专题06 函数的单调性与最值（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数单调性与最值核心知识点，系统梳理从函数定义、三要素及定义域值域求解规则，到单调性定义、证明步骤（取值、作差、变形、定号、结论），再到复合函数单调性“同增异减”规律及含参函数分类讨论的完整学习支架。 该资料通过定义法证明的规范训练培养数学思维中的推理能力，结合图像直观判断单调性发展数学眼光中的几何直观，题型从基础典例到综合应用分层设计。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过巩固与强化训练查漏补缺，有效提升解决不等式、恒成立等综合问题的应用意识。

专题06 函数的单调性与最值 重点目标： 1. 回顾并掌握函数的核心定义、三要素、定义域值域求解规则.建立函数对应思维. 2. 熟练掌握增函数、减函数、单调区间的定义.能通过图像直观判断函数单调性. 3. 掌握函数单调性的定义法证明完整步骤.能规范完成取值、作差、变形、定号、下结论流程. 4. 理解函数最大值、最小值的定义.能结合图像与解析式求解简单函数的最值. 5. 掌握基础函数、复合简单函数的单调区间求解方法. 难点目标： 1. 精准区分单调区间的书写规范.杜绝区间并集误用、开闭区间混淆等典型错误. 2. 掌握复杂代数式作差变形技巧.能因式分解、配方、通分判断差值符号. 3. 理解复合函数单调性“同增异减”规律.能准确判断内层、外层函数单调性并推导整体单调性. 4. 掌握含参函数单调性分类讨论方法.能根据参数范围确定函数单调区间与最值. 5. 熟练运用单调性解决不等式、值域、恒成立综合问题.对接中档压轴题型. 1、 重点知识 （一）函数 1. 函数定义：设非空数集.如果按照某个确定的对应关系.使对于集合A中的任意一个数x.在集合B中都有唯一确定的数y和它对应.那么就称为从集合A到集合B的一个函数. 2. 函数三要素：定义域、对应关系、值域.其中定义域与对应关系决定值域.两个函数相等的充要条件是定义域相同且对应关系相同. 3. 定义域核心原则：分式分母不为0；偶次根式被开方数非负；零次幂底数不为0；多式组合取交集. 4. 值域基础理解：函数所有输出值y的集合.单调性是求解函数值域、最值的核心工具. 5. 区间表示规范：严格按照教材标准使用开区间、闭区间、半开半闭区间.单调区间必须用区间书写. （二）单调性 · 设函数的定义域为I.区间. 1. 增函数定义：如果.当时.都有.那么就说在区间D上单调递增. 2. 减函数定义：如果.当时.都有.那么就说在区间D上单调递减. 3. 单调区间：函数单调递增或单调递减的区间.统称为单调区间. （三）最值 1. 最大值：设函数的定义域为I.如果存在实数M满足：①.都有.②.使得.则M为函数的最大值. 2. 最小值：设函数的定义域为I.如果存在实数M满足：①.都有.②.使得.则为函数的最小值. （四）单调性基础性质 1. 单调函数加减性：增+增=增.减+减=减.增-减=增.减-增=减. 2. 正负系数变换：与单调性相反.单调性不变. 3. 区间性质：函数单调必须针对单个连续区间讨论.不能跨区间笼统判定单调性. 2、 难点知识 （一）概念易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 区间书写误区：多个单调区间不能用并集符号连接.必须用逗号隔开.并集会造成单调性逻辑错误. 2. 端点取舍原则：单调区间端点可开可闭.不影响单调性.定义域包含端点则优先写闭区间. 3. 局部与整体误区：函数在多个区间单调递增.不代表在整个定义域上单调递增. 4. 最值存在条件：函数必须在对应区间有定义且能取到对应数值.否则无最值. （二）定义法证明单调性难点 1. 标准五步解题法：取值→作差→变形→定号→结论.其中变形是核心难点.必须彻底因式分解、配方至可直接判断符号. 2. 符号判定陷阱：必须严格依据自变量大小关系推导函数值大小.禁止跳步、主观判断. （三）复合函数单调性难点 1. 核心规律：同增异减.内外层单调性相同则整体递增.内外层单调性相反则整体递减. 2. 解题步骤：先求函数定义域→拆分内外层函数→分别判断单调性→结合规律确定整体单调区间. 3. 高频易错：忽略复合函数定义域直接判断单调性.导致区间错误. （四）含参函数单调性与最值难点 1. 二次函数含参讨论：根据开口方向、对称轴位置与区间的位置关系.分类讨论区间单调性与最值. 2. 一次、分式含参函数：根据参数正负判定单调性.进而求解值域与最值. 3. 最值不唯一问题：区间动、对称轴动的双动模型.需要分段讨论参数范围确定最值. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 单调性与不等式综合：利用单调性脱去符号.将抽象函数不等式转化为自变量不等式求解.是高频基础题型. 2. 单调性与恒成立问题：区间单调等价于代数式恒正/恒负.转化为参数取值范围问题. 3. 抽象函数单调性判定：无解析式函数.仅依托定义与赋值法证明单调性. 4. 最值值域进阶：开闭区间对最值的影响.开区间有界无最值、闭区间必有最值. 5. 单调性对称性拓展：对称区间上奇函数单调性一致.偶函数单调性相反. （六）全章高频失分点汇总 1. 多个单调区间误用并集连接.逻辑表述错误. 2. 定义法证明变形不彻底.符号判断依据不足. 3. 复合函数解题忽略定义域.出现增根、错区间. 4. 含参函数不分类讨论.默认单一单调性. 5. 混淆单调区间整体与局部性质.错误判定定义域整体单调性. 6. 忽略最值必须可取.误将区间边界值当做最值. 题型01 求函数的定义域与值域 角度1：求函数的定义域 【典例1】函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 【典例2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由已知先求出的定义域，即可求出的定义域. 【详解】因为的定义域为， 则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 【变式1】求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. 【变式2】若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的定义域，再根据复合函数的定义求解． 【详解】因为函数的定义域为，则，所以的定义域是， 所以函数中，解得， 故选：B． 角度2：求函数的值域 【典例】函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 【变式】函数在区间上的值域为______. 【答案】 【分析】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 题型02 求函数的解析式 【典例1】已知二次函数满足：，．求二次函数的解析式； 【答案】； 【详解】设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. 【典例2】已知，求函数的解析式___________． 【答案】 【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】令，则， 可得， 所以. 【典例3】已知，求的解析式． 【答案】 【分析】由配凑法求解出的解析式. 【详解】因为， 所以． 【典例4】已知函数满足，则__________. 【答案】 【分析】将式子中的所有换成，即可得到与的方程组，解得即可. 【详解】因为， 所以， 即，解得. 故答案为： 【典例5】已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【答案】 【分析】根据所给关系式利用赋值法求出，推得和，联立计算即得. 【详解】因为， 令得，所以； 当时， 令得，则①， 又②， 用替换可得③， 由②③，可得， 将①式代入，可得， 又，两式相加，整理得， 显然当时也成立， 所以. 故答案为： 题型03 分段函数相关问题 角度1：求分段函数值 【典例】设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 【变式】已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义，先判断自变量所在的区间，再代入对应的表达式逐步计算. 【详解】因为，所以代入，得， 因为，所以代入，得， 将代入，得. 故选：C. 角度2：根据分段函数值求参数值 【典例】已知函数，若，则实数的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用分段函数的定义，对分类讨论，解方程可得答案. 【详解】因为，所以， 条件，即，解得， （1）若，则， 方程无实数解，因为； （2）若，则，得；， 解得，且满足. 因此，实数的值为， 故选：A. 【变式】已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 【答案】D 【分析】令，可得或，结合的取值范围分析求解. 【详解】令，则，若，则，解得， 若，则，解得， 故或， 当时，，与或矛盾， 故，所以， 所以或，解得或. 故选：D. 角度3：解分段函数不等式 【典例】已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 【变式】已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式． 【详解】因为， 当时，，不合题意； 当时，， 不等式可得，解得，所以； 当时，， 所以不等式等价于，即得解得， 所以. 综上可得. 故选：A 题型04 函数的单调性 角度1：定义法证明单调性 【典例】函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 【答案】函数在上单调递增；证明见解析 【分析】通过单调性的定义判断即可. 【详解】函数在上单调递增. 证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，且. 所以，且. 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【变式】已知函数，.判断函数的单调性，并用定义证明； 【答案】增函数，证明见解析； 【分析】任取且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性； 【详解】函数在区间上是增函数； 任取且，即， ， 因为，则，， ，即， 所以函数在区间上是严格增函数； 角度2：求函数的单调区间 【典例】分别作出下列函数的大致图象，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间. 【详解】（1）令，解得：或， 令，解得：， ，图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. （2），图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. 【变式】已知函数．      (1)的值； (2)记，画出函数的图象，写出其单调递减区间（无需证明）； 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递减区间， 【分析】（1）根据题意，由函数解析式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得函数的解析式，即可得到其单调减区间，以及其函数图象. 【详解】（1）因为，则，所以. （2）因为，当时，，所以的单调递减区间为， 当时，，所以的单调递减区间为，因此函数的单调递减区间为，. 函数的图象如图所示      题型05 单调性的应用 角度1：利用单调性求参数 【典例1】（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 【典例2】已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 【变式1】若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 【变式2】已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 角度2：利用单调性解不等式 【典例1】已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 【典例2】已知函数的定义域为，对任意的，，且，都有则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】构造函数，，结合函数单调性定义可得该函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】令，， 则对任意的，且， 有， 由， 则当时，，， 则，故， 故函数在上单调递减， 对，有，则， 则， 故有，即，即， 解得或（舍去），故， 即该不等式的解集为． 故答案为： 【变式1】已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 【变式2】已知函数定义在上,且对任意的、,,都有，,则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】令，结合函数单调性的定义可知在上为减函数，且，将所求不等式变形为，利用函数的单调性、定义域可得出关于的不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】不妨设，则， 由可得， 所以， 不等式两边同时除以得， 令，其中，则， 即函数在上为减函数，且， 由可得， 由题意可知，所以，即， 所以，解得或. 因此原不等式的解集为. 故答案为：. 角度3：利用单调性求最值 【典例】函数的最大值为 . 【答案】 【分析】先求得题设函数的定义域，再分析得其单调性，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 又在上都是单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为. 故答案为：. 【变式】若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 题型06 单调性的综合问题 【典例】已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可； （2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论在上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 【变式】已知函数． (1)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数对称轴和单调性结合题意可解； （2）将改成关于的一次函数，再令区间端点值大于零后解不等式取交集可得； （3）利用二次函数对称轴的位置结合单调性讨论可得. 【详解】（1）函数的对称轴为， 因为在上具有单调性，所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为. （2）将改成关于的一次函数，设， 所以，解得或； ，解得或， 取交集可得的取值范围为. （3）函数的对称轴为，开口向上， 当即时，函数在上单调递增， 所以； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当即时，函数在上单调递减，所以； 综上. 【巩固训练】 1. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得且， 故定义域为 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 3. （多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 4. 函数的最大值是_______. 【答案】 【分析】令，从而将问题转化成求二次函数在上的最大值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，得到，所以函数的定义域为， 令，则，所以，对称轴为，其图象开口向下， 所以当时，取到最大值，最大值为， 故答案为：. 5. 已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，得到，负根舍去； 当时，，得到，符合题意； 综上所述，或. 故选：D 6. 若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 7. 已知函数有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分情况讨论分段函数的单调性，进而确定最大值情况，即可得参数范围. 【详解】由已知当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数在时的最大值为； 当时，， 若，函数在上单调递增，且恒成立， 此时函数在上有最大值为，满足题意； 若，函数，此时， 即函数在上有最大值为，满足题意； 若，函数在上单调递减，且， 则若使函数在上有最大值，则，解得； 综上所述，若函数有最大值，则， 故选：B. 8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 9. 已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 10. 已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) 任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 【强化训练】 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A 2. 函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 3. 定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 4. （多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 【答案】AB 【详解】对于A.由题意，任意取若，则，由函数单调性知在上是减函数，故A正确； 对于B，因函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线，故函数在上单调递增，即B正确； 对于C，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递增，但不能说在定义域内单调递增，故C错误； 对于D，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递减，单调递减区间为和，故D错误． 故选：AB. 5. 函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 6. 函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 7. 已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的解析式，再分、两种情况解不等式即可． 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 8. 定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 【答案】 【分析】不等式 可化为，结合单调性定义证明在上单调递减，结合函数的定义域及单调性解不等式可得结论. 【详解】由题意知： 可得， 故 且，所以 令，不妨设，可得，则 即，所以在上单调递减， 则不等式 ， 因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 9. 已知函数， ，，用表示、中的较小者，记为. (1)在所给坐标系中画出函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； (2)结合图象写出的解析式. 【答案】(1)，减区间为、，增区间为 (2) 【分析】（1）化简函数的解析式，可作出函数的图象，结合图象可得出函数的增区间和减区间； （2）由（1）可得出函数的解析式. 【详解】（1）令，即，即，解得， 令，即，即，解得或， 故，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的减区间为、，增区间为. （2）由（1）可得. 10. 已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 【答案】(1)； (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． (3). 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即 因为，所以． （2）略 （3）当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的单调性与最值 重点目标： 1. 回顾并掌握函数的核心定义、三要素、定义域值域求解规则.建立函数对应思维. 2. 熟练掌握增函数、减函数、单调区间的定义.能通过图像直观判断函数单调性. 3. 掌握函数单调性的定义法证明完整步骤.能规范完成取值、作差、变形、定号、下结论流程. 4. 理解函数最大值、最小值的定义.能结合图像与解析式求解简单函数的最值. 5. 掌握基础函数、复合简单函数的单调区间求解方法. 难点目标： 1. 精准区分单调区间的书写规范.杜绝区间并集误用、开闭区间混淆等典型错误. 2. 掌握复杂代数式作差变形技巧.能因式分解、配方、通分判断差值符号. 3. 理解复合函数单调性“同增异减”规律.能准确判断内层、外层函数单调性并推导整体单调性. 4. 掌握含参函数单调性分类讨论方法.能根据参数范围确定函数单调区间与最值. 5. 熟练运用单调性解决不等式、值域、恒成立综合问题.对接中档压轴题型. 1、 重点知识 （一）函数 1. 函数定义：设非空数集.如果按照某个确定的对应关系.使对于集合A中的任意一个数x.在集合B中都有唯一确定的数y和它对应.那么就称为从集合A到集合B的一个函数. 2. 函数三要素：定义域、对应关系、值域.其中定义域与对应关系决定值域.两个函数相等的充要条件是定义域相同且对应关系相同. 3. 定义域核心原则：分式分母不为0；偶次根式被开方数非负；零次幂底数不为0；多式组合取交集. 4. 值域基础理解：函数所有输出值y的集合.单调性是求解函数值域、最值的核心工具. 5. 区间表示规范：严格按照教材标准使用开区间、闭区间、半开半闭区间.单调区间必须用区间书写. （二）单调性 · 设函数的定义域为I.区间. 1. 增函数定义：如果.当时.都有.那么就说在区间D上单调递增. 2. 减函数定义：如果.当时.都有.那么就说在区间D上单调递减. 3. 单调区间：函数单调递增或单调递减的区间.统称为单调区间. （三）最值 1. 最大值：设函数的定义域为I.如果存在实数M满足：①.都有.②.使得.则M为函数的最大值. 2. 最小值：设函数的定义域为I.如果存在实数M满足：①.都有.②.使得.则为函数的最小值. （四）单调性基础性质 1. 单调函数加减性：增+增=增.减+减=减.增-减=增.减-增=减. 2. 正负系数变换：与单调性相反.单调性不变. 3. 区间性质：函数单调必须针对单个连续区间讨论.不能跨区间笼统判定单调性. 2、 难点知识 （一）概念易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 区间书写误区：多个单调区间不能用并集符号连接.必须用逗号隔开.并集会造成单调性逻辑错误. 2. 端点取舍原则：单调区间端点可开可闭.不影响单调性.定义域包含端点则优先写闭区间. 3. 局部与整体误区：函数在多个区间单调递增.不代表在整个定义域上单调递增. 4. 最值存在条件：函数必须在对应区间有定义且能取到对应数值.否则无最值. （二）定义法证明单调性难点 1. 标准五步解题法：取值→作差→变形→定号→结论.其中变形是核心难点.必须彻底因式分解、配方至可直接判断符号. 2. 符号判定陷阱：必须严格依据自变量大小关系推导函数值大小.禁止跳步、主观判断. （三）复合函数单调性难点 1. 核心规律：同增异减.内外层单调性相同则整体递增.内外层单调性相反则整体递减. 2. 解题步骤：先求函数定义域→拆分内外层函数→分别判断单调性→结合规律确定整体单调区间. 3. 高频易错：忽略复合函数定义域直接判断单调性.导致区间错误. （四）含参函数单调性与最值难点 1. 二次函数含参讨论：根据开口方向、对称轴位置与区间的位置关系.分类讨论区间单调性与最值. 2. 一次、分式含参函数：根据参数正负判定单调性.进而求解值域与最值. 3. 最值不唯一问题：区间动、对称轴动的双动模型.需要分段讨论参数范围确定最值. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 单调性与不等式综合：利用单调性脱去符号.将抽象函数不等式转化为自变量不等式求解.是高频基础题型. 2. 单调性与恒成立问题：区间单调等价于代数式恒正/恒负.转化为参数取值范围问题. 3. 抽象函数单调性判定：无解析式函数.仅依托定义与赋值法证明单调性. 4. 最值值域进阶：开闭区间对最值的影响.开区间有界无最值、闭区间必有最值. 5. 单调性对称性拓展：对称区间上奇函数单调性一致.偶函数单调性相反. （六）全章高频失分点汇总 1. 多个单调区间误用并集连接.逻辑表述错误. 2. 定义法证明变形不彻底.符号判断依据不足. 3. 复合函数解题忽略定义域.出现增根、错区间. 4. 含参函数不分类讨论.默认单一单调性. 5. 混淆单调区间整体与局部性质.错误判定定义域整体单调性. 6. 忽略最值必须可取.误将区间边界值当做最值. 题型01 求函数的定义域与值域 角度1：求函数的定义域 【典例1】函数的定义域是________ 【典例2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【变式1】求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【变式2】若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 角度2：求函数的值域 【典例】函数的值域为______. 【变式】函数在区间上的值域为______. 题型02 求函数的解析式 【典例1】已知二次函数满足：，．求二次函数的解析式； 【典例2】已知，求函数的解析式___________． 【典例3】已知，求的解析式． 【典例4】已知函数满足，则__________. 【典例5】已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 题型03 分段函数相关问题 角度1：求分段函数值 【典例】设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【变式】已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 角度2：根据分段函数值求参数值 【典例】已知函数，若，则实数的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 【变式】已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 角度3：解分段函数不等式 【典例】已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【变式】已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型04 函数的单调性 角度1：定义法证明单调性 【典例】函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 【变式】已知函数，.判断函数的单调性，并用定义证明； 角度2：求函数的单调区间 【典例】分别作出下列函数的大致图象，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 【变式】已知函数．      (1)的值； (2)记，画出函数的图象，写出其单调递减区间（无需证明）； 题型05 单调性的应用 角度1：利用单调性求参数 【典例1】（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【变式2】已知在上是减函数，则的取值范围是 . 角度2：利用单调性解不等式 【典例1】已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【典例2】已知函数的定义域为，对任意的，，且，都有则不等式的解集为________． 【变式1】已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【变式2】已知函数定义在上,且对任意的、,,都有，,则不等式的解集为__________. 角度3：利用单调性求最值 【典例】函数的最大值为 . 【变式】若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 题型06 单调性的综合问题 【典例】已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【变式】已知函数． (1)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)若，求的最小值． 【巩固训练】 1. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3. （多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 4. 函数的最大值是_______. 5. 已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 6. 若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7. 已知函数有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9. 已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 10. 已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【强化训练】 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2. 函数的值域为______． 3. 定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 4. （多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 5. 函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    6. 函数的值域为，则的取值范围是_______. 7. 已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8. 定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 9. 已知函数， ，，用表示、中的较小者，记为. (1)在所给坐标系中画出函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； (2)结合图象写出的解析式. 10. 已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $