专题06 圆的方程（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆的方程”核心知识点，系统梳理圆的定义、标准方程与一般方程的推导及转化，明确点与圆位置关系的判定方法，构建从基础定义到方程求法（定义法、待定系数法等），再到含参数圆、轨迹问题、最值问题的递进学习支架。 资料特色在于精准剖析圆心符号陷阱等高频易错点，通过典例与变式分层设计题型，融入隐形圆模型等高考拓展内容。借助数学思维培养推理能力，如直径式方程应用；以数学语言强化模型意识，如动圆定点问题求解。课中辅助教师突破难点，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

专题06 圆的方程 重点目标： 1. 掌握圆的定义.理解圆的标准方程的推导过程.熟记标准方程形式以及圆心、半径的几何意义. 2. 熟练掌握圆的一般方程的标准形式.明确圆的一般方程表示圆的充要条件.能完成标准方程与一般方程的相互转化. 3. 掌握点与圆的三种位置关系的判定方法.能通过代数运算精准判断点在圆内、圆上、圆外. 4. 熟练运用待定系数法、几何定义法求解圆的方程.适配已知圆心半径、已知三点、已知直径端点等基础题型. 5. 掌握圆的基础几何性质.能利用圆的方程解决简单定点、定值、取值范围基础综合问题. 难点目标： 1. 熟练掌握圆的一般方程配方技巧.精准规避圆心坐标、半径的符号与运算错误. 2. 能根据复杂已知条件灵活选择标准式或一般式求圆的方程.区分两种方程的最优使用场景. 3. 掌握含参数圆的方程的参数分析方法.根据参数取值判断轨迹是否为圆、圆心位置与半径变化规律. 4. 掌握平面内圆的轨迹问题求解思路.能依据圆的定义判定动点轨迹为圆并求解轨迹方程. 5. 综合利用点圆位置关系、圆的方程求解最值、取值范围压轴题型.对接基础拔高考点. 1、 重点知识 （一）圆的教材定义与标准方程 1. 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫做圆.定点叫做圆心.定长叫做圆的半径. 2. 圆的标准方程：以为圆心.为半径的圆的标准方程为. 3. 特殊标准方程：圆心在坐标原点时.圆的方程为. 4. 方程核心意义：标准方程可以直接读出圆心坐标与半径.适用于已知圆心、半径的快速设方程题型. （二）圆的一般方程 1. 一般方程标准形式：（为常数）. 2. 方程判定规则（教材严格定义）： ① 当时.方程表示圆.圆心为.半径. ② 当时.方程表示一个点. ③ 当时.方程不表示任何平面图形. 3. 3. 一般方程特点：无交叉项.二次项系数相等且不为0.适用于已知多点求圆方程的题型. （三）点与圆的位置关系 · 设点.圆的标准方程.圆心. 1. 点在圆上： 即 . 2. 点在圆内： 即 . 3. 点在圆外： 即 . （四）圆的方程常用求法 1. 定义法：根据圆的几何定义.找到定点与定长.直接写出标准方程. 2. 待定系数法：已知三点、多点条件.设一般方程代入求解参数；已知圆心半径条件.设标准方程求解. 3. 直径式方程（教材拓展基础）：若圆的直径端点为.则圆的方程为. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频失分点） 1. 圆心符号陷阱：由一般方程求圆心时.极易忽略负号.错写圆心坐标.是全章最高频错误. 2. 圆的判定误区：看到系数相等直接判定为圆.忽略的核心前提. 3. 半径书写误区：半径必须为正数.求解后需舍去负根.不可保留负值半径. 4. 方程混用误区：复杂多点题型误用标准式计算繁琐.定点圆心题型误用一般式增加运算量. （二）含参数圆的方程难点 1. 参数轨迹判定：含参二元二次方程.根据参数取值分类讨论.判断轨迹是圆、单点或无轨迹. 2. 动圆定点问题：含参数圆的方程恒过定点.核心解法：将方程整理为参数聚合形式.令参数系数与常数项同时为0.求解定点坐标. 3. 动圆参数范围：根据圆存在的条件、圆心位置约束、半径正负.反求参数取值范围. （三）圆的轨迹方程难点 1. 定义法求轨迹：根据动点到定点距离为定值.直接判定轨迹为圆.写出轨迹方程并标注定义域. 2. 代入法（相关点法）：已知定圆与动点关联关系.通过主动点与从动点坐标代换.求解从动点轨迹圆方程. 3. 轨迹取舍难点：部分动点存在运动范围限制.需要剔除不符合题意的点.保证轨迹完整性. （四）高考深度拓展拔高知识 1. 圆的方程择优解题思维：已知圆心、对称、距离条件优先标准式.已知三点、多点共圆优先一般式.直径端点优先直径式. 2. 圆上动点最值拓展：已知圆方程.求解圆上动点横纵坐标最值、代数式最值.依托圆心半径几何意义快速求解. 3. 隐形圆模型（高考高频）：通过距离定值、垂直定值、斜率定值等条件.挖掘题目隐形圆.转化为圆的方程问题求解. 4. 圆的对称性拓展：圆关于坐标轴对称、关于原点对称、关于点对称的圆方程快速改写规律. （五）全章高频失分点汇总 1. 一般方程配方错误.圆心坐标符号写反、半径计算出错. 2. 判定圆的方程时遗漏条件. 3. 含参圆方程不分类讨论.默认方程一定表示圆. 4. 求轨迹方程不标注取值范围.出现多余无效点. 5. 直径式方程使用场景混淆.随意套用公式导致方程错误. 6. 点圆位置关系判断时代入计算失误.正负符号判定错误. 题型01 由圆的方程求圆心与半径 【典例1】圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【典例2】方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【变式2】已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型02 求圆的方程 【典例1】已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 题型03二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例1】若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【变式1】若方程为圆的方程，则的值为______. 题型04点与圆的位置关系 【典例】点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【变式】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05与圆有关的对称问题 【典例1】若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【典例2】圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【变式1】圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【变式2】求圆关于点对称的圆的方程为___________. 题型06与圆有关的轨迹问题 【典例】已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【变式】在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 题型07圆过定点问题 【典例】圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式】对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 题型08与圆有关的最值问题 【典例1】已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【典例2】已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【典例3】已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【典例4】（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 题型09圆的方程综合问题 【典例】已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【变式1】已知倾斜角为的直线过点，圆的圆心在直线上，且圆过点和点． (1)求直线的一般式方程和圆的标准方程； (2)求的面积． 【巩固训练】 1. 圆心为，半径为4的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2. 已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 5. （多选）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 6. （多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 7. 已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 8. 若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 9. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 10. 已知圆的方程为，直线. (1)求圆关于直线对称的圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值. 【强化训练】 1. 已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 2. “太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（    ） A．0 B．6 C．8 D．10 3. 已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4. 设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 5. （多选）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 6. （多选）下列说法正确的是（   ） A．“直线与直线互相垂直”是“”的充要条件． B．直线的倾斜角的取值范围是． C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是． D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是． 7. 在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 8. 某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 9. 已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 10. 已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆的方程 重点目标： 1. 掌握圆的定义.理解圆的标准方程的推导过程.熟记标准方程形式以及圆心、半径的几何意义. 2. 熟练掌握圆的一般方程的标准形式.明确圆的一般方程表示圆的充要条件.能完成标准方程与一般方程的相互转化. 3. 掌握点与圆的三种位置关系的判定方法.能通过代数运算精准判断点在圆内、圆上、圆外. 4. 熟练运用待定系数法、几何定义法求解圆的方程.适配已知圆心半径、已知三点、已知直径端点等基础题型. 5. 掌握圆的基础几何性质.能利用圆的方程解决简单定点、定值、取值范围基础综合问题. 难点目标： 1. 熟练掌握圆的一般方程配方技巧.精准规避圆心坐标、半径的符号与运算错误. 2. 能根据复杂已知条件灵活选择标准式或一般式求圆的方程.区分两种方程的最优使用场景. 3. 掌握含参数圆的方程的参数分析方法.根据参数取值判断轨迹是否为圆、圆心位置与半径变化规律. 4. 掌握平面内圆的轨迹问题求解思路.能依据圆的定义判定动点轨迹为圆并求解轨迹方程. 5. 综合利用点圆位置关系、圆的方程求解最值、取值范围压轴题型.对接基础拔高考点. 1、 重点知识 （一）圆的教材定义与标准方程 1. 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫做圆.定点叫做圆心.定长叫做圆的半径. 2. 圆的标准方程：以为圆心.为半径的圆的标准方程为. 3. 特殊标准方程：圆心在坐标原点时.圆的方程为. 4. 方程核心意义：标准方程可以直接读出圆心坐标与半径.适用于已知圆心、半径的快速设方程题型. （二）圆的一般方程 1. 一般方程标准形式：（为常数）. 2. 方程判定规则（教材严格定义）： ① 当时.方程表示圆.圆心为.半径. ② 当时.方程表示一个点. ③ 当时.方程不表示任何平面图形. 3. 3. 一般方程特点：无交叉项.二次项系数相等且不为0.适用于已知多点求圆方程的题型. （三）点与圆的位置关系 · 设点.圆的标准方程.圆心. 1. 点在圆上： 即 . 2. 点在圆内： 即 . 3. 点在圆外： 即 . （四）圆的方程常用求法 1. 定义法：根据圆的几何定义.找到定点与定长.直接写出标准方程. 2. 待定系数法：已知三点、多点条件.设一般方程代入求解参数；已知圆心半径条件.设标准方程求解. 3. 直径式方程（教材拓展基础）：若圆的直径端点为.则圆的方程为. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频失分点） 1. 圆心符号陷阱：由一般方程求圆心时.极易忽略负号.错写圆心坐标.是全章最高频错误. 2. 圆的判定误区：看到系数相等直接判定为圆.忽略的核心前提. 3. 半径书写误区：半径必须为正数.求解后需舍去负根.不可保留负值半径. 4. 方程混用误区：复杂多点题型误用标准式计算繁琐.定点圆心题型误用一般式增加运算量. （二）含参数圆的方程难点 1. 参数轨迹判定：含参二元二次方程.根据参数取值分类讨论.判断轨迹是圆、单点或无轨迹. 2. 动圆定点问题：含参数圆的方程恒过定点.核心解法：将方程整理为参数聚合形式.令参数系数与常数项同时为0.求解定点坐标. 3. 动圆参数范围：根据圆存在的条件、圆心位置约束、半径正负.反求参数取值范围. （三）圆的轨迹方程难点 1. 定义法求轨迹：根据动点到定点距离为定值.直接判定轨迹为圆.写出轨迹方程并标注定义域. 2. 代入法（相关点法）：已知定圆与动点关联关系.通过主动点与从动点坐标代换.求解从动点轨迹圆方程. 3. 轨迹取舍难点：部分动点存在运动范围限制.需要剔除不符合题意的点.保证轨迹完整性. （四）高考深度拓展拔高知识 1. 圆的方程择优解题思维：已知圆心、对称、距离条件优先标准式.已知三点、多点共圆优先一般式.直径端点优先直径式. 2. 圆上动点最值拓展：已知圆方程.求解圆上动点横纵坐标最值、代数式最值.依托圆心半径几何意义快速求解. 3. 隐形圆模型（高考高频）：通过距离定值、垂直定值、斜率定值等条件.挖掘题目隐形圆.转化为圆的方程问题求解. 4. 圆的对称性拓展：圆关于坐标轴对称、关于原点对称、关于点对称的圆方程快速改写规律. （五）全章高频失分点汇总 1. 一般方程配方错误.圆心坐标符号写反、半径计算出错. 2. 判定圆的方程时遗漏条件. 3. 含参圆方程不分类讨论.默认方程一定表示圆. 4. 求轨迹方程不标注取值范围.出现多余无效点. 5. 直径式方程使用场景混淆.随意套用公式导致方程错误. 6. 点圆位置关系判断时代入计算失误.正负符号判定错误. 题型01 由圆的方程求圆心与半径 【典例1】圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程即可求解. 【详解】由有圆心坐标为，半径为， 故选：C. 【典例2】方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而求得圆心坐标和圆的半径. 【详解】由，得. 所以方程表示的圆的圆心坐标为，半径为3. 故选：B. 【变式1】已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程的特点即可求解. 【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为， 所以圆的圆心和半径分别为，2. 故选：C. 【变式2】已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】将圆的方程化为标准方程，可得出该圆的圆心坐标与半径. 【详解】圆的标准方程为，所以，该圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D. 题型02 求圆的方程 【典例1】已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 【变式1】数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为 ， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 【变式2】以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 题型03二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例1】若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 【变式1】若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 题型04点与圆的位置关系 【典例】点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 【变式】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 题型05与圆有关的对称问题 【典例1】若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心 . 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 【典例2】圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 【变式1】圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 【变式2】求圆关于点对称的圆的方程为___________. 【答案】 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出关于点对称的点，即可写出对称圆的方程. 【详解】圆化为标准方程为：.所以，半径. 故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D. 由中点坐标公式求得: , 所以对称圆的方程为：. 故答案为： 题型06与圆有关的轨迹问题 【典例】已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 【变式】在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【答案】 【详解】设，则，， 由题意可知，则， 化简可得，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到一定点的距离为定值，则该定值为. 题型07圆过定点问题 【典例】圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式】对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 题型08与圆有关的最值问题 【典例1】已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 【典例2】已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定在上，再表示出，将转化为到点的距离，最后利用圆的性质求解即可. 【详解】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. 【典例3】已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：，当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 故选：D. 【典例4】（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】设，则， 则 ， 所以， 即的取值范围为． 题型09圆的方程综合问题 【典例】已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 【变式1】已知倾斜角为的直线过点，圆的圆心在直线上，且圆过点和点． (1)求直线的一般式方程和圆的标准方程； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点斜式求出直线的方程，根据直线方程设圆心坐标，再根据圆的定义计算半径即可； （2）求出圆心到直线AB的距离，再利用面积公式求出. 【详解】（1）由题意可知，直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，即直线的一般式方程为，   因为圆心在直线上，所以可设圆心， 因为A，B是圆上的两点， 所以，则，解得，               所以圆心，圆的半径为，        故所求的圆的标准方程是． （2）直线AB的方程为，             圆心到直线AB的距离为，                    所以的面积为． 【巩固训练】 1. 圆心为，半径为4的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的标准方程的定义求解. 【详解】圆心为，半径为4的圆的标准方程为． 故选：C. 2. 已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 3. 过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 5. （多选）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 6. （多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BCD 【分析】化简圆的方程为，结合选项，分别求得圆心坐标和半径，以及圆心到直线的距离和圆的面积，即可得到答案. 【详解】对于A，由圆的方程，可化为，得圆心为，A不正确； 对于B，当时，得圆的方程，则圆的半径为，B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到直线的距离为，C正确； 对于D，当时，得圆的方程为，则圆的半径为，圆的面积为，D正确. 故选：BCD. 7. 已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由点与圆的位置关系可得答案. 【详解】由题知， 解得. 故答案为： 8. 若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【分析】通过中点坐标公式建立点与中点的坐标关系，将点的坐标用的坐标表示后代入已知圆方程，化简得到中点的轨迹方程. 【详解】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 9. 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过两点. (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可设，由求得的值，从而得到圆心坐标及半径，求出圆的方程； （2）设点的坐标为，根据两点间距离公式，结合圆的方程可证得为定值. 【详解】（1）由题可设，由得，解得. 所以圆心，半径. 所以圆的方程为. （2）设，则. . 即为定值. 10. 已知圆的方程为，直线. (1)求圆关于直线对称的圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得圆心关于直线的对称点，可得圆的方程； （2）由，可得所求最小值． 【详解】（1）由圆的方程为知圆心，半径． 设圆心关于直线的对称点为，则， 解得， 所以圆的方程为； （2）因为，    所以当，，三点共线时，取得最小值． 因为，所以的最小值为． 【强化训练】 1. 已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 2. “太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（    ） A．0 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】设，则，讨论P点所在区域，求出的最大值和最小值，即可得的最大值和最小值，即可判断出答案. 【详解】由于， 设，即表示阴影区域(含边界)上的点P和点之间的距离， 则； 当P在半圆上时，的最小值为； 当P在x轴下方的阴影区域（包含边界）时， 的最小值为和或之间的距离，为， 而，即的最小值为； 当P在第二象限的阴影区域（包含边界）时，圆弧所在圆的方程为， 的最大值为； 故的最小值为，最大值为 结合可知的值不可能是10. 3. 已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设．设，根据已知条件得到的方程，从而得到的轨迹是圆．则的最小值为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径． 【详解】由，且，可设． 设，因为，所以， 整理得， 即的轨迹是圆心为，半径为的圆． 的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径， 故的最小值为．    4. 设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】在轴上找一点，此时，证明，同理在轴上找一点，证明，将所求变为，代入整理，当D、P、C三点共线时，有最小值，即可得答案. 【详解】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， 所以， 由此知 . 故选：C. 5. （多选）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设点，因为， 所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误． 因为，所以． 因为， 所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为， 则解得 因为，所以， 所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为， 所以，故C正确． 设，， 因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 故选：BCD 6. （多选）下列说法正确的是（   ） A．“直线与直线互相垂直”是“”的充要条件． B．直线的倾斜角的取值范围是． C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是． D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是． 【答案】BC 【分析】根据两直线垂直，列出方程，求得的值，可判定A错误；求得直线的斜率，得到直线的倾斜角，可判定B正确；根据圆的性质，列出不等式组，求得的范围，可判定C正确；当直线过原点时，求得直线方程为，可判定D错误． 【详解】对于A，由直线与直线互相垂直，可得， 即，解得或，所以A错误； 对于B，由直线，可得直线的斜率为， 则直线的倾斜角的取值范围是，所以B正确； 对于C，由圆，可得圆心为，则， 若圆上恰有两点到点的距离为1，则满足，解得， 所以的取值范围是，所以C正确； 对于D，当所求直线过原点时，此时直线方程为； 当所求直线不过原点时，设直线方程为， 将点代入，可得，解得，即， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或，所以D错误． 故选：BC. 7. 在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用解析法求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设三角形内切圆半径为，则， 即，解得，所以圆心为， 故圆的方程为，设， 则 8. 某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则，设交点， 所以， 因为，所以， 整理得， 所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以交汇点G形成的轨迹长度为. 9. 已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 【答案】(1)； (2)周长；面积 (3)外接圆方程；内切圆方程 【分析】（1）先求出直线及其中垂线的斜率，再求出的中点坐标，即可根据点斜式求出直线方程； （2）根据两点间距离公式分别求出，即可得的周长，根据即可求出的面积； （3）设外接圆的圆心为，根据的中垂线与的中垂线的交点即为外接圆的圆心求出，再求出其半径，即可得外接圆方程；设的内切圆的圆心为，利用三角形的面积公式求出内切圆半径，再根据点到的距离等于，列出方程求出，即可得内切圆方程. 【详解】（1）    因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得. 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得； （2）因为，， . 所以的周长为， 的面积为； （3）    设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为.    设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于， 则，解得. 所以的内切圆的方程为. 10. 已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. / 学科网（北京）股份有限公司 $