专题02 空间向量的数量积运算（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量数量积运算，从平面向量数量积延伸，系统梳理定义、夹角范围、运算律及核心推论，构建从基础公式到几何体（正方体、平行六面体、四面体）应用的学习支架。 资料通过概念易错点辨析（如数量积无消去律）、几何综合问题（如点到直线距离推导），培养数学思维与空间观念，典例变式分层设计助力课中教学，巩固训练帮助学生课后查漏补缺。

专题02 空间向量的数量积运算 重点目标： 1. 掌握空间向量夹角定义、取值范围，熟记数量积定义公式. 2. 熟练运用数量积核心推论：、，解决垂直证明、向量模长计算. 3. 熟记空间向量数量积三条运算律（交换律、数乘结合律、分配律），能在几何体中展开、化简数量积多项式. 4. 掌握向量投影概念，会计算一个向量在另一向量上的投影长度，理解投影的几何意义. 5. 能结合正方体、平行六面体、四面体，利用棱长、夹角计算数量积、异面直线夹角. 难点目标： 1. 区分数量积与实数乘法的差异，规避 “消去律、结合律不成立” 等典型易错误区. 2. 复杂几何体（平行六面体）中展开，处理多组不同夹角的混合数量积计算. 3. 异面直线夹角求解时，牢记夹角范围，计算余弦必须取绝对值，避免角度出错. 4. 综合运用线性运算 + 数量积完成线线垂直、线面垂直的立体几何证明. 5. 结合向量投影推导点到直线距离公式，能完成距离类综合计算与拓展证明. 1、 重点知识 （一）核心定义与基础公式 1. 向量夹角：空间任取一点作，为夹角；范围； ；同向，反向. 2. 数量积定义 ；零向量与任意向量数量积为. 3. 两大核心推论 ① 垂直判定：（立体垂直证明万能工具）； ② 模长公式：，即，用于求线段长度、体对角线. 4. 向量投影 在上投影向量的长度：，投影正负由夹角锐角 / 钝角决定. （二）数量积运算律（直接用于化简） 1. 交换律： 2. 数乘结合律： 3. 分配律： 拓展展开公式（高频计算）： （三）基础应用题型 1. 基础计算：已知棱长、向量夹角，直接求、； 2. 垂直判定：几何体中证明两条异面直线 / 相交直线垂直； 3. 简单异面直线夹角：两向量数量积求余弦，取绝对值得到线角余弦； 4. 投影基础计算：求一个向量在棱上的投影长度. （四）期中、高考基础考法 平行六面体体对角线长度计算是固定基础题型，依靠展开求解，高考立体几何第一小问常考. 2、 难点知识 （一）概念易错难点（选择高频陷阱） 1. 数量积不满足实数乘法规律 · 无消去律：（垂直即可成立）； · 无结合律：，左右向量方向完全不同； · 向量无除法，不能写. 2. 夹角混淆误区 向量夹角范围，异面直线夹角范围，计算线角余弦必须加绝对值，直接用向量余弦会出现钝角错误. （二）运算难点 1. 多向量混合展开计算 平行六面体三个棱两两夹角各不相同，展开平方后共 6 项数量积，极易漏项、符号写错，是期中解答计算难点. 2. 含参数数量积求值 已知垂直、模长、夹角条件，列方程求解参数，需要联立数量积等式分类讨论. （三）几何综合难点 1. 立体几何垂直证明综合 线线垂直、线面垂直判定定理向量证明：平面内两条相交直线方向向量均与目标直线数量积为 0，推导线面垂直；课本直线与平面垂直判定定理证明为本节典型例题. 2. 点到直线距离公式推导 设直线单位方向向量，定点，直线外点，距离，结合勾股定理与投影推导，是距离类拔高计算. 3. 四面体对偶垂直模型（课本拓广探索习题） 已知、，利用数量积代换证明，训练等量代换代数变形能力. （四）高考深度拓展难点 1. 基底选取技巧 四面体、平行六面体优先选取共起点三条棱作为基底，统一所有向量，简化多层数量积运算. 2. 立体几何大题通用解题模板 几何条件向量化→线性组合变形→数量积运算→转化垂直 / 角度 / 长度几何结论，新高考立体几何大题两大解法（基底法、坐标法）之一. 3. 向量向平面投影拓展 区别向量在直线、向量、平面上三种投影形式，为后续平面法向量、空间距离综合计算铺垫. 4. 物理应用拓展（课本滑翔伞例题） 力向量的合成与分解，利用数量积求解合力、分力大小，跨学科综合小题偶尔考查. （五）平面向量 VS 空间数量积对比 对比维度 平面向量数量积 空间向量数量积 定义公式 运算律 交换、数乘、分配律 几何作用 平面垂直、线段长、平面角 空间线线垂直、异面直线夹角、空间线段、距离、线面关系 限制条件 仅二维平面图形 正方体、平行六面体、四面体所有三维几何体适用 易错点 无空间异面角度问题 异面直线夹角需取绝对值，三维多向量展开项更多 题型01 空间向量的数量积问题 角度1：求空间向量的数量积 【典例】如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【变式】如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 角度2：求空间向量数量积的最值（范围） 【典例1】已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【典例2】正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是__________. 【变式1】如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，且，则的最大值为________. 【变式2】正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是______. 题型02 空间向量的数量积的应用问题 角度1：利用数量积求模长 【典例1】已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 【典例2】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B．133 C． D．61 【变式2】1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 角度2：利用数量积求模长有关的最值（范围） 【典例】如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为______． 【变式】已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则___________，___________. 角度3：利用数量积求夹角 【典例1】已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，M，N分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 角度4：利用数量积求夹角有关的最值（范围） 【典例】 已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 角度5：利用数量积求投影（向量） 【典例1】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【典例2】在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 【变式1】已知在标准正交基下，向量，，，求向量在，上的投影. 【变式2】如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型03 与空间向量运算有关的新定义问题 【典例】（多选）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．长方体的体积 【变式】定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ） A． B．. C． D． 题型04空间向量运算的综合问题 【典例】如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且. (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【变式】已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由． 【巩固训练】 1. 已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 2. 若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（    ） A．5 B． C． D． 3. 二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（    ） A． B． C． D．2 4. 正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5. 已知空间向量， 且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6. 已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 7. 已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__． 8. 在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9. 若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 10. 在三棱锥中，平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若为中点，求向量与夹角的余弦值. 【强化训练】 1. 三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 2. 设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4. 将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥是线段上的动点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. 在三棱锥中，满足，，给出下列结论： ①；    ②若是锐角，则； ③若是钝角，则是钝角；    ④若且，则是锐角. 其中正确结论的序号为（    ） A．①②④ B．①④ C．②③ D．②④ 6. （多选）三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 7. （多选）下列命题错误的是（   ） A．是向量，不共线的充要条件 B．在空间四边形中， C．在棱长为1的正四面体中， D．设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面 8. 在三棱锥中，已知，，，，，则的最小值为______. 9. 设、、、是空间中互不平行的单位向量，记集合，. 若对于任意不同的、，均有，记中模最小的向量为，则最大值为___________. 10. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的数量积运算 重点目标： 1. 掌握空间向量夹角定义、取值范围，熟记数量积定义公式. 2. 熟练运用数量积核心推论：、，解决垂直证明、向量模长计算. 3. 熟记空间向量数量积三条运算律（交换律、数乘结合律、分配律），能在几何体中展开、化简数量积多项式. 4. 掌握向量投影概念，会计算一个向量在另一向量上的投影长度，理解投影的几何意义. 5. 能结合正方体、平行六面体、四面体，利用棱长、夹角计算数量积、异面直线夹角. 难点目标： 1. 区分数量积与实数乘法的差异，规避 “消去律、结合律不成立” 等典型易错误区. 2. 复杂几何体（平行六面体）中展开，处理多组不同夹角的混合数量积计算. 3. 异面直线夹角求解时，牢记夹角范围，计算余弦必须取绝对值，避免角度出错. 4. 综合运用线性运算 + 数量积完成线线垂直、线面垂直的立体几何证明. 5. 结合向量投影推导点到直线距离公式，能完成距离类综合计算与拓展证明. 1、 重点知识 （一）核心定义与基础公式 1. 向量夹角：空间任取一点作，为夹角；范围； ；同向，反向. 2. 数量积定义 ；零向量与任意向量数量积为. 3. 两大核心推论 ① 垂直判定：（立体垂直证明万能工具）； ② 模长公式：，即，用于求线段长度、体对角线. 4. 向量投影 在上投影向量的长度：，投影正负由夹角锐角 / 钝角决定. （二）数量积运算律（直接用于化简） 1. 交换律： 2. 数乘结合律： 3. 分配律： 拓展展开公式（高频计算）： （三）基础应用题型 1. 基础计算：已知棱长、向量夹角，直接求、； 2. 垂直判定：几何体中证明两条异面直线 / 相交直线垂直； 3. 简单异面直线夹角：两向量数量积求余弦，取绝对值得到线角余弦； 4. 投影基础计算：求一个向量在棱上的投影长度. （四）期中、高考基础考法 平行六面体体对角线长度计算是固定基础题型，依靠展开求解，高考立体几何第一小问常考. 2、 难点知识 （一）概念易错难点（选择高频陷阱） 1. 数量积不满足实数乘法规律 · 无消去律：（垂直即可成立）； · 无结合律：，左右向量方向完全不同； · 向量无除法，不能写. 2. 夹角混淆误区 向量夹角范围，异面直线夹角范围，计算线角余弦必须加绝对值，直接用向量余弦会出现钝角错误. （二）运算难点 1. 多向量混合展开计算 平行六面体三个棱两两夹角各不相同，展开平方后共 6 项数量积，极易漏项、符号写错，是期中解答计算难点. 2. 含参数数量积求值 已知垂直、模长、夹角条件，列方程求解参数，需要联立数量积等式分类讨论. （三）几何综合难点 1. 立体几何垂直证明综合 线线垂直、线面垂直判定定理向量证明：平面内两条相交直线方向向量均与目标直线数量积为 0，推导线面垂直；课本直线与平面垂直判定定理证明为本节典型例题. 2. 点到直线距离公式推导 设直线单位方向向量，定点，直线外点，距离，结合勾股定理与投影推导，是距离类拔高计算. 3. 四面体对偶垂直模型（课本拓广探索习题） 已知、，利用数量积代换证明，训练等量代换代数变形能力. （四）高考深度拓展难点 1. 基底选取技巧 四面体、平行六面体优先选取共起点三条棱作为基底，统一所有向量，简化多层数量积运算. 2. 立体几何大题通用解题模板 几何条件向量化→线性组合变形→数量积运算→转化垂直 / 角度 / 长度几何结论，新高考立体几何大题两大解法（基底法、坐标法）之一. 3. 向量向平面投影拓展 区别向量在直线、向量、平面上三种投影形式，为后续平面法向量、空间距离综合计算铺垫. 4. 物理应用拓展（课本滑翔伞例题） 力向量的合成与分解，利用数量积求解合力、分力大小，跨学科综合小题偶尔考查. （五）平面向量 VS 空间数量积对比 对比维度 平面向量数量积 空间向量数量积 定义公式 运算律 交换、数乘、分配律 几何作用 平面垂直、线段长、平面角 空间线线垂直、异面直线夹角、空间线段、距离、线面关系 限制条件 仅二维平面图形 正方体、平行六面体、四面体所有三维几何体适用 易错点 无空间异面角度问题 异面直线夹角需取绝对值，三维多向量展开项更多 题型01 空间向量的数量积问题 角度1：求空间向量的数量积 【典例】如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】依题意可知, . 【变式】如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 角度2：求空间向量数量积的最值（范围） 【典例1】已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 【典例2】正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】 由题意得为正方形的中心，取中点H，连接，， 因为为正八面体，所以平面，， ，，， 设正八面体的内切球半径为， 则, 所以，解得， ， 由图可知，当点在正八面体的顶点时，最大，为，当点在切点，最小，为， 所以，即. 【变式1】如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，且，则的最大值为________. 【答案】10 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】根据题意，球的半径为1， 当球与平面相切，点为四边形顶点时， 取得最大值，所以， 故答案为:10. 【变式2】正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是______. 【答案】 【详解】连接，如下图所示： 设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径， 由向量线性运算可知 正方体的棱长为2，则球的半径为1，， 所以 ， 而 所以， 即 题型02 空间向量的数量积的应用问题 角度1：利用数量积求模长 【典例1】已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【详解】因为，，且，，为单位向量， 则 . 【典例2】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 【变式1】已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B．133 C． D．61 【答案】A 【详解】因为，，， 所以 【变式2】1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以，同理可得， 所以丝线缠一圈长度为. 角度2：利用数量积求模长有关的最值（范围） 【典例】如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为______． 【答案】 【详解】设正四棱台下底面中心为 ，上底面中心为 .取 ，， 作为空间一组基底. 由正四棱台性质： 1. （两两垂直） 2. ， 3. 上底面对应向量：， 点（在 上，设 ，）： 点（在 上，设 ，）： 计算点积（利用 两两垂直）： 展开化简： 由 ，得： 令 ，则： 由式 (1) 知 .结合 ，从 解出： 代入 ： 函数 在 上 ，故 单调递增： 是开口向上的二次函数，对称轴 ，在 时单调递增. 因此当 （即 ，对应 ）时， 取得最小值： 所以， 【变式】已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则___________，___________. 【答案】 【详解】因为， 由于，所以， 问题等价于当且仅当时，取到最小值1， ， 则，解得. 角度3：利用数量积求夹角 【典例1】已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，得， 所以 ， 设向量和的夹角为，则， 又，所以. 【典例2】如图，M，N分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， 在中，由余弦定理得： ， ； 在中，由余弦定理得：； ， 故，即异面直线，夹角的余弦值为. 【变式1】已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 角度4：利用数量积求夹角有关的最值（范围） 【典例】 已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【详解】由题可知①， 又②，①②联立， 结合，得，. 因为， 所以当时，取得最大值为. 角度5：利用数量积求投影（向量） 【典例1】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 【典例2】在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 【答案】 【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为， 所以 向量 在向量 方向上的投影向量是 向量 在向量 方向上的投影向量的模是 【变式1】已知在标准正交基下，向量，，，求向量在，上的投影. 【答案】向量在上的投影为7，在上的投影为2 【详解】因为，，， 则， 所以向量在上的投影为7，在上的投影为2． 【变式2】如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，在方向上的投影向量为， 又 ， 且， 所以，所以. 题型03 与空间向量运算有关的新定义问题 【典例】（多选）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 【答案】BCD 【详解】选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系， ， ，所以， 故A不正确， 选项B：由， ， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为 ， 且与同向共线， 又， 且与同向共线， 又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 【变式】定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ） A． B．. C． D． 【答案】D 【详解】设,则，过作平面，则为三角形的外心，所以，进而 , 由于与共线，且方向相同，则 ， 故选：D 题型04空间向量运算的综合问题 【典例】如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ； （2） （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 【变式】已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．    （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析. 【详解】（1）由于为坐标原点，所以 由得： 点N是AB的中点，点M是的中点，； （2）由两点距离公式得：， ； （3）直线与直线不垂直 理由：由（1）中各点坐标得： 与不垂直，所以直线与直线不垂直 【巩固训练】 1. 已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】C 【详解】由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 2. 若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故， 3. 二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用二面角、空间向量的数量积运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题 【详解】∵二面角的平面角为60°， 是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，，， ，，， 4. 正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 5. 已知空间向量， 且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故选：D 6. 已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量和满足，由在方向上的投影向量为， 可得，解得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D. 7. 已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__． 【答案】8 【详解】解：由正四面体棱长为，其内切圆的半径为， 由题意，，是直径的两端点，可得，， 则， 当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为， 则的最大值为， 8. 在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法运算可得，，再利用数量积的运算律计算，并由的取值范围，结合余弦函数的图象性质得到最终结果. 【详解】由题意得,, 所以 . 由,得, 所以. 9. 若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 【答案】2 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求，即可求出. 【详解】，， ，即， 在上的投影向量为， 则，整理得：，化简得：， ，， 由可得， 因，则， 由 ， 令， 时，，， ，解得：. 10. 在三棱锥中，平面，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若为中点，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) 证明：过点作于点，   平面平面，平面平面平面， 平面，又平面. 平面平面. 平面平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）由，求出，，由空间向量夹角的公式代入求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，设， 则. 为中点，， 与夹角的余弦值为. 【强化训练】 1. 三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，平方后求解即可． 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 2. 设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【详解】令集合的各向量起点为，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以. 故选：C 3. 如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设、得到，作，，垂足分别为点、，连接，由空间向量的线性运算得出，利用空间向量数量积的运算性质得出，结合基本不等式可求得长的最小值. 【详解】设，，则， 如图，作，，垂足分别为点、，连接，    则， 所以， 由图可知，， ，，， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：C. 4. 将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥是线段上的动点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用角参数结合空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图，取棱的中点，连接，则. 以为原点，所在直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，， 所以. 设，， 则，， 故. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是.    5. 在三棱锥中，满足，，给出下列结论： ①；    ②若是锐角，则； ③若是钝角，则是钝角；    ④若且，则是锐角. 其中正确结论的序号为（    ） A．①②④ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】因为，，所以，， 对于①，， 则 ，故①错误； 对于②，若是锐角，则， ，故②正确； 对于③，若是钝角，则， 若， 则， 此时是锐角，故③错误； 对于④，若且， ， 因为，， 所以，所以是锐角，故④正确. 6. （多选）三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 【答案】ABD 【详解】对于A，易知， 因为两两垂直，所以，而，所以，即A正确； 对于B，知， 因为两两垂直，所以，所以，即B正确； 对于C，易知， 显然，所以， 因此， 又，，所以， 所以， 因为两两垂直，且， 所以三棱锥的体积为，即C错误； 对于D，因为， 又，所以， ， 同理， 设和的夹角为，可得，可得，即D正确. 7. （多选）下列命题错误的是（   ） A．是向量，不共线的充要条件 B．在空间四边形中， C．在棱长为1的正四面体中， D．设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面 【答案】ACD 【详解】对于A，模长分别为且同向的向量，满足，A错误； 对于B，空间四边形， ，B正确； 对于C，在棱长为1的正四面体ABCD中，，C错误； 对于D，设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，由， 且，得P，A，B，C四点不共面，D错误. 8. 在三棱锥中，已知，，，，，则的最小值为______. 【答案】2 【详解】由题意可知，，， 因为，所以， 即， 因为，所以， 即， 所以， 即，化简得，得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 所以. 9. 设、、、是空间中互不平行的单位向量，记集合，. 若对于任意不同的、，均有，记中模最小的向量为，则最大值为___________. 【答案】/ 【详解】因为是空间中互不平行的单位向量，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即、、两两正交，可构成一组正交基底， 设，， 所以， ， ， 所以， 又， ， 所以，因为， 设，则， 因为，所以，解得， 因此，所以，且，满足最小性. 10. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．    ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】(1) (2)①；②3 【详解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ②由题， 由，知， 由，知： ， ，解得， 则． / 学科网（北京）股份有限公司 $