考点培优练01 等差数列、等比数列 9大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练01 等差数列、等比数列 9大考点 考点预览 目录 考点01 等差数列的判定与证明 1 考点02 等差数列的基本量 3 考点03 等差数列性质的应用 5 考点04 等差数列前n项和性质的应用 6 考点05 等差数列前n项和的最值问题 8 考点06 等比数列的判定与证明 10 考点07 等比数列的基本量 11 考点08 等比数列性质的应用 13 考点09 等比数列前项和的性质 16 考点通关 考点01 等差数列的判定与证明 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2） 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【典例1】（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）若向量，则数列是（   ） A．等差数列 B．既是等差数列又是等比数列 C．等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 2．（2026·山东聊城·三模）记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 4．（26-27高三上·湖北·开学考试）(多选)记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（    ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 5．（2026·山东潍坊·三模）(多选)已知数列满足，，则数列中的项可能为（     ） A．1027 B．2026 C．80 D．93 6．（2026·四川自贡·模拟预测）(多选)已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等差数列 D． 7．（25-26高三下·湖北黄冈·期中）(多选)已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．若，则 C．数列为单调递减数列 D．数列的前项和大于 8．（2025·重庆·一模）(多选)已知数列 满足 ，则（    ） A．数列 是等差数列 B． C．若 ，则 D． 9．（25-26高三下·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 考点02 等差数列的基本量 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(常数)， 若成等差数列，则叫做的等差中项，即 (1)通项公式： (从第项起等差数列，必须用这个公式) 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【典例2】（2026·湖北·三模）设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【跟踪训练】1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 3．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 4．（2025·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 5．（2025·山东聊城·三模）记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（    ） A．0 B．6 C．12 D．18 6．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广东广州·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，75成等比数列，且，则数列的公差（   ） A． B．2 C．5 D．2或5 8．（2026·福建泉州·三模）记公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 考点03 等差数列性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、若，则 4、若为等差数列，则成等差数列. 即，则 5、等差数列的连续项的和构成的数列：仍为等差数列(阶段和性质) 【典例3】8．（2026·福建泉州·三模）记公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·山东·模拟预测）从1，2，3，...，20中任取3个数，则这三个数恰好可以构成等差数列的情况有（   ） A．45种 B．60种 C．75种 D．90种 2．（2026·山东滨州·二模）若，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知等比数列的各项为正数，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高三下·河北衡水·期中）若5个数依次成等差数列，前三项的和为，后三项的和为9，则这5个数的和为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．（25-26高三下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北沧州·三模）已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 9．（2026·河北保定·二模）已知各项不全为零的数列满足，则（    ） A． B． C． D． 考点04 等差数列前n项和性质的应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【典例4】8．（2025·湖南郴州·一模）设数列满足且是前项和，且，则（    ） A．2024 B．2023 C．1012 D．1011 【跟踪训练】1．（25-26高三下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（25-26高三下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．36 B．46 C．64 D．160 4．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（　　） A． B． C． D． 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 6．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A．数列的通项公式为 B． C．前项和 D．数列是公差为的等差数列 7．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知等差数列的前项和为，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为1 B．数列为递减数列 C．数列为递增数列 D．的最小值为1 8．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 考点05 等差数列前n项和的最值问题 前项和公式：①(均值型)；②(基本量型)， 显然数列为等差数列 1. 二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2.邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值 【典例5】（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求满足的最大整数． 【跟踪训练】1．（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 2．（2026·四川·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若数列为等差数列，，，则时，最大 C．若数列满足，，则 D．若，则数列的前项和小于 3．（2026·海南儋州·一模）(多选)设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．数列的公差小于0 B．数列的公差与数列的公差相等 C．中最大 D．使得的正整数的最小值为23 4．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知为等差数列的前n项和，，则下列选项错误的是（   ） A．数列是单调递增数列 B．当时，最大 C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．中最大 D． 6．（2025·贵州六盘水·模拟预测）(多选)已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（    ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最大 7．（2026·河南洛阳·模拟预测）(多选)已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若数列为等差数列，，，则时，最大 C．若数列满足，，则 D．若，则数列的前项和小于 8．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）(多选)已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 9．（2026高三·全国·专题练习）设是首项为4，公差的等差数列的前项和，若和的等比中项为．求： (1)的通项公式； (2)使的最大值． 考点06 等比数列的判定与证明 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （3） 只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【典例6】（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【跟踪训练】1．（2026·山东济南·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知数列满足，，且对任意正整数，都有，其中为常数，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三下·广东江门·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 4．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 5．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知数列的前项和为，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知数列的前n项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西·模拟预测）记数列的前项和为，若，，则（   ） A．64 B．81 C．256 D．1024 8．（25-26高三上·北京石景山·期末）若数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·重庆·期中）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （    ） A．162 B．54 C．32 D．16 考点07 等比数列的基本量 1、 在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； (常数)，(1)通项公式：(从第项起等比数列，必须用这个公式)(2)前项和公式：①当时，； ②当时， 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可 【典例7】（2026·福建福州·模拟预测）(多选)已知为等比数列的前项和，为其前项积，公比，且，，则下列结论正确的是（   ） A．数列为递增数列 B．使的正整数的最小值为5 C．的最大值为 D． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．3 B．18 C．52 D．54 2．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东潍坊·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 5．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正项等比数列的前项积为， 且，， 则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2026·全国二卷·高考真题）(多选)设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南周口·模拟预测）(多选)已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（    ） A． B．数列有最小项 C． D．当或时，取得最大值 9．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）(多选)已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B． C． D． 考点08 等比数列性质的应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2.若，则 3.若为等比数列，则成等比数列. 即，则 【典例8】（2025·四川成都·模拟预测）(多选)关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（    ） A．若数列的前项和为且，则是等差数列 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 【跟踪训练】1．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）(多选)已知等比数列的各项均为正数，公比，前项积为，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．（2026·重庆渝中·三模）(多选)已知等差数列的首项为 3，公差为 2 .数列 满足 ，下列说法中正确的有（    ） A． B．数列 是公差为 2 的等差数列 C．是等比数列 D． 对任意正整数 成立 3．（2026·安徽滁州·二模）(多选)已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 4．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）(多选)已知等比数列的首项为，前项和为，公比，则（    ） A．若，则，或 B．若，则 C．存在非零常数，使得 D．必为等比数列 5．（2024·安徽合肥·二模）(多选)已知等比数列的公比为，前项和为，则（    ） A． B．对任意成等比数列 C．对任意，都存在，使得成等差数列 D．若，则数列递增的充要条件是 6．（2026·浙江·二模）(多选)已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北·期中）(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为则下列结论中一定正确的是（    ） A．若则 B． C．若则的最大值为1024 D．构成等比数列 8．（25-26高三上·湖南·开学考试）(多选)在等比数列中，，，则（   ） A． B． C．数列是以4为公比的等比数列 D．数列的前项和为 9．（第33练专题五综合训练）(多选)已知数列是等差数列，是等比数列，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高三上·江西吉安·阶段检测）(多选)已知数列是等比数列，前n项积为，则（    ） A． B． C．若，则 D．是等比数列 考点09 等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 【典例9】（25-26高三上·河南郑州·期末）(多选)设数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．的前项和为 D． 【跟踪训练】1．（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·三模）等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 3．（2026·河南周口·模拟预测）(多选)已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（    ） A． B．数列有最小项 C． D．当或时，取得最大值 4．（2026·安徽六安·模拟预测）(多选)已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 5．（2026·海南儋州·二模）(多选)已知数列的前项的和为，则（     ） A．数列前5项的和为121 B． C． D． 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）(多选)已知正项等比数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若是递增数列，则 D．若是递减数列，则 7．（2026·江苏·模拟预测）(多选)正项等比数列满足，公比为，其前项和为，记数列，则（    ） A．时， B．时，为等差数列 C．不存在，使得为常数列 D．时，单调递减 8．（2026·辽宁朝阳·二模）(多选)已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 9．（2026·山西朔州·二模）(多选)已知数列满足，，，是的前项和，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．的前项和小于1 10．（2026·四川·二模）(多选)已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．公比 B．数列是单调递减数列 C． D． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 等差数列、等比数列 9大考点 考点预览 目录 考点01 等差数列的判定与证明 1 考点02 等差数列的基本量 9 考点03 等差数列性质的应用 14 考点04 等差数列前n项和性质的应用 18 考点05 等差数列前n项和的最值问题 23 考点06 等比数列的判定与证明 31 考点07 等比数列的基本量 35 考点08 等比数列性质的应用 43 考点09 等比数列前项和的性质 51 考点通关 考点01 等差数列的判定与证明 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2） 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【典例1】（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【详解】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得 所以，即； 当时，，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 当为偶数时，； 当为奇数时，. 综上，当为偶数时，；当为奇数时，. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）若向量，则数列是（   ） A．等差数列 B．既是等差数列又是等比数列 C．等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标表示，余弦的二倍角公式，同角三角函数关系平方和为“1”以及等差数列的定义分析即可. 【详解】由， 所以 ， 所以， 令， 则， 所以数列是以公差为的等差数列. 2．（2026·山东聊城·三模）记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若的公差，则， 故， 记，则为常数，故是等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则为常数，而， 故常数，故，即，必要性成立， 因此“的公差为2”是“为等差数列”的充要条件. 3．（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 【答案】B 【分析】由，得到奇数项之间的递推关系，得到等差数列的通项公式，先求出再根据计算出. 【详解】，， ，即； 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当时，； . 4．（26-27高三上·湖北·开学考试）(多选)记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（    ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 【答案】AC 【分析】令得到，结合，可判断A，再结合A进一步可判断BCD. 【详解】令，则． 因为，所以． 于是，所以，即． 所以是以为首项，公差为的等差数列． 所以，所以． 选项A：因为，所以为等差数列，所以A正确． 选项B：．因为时，所以不恒成立，B错误． 选项C：由， 得． 而，所以，C正确． 选项D：通项随变化，对应的点分布在函数的图象上，不是周期数列，D错误． 5．（2026·山东潍坊·三模）(多选)已知数列满足，，则数列中的项可能为（     ） A．1027 B．2026 C．80 D．93 【答案】ABC 【分析】根据递推关系可知数列每一步要么加3要么乘2，得到的结果不是3的倍数，排除不可能选项，再构造路径验证剩余选项即可. 【详解】由递推式， 得：对任意，或，首项， 从第2项起，每一项不论是在前一项的基础上加3还是乘以2， 即数列的项为或， 也即数列每一项都不是3的整数倍， 选项A：，路径：前10次均选乘2得， 第11次选加3得，成立； 选项B：，路径：前10次均选乘2得， 后续334次均选加3，得，成立； 选项C：，路径：前5次均选乘2得， 后续16次均选加3，得，成立； 选项D：93是3的倍数，被3整除，故排除D. 6．（2026·四川自贡·模拟预测）(多选)已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以，所以是以首项为，公差为1的等差数列， 所以 ，代入验证也符合. A选项，因为，所以，则是等比数列，所以A选项正确； B选项，，则，所以B选项正确; C选项，，则是等差数列，所以C选项正确； D选项， ，所以D选项错误. 7．（25-26高三下·湖北黄冈·期中）(多选)已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．若，则 C．数列为单调递减数列 D．数列的前项和大于 【答案】AC 【分析】将已知等式变形为，结合等差数列的定义可判断A选项；求出数列的通项公式，利用对数的运算性质化简的表达式，然后解不等式，可判断B选项；利用数列单调性的定义可判断C选项；利用裂项求和法可判断D选项. 【详解】因为，等式两边乘以得， 对于A，因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知：，则，则， 故， 由可得，即，解得，故B错； 对于C，因为，所以， 而，所以， 则数列为单调递减数列，故C正确； 对于D，由B可知， 则 ， 所以数列的前项和小于，故D错误. 8．（2025·重庆·一模）(多选)已知数列 满足 ，则（    ） A．数列 是等差数列 B． C．若 ，则 D． 【答案】AC 【分析】由两边同时取倒数即可证明 是等差数列，判断选项A；从而得到的通项公式，即可判断选项B；由，裂项相消即可求解判断选项C；由 是等差数列，其前项和为，即可判断选项D. 【详解】因为，所以， 即，所以 是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； ，所以，故B错误； 若 ， 所以，故C正确； ，故D错误； 故选：AC. 9．（25-26高三下·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：由， 两边同时除以，得，即， 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得，故， 故， ，   两式相减，得 ， 因此． 考点02 等差数列的基本量 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(常数)， 若成等差数列，则叫做的等差中项，即 (1)通项公式： (从第项起等差数列，必须用这个公式) 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【典例2】（2026·湖北·三模）设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解. 【详解】因为，所以 ，即， 即根据等差数列性质得到，， 所以，即，则，即， 因为，所以， 即， 将代入得到， 因为，两边除以得到， ，故选项A正确. 【跟踪训练】1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是公差不为0 的等差数列，，所以，即， 所以. 2．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】A 【分析】由等差数列前项的性质求得，再根据等差数列通项公式的变形表示出，由等比数列的性质求得，从而可得数列的项． 【详解】设的公差为， 由得，所以，， 又成等比数列，所以，所以， 因为，所以， 所以． 3．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 即，由，，成等比数列，则， 即，化简得， 由，则，即有，解得， 故. 4．（2025·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】B 【分析】利用等差数列的求和公式可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【详解】由，即， 又，，成等比数列，则， 即，得， ，. , . 故选：. 5．（2025·山东聊城·三模）记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（    ） A．0 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，再由等比中项的性质可得，结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，即， 又，，成等比数列，所以，即， 化简可得，解得或（舍）， 则，所以， 则. 故选：C 6．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 7．（2025·广东广州·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，75成等比数列，且，则数列的公差（   ） A． B．2 C．5 D．2或5 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式和求和公式， 结合等比数列的性质， 解方程可得首项和公差， 进而得到所求值. 【详解】设等差数列 的公差为 ， 由 ， ，75成等比数列可得 ， 即 ， ①， 又 ，即② ， 由①②解得 ， ， 故选：B. 8．（2026·福建泉州·三模）记公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知有、，结合等差数列的通项公式、前n项和公式依次判断各项的正误. 【详解】若的公差为，且，， 所以，即， 由，则，A错， 由，则，B对， 由，而的符号未知，C错， 由，D错. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 【答案】A 【分析】根据给定的递推公式，结合，求出数列的通项公式，从而得解. 【详解】当时，，解得， 当时，， 作差得， 整理得， 因为，所以，所以， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 故． 考点03 等差数列性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、若，则 4、若为等差数列，则成等差数列. 即，则 5、等差数列的连续项的和构成的数列：仍为等差数列(阶段和性质) 【典例3】8．（2026·福建泉州·三模）记公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知有、，结合等差数列的通项公式、前n项和公式依次判断各项的正误. 【详解】若的公差为，且，， 所以，即， 由，则，A错， 由，则，B对， 由，而的符号未知，C错， 由，D错. 【跟踪训练】1．（2026·山东·模拟预测）从1，2，3，...，20中任取3个数，则这三个数恰好可以构成等差数列的情况有（   ） A．45种 B．60种 C．75种 D．90种 【答案】D 【详解】由成等差数列，可得，所以的和应为偶数， 所以要么都为奇数，要么都为偶数， 所以1，2，3，...，20中任取3个数，则这三个数恰好可以构成等差数列的情况有种. 2．（2026·山东滨州·二模）若，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 即，则， 则. 3．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知等比数列的各项为正数，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先应用等差数列列式结合等比数列通项公式得出，最后应用等比数列通项公式计算求解. 【详解】因为等比数列的各项为正数，，，成等差数列， 设等比数列的公比为，且， 所以，所以，计算得， 则. 4．（25-26高三下·河北衡水·期中）若5个数依次成等差数列，前三项的和为，后三项的和为9，则这5个数的和为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】设题目中的5个数，结合等差数列的性质求出，再利用，即可求得答案. 【详解】由题意知5个数依次成等差数列，设为， 则，且， 故， 则这5个数的和为. 5．（25-26高三下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 6．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果． 【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． 7．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 8．（2026·河北沧州·三模）已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 【答案】B 【详解】由等差数列满足，得， 所以，所以. 9．（2026·河北保定·二模）已知各项不全为零的数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得数列为等差数列， 则，又，所以， 由于数列各项不全为零，则等差数列为递增数列或递减数列，即其他项均不为0. 考点04 等差数列前n项和性质的应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【典例4】8．（2025·湖南郴州·一模）设数列满足且是前项和，且，则（    ） A．2024 B．2023 C．1012 D．1011 【答案】C 【分析】 根据题意和等差数列的定义和前n项求和公式,，可得出也为等差数列,从而得出答案. 【详解】由题意，，， 则数列为等差数列，设公差为，，即，则，则， 则所以，（常数），则也为等差数列. 则数列的公差为. 所以 所以. 故选：C 【跟踪训练】1．（25-26高三下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，结合题意得，，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 2．（25-26高三下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．36 B．46 C．64 D．160 【答案】C 【分析】由等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得， 解得，所以. 故选 ：C 4．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据等差数列前n项和可知， 故. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列， 又，所以， 所以． 6．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A．数列的通项公式为 B． C．前项和 D．数列是公差为的等差数列 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，故， 所以数列是公差为的等差数列，D错. 故选：D. 7．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知等差数列的前项和为，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为1 B．数列为递减数列 C．数列为递增数列 D．的最小值为1 【答案】B 【分析】由等差数列的求和公式可得，即可得到等差数列的，结合等差数列的通项公式与求和公式可得，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设数列的公差为，由，所以. 又，所以， 所以. 选项A：， 所以当时，的最小值为1，A正确； 选项B：，因为， 所以数列不是递减数列，B错误. 选项C：，所以数列为递增数列，C正确； 选项D：，令，所以， 令，得或，所以在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值，D正确. 故选：B. 8．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 9．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】由题中条件及等差数列的性质可得：，两式相减即可求解. 【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：， 所以. 故选：C. 考点05 等差数列前n项和的最值问题 前项和公式：①(均值型)；②(基本量型)， 显然数列为等差数列 1. 二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2.邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值 【典例5】（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求满足的最大整数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题目信息可求出，，根据等比数列的通项公式列方程组即可求出答案； （2）利用分组求和法求出，结合函数的单调性可得随着的增大而增大，求出，,即可得答案. 【详解】（1）设的公比为，则， 因为，所以，则， 则，即， 整理得，解得或（舍去），则， 所以． （2）由（1）可知， 故 ， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 故随着的增大而增大， 又， ， 所以满足的最大整数． 【跟踪训练】1．（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再根据等差数列前项和公式以及二次函数性质可得结果. 【详解】由可得数列为等差数列， 又可得，因此； 所以公差满足，因此； 即， 又因为，所以当或时，取得最大为45. 故选：C 2．（2026·四川·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若数列为等差数列，，，则时，最大 C．若数列满足，，则 D．若，则数列的前项和小于 【答案】B 【详解】选项A：已知，当时，，解得， 当时，，， 两式相减得：， 则，故数列是首项为，公比为的等比数列， ，故A错误； 选项B：由，可得， 又，故得， ，故数列前项为正，第项起为负，在时取得最大值，故B正确； 选项C：已知， ，故，即， 数列是首项为，公差为1的等差数列，则，解得， 则， 故，故C错误； 选项D：当时，数列的第一项为， 且对于，因，即恒成立，故前项和不可能小于，故D错误． 3．（2026·海南儋州·一模）(多选)设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．数列的公差小于0 B．数列的公差与数列的公差相等 C．中最大 D．使得的正整数的最小值为23 【答案】ACD 【详解】由可得. 所以，，且. 对A选项，因为等差数列的公差，故A正确； 对B选项，因为，所以数列是等差数列，且公差为数列公差的一半，故B错误； 对C选项，因为等差数列中，公差，，，所以中最大，故C正确； 对D选项，因为， 且，故D正确. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知为等差数列的前n项和，，则下列选项错误的是（   ） A．数列是单调递增数列 B．当时，最大 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为等差数列中，，， 所以，，，A错误；时，最大，B错误； ，，故，C错误； ，即，D正确． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．中最大 D． 【答案】ACD 【详解】由题意，所以，，所以，，，所以数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，所以前6项和最大，所以，，，所以，故B错误，A，C，D正确．故选ACD． 6．（2025·贵州六盘水·模拟预测）(多选)已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（    ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最大 【答案】AC 【分析】借助等差数列求和公式可得、，再结合等差数列性质计算可得A、B；可得时，，即可得数列中最大项，即可得C、D. 【详解】，则 ，则， 故，则，故A正确，B错误； 由，则，，则当时，， 故数列中最大，故C正确，D错误. 故选：AC. 7．（2026·河南洛阳·模拟预测）(多选)已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若数列为等差数列，，，则时，最大 C．若数列满足，，则 D．若，则数列的前项和小于 【答案】ABD 【分析】对于A，利用与的关系即可求解，对于B，利用等差数列的前项和公式求解即可；对于C，求出数列是周期为3即可求解；对于D，利用裂项相消即可求解. 【详解】对于A，当时，,解得：， 当时，， 化简可得：， 所以, 则是首项为,公比为的等比数列，所以， 即,故A正确； 对于B，在等差数列中，,则, ,由于,则, 所以等差数列的公差小于，则, 则时，最大，故B正确； 对于C，数列满足，，则,,, 所以数列是周期为3的数列， 计算一个周期内的乘积：，,,故, 所以,故C不正确； 对于D，由题可得：, 所以数列的前项和, 即,由于,则， 即数列的前项和小于，故D正确； 故选：ABD 8．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）(多选)已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 【答案】AB 【分析】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用等差数列求和公式计算即可得B；利用等差数列性质及等差数列求和公式计算可得C、D. 【详解】对A：，故，故A正确； 对B：，故的公差为， 故， 则，故B正确； 对C：由，故，当时，，当时，， 故当或时，最大，故C错误； 对D：当时，，当时，， 又，故， 则当时，，当时，， 故满足的最大整数为，故D错误. 故选：AB. 9．（2026高三·全国·专题练习）设是首项为4，公差的等差数列的前项和，若和的等比中项为．求： (1)的通项公式； (2)使的最大值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）由题意可设， ， ，， 又， ， ，． （2）， ， ，即， 又，的最大值为4． 考点06 等比数列的判定与证明 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （3） 只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【典例6】（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 【跟踪训练】1．（2026·山东济南·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】由可知，根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】可化为， 即，而的比值不确定，故不能得到为等比数列， 反之，若为公比为的等比数列，则， 则，即， 若，则， 则，即，不满足题意， 故对于公比为的等比数列，， 所以为等比数列不一定能推出. 故“”是“为等比数列”的既不充分又不必要条件. 2．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知数列满足，，且对任意正整数，都有，其中为常数，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合等比数列的通项公式，根据充分必要条件的定义判断，即可求得答案. 【详解】已知数列满足，，且对任意正整数，都有，其中为常数， 则，所以是一个等比数列，首项为，公比为， 因此，， 当时，满足， 所以，即， 说明数列是一个首项为，公比为的等比数列，充分性成立； 当为等比数列时，由于，，则公比，， 代入，解得，必要性成立； 综上所述，“”是“为等比数列”的充要条件，故C正确. 3．（24-25高三下·广东江门·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】B 【分析】通过构造等比数列求出的通项公式，再由分组求和即可求得. 【详解】由题意得，两边同时加得，又， 则，即是以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则. 4．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 【答案】D 【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果． 【详解】因为，所以， 所以，，其中, 而，结合可得，此时， 故数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：D 5．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知数列的前项和为，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系可得为从第二项开始的等比数列，即可利用等比求和公式求解. 【详解】由可得，故， 又，，故为从第二项开始的等比数列，且公比为2， 故. 故选：D. 6．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知数列的前n项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用得出是等比数列，由通项公式求出后求出. 【详解】由，得，所以，又， 所以是等比数列，首项为1，公比为3，所以， 所以 故选：D 7．（2025·陕西·模拟预测）记数列的前项和为，若，，则（   ） A．64 B．81 C．256 D．1024 【答案】C 【分析】先根据递推数列判断是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. 【详解】因为，所以当时，， 两式相减得，即， 当时，，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， 所以． 故选：C. 8．（25-26高三上·北京石景山·期末）若数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得，即得数列的偶数项是2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式求解. 【详解】由题，令，得，又，则， 所以数列的偶数项构成一个以为首项，公比为2的等比数列， . 故选：C. 9．（25-26高三上·重庆·期中）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （    ） A．162 B．54 C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用，结合等比数列定义求解. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，则，而，解得， 因此数列是首项为2，公比为3的等比数列，. 故选：B 考点07 等比数列的基本量 1、 在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； (常数)，(1)通项公式：(从第项起等比数列，必须用这个公式)(2)前项和公式：①当时，； ②当时， 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可 【典例7】（2026·福建福州·模拟预测）(多选)已知为等比数列的前项和，为其前项积，公比，且，，则下列结论正确的是（   ） A．数列为递增数列 B．使的正整数的最小值为5 C．的最大值为 D． 【答案】BD 【分析】利用等比数列的性质可以由求出公比，再由求出首项，A可以通过数列的通项公式判断；B计算出前项和公式进行计算；C根据的单调性进行判断；D. 【详解】利用等比数列的性质可以由求出公比， 由求出首项，故； A，，数列为递减数列，错误； B，，故为单调递增，又，故使的正整数的最小值为5，正确； C，， 当时， ，数列单调递增， 当时，，数列单调递减， 由于，故， 所以，的最大值为和，错误； D，，正确 【跟踪训练】1．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．3 B．18 C．52 D．54 【答案】D 【详解】解：已知为等比数列，，① 则，② 当时，，即，③ ， 可得，代入③可得， 则，所以，D正确. 2．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合等比数列性质可求，再求，结合等比数列通项公式求公比，再由求和公式求结论. 【详解】因为， 所以，又为正项等比数列， 所以或（舍）. 因为， 所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 3．（2026·山东潍坊·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列前项积的定义，结合已知条件建立关于首项和公比的方程，求解后计算目标表达式的值. 【详解】设等比数列的公比为，由前项积定义，， 则，，，，. 由，得，两边约去，得. 将代入，得，即， 因，两边除以，得. 由，，故. 将代入，得，即， 因式分解得.因， 三次式，故，则. ，， 故. 故选：B. 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 【答案】C 【分析】利用，可求得，再利用求解即可. 【详解】因为，即，所以， 可得数列为等比数列，首项为，公比， 所以， 所以. 5．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式，将已知条件转化为含和公比的方程组，消元求解出，再回代求出，进而计算. 【详解】设公比为，则由得，由得， 所以，解得或（舍）或（舍）， 由得，所以. 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正项等比数列的前项积为， 且，， 则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，利用等比数列的性质和通项公式的基本量的运算，求得和公比为，进而求得的值. 【详解】由等比数列的性质，可得， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 所以等比数列的公比为，所以. 7．（2026·全国二卷·高考真题）(多选)设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【详解】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 8．（2026·河南周口·模拟预测）(多选)已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（    ） A． B．数列有最小项 C． D．当或时，取得最大值 【答案】ACD 【详解】已知正项等比数列，，， 由条件得，即，， 由，即， 代入得：， 整理得，解得（负根舍去，因），故选项A正确； 得，通项公式， 前项和：， 即，故选项C正确； 数列是递减正项数列：， 增大时不断减小趋近于0，不存在最小项，故选项B错误； 前项积，指数是开口向下的二次函数，对称轴为， 为正整数，因此和时指数最大，对应为最大值，故选项D正确. 9．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）(多选)已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，又，则，所以，A项正确； 又因，则，进而， 所以，B项正确； ，C项正确； ，D项错误. 考点08 等比数列性质的应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2.若，则 3.若为等比数列，则成等比数列. 即，则 【典例8】（2025·四川成都·模拟预测）(多选)关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（    ） A．若数列的前项和为且，则是等差数列 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 【答案】ACD 【分析】A选项利用，求得，即可判断；B选项利用等比数列的性质进行计算；C选项举出反例进行判断；D选项利用等差数列的通项公式及前项和公式进行计算判断. 【详解】对于A选项，若，当时，， 当时，， 且不满足上式，则，则不是等差数列，故A错误； 对于B选项，等比数列中，由，得， 则，故B正确； 对于C选项，当等比数列的公比，为偶数时，， 所以不成等比数列，故C错误； 对于D选项，因为等差数列的前项和有最大值，故可知， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以数列的前6项和有最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时等于11，故D错误. 故选：ACD. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）(多选)已知等比数列的各项均为正数，公比，前项积为，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的性质及通项公式判断ABD，举反例判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，解得， 所以，所以，故B正确； 取，则，，故C错误； 由等比数列性质知，所以， 若，则，即，由，所以，故D正确. 2．（2026·重庆渝中·三模）(多选)已知等差数列的首项为 3，公差为 2 .数列 满足 ，下列说法中正确的有（    ） A． B．数列 是公差为 2 的等差数列 C．是等比数列 D． 对任意正整数 成立 【答案】ACD 【分析】由等差数列通项公式可判断A，由A得到，的通项公式可判断BC，由的通项公式可判断D. 【详解】选项A： 已知等差数列首项，公差， 由等差数列通项公式： ，因此A正确， 选项B：设，代入得： ， 公差，因此B错误， 选项C： 由，得： ，公比为常数， 因此是等比数列，C正确， 选项D： 左边：， 右边：， 由等差数列性质：， 因此指数相等，左边=右边，对任意正整数 成立，D正确. 3．（2026·安徽滁州·二模）(多选)已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当时，无意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，若，则，，， 因为，所以，，成公比为的等比数列； 若，则，， ， 所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确； 对于D，当时，,对于任意的都满足， 但不一定成立，D错误. 4．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）(多选)已知等比数列的首项为，前项和为，公比，则（    ） A．若，则，或 B．若，则 C．存在非零常数，使得 D．必为等比数列 【答案】BC 【分析】利用等比数列的通项公式，前项和公式及等比数列的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，可得或，又，则，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又， 所以存在非零常数，使得，故C正确； 对于D，当时，有，所以， 此时不满足成等比数列，故D错误. 故选：BC. 5．（2024·安徽合肥·二模）(多选)已知等比数列的公比为，前项和为，则（    ） A． B．对任意成等比数列 C．对任意，都存在，使得成等差数列 D．若，则数列递增的充要条件是 【答案】ACD 【分析】对于A：分，两种情况计算可判断A；对于B： 可说明不成立判断B；，分，两种情况计算可判断C；根据，若是递增数列，可求判断D. 【详解】对于A：当时，，，故成立， 当时，，，所以成立，故A正确； 对于B：当时，，所以不成等比数列，故B错误； 对于C：当时，，故不成等差数列， 当时，若存在，使成等差数列， 则，则， 整理得，所以，所以， 所以对任意，都存在，使得成等差数列，故C正确； 对于D：，若是递增数列， 则可得，因为，所以，可解得， 所以若，则数列递增的充要条件是，故D正确. 故选：ACD. 6．（2026·浙江·二模）(多选)已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项. 【详解】由已知，，C正确； 则，B正确； 又，则，A正确； 则，D错误. 7．（25-26高三上·河北·期中）(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为则下列结论中一定正确的是（    ） A．若则 B． C．若则的最大值为1024 D．构成等比数列 【答案】BC 【分析】利用等比数列的通项公式判断A、B；先根据已知条件求出首项和公比从而求得数列和的公式，再根据指数函数和一元二次函数的性质求出最大值判断C；当时，，不能构成等比数列可判断D. 【详解】在等比数列中，，则，所以，A错误； ，B正确； 在等比数列中，，则，，， 设， ， 当或时，可取得最大值10，此时取得最大值，C正确； 当时，，不满足等比数列的定义，不能构成等比数列，D错误. 故选：BC 8．（25-26高三上·湖南·开学考试）(多选)在等比数列中，，，则（   ） A． B． C．数列是以4为公比的等比数列 D．数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】由等比数列的性质求得判断A；设等比数列的公比为，由等比数列通项公式基本量运算求得和，即可求解通项公式判断B；由B选项可求得，然后利用等比数列定义判断C；利用等比数列求和公式计算判断D. 【详解】由等比数列的性质可知，又，， 所以，所以，A错误； 设等比数列的公比为，由，解得，则， 所以，B正确； 由上可知，，设，则， 所以数列是以4为公比的等比数列，C正确； 设数列的前项和为，则，D正确. 故选：BCD. 9．（第33练专题五综合训练）(多选)已知数列是等差数列，是等比数列，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用等差、等比数列的通项公式运算判断A、C；注意常数列（反例）判断B、D. 【详解】设等差数列的公差为， 当时， ，A正确； 当时，是常数列，，但与不一定相等，B错误； 设等比数列的公比为， 若，则，C正确； 当时，是常数列，，但与不一定相等，D错误. 故选：AC 10．（24-25高三上·江西吉安·阶段检测）(多选)已知数列是等比数列，前n项积为，则（    ） A． B． C．若，则 D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】利用等比数列的性质有、、判断A、B、C；根据等比数列的定义判断D. 【详解】由等比中项的性质，易得，A正确； 由，得，B错误； 由，得，所以，C正确； 设的公比为，因为，所以是常数， 所以是等比数列，D正确. 故选：ACD 考点09 等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 【典例9】（25-26高三上·河南郑州·期末）(多选)设数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．的前项和为 D． 【答案】AC 【分析】先利用求出的通项公式，可以判断A，B选项，再根据求出的通项公式，利用分组求和法求出的前项和，可判断选项C，写出数列的通项公式，利用公式法求出前项和，可判断选项D. 【详解】，当时，，得. 当时，，即. 是以为首项，公比为2的等比数列，，A选项正确，B选项错误. ， 记，数列的前项和 ，C选项正确. 因为，是以1为首项，公比为4的等比数列， ，D选项错误. 故选：AC 【跟踪训练】 1．（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 当时，， 当时，， 时，， ， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 2．（2026·安徽合肥·三模）等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 3．（2026·河南周口·模拟预测）(多选)已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（    ） A． B．数列有最小项 C． D．当或时，取得最大值 【答案】ACD 【详解】已知正项等比数列，，， 由条件得，即，， 由，即， 代入得：， 整理得，解得（负根舍去，因），故选项A正确； 得，通项公式， 前项和：， 即，故选项C正确； 数列是递减正项数列：， 增大时不断减小趋近于0，不存在最小项，故选项B错误； 前项积，指数是开口向下的二次函数，对称轴为， 为正整数，因此和时指数最大，对应为最大值，故选项D正确. 4．（2026·安徽六安·模拟预测）(多选)已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和法、等差等比公式求和法可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 5．（2026·海南儋州·二模）(多选)已知数列的前项的和为，则（     ） A．数列前5项的和为121 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先判定为等比数列，结合等比数列前项和与性质分析A、B；利用与的递推关系求通项判断C；依据通项的单调性分析D. 【详解】由，可知是首项为，公比为的等比数列. 对于选项A，前项和为，故A正确； 对于选项B，， ， ， 可得，故B正确； 对于选项C，当时，， 当时，， 时不满足该式，通项需分段表示，故C错误； 对于选项D，，， 当时，各项构成公比为的递增等比数列，且， 因此，故D正确. 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）(多选)已知正项等比数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若是递增数列，则 D．若是递减数列，则 【答案】BCD 【详解】设的公比为．因为，所以．因为，所以， 因为是正项数列，所以，所以，解得或． 故或，可知A错误，B正确； 对于C，若是递增数列，则，，，，所以，故C正确； 对于D，若是递减数列，则，则，所以，，所以，故D正确． 7．（2026·江苏·模拟预测）(多选)正项等比数列满足，公比为，其前项和为，记数列，则（    ） A．时， B．时，为等差数列 C．不存在，使得为常数列 D．时，单调递减 【答案】ABD 【详解】对于A，，，，A对． 对于B，，，，，为等差数列，B对． 对于C，为常数列 ， 即时为常数列，C错． 对于D，， 时，，D对． 8．（2026·辽宁朝阳·二模）(多选)已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】应用等比数列通项公式计算判定A，B，应用计算判定C，应用等比数列求和公式计算判定D. 【详解】因为等比数列的公比为q，，， 则，所以，B选项错误； ，所以，A选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； ， 当为偶数时，单调递增，的最小值是， 当为奇数时，单调递减，所以， 综上，的最小值是，D选项正确； 9．（2026·山西朔州·二模）(多选)已知数列满足，，，是的前项和，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．的前项和小于1 【答案】AD 【分析】根据递推关系可得是首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的定义以及前项和公式依次判断选项即可. 【详解】 对于A，由题可得，且， 故是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由A易得，于是， 又因为，所以，所以不是等比数列，故B错误； 对于C，由B可知，所以，显然不是等比数列，故C错误； 对于D，易知当时，，所以， 设，则，故D正确. 10．（2026·四川·二模）(多选)已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．公比 B．数列是单调递减数列 C． D． 【答案】AC 【分析】利用等比数列的前项和公式列出方程组，能求出首项和公比，结合等比数列的通项公式以及前n项和公式一一判断各选项，即得答案． 【详解】若等比数列的公比为1，则，；，矛盾， 故， 由于，，，解得，，A正确； 故，数列是单调递增数列，B错误，C正确； ，D错误. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $