考点培优练02 导数中的同构问题及其应用6大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 高中数学一轮复习导数同构专项训练，以6大考点为框架，系统提炼同构方法，构建从基础模型到综合应用的知识逻辑链，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指对同构积商型|1典例+6训练|3种同构方式（同左/右构造、取对构造）|从基本结构到函数构造，奠定同构基础| |比较大小|1典例+5训练|同构法+六大超越函数图像|结合函数单调性，提升结构识别能力| |恒成立问题|1典例+5训练|精准识别模型、凑配同底同构、调整系数|强化复杂式子转化，培养逻辑推理| |零点问题|1典例+4训练|构造辅助函数还原解析式|导数与函数性质结合，深化数学建模| |双变量同构|1典例+5训练|双变量同等地位结构转化|多变量问题简化，提升数学表达| |同构与放缩|1典例+5训练|定切点-求切线-套放缩三步法|综合应用切线放缩，培养创新意识|

考点培优练02 导数中的同构问题及其应用6大考点 考点预览 考点01 指对同构中积型、商型问题 1 考点02 利用函数同构解决比较大小问题 6 考点03 同构法解决函数不等式恒成立问题 10 考点04 和零点有关的同构问题 14 考点05 导数中双变量同构问题 21 考点06 导数中的同构与放缩 26 考点通关 考点01 指对同构中积型、商型问题 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. 【典例1】（24-25高三·全国·三轮复习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由其单调性即可判断. 【详解】由题意构造函数， 则＝， 因为导函数满足， 所以，所以在R上单调递减， 所以，，即，， 所以. 故选：D. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解；法二：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】解法1：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则，当时，； 当时，. 所以在单调递减，在单调递增， 故，因此， 即的取值范围是， 故选：B. 解法2：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则， 当时，；当时，. 故在单调递减，在单调递增， ，因此， 即的取值范围是， 故选：B. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，分析单调性得到的大小关系，从而得到的大小关系. 【详解】可知， 设，则， 因为在上都是减函数，所以也是减函数， 当时，， 所以在上单调递减，可得 ， ，所以． 3．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的单调性比较，构造函数，由导数得到函数单调性，然后比较，从而求得结果. 【详解】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 4．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构造函数，，利用导数分析两个函数的单调性，即可得及关系，从而得到答案. 【详解】令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以 所以，即. 令，则， 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以恒成立，即恒成立，所以是减函数， 所以，即，即． 综上所述，. 5．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论. 【详解】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 6．（2026·浙江金华·三模）已知实数，，则a，b，c的大小关系为（   ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数分析单调性，可判断，再利用指对运算得到；构造函数，利用导数分析单调性，可判断，从而判断，由此可得. 【详解】令，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在 处取得极大值，极大值为. 所以，即， 所以，即，即. 令，则恒成立， 所以是增函数，所以， 即，即，即，即. 综上所述，. 考点02 利用函数同构解决比较大小问题 1、同构法 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题. 2.六大超越函数及其图象 【典例2】（25-26高三上·广西·期末）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 【跟踪训练】1．（2026·河北沧州·三模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求导可得，可得，令，利用导数可得，进而判断. 【详解】令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 令，所以，所以， 因为，所以，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 令，则可得， 所以，所以， 所以. 2．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，，，构造函数，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，即. 3．（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用同构比较大小. 【详解】由于，所以， 设，则，所以在上单调递增， 那么，所以，， ，设，， 所以，在上单调递减，， 即, 由于，那么, ， 综上，. 【点睛】本题考查利用导数比较大小，解题关键在于利用同构式发现，进而得出，是难题. 4．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）设，，（为弧度制），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式，以及函数，、函数，的单调性比较大小. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数， 所以，故， 如图，在单位圆O中，，不妨设， 作于C点，则弧的长度， 由图易得，，即，所以， 设，， 所以， 再令，， ， 当时，，，， 所以， 则，在单调递减， ，所以，即， 所以在上单调递减，且， 所以当时，， 所以当，，即， 综上所述，. 5．（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 考点03 同构法解决函数不等式恒成立问题 同构法破解指数、对数混合型不等式（或等式）的核心技巧，核心思路是将复杂式子转化为“同一函数形式”，依托函数单调性求解，关键在于精准捕捉结构特征、灵活凑配形式，常用技巧如下。 核心技巧一：精准识别常见同构模型，优先记忆等高频结构，看到相关形式可直接联想对应母函数（如），快速凑配。 技巧二：凑配“同底同构”，当式子含与时，可通过指数、对数互化（如），将式子转化为同一函数的不同自变量形式，规避复杂运算。 技巧三：灵活变形调整系数，遇到系数不一致时，可通过乘除常数、配凑系数，使左右两边结构统一，同时注意定义域适配。易错点：避免盲目凑配，先判断式子是否具备同构条件，凑配后需验证母函数的单调性，确保转化等价，可结合导数综合题典型题型强化应用，提升凑配熟练度。 【典例3】（24-25高三上·湖南邵阳·模拟预测）已知函数，若函数对任意恒成立，则a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】结合，化不等式为，构造函数，，把问题转化为在上恒成立，求，确定函数的单调性，利用函数的单调性得等价于在上恒成立，构造函数，，利用函数的单调性求出区间上函数的最大值即可. 【详解】由，，有，， 整理得，，即，， 故仅需时，即可； 令，，则等价于， 因为，令，解得， 所以当时，，则在上单调递增， 所以当时，等价于，即恒成立， 令，，则，令，解得， 所以时，，即在上单调递增， 所以，则即可，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数证明和判断不等式问题： 通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数求最值问题，从而判定不等关系； 适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩，或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 构造“形似”函数，变形在构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【跟踪训练】1．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题设不等式转化为在上恒成立，构造函数，利用其单调性可得，从而只需使，利用导数求出最值即得参数a的最小值. 【详解】因对任意恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则有 ，由，可知函数在上单调递增， 故得，即在上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值为， 故得，即实数a的最小值为. 2．（24-25高三·全国·三轮复习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由其单调性即可判断. 【详解】由题意构造函数， 则＝， 因为导函数满足， 所以，所以在R上单调递减， 所以，，即，， 所以. 故选：D. 3．（24-25高三·全国·三轮复习）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数求得单调递增，得到，即可求解. 【详解】根据题意知，即，构造函数， 可得，因为，所以， 所以在上单调递增， 则，两边同乘，即． 故选:B 4．（2026高三·全国·专题练习）(多选)定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，再根据单调性比较大小，逐项判断即可． 【详解】∵，∴， 而，即， 等价于， 构造函数，则， 即在上单调递减， ，，即， 化简得，故A选项正确，B选项错误； ，，即， 化简得，故C选项正确，D选项错误． 故选：AC． 5．（2025高三·全国·竞赛）若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】将原不等式通过换元，推得，设函数，求导判断其单调性得到，，再设函数，求导求推得其最大值，即得参数范围. 构造函数，根据其单调性求解即可. 【详解】设，则由可得（*）， 因，则，从而，， 由（*）可得， 设函数，则有， 因，当时，，即函数在上单调递增， 故可得，即，， 设函数，，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 即的最大值为，则. 所以的取值范围是． 考点04 和零点有关的同构问题 针对含导数关系式的函数，先利用导数四则运算法则构造原函数，还原出的完整解析式，再通过导数分析函数的单调性、极值、极限，最终解决零点个数判断、参数范围等问题 识别导数结构，匹配导数四则运算法则，构造辅助函数，使等于题目给出的导数式； 常见变形（） （1）（2） （3）（4） 【典例4】（25-26高三上·山东·开学考试）(多选)已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（    ） A．实数的取值范围是 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】通过指对同构化简，再分离参数，数形结合可得AB选项； 利用零点关系化简，再构造函数，根据单调性以及范围可判断C选项； 可利用齐次化、比值代换解决D选项极值点偏移问题. 【详解】定义域为，有两个零点，可化为有两个解， 又由于，所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得， 设，则，在单调递增， 原方程可化为， 由于，，都在的单调增区间里， 所以，即， 设，，， 则时，，单调递增， 时，，单调递减，且恒大于0， 极大值， 可画出如图所示，则要使有两个解，即与图像有两个交点，    由图像可得a的范围是，故A选项正确； 同样由图象可得，所以，故B选项正确； ，， 结合，可得， 设，由于，则单调递增, 所以，故C错误； 由于， 所以， 设，则,， 设，， ， 在单调递增，， 所以， 又由于，， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点的定义得到，，构造函数，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到，从而得到，继而求出. 【详解】是函数，，， 是函数的零点，， ，，， ， 设，则，， ，，， 在上是单调递增函数， 由，，. 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图像关于直线对称 B．,，当时，均有 C．的图像关于点对称 D．至少有2个零点 【答案】C 【分析】对于A选项，要验证函数图像是否关于对称，可验证和是否相等；对于C选项，可验证函数的图像关于点对称，对于BD选项，可先判断的符号后可判断BD的正误，. 【详解】选项A：函数的定义域为，它不关于对称， 所以的图象不关于直线对称，A选项错误. 选项C：， ， 所以， 所以的图象关于点对称，C选项正确. 选项BD：设， 则，故在为减函数， 而，故时，；时，； 故时，即； 故时，即； 而，故仅有一个零点，故D正确， 而，，而， 故B错误， 故选：C. 3．（2026·广东茂名·二模）已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 【答案】D 【分析】结合题意构造函数，可得，进而根据函数性质可以判断选项A,B,C；整理原不等式可得，进而转化为证明，构造函数，求导分析函数单调性和最值即可. 【详解】由题意，可得，令， 则，故为常函数，设，m为常数，则， 即，则，， 那么没有零点且，故A，B，C错误； 由对任意，均有，即对任意，均有， 那么． 不等式两边同乘正数，等价于证明， 令，，令得： 时，，递减；时，，递增； 故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确. 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数的定义域为，且满足，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造函数并求导进而求出，分析的性质，得出的解的个数情况，通过换元法简化零点问题，构造函数并求导，分析函数单调性从而确定的取值范围． 【详解】已知，构造函数， 则，故， 设为常数，则，代入得， ，即，解得， ， 求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即最大值； 当时，；时，； 令， 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有1个解；当时，无解； 则等价于， 设，，求导得， 当，，单调递增，； 当，，单调递减，； 当时，，单调递减，； 当时，，单调递增，； 当时，； 当时，； 当时，； 要使有3个零点，需要对应的值，使得共有3个的解； 当时，对应1个的解； 当时，对应2个的解；总共个解， 时，，时，， ， 在单调递增， ，故， 综上可得． 考点05 导数中双变量同构问题 对含有同等地位的两个变量的不等式，同构后使不等式两边结构相同。 常见模型: 【典例5】（25-26高三下·黑龙江绥化·期中）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题设不等式的特点，构造函数，可得其在上单调递减，从而将问题转化成在上恒成立，参变分离后，只需求在的最大值即可. 【详解】由可得， 设， 依题意，当时，恒成立， 故函数在上单调递减， 因，求导得， 则在上恒成立，即， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 故当时，， 故实数的取值范围为. 【跟踪训练】1．（2025·四川内江·模拟预测）定义在上的函数，对都有，若（），则下列式子一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得，得函数在上单调递增，由，得，令，则，即，两边取对数得，令，利用导数求出单调性求解． 【详解】由， 得， 得， 得， 得函数在上单调递增， 由，得， 令，则， 即，当时，显然成立， 当时，两边取对数得，， 得， 得， 令，得， 由，得，由，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得取大值为， 故， 故选：C 【点睛】关键点点睛：在判断出函数在上单调递增，由，得，令，则，即，再两边求对数求解． 2．（24-25高三下·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 3．（25-26高三下·山东枣庄·期中）已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设,由题意得，令，则，所以函数是增函数，原问题转化为恒成立，然后利用参变分离法，运用配方法求出函数在上的最大值即可． 【详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,不妨设 所以，即， 令，则，所以函数在上单调递增， 则恒成立，即恒成立， 又函数，当时，等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是． 4．（23-24高二下·湖南永州·开学考试）若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 【答案】A 【分析】将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值. 【详解】由可得， 由,且,所以，即， 令，则在上单调递增， 所以，令，则, 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以，故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题. 5．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】命题等价于在上单调递增，再利用单调性求出参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立，令函数， 则函数在上单调递增， 因此，恒成立， 令函数，求导得 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 考点06 导数中的同构与放缩 解题思路（三步法，核心：定切点→求切线→套放缩） 一、定切点，找特殊点 优先选等号成立点、定义域特殊点、极值点（如、）作为切点，此类点能让放缩后等号成立，保证放缩精度（无额外条件时，、为高频切点）。 二、求切线，写放缩式 对原函数求导得，代入切点，求切线斜率和切点函数值，代入切线公式得切线方程，进而写出切线放缩核心式（≤切线一次函数）。 经典模型：①（在处的切线放缩）；②（在处的切线放缩）；（）、（在处的切线放缩）。 【典例6】（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【答案】(1) (2)方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：若证明当时，，即证当时，， 设，，则， 当时，切线不等式，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以在上恒成立， 当时，设，则， 可知在上单调递增， 则， 因为，则，可得， 且，则， 可知在上单调递增，则，即在恒成立， 可知在上单调递减，则，即在成立； 综上所述：在上恒成立，所以在上恒成立. 方法三：因为，即，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，即， 可知在内单调递减，且， 当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可； （2）方法一：令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论； 解法二：切线不等式放缩. 构建，，利用切线不等式可证在上恒成立，再利用导数证明在成立即可. 解法三：比值构造法 构建，，求导，分和两种情况讨论，利用导数分析的单调性和最值，即可证明不等式. （3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立. 【详解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）略 （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 【跟踪训练】1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 (3)． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）通过构造函数，利用导数求出在时的最小值即可； （3）由函数在上是增函数，可得，构造，利用导数求出的单调性即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）略. （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 2．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减； (2)； (3)证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）略. 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论的取值范围，求函数的单调区间； （2）首先时，函数为，根据（1）的结论，得时，，再赋值且，代入不等式，利用累加法，即可证明； （3）由所证明的不等式，构造函数，，再讨论得到取值，通过放缩法得到 ，构造函数，利用导数，即可证明. 【详解】（1）的定义域为，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减； （2）当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故，即在上恒成立， 所以当时，， 令且，则， 即，，…，， 所以累加得， 故当且时，. （3）由题对任意，都有恒成立， 即在上恒成立， 令，，即在上恒成立， ①当时，由于， 则有， 令，所以， 令，得， 所以当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以当时，， 令，则，令，所以， 令，得， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，符合题意， ②当时，由于在上单调递增且，， 故存在唯一，使得，即，即，即， 此时这与在上恒成立不符， 综上，实数得到取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是赋值且，转化为数列问题，证明不等式，第三问的关键是讨论不同的的取值，从而讨论不同的函数是否满足条件. 4．（24-25高三上·福建宁德·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性. （3）将问题转化为，令，结合导数求出的最小值即可. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 所以当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为. （3）当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令（），求导得，函数在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； ②构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ③利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ④根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 5．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）已知函数的图象在点处的切线方程为 . (1)用表示出； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明： 【答案】(1)， (2) (3)先证左边：由（2）知：当时，在上恒成立， 那么当时，，， 则， 则在上恒成立， 又，中的等号在处取得， 则在上恒成立， 令 依次取，，，…，可得： ，，，…，， ， ， ， .左边得证. 再证右边： 方法一：令，因为， 所以 在上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以右边得证. 方法二：先证明不等式， 证明如下：设， ， 当时，，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 设， 而， 当时， ，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 综上可得，. 设，则， 即，又，则，下同方法一. 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而得到关于的等式，利用得到 关于的等式. （2）构造函数，分别按照和讨论求解，利用导数求出单调性，从而得到的取值范围. （3）先证左边：由（2）得到当时，在上恒成立，那么当时，在上恒成立；将 依次取，，，…，代入，得到不等式组，将这些不等式组相加计算得到，左边得证.再证右边：方法一：构造函数，利用导数法求出 的单调性，利用单调性得到，从而得到 ，即可得到，通过求和得到，所以右边得证.方法二：利用飘带不等式，，对左边赋值得到，下同方法一进行证明即可. 【详解】（1），， 的图象在点处的切线方程为 ， ，； 又，. （2）由（1）得， 令， 则在上恒成立； ， 令，解得：，； 当，即时，在上恒成立， 在上单调递增，，满足题意； 当，即时， 若，则 ，则在上单调递减， 此时，不合题意；综上所述：的取值范围为. （3）略. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练02 导数中的同构问题及其应用6大考点 考点预览 考点01 指对同构中积型、商型问题 1 考点02 利用函数同构解决比较大小问题 2 考点03 同构法解决函数不等式恒成立问题 3 考点04 和零点有关的同构问题 4 考点05 导数中双变量同构问题 6 考点06 导数中的同构与放缩 7 考点通关 考点01 指对同构中积型、商型问题 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. 【典例1】（24-25高三·全国·三轮复习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　) A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江金华·三模）已知实数，，则a，b，c的大小关系为（   ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 考点02 利用函数同构解决比较大小问题 1、同构法 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题. 2.六大超越函数及其图象 【典例2】（25-26高三上·广西·期末）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·河北沧州·三模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）设，，（为弧度制），则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 考点03 同构法解决函数不等式恒成立问题 同构法破解指数、对数混合型不等式（或等式）的核心技巧，核心思路是将复杂式子转化为“同一函数形式”，依托函数单调性求解，关键在于精准捕捉结构特征、灵活凑配形式，常用技巧如下。 核心技巧一：精准识别常见同构模型，优先记忆等高频结构，看到相关形式可直接联想对应母函数（如），快速凑配。 技巧二：凑配“同底同构”，当式子含与时，可通过指数、对数互化（如），将式子转化为同一函数的不同自变量形式，规避复杂运算。 技巧三：灵活变形调整系数，遇到系数不一致时，可通过乘除常数、配凑系数，使左右两边结构统一，同时注意定义域适配。易错点：避免盲目凑配，先判断式子是否具备同构条件，凑配后需验证母函数的单调性，确保转化等价，可结合导数综合题典型题型强化应用，提升凑配熟练度。 【典例3】（24-25高三上·湖南邵阳·模拟预测）已知函数，若函数对任意恒成立，则a的取值范围是_________. 【跟踪训练】1．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·全国·三轮复习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　) A． B． C． D． 3．（24-25高三·全国·三轮复习）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）(多选)定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·竞赛）若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_____. 考点04 和零点有关的同构问题 针对含导数关系式的函数，先利用导数四则运算法则构造原函数，还原出的完整解析式，再通过导数分析函数的单调性、极值、极限，最终解决零点个数判断、参数范围等问题 识别导数结构，匹配导数四则运算法则，构造辅助函数，使等于题目给出的导数式； 常见变形（） （1）（2） （3）（4） 【典例4】（25-26高三上·山东·开学考试）(多选)已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（    ） A．实数的取值范围是 B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图像关于直线对称 B．,，当时，均有 C．的图像关于点对称 D．至少有2个零点 3．（2026·广东茂名·二模）已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数的定义域为，且满足，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点05 导数中双变量同构问题 对含有同等地位的两个变量的不等式，同构后使不等式两边结构相同。 常见模型: 【典例5】（25-26高三下·黑龙江绥化·期中）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2025·四川内江·模拟预测）定义在上的函数，对都有，若（），则下列式子一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·山东枣庄·期中）已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖南永州·开学考试）若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 5．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点06 导数中的同构与放缩 解题思路（三步法，核心：定切点→求切线→套放缩） 一、定切点，找特殊点 优先选等号成立点、定义域特殊点、极值点（如、）作为切点，此类点能让放缩后等号成立，保证放缩精度（无额外条件时，、为高频切点）。 二、求切线，写放缩式 对原函数求导得，代入切点，求切线斜率和切点函数值，代入切线公式得切线方程，进而写出切线放缩核心式（≤切线一次函数）。 经典模型：①（在处的切线放缩）；②（在处的切线放缩）；（）、（在处的切线放缩）。 【典例6】（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【跟踪训练】1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 2．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 4．（24-25高三上·福建宁德·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围. 5．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）已知函数的图象在点处的切线方程为 . (1)用表示出； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明： 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $