3.3勾股定理的简单应用专项练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理在平面、立体及实际情境中的应用，通过多样化题型构建从直接计算到综合探究的知识逻辑链，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面应用|选择1-3、5、8-9，填空11-12，解答17-21|含折叠、距离、古代问题|直角三角形判定与边长计算| |立体应用|选择10，填空13-14，解答25|长方体/圆柱表面最短路径|平面展开转化为直角三角形| |实际情境|选择4、6-7，解答18、20、22-23|结合生活场景的综合计算|数学建模与实际问题解决| |动态问题|填空16，解答24|动点形成直角三角形|分类讨论与方程思想应用|

3.3勾股定理的简单应用专项练习 答案解析 一、选择题 1、答案：B 解析：小鸟飞行的最短距离，就是两棵树顶端的直线距离，水平距离 12m，竖直距离 5m，根据勾股定理，距离为。 2、答案：C 解析：东北方向与东南方向的夹角为 90°，3 小时后，甲船航行的距离为海里，乙船航行的距离为海里，因此两船的距离为海里。 3、答案：D 解析：在中，，，根据勾股定理，。 4、答案：A 解析：长方形沿 EF 对折后，点 C 与 A 重合，因此，设，则，在中，，解得。 的高为 AB 的长度 6，因此面积为。 5、答案：C 解析：设水深为尺，则红莲的总长度为尺，根据勾股定理： 解得，即水深为 4.5 尺。 6、答案：A 解析：在中，，因此。 在中，。 7、答案：A 解析：开始时，，，因此。 收绳 7 秒后，绳子长度变为，此时，因此船向岸边移动了。 8、答案：B 解析：设，则，因为，所以： 解得，即煤栈 E 应距 A 点 16 千米。 9、答案：A 解析：折叠后，，因为，所以，因此，即。 设，则，在中，，解得，即的长为。 10、答案：B 解析：长方体的最短路径，分三种展开方式： 展开长和宽： 展开长和高： 展开宽和高： 因此最短的路线长为。 二、填空题 11、答案：14 解析：楼梯的高 AB=8 米，斜边 AC=10 米，因此水平的长度为米。 地毯的长度等于竖直高度加水平长度，即米。 12、答案：12 解析：设水深为，则葭的长度为，根据勾股定理： 解得，即水深为 12 尺。 13、答案： 解析：铅笔在笔筒内的最短长度为笔筒的高 12cm，最长长度为笔筒的对角线长度。 因此铅笔露在外面的长度的范围为，即。 14、答案： 解析：将圆柱的侧面展开，蚂蚁爬行的最短路径为展开图中两点的线段长度。 展开后，水平距离为底面半周长，即厘米，竖直距离为圆柱的高 10 厘米， 因此最短路程为。 15、答案：73 解析：对于垂美四边形，有性质：，因此代入数据得： 16、答案：2 或 解析：已知，，动点 P 的速度为 2cm/s，分两种情况： ① 当时，P 与 C 重合，此时，； ② 当时，设，则，根据勾股定理： 代入得，解得。 三、解答题 17、解： 在中，，，因此。 在中，，，满足，因此是直角三角形，。 因此四边形的面积为： 18、解： (1) 在中，，，因此。 因此风筝离地面的垂直高度为。 (2) 若风筝上升 12m，则此时，此时。 原来的线长为 17m，余线为 7.5m，总长度为，因为，所以不能成功。 19、解： 设，则， 在中，根据勾股定理： 代入得， 展开得，解得，即的长为 17cm。 20解： 在中，，，因此。 小汽车的速度为，转换为。 因为，所以这辆小汽车超速了。 21、解： (1) 设木杆断裂处离地面米，则断裂部分的长度为米， 根据勾股定理：， 展开得，解得，即断裂处离地面 12 米。 (2) 的面积为平方米。 22、解： (1) 是直角三角形，理由如下： 已知，，， 因为，即， 因此是直角三角形。 (2) 甲方案的水渠长度为。 乙方案中，是 AB 边上的高，根据面积公式，， 因此乙方案的水渠长度为。 因为，所以甲方案所修的水渠较短。 23、解： 设，则，因为，所以： 展开得，解得，即市场 E 应距 A 点 20 千米。 此时，，，因此，且，，因此， 所以是等腰直角三角形。 24、解： (1) 在中，。 斜边 AB 边上的高，根据面积公式，。 (2) 设，则，在中： 解得，因此。 (3) 当 P 在的角平分线上时，过 P 作于 H，则。 设，则， 即，解得。 因此 P 的运动路程为，。 25、解： (1) 长方体中能放入木棒的最大长度，就是长方体的体对角线长度： (2) 蚂蚁爬行的最短路程，分三种展开方式： 展开前面和上面： 展开前面和右面： 展开左面和上面： 因此最短的路程为。 (3) 将圆柱的侧面展开，作 A 关于上沿的对称点，则最短路径为的长度。 展开后，水平距离为底面半周长 6cm，竖直距离为， 因此，即蚂蚁爬行的最短路程为 10cm。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3勾股定理的简单应用专项练习 一、选择题 1、如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为 12m, 竖直距离为 5m, 树的高度都是 2m. 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞 ( ) A.12m B.13m C.14m D.15m 2、如图所示，甲货船以 16 海里 / 小时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船乙以 12 海里 / 小时的速度从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 3 小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（ ） A．35 海里 B．50 海里 C．60 海里 D．40 海里 3、汕尾城区 “网红打卡景点”—— 小岛渔村 (屿仔岛)，为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛 B 与湖滨大道码头 D 之间修建一座桥 (如图)，在与 BD 方向成 90° 角的 DC 方向上的点 C 处测得 BC = 100m，CD = 80m，则 BD 的长为 ( ) A. 30m B. 40m C. 50m D. 60m 4、如图，长方形纸片 ABCD, AB=6cm, BC=8cm, 现将其沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合，则△AEF 的面积为 () A. B.18 C. D. 5、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，则水深（ ）尺． A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 6、某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离AE为　　 A． B． C． D． 7、如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17m，此人以的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（    ）（假设绳子是直的）． A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 8、如图铁路上 A，B 两点相距 40 千米，C，D 为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为 A 和 B，DA＝24 千米，CB＝16 千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈 E，使得 C，D 两村到煤栈的距离相等，那么煤栈 E 应距 A 点（ ） A．20 千米 B．16 千米 C．12 千米 D．无法确定 9、如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB=8cm,AD=6cm. 把长方形纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 F, 则 AF 的长为 () A. cm B. cm C.7cm D. cm 10、一只蚂蚁从长是 4，宽是 3，高是 5 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是（） A. B. C. D. 二、填空题 11、如图是一段楼梯，高 AB 是 8 米，斜边 AC 是 10 米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯 米. 12、“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问: 水深几何？” 这是我国数学史上的 “葭生池中” 问题。即 AC=5 , DC=1 , BD=BA , 则 BC= . 13、如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是 9cm , 内壁高为 12cm . 将一根长 18cm 的铅笔放置于笔筒中 (铅笔的直径忽略不计), 铅笔露在笔筒外的长度为 a , 则 a 的取值范围是 . 14、如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的 A 点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面与 A 点相对的 B 点处的食物，当圆柱的高 10 厘米，底面半径 4 厘米时，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是 厘米. 15、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O，若，，则 ． 16、如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当          时，为直角三角形． 三、解答题 17、如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，．求：四边形的面积． 18、在某市 “非遗市集” 活动现场，诸多非遗项目集中亮相。小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离 BD 为 15m ; 根据手中余线长度，计算出 AC 的长度为 17m ; 牵线放风筝的手到地面的距离 AB 为 1.5m . 已知点 A , B , C , D 在同一平面内. (1) 求风筝离地面的垂直高度 CD. (2) 在余线仅剩 7.5m 的情况下，若想要风筝沿射线 DC 方向再上升 12m , 请问能否成功？请说明理由. 19、小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点 o 处用根细绳悬挂一个小球 A , 小球 A 可以自由摆动，如图，OA 表示小球静止时的位置。当小丽用发声物体靠近小球时，小球从 OA 摆到 OB 位置，此时过点 B 作 BC ⊥ OA 于点 C ,(图中的 A ､ B ､ o ､ C 在同一平面上), 测得 AC=2 cm , BC=8 cm . 求 OB 的长. 20、“中华人民共和国道路交通管理条例” 规定：小汽车在城市街路上速度不得超过 70km /h . 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 60m 的 C 处，过了 4s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离 AB 为 100m, 这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换: lm /s=3.6 ~km /h) 21、如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部 5 米处，已知木杆原长为 25 米． （1）求木杆断裂处离地面多少米？ （2）求△ABC 的面积． 22、如图所示，A、B 两块试验田相距 200m，C 为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地 C 直接修筑两条水渠分别到 A、B； 乙方案；过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H，先从水源地 C 修筑一条水渠到 AB 所在直线上的 H 处，再从 H 分别向 A、B 进行修筑． （1）请判断△ABC 的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 23、“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由． 24、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求AC的长及斜边AB边上的高； （2）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （3）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值． 25、(1) 如图 1, 长方体的长为 4cm, 宽为 3cm, 高为 12cm. 求该长方体中能放入木棒的最大长度； (2) 如图 2, 长方体的长为 4cm, 宽为 3cm, 高为 12cm. 现有一只蚂蚁从点 A 处沿长方体的表面爬到点 G 处，求它爬行的最短路程； (3) 如图 3, 若将题中的长方体换成透明圆柱形容器 (容器厚度忽略不计) 的高为 12cm, 底面周长为 12cm, 在容器内壁离底部 5cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 1cm 与饭粒相对的点 A 处。求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $