬行最短长度为V82+6=√100=10cm. ◆题型3阶梯中的最短路径模型 7.13 8.20 9. 【答案】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， .长为7+2×1=9米；宽为4米 ∴最短路径为：V92+4=⑨7（米）. D M F E ◆题型4将军饮马与最短路径模型 10.17 11.15km 12. 3/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上， 4C=3.BC-4-x.BF-x.DF=2,AB=(4-x)+3,BD=+2,CF=4-*+x=4. +(4-x)+3=BD+AB2 AD, “当A,B,D三点共线时，V2+2+V4-x}+32=AD最小， 作DH⊥AC,则DH=CF=4,CH=DF=2, .AH=AC+CH=5, .AD=V42+52=V41, 代数式V2+2+V(4-x)+32的最小值为④： (2)解：由题意，AP+P+B为总路程， .PO=8km ∴要求AP+P№+QB的最小值，只需求得AP+QB的最小值. 如图1，将点A向上平移8km得到4，连接A犯，AB,则AQ=AP, .AP+QB=AQ+QB≥AB ∴当A,Q,B三点共线时，此时AQ+BO的最小值为AB 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D 图1 由题意，可得AD=15km,BD=8km, ∴.AQ+B0的最小值为4B=17km, ∴.最短路程为17+8=25km (3)如图2，构造△ABC,CD1AB,垂足为D,AC=9,BC=12. 4/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图2 设CD=x,则AD=V81-x2,BD=V144-x2, .AB=V81-x2+V144-x2=15. .92+122=152, .∠ACB=90° ×9x12=)×15x,解得x=72 2 2 ∴.x的值为7.2 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 二、填空题 6.13 7.25 8.17 9.1000m/1000米 10.25 三、解答题 11. 5111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线 的和， ,底面周长约为6米，柱身高约16米， 小16：6,4=方4016=8， 在Rt△BAE中 .BE=√AB2+AE2=V6+82=10, ∴.雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2=20米. 12. 【答案】(1)解：如图所示： D A 6 A B 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC,和AC' (2)解：AB=BC=4,CC=5 .AC2=AC2+CC2=82+52=89 AC2=AB2+BC2=42+92=97 89<97 ∴，蚂蚁爬过的最短路径长的平方为89 13 【答案】()解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 6/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 将平台BC平移至EF线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度I最小，如下图， D E(C) B 50 ·油罐底面圆直径约为3m, 1 50 AD=EF=πd≈x3x 21 =25m, 2 3 BE=1m, .BF=25-1=24m, ∴.旋梯的扶手长度I=AB+BE =AF2+BF2+BE =V182+242+1 =31m; (2)解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台BC平移至EF线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， 7111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B HE(C) 50 ”油罐底面圆直径约为3m， 1 1 D=EF三2πd2×3x30 2=25m, BE =Im, .BF=25-1=24m. ∴.旋梯的扶手长度l=AB+BE =AF2+BF2+BE =V182+242+1 =31m. 14. 【答案】解：(1)三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm,宽为(2+3)×3dm, 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长. 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm, 由勾股定理得：x2=20+[(2+3)×3]=252, 解得：x=25 答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm. 故答案为：25； (2)将圆柱体侧面展开，如图： A 由题意得：AC-×48=24em), 2 BC=7cm' .AB=V242+72=25(cm), ∴.该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C, 连接AC,AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， C G EF =4G-3cm CF-FB-(14-5)m-9cm E32cm=1Gcm CE EF+CF =12cm, 根据勾股定理有： AC=√AE2+CE2=V122+16=20(cm), ∴.蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为20cm. 15 【答案】(I)解：CD=x,则BC=BD-CD=8-x, AB⊥BD, ∴由勾股定理得：AC=VBC2+AB2=V8-x}+5=V8-x)}'+25, CE=VCD2+DE2=√x2+1P=√x2+1, 故答案为：V8-x)2+25;√x+1: (2)解：当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，即为AE,如图： B口 D H---- E 过点E作EH⊥AB交AB的延长线于点H, ,AB⊥BD, .BD∥EH, ·BH⊥HE,ED⊥BD ∴.BH=DE=1,同理BD=EH=8, 9111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AE=VAH2+HE2=V(5+1)}+82=10, AC+CE的最小值为l0: (3)解：如图所示，作线段BD=12,C为线段BD上一动点，过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD, 使AB=2,ED=3, E 设BC=x,则CD=BD-BC=12-x, ∴由勾股定理得：AC=√AB2+BC=V4+x,CE=VDE2+CD2=V12-x}+9, :AC+CE=V2+4+V12-x}+9, “当点A,C,E共线时，AC+CE取得最小值即V+4+V2-x+9,即为AE的长， 过点A作AF⊥ED交ED的延长线于点F, D E 则同上可得AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5, 、.AE=VAF2+EF2=V12+52=13, 即V2+4+V2-x)2+9的最小值为13. (4)解：如图，构造数轴，设点A表示的数为4，点O表示的数为0，点D表示的数为x,过点A作 AB⊥OA,且AB=3,过点O作OC⊥OA,且OC=2, 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B X O 4 D 0 A A0=4,AD=4-刘，OD=, 过点C作CE⊥AB于点E,则同上可得OC=AE=2,A0=CE=4, .'BE AB-AE=1, 由勾股定理得，BD=VAB2+AD=V(4-x)}+9,BC=VCE+BE=√4+P=7, CD=VC02+D02=Vx2+4, 三角形任意两边之差小于第三边， ∴BC2BD-CD. V(4-x)}+9-2+4≤V17 ∴当点B,C,D共线时，BC的长即为代数式V(4-x)'+9-V2+4的最大值， ,V4-x)}+9-V2+4的最大值为7. 11/11