专题07 函数的奇偶性与对称性（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数奇偶性与对称性核心知识点，系统梳理从定义（定义域对称性前提）、判定步骤（定义域优先等四步）到运算性质（奇偶函数四则运算规律）、单调性（对称区间单调性特征）及对称性拓展（轴对称、中心对称通用结论）的完整脉络，构建递进式学习支架。 资料以分层目标（重点掌握定义与判定、难点突破抽象函数与综合应用）为导向，通过典例与变式结合的题型设计，强化数学思维（如分段函数分段验证的逻辑推理）和数学眼光（如抽象函数赋值法探究对称关系），助力教师课堂高效授课，学生课后通过巩固训练查漏补缺，提升问题解决与规范表达能力。

专题07 函数的奇偶性与对称性 重点目标： 1. 掌握奇函数、偶函数的严格定义.理解奇偶函数的定义域对称性核心前提. 2. 熟记奇函数、偶函数的图象对称特征.能通过图象直观判断函数奇偶性. 3. 掌握函数奇偶性的定义法判定步骤.能规范判断常见初等函数的奇偶性. 4. 掌握奇偶函数的基本运算性质与单调性质.能快速判断和、差、积、商函数的奇偶性. 5. 能利用奇偶性求解函数解析式、函数值、简单不等式.解决基础常考题型. 难点目标： 1. 精准识别定义域非对称函数.理解“定义域关于原点对称”是奇偶性判断的先决条件. 2. 掌握分段函数奇偶性的判定方法.能够分段代入、分类完成严谨证明. 3. 掌握抽象函数奇偶性的赋值判定技巧.突破无解析式函数的性质分析难点. 4. 理解函数轴对称、中心对称的通用规律.区分奇偶性与一般对称性的关联与区别. 5. 熟练运用奇偶性、对称性、单调性综合求解函数压轴题型.对接高频综合考点. 1、 重点知识 （一）函数奇偶性教材标准定义 · 前提条件：函数定义域必须关于原点对称.定义域不对称的函数既不是奇函数也不是偶函数. 1. 偶函数定义：对于函数定义域内任意.都有.则为偶函数. 图象特征：偶函数图象关于轴对称. 2. 奇函数定义：对于函数定义域内任意.都有.则为奇函数. 图象特征：奇函数图象关于坐标原点中心对称. （二）奇偶性定义法判定步骤: 1. 求函数定义域.判断是否关于原点对称.不对称直接判定为非奇非偶. 2. 化简函数解析式（优先化简.避免复杂代入）. 3. 计算.对比与. 4. 下结论：为偶函数.为奇函数.均不满足为非奇非偶函数. （三）常见函数奇偶性结论（必考熟记） 1. 幂函数：为偶函数.为奇函数（）. 2. 一次函数：为奇函数.非奇非偶. 3. 二次函数：为偶函数.含一次项的二次函数非奇非偶. 4. 常函数：为偶函数. 5. 特殊结论：（定义域关于原点对称）既是奇函数又是偶函数. （四）运算性质 · 设两函数定义域均关于原点对称： 1. 奇±奇=奇.偶±偶=偶.奇±偶=非奇非偶. 2. 奇×奇=偶.偶×偶=偶.奇×偶=奇. 3. 3. 分式奇偶性与乘除规律一致.分母不为0前提下适用. （五）奇偶函数单调性基础性质 1. 偶函数：在对称区间上单调性相反.左增右减或左减右增. 2. 奇函数：在对称区间上单调性一致.左右区间增减性相同. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 定义域优先原则：很多函数解析式满足奇偶恒等关系.但定义域不对称.直接判定非奇非偶.是最高频易错点. 2. 奇函数原点性质：奇函数在处有定义时.必有.可快速求参数.但不能反向判定函数为奇函数. 3. 化简陷阱：未化简解析式直接代入.式子复杂导致符号判断错误. 4. 区间单调性误区：偶函数对称区间单调性相反.极易混淆增减方向. （二）分段函数奇偶性难点（期中必考） 1. 解题核心：分段函数必须分段代入验证.不能整体判断. 2. 判定逻辑：对每一段对应的自变量范围.验证与关系.全部满足才可判定奇偶. 3. 易错点：忽略分段定义域对应关系.直接套用公式导致结论错误. （三）抽象函数奇偶性与对称性难点（期末压轴） 1. 抽象函数奇偶性：通过赋值法（令等）推导与关系. 2. 函数轴对称通用结论：若.则函数图象关于直线对称. 3. 函数中心对称通用结论：若.则函数图象关于点中心对称. 4. 奇偶性是特殊对称：偶函数是的轴对称.奇函数是的中心对称. （四）奇偶性与不等式综合难点 1. 脱去抽象符号：利用奇偶性、单调性将转化为自变量不等式. 2. 双重约束：解不等式必须同时满足单调性大小关系+函数定义域. 3. 对称区间转化：利用奇偶性将负区间自变量转化到正区间.简化运算. （五）函数对称性 核心拓展知识点 · 函数对称性是奇偶性的一般推广形式.是衔接函数奇偶性、单调性与周期性的核心拓展考点. 1. 轴对称核心公式（通用结论） · 若函数对定义域内任意满足.则的图象关于直线轴对称. · 衍生常用结论：若.函数同样关于直线对称. · 特殊情况：偶函数.是时的轴对称特例.图象关于（y轴）对称. 2. 中心对称核心公式（通用结论） · 若函数对定义域内任意满足.则的图象关于点中心对称. · 衍生常用结论：若.函数同样关于点对称. · 特殊情况：奇函数.是时的中心对称特例.图象关于原点对称. 3. 双对称推导周期性（高频拓展） · 一个连续函数若同时满足两种对称关系.可直接推导周期.是高考多选、填空高频秒杀结论. ① 函数关于直线、双轴对称.则函数为周期函数.最小正周期 ② 函数关于点、双中心对称.则函数为周期函数.最小正周期 ③ 函数关于直线轴对称、关于点中心对称.则函数为周期函数.最小正周期 （六）全章高频失分点汇总 1. 跳过定义域判断.直接根据式子判定奇偶性. 2. 误用反向证明函数为奇函数. 3. 偶函数对称区间单调性记反.导致不等式解集错误. 4. 分段函数奇偶性不分段验证.直接整体判断. 5. 抽象函数赋值思路混乱.无法推导对称与奇偶关系. 6. 解抽象函数不等式遗漏定义域约束.造成解集范围偏大. 题型01 函数奇偶性的判断与证明 角度1：判断函数的奇偶性 【典例】下列函数中，为偶函数的是（        ） A．= B．= C．=+ D．=x+ 【变式】下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 角度2：证明函数的奇偶性 【典例】已知函数满足，．求a，b的值，判断的奇偶性并证明； 【变式】已知定义在上的函数满足，且当时，．试判断函数的奇偶性，并证明. 题型02 函数奇偶性的应用 角度1：利用函数的奇偶性求参 【典例】若函数是上的偶函数，则的值为______． 【变式】已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 角度2：利用函数的奇偶性求值 【典例】若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【变式】若函数的最大值为，最小值为，则____________. 角度3：利用函数的奇偶性求解析式 【典例1】已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数， ．求函数，的解析式； 【典例2】设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【变式1】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【变式2】若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 角度4：利用函数的奇偶性解不等式 【典例1】已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【变式2】已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 角度5：利用函数的奇偶性比较大小 【典例】已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 【变式】奇函数的局部图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 题型03 函数的自对称问题 角度1：求对称轴与对称中心 【典例】函数的图象的对称中心为（    ）． A． B． C． D． 【变式】（多选）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若是奇函数，则的图象关于点对称 C．函数与函数的图象关于直线对称 D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 角度2：证明函数具有对称性 【典例】已知函数，其中是常数.求证：函数的图象关于点中心对称. 【变式】已知函数. (1)求的值； (2)求证：的图象关于点成中心对称； 题型04 两个函数互对称问题 【典例】设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（    ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 【变式】设函数定义在实数集上，则函数与的图像（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 题型05 函数奇偶与对称性的综合问题 【典例1】（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（    ） A．的最小正周期为4 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．的解集为 【典例2】已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【巩固训练】 1．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．若为奇函数，则函数的图象关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 4．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）设函数，定义域均为，则下列结论正确的有（   ） A．若，均为奇函数，则函数为奇函数 B．若，均为增函数，则函数为增函数 C．若，均为偶函数，则函数为增函数 D．若，均为偶函数，则函数为偶函数 7．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调增区间为 8．（多选）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 9．若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【强化训练】 1．定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若为定义在上的奇函数，且不等式中等号能取到，则（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为-2 C．的最大值为2 D．的最大值为-2 3．已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． 4．已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（    ） A．函数至少有一个零点 B．若在上有最小值，则在上有最大值24 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 6．（多选）定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数与的图象关于对称 B．若函数为奇函数，则的图象关于点中心对称 C．若为奇函数，则的图象关于点对称 D．若为偶函数，且在上为增函数，则关于的不等式的解集为 8．设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为______． 9．已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为________________． 10. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数的奇偶性与对称性 重点目标： 1. 掌握奇函数、偶函数的严格定义.理解奇偶函数的定义域对称性核心前提. 2. 熟记奇函数、偶函数的图象对称特征.能通过图象直观判断函数奇偶性. 3. 掌握函数奇偶性的定义法判定步骤.能规范判断常见初等函数的奇偶性. 4. 掌握奇偶函数的基本运算性质与单调性质.能快速判断和、差、积、商函数的奇偶性. 5. 能利用奇偶性求解函数解析式、函数值、简单不等式.解决基础常考题型. 难点目标： 1. 精准识别定义域非对称函数.理解“定义域关于原点对称”是奇偶性判断的先决条件. 2. 掌握分段函数奇偶性的判定方法.能够分段代入、分类完成严谨证明. 3. 掌握抽象函数奇偶性的赋值判定技巧.突破无解析式函数的性质分析难点. 4. 理解函数轴对称、中心对称的通用规律.区分奇偶性与一般对称性的关联与区别. 5. 熟练运用奇偶性、对称性、单调性综合求解函数压轴题型.对接高频综合考点. 1、 重点知识 （一）函数奇偶性教材标准定义 · 前提条件：函数定义域必须关于原点对称.定义域不对称的函数既不是奇函数也不是偶函数. 1. 偶函数定义：对于函数定义域内任意.都有.则为偶函数. 图象特征：偶函数图象关于轴对称. 2. 奇函数定义：对于函数定义域内任意.都有.则为奇函数. 图象特征：奇函数图象关于坐标原点中心对称. （二）奇偶性定义法判定步骤: 1. 求函数定义域.判断是否关于原点对称.不对称直接判定为非奇非偶. 2. 化简函数解析式（优先化简.避免复杂代入）. 3. 计算.对比与. 4. 下结论：为偶函数.为奇函数.均不满足为非奇非偶函数. （三）常见函数奇偶性结论（必考熟记） 1. 幂函数：为偶函数.为奇函数（）. 2. 一次函数：为奇函数.非奇非偶. 3. 二次函数：为偶函数.含一次项的二次函数非奇非偶. 4. 常函数：为偶函数. 5. 特殊结论：（定义域关于原点对称）既是奇函数又是偶函数. （四）运算性质 · 设两函数定义域均关于原点对称： 1. 奇±奇=奇.偶±偶=偶.奇±偶=非奇非偶. 2. 奇×奇=偶.偶×偶=偶.奇×偶=奇. 3. 3. 分式奇偶性与乘除规律一致.分母不为0前提下适用. （五）奇偶函数单调性基础性质 1. 偶函数：在对称区间上单调性相反.左增右减或左减右增. 2. 奇函数：在对称区间上单调性一致.左右区间增减性相同. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 定义域优先原则：很多函数解析式满足奇偶恒等关系.但定义域不对称.直接判定非奇非偶.是最高频易错点. 2. 奇函数原点性质：奇函数在处有定义时.必有.可快速求参数.但不能反向判定函数为奇函数. 3. 化简陷阱：未化简解析式直接代入.式子复杂导致符号判断错误. 4. 区间单调性误区：偶函数对称区间单调性相反.极易混淆增减方向. （二）分段函数奇偶性难点（期中必考） 1. 解题核心：分段函数必须分段代入验证.不能整体判断. 2. 判定逻辑：对每一段对应的自变量范围.验证与关系.全部满足才可判定奇偶. 3. 易错点：忽略分段定义域对应关系.直接套用公式导致结论错误. （三）抽象函数奇偶性与对称性难点（期末压轴） 1. 抽象函数奇偶性：通过赋值法（令等）推导与关系. 2. 函数轴对称通用结论：若.则函数图象关于直线对称. 3. 函数中心对称通用结论：若.则函数图象关于点中心对称. 4. 奇偶性是特殊对称：偶函数是的轴对称.奇函数是的中心对称. （四）奇偶性与不等式综合难点 1. 脱去抽象符号：利用奇偶性、单调性将转化为自变量不等式. 2. 双重约束：解不等式必须同时满足单调性大小关系+函数定义域. 3. 对称区间转化：利用奇偶性将负区间自变量转化到正区间.简化运算. （五）函数对称性 核心拓展知识点 · 函数对称性是奇偶性的一般推广形式.是衔接函数奇偶性、单调性与周期性的核心拓展考点. 1. 轴对称核心公式（通用结论） · 若函数对定义域内任意满足.则的图象关于直线轴对称. · 衍生常用结论：若.函数同样关于直线对称. · 特殊情况：偶函数.是时的轴对称特例.图象关于（y轴）对称. 2. 中心对称核心公式（通用结论） · 若函数对定义域内任意满足.则的图象关于点中心对称. · 衍生常用结论：若.函数同样关于点对称. · 特殊情况：奇函数.是时的中心对称特例.图象关于原点对称. 3. 双对称推导周期性（高频拓展） · 一个连续函数若同时满足两种对称关系.可直接推导周期.是高考多选、填空高频秒杀结论. ① 函数关于直线、双轴对称.则函数为周期函数.最小正周期 ② 函数关于点、双中心对称.则函数为周期函数.最小正周期 ③ 函数关于直线轴对称、关于点中心对称.则函数为周期函数.最小正周期 （六）全章高频失分点汇总 1. 跳过定义域判断.直接根据式子判定奇偶性. 2. 误用反向证明函数为奇函数. 3. 偶函数对称区间单调性记反.导致不等式解集错误. 4. 分段函数奇偶性不分段验证.直接整体判断. 5. 抽象函数赋值思路混乱.无法推导对称与奇偶关系. 6. 解抽象函数不等式遗漏定义域约束.造成解集范围偏大. 题型01 函数奇偶性的判断与证明 角度1：判断函数的奇偶性 【典例】下列函数中，为偶函数的是（        ） A．= B．= C．=+ D．=x+ 【答案】B 【分析】根据奇偶性定义判断． 【详解】选项A中，函数定义域是，函数没有奇偶性； 选项B中，函数定义域是，，是偶函数； 选项C中，函数定义域是，函数没有奇偶性； 选项D中，函数定义域是，，函数是奇函数． 故选：B． 【变式】下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于ACD，利用函数奇偶性的判断方法判断即可； 对于B，举反例即可排除. 【详解】易知选项ABCD中的函数的定义域为，即它们的定义域关于原点对称， 对于A，因为，所以，故是偶函数，故A不符合要求，错误； 对于B，令，则，即是上的点， 易知关于原点对称的点为，显然不是上的点， 而关于轴对称的点为，显然也不是上的点， 即的图像上至少存在一点即不关于原点对称，也不关于轴对称， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，故B符合要求，正确； 对于C，因为，所以，故是奇函数，故C不符合要求，错误； 对于D，因为，所以，所以既是奇函数，也是偶函数，故D不符合要求，错误. 故选：B. 角度2：证明函数的奇偶性 【典例】已知函数满足，．求a，b的值，判断的奇偶性并证明； 【详解】由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； 【变式】已知定义在上的函数满足，且当时，．试判断函数的奇偶性，并证明. 【答案】是上的奇函数，证明见解析 【分析】根据题意，令，求得，令，得到，即可得证； 【详解】证明：函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即，所以函数是上的奇函数. 题型02 函数奇偶性的应用 角度1：利用函数的奇偶性求参 【典例】若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 【变式】已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 角度2：利用函数的奇偶性求值 【典例】若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【分析】根据关于对称即可求解. 【详解】由于，可得关于点对称， 故. 【变式】若函数的最大值为，最小值为，则____________. 【答案】4 【分析】先将函数分离常数，构造奇函数，再利用奇函数的性质求出的最大值与最小值，进而得到的最值和，最后计算即可. 【详解】， 令， 则，则函数为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 所以，， 则. 故答案为：4. 角度3：利用函数的奇偶性求解析式 【典例1】已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数， ．求函数，的解析式； 【答案】，． 【详解】是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． 【典例2】设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求时的函数解析式，即可得. 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. 【变式1】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 【变式2】若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 角度4：利用函数的奇偶性解不等式 【典例1】已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 【典例2】已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 【变式1】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 【变式2】已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集. 【详解】由 ，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 角度5：利用函数的奇偶性比较大小 【典例】已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的性质将自变量转化到同一单调区间，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】因为是偶函数，所以， 已知，由偶函数性质，因此， 所以在上单调递减； 数值大小关系为， 所以， 所以即. 故选：B. 【变式】奇函数的局部图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质可判断. 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称， 所以，， 由函数图象可知， 所以，即． 故选：A. 题型03 函数的自对称问题 角度1：求对称轴与对称中心 【典例】函数的图象的对称中心为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故函数是由函数向左平移2个单位变为， 再将图象向下平移1个单位得到， ∵对称中心为，∴函数的对称中心为． 【变式】（多选）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若是奇函数，则的图象关于点对称 C．函数与函数的图象关于直线对称 D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 【答案】BD 【分析】根据函数是周期为2的周期函数，的图象对称性不确定，判断A；根据奇函数的对称性，结合函数图象的平移变换判断B；根据函数与函数的图象关于轴对称判断C；根据函数图象的平移和对称性的变化即可判断D. 【详解】对A，对，有， 令替换，得，可得函数是周期为2的周期函数， 则的图象对称性不确定，即A错误； 对B，是奇函数，的图象关于原点成中心对称， 而的图象是将的图象向右平移一个单位， 的图象关于点对称，故B正确； 对C，函数是由的图象向左平移一个单位得到； 函数的图象是由的图象向右平移一个单位得， 而与的图象关于轴对称， 所以函数与函数的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，若函数的图象关于直线对称， 则将其向左平移1个单位得到，则对称轴也向左平移1单位， 则关于轴对称，即为偶函数，故D正确. 故选：BD. 角度2：证明函数具有对称性 【典例】已知函数，其中是常数.求证：函数的图象关于点中心对称. 【答案】证明见解析 【分析】验证即可求证. 【详解】， 则 ， 所以函数的图象关于点中心对称. 【变式】已知函数. (1)求的值； (2)求证：的图象关于点成中心对称； 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）由代入得到的值； （2）求出，可以得到的图象关于点成中心对称； 【详解】（1），，； （2），，， ， 的图象关于点成中心对称。 题型04 两个函数互对称问题 【典例】设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（    ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 【答案】D 【分析】根据点对称,即可判断两个函数的对称. 【详解】设函数的图象上任意一点，则， 关于直线的对称点为． 又函数中，当时，， 所以在的图象上． 故函数与函数的图象关于直线对称， 故选：D 【变式】设函数定义在实数集上，则函数与的图像（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】D 【分析】令，可知函数与的图像关于直线对称，即可得出函数与的图像的对称性. 【详解】令，因为函数与的图像关于直线对称， 所以函数与的图像关于直线对称. 故选：D. 题型05 函数奇偶与对称性的综合问题 【典例1】（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（    ） A．的最小正周期为4 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据已知得到的图象关于直线、对称，进而得到的最小正周期为4，利用奇偶性和周期性依次判断各项的正误即可. 【详解】因为 是定义在上的偶函数，所以， 即，函数的图象关于直线对称， 因为，所以，函数的图象关于点中心对称， 由，令，则， 因为，即， 所以，即， 进一步得，所以是函数的一个周期， 若存在更小的正周期，则，而上，， 结合其对称性，在上的唯一解是， 故不存在小于的正周期，最小正周期为，A 正确； 由，则， 由于，显然不恒为，因此图象不关于点对称，B 错误； 令，由的图象关于直线以及的最小正周期为， ， 所以的图象关于点对称，而的图象是的图象向右平移一个单位得到的， 所以的图象关于原点对称，即为奇函数，C 正确； 当时，，结合函数图象的对称性， 当时，， 当时，， 当时，， 由， 即，解得， 结合最小正周期为，解集为，D 正确. 【典例2】已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3） 在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 【巩固训练】 1．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 为奇函数，，解得， 时，， ，符合题意， ． 2．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数性质可得，再利用函数单调性即可判断． 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 所以． 3．若为奇函数，则函数的图象关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换求解即可. 【详解】因为为奇函数，则关于原点对称， 根据函数的平移变换，函数的图象是将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位， 则对应的对称中心也向右平移个单位，再向上平移个单位， 故关于点对称. 4．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 5．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 6．（多选）设函数，定义域均为，则下列结论正确的有（   ） A．若，均为奇函数，则函数为奇函数 B．若，均为增函数，则函数为增函数 C．若，均为偶函数，则函数为增函数 D．若，均为偶函数，则函数为偶函数 【答案】AD 【分析】通过定义分析奇偶性、举反例判断单调性得出结果. 【详解】选项A：由、均为奇函数，得， 故为奇函数，A正确. 选项B：取，（均为增函数），但在上不是增函数，B错误. 选项C：取，（均为偶函数），但在上不是增函数，C错误. 选项D：由、均为偶函数，得， 故为偶函数，D正确. 故选：AD 7．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调增区间为 【答案】ABC 【分析】利用奇函数可判断A，利用对称性可判断B，利用解分段函数不等式可判断C，利用分段二次函数的单调性可判断D． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 当时，由奇函数得：，故B正确； 当时，由， 因为，所以解得， 当时，由， 显然此时无解，综上可得不等式的解集为，故C正确； 当时，由二次函数的递增区间可得， 当时，由的递增区间可得， 故函数的单调增区间为，故D错误； 故选：ABC． 8．（多选）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 9．若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 （符合题意任写一个即可） 8 【分析】由对任意，有，得函数是奇函数，从而写出符合要求的一个解析式，从而得到是奇函数，并求得其在上的最大值与最小值的和，进而得到的值. 【详解】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 【强化训练】 1．定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合偶函数性质及关系可得，，，再结合函数单调性比较，，，由此可得结论. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 又， 所以， ， ， 因为，且当时，单调递减， 所以， 所以， 即. 2．若为定义在上的奇函数，且不等式中等号能取到，则（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为-2 C．的最大值为2 D．的最大值为-2 【答案】B 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 则，解得， 所以的最小值为. 3．已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． 【答案】D 【详解】令，则，故，故A错误； 因为，所以的函数图象关于点中心对称，故B错误； 因为，都有， 所以在上单调递增， 因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增， 则在上单调递增，则无最小值，故C错误； ，故D正确. 4．已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移得到关于原点对称的函数即可得解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位， 可以得到函数，其图象关于原点对称， 即图象关于原点对称，函数为奇函数. 故选：B 5．（多选）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（    ） A．函数至少有一个零点 B．若在上有最小值，则在上有最大值24 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 【答案】AB 【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质逐项判断即可确定答案. 【详解】由题意可知：函数是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称. 对A：令，则 ， 所以函数至少有一个零点，故A正确； 对B：根据奇函数图象的对称性，若在上有最小值， 则在上有最大值24，故B正确； 对C：根据奇函数图象的对称性，若在上为增函数， 则在上也为增函数，故C不正确； 对D：设，则，所以， 又，所以 （）. 故D不正确. 故选：AB 6．（多选）定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 【答案】BD 【分析】由得函数的图象关于直线对称，由为奇函数得函数的图象关于点对称，从而函数是周期函数，周期为4，由得的图象关于点对称，从而函数与的交点也关于点对称，由此可判断各项. 【详解】因为， 所以函数的图象关于直线对称， 又为奇函数， 所以， 即，则函数的图象关于点对称， 则，故B正确； 所以， ， 即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误； ，故A错误； 又，所以函数 的图象关于点对称， 因此函数与的交点也关于点对称， 则， 故D正确， 故选：BD. 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数与的图象关于对称 B．若函数为奇函数，则的图象关于点中心对称 C．若为奇函数，则的图象关于点对称 D．若为偶函数，且在上为增函数，则关于的不等式的解集为 【答案】CD 【分析】根据对称的定义可判断A，由奇函数及中心对称的判定可判断BC，利用偶函数及对称性的判定结合单调性解不等式判断D. 【详解】令函数的图象关于直线对称图象上任意一点， 则点关于直线的对称点在函数的图象上，所以， 即函数的图象关于对称图象对应的函数为，故A错误； 函数为奇函数，则， 即恒成立，所以的图象关于点中心对称，故B错误； 为奇函数，则，即， 所以，即图象关于成中心对称，所以关于成中心对称，故C正确； 为偶函数，则，即， 所以函数图象关于直线对称，又在上为增函数，， 所以，平方可得，解得，故D正确. 故选：CD 8．设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由题意在上单调递增， 又，所以为偶函数， 所以在上单调递减， 当时，由，可得，即， ， 当时，由，可得，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 9．已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为________________． 【答案】 【分析】令，根据已知结合单调性的定义可得出在上的单调性.根据奇函数的性质，即可得出在R上的单调性.将不等式化为，分以及，化简不等式，结合的单调性，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】令， 可得，， 由可得，， 即成立，所以在上为减函数. 又为R上的偶函数，所以， 所以，，为R上的奇函数. 又在上为减函数，，所以在R上为减函数. 由可得，. ①当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得或，所以； ②当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得， 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 10. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，根据函数为偶函数求出上的函数解析式即可； （2）令，则只需要即可，易得为偶函数，则只需求出函数在上的最大值即可； （3）易得为偶函数，则函数在上有且仅有2个不同的零点，分离参数可得，构造函数，利用双勾函数的性质作出函数的图象即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以， 令，则，则， 所以； （2）对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，不等式恒成立， 令，则只需要即可， 因为， 所以函数为偶函数， 则要求函数在上的最大值，只需求出函数在上的最大值即可， 当时，， 则， 所以； （3）因为， 所以函数为偶函数， 又，在上有且仅有4个不同的零点， 所以函数在上有且仅有2个不同的零点， 当时，， 令，分离参数可得， 令， 则函数与有两个不同的交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，， 如图，做出函数的大致图象， 由图可知，，解得， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $