专题02 集合的基本运算（重难点讲义）数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的并集、交集、全集、补集运算，系统梳理定义、符号、Venn图与数轴工具的应用，以及运算性质（交换律、结合律、德摩根定律），构建集合知识体系的关键学习支架，衔接后续逻辑用语与函数内容。 资料亮点在于分层目标清晰，通过Venn图与数轴培养几何直观（数学眼光），含参数问题与混合运算提升推理能力（数学思维），新定义及容斥原理应用题强化数学语言表达。典例与变式结合，课中助教师高效授课，课后方便学生查漏补缺。

专题02 集合的基本运算 重点目标： 1. 理解并识记并集、交集、全集、补集的定义，熟练掌握四种运算对应的数学符号、文字读法. 2. 会用Venn 图表示交集、并集、补集，能结合图形直观理解集合运算的含义. 3. 针对列举法、描述法表示的集合，熟练求解交集、并集、补集. 4. 掌握区间形式的实数集合运算，能求解数集（不等式解集）的交、并、补. 5. 熟记集合交、并运算的交换律、结合律，以及补集相关基础恒等式，能简单化简集合式子. 6. 能解决基础题型：已知两个集合求交并、已知全集求补集、根据交并结果求集合中的参数. 7. 建立数形结合思维：遇到实数集合运算优先画数轴，有限集合优先画 Venn 图. 8. 掌握集合运算文字应用题，能把 “且、或、不属于” 文字描述转化为交集、并集、补集运算. 难点目标： 1. 区分 “且（交集）” 与 “或（并集）” 的逻辑含义，做题不混淆两种运算. 2. 含参数集合运算：根据、等条件求解参数取值范围，不漏空集特殊情况. 3. 多层混合运算（交并补综合，如、），分清运算先后顺序. 4. 灵活运用德摩根定律处理双重补集转化，结合 Venn 图证明集合恒等式. 5. 数轴求解连续数集运算时，精准区分实心点、空心点，正确处理边界取值. 6. 综合应用题：结合方程解集、不等式解集、整数范围进行多层集合运算，分类讨论参数. 7. 抽象集合推理：不给出具体元素，仅依靠集合关系（包含、相等、交并结果）推导未知集合. 1、 重点知识 （1） 四大核心运算定义与符号 1. 并集 · 文字：所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合； · 符号：； · Venn 图：两个集合全部区域合并. 2. 交集 · 文字：所有既属于集合且属于集合的公共元素组成的集合； · 符号：； · Venn 图：两个集合重叠公共区域. 3. 全集 · 定义：研究问题中所有元素构成的整体集合，题目会直接给出或隐含（实数集）. 4. 补集 · 文字：全集中所有不属于的元素构成的集合； · 符号：； · Venn 图：全集内扣除集合剩余部分. （2） 集合运算性质 1. 交集基础性质 2. 并集基础性质 3. 交并关联等价转化（高频考点） 4. 补集基础性质 （3） 两类集合运算解题工具 1. 有限集合（列举法）：画 Venn 图，标出公共元素、独有元素，直接数出交并元素； 2. 无限实数集（不等式 / 区间）：画数轴，空心点不含边界、实心点包含边界，重叠区域为交集，全部覆盖区域为并集. 2、 难点知识 （一）概念逻辑难点 1. “或” 与 “且” 逻辑区分（高频易错） · 并集 “或” 包含三种情况：只在 A、只在 B、同时在 A、B； · 交集 “且” 必须同时满足两个条件，缺一不可； · 易错坑：求并集时重复元素只写一次，集合元素具有互异性. 2. 空集隐藏陷阱 题目条件时，必须讨论的情况，绝大多数学生容易遗漏导致答案不全. （二）运算与化简难点 1. 交并补混合运算，运算优先级：先算括号内，再算补集，最后交并 例：，括号改变运算范围，必须分步画图. 2. 德摩根定律 ； 文字翻译：交的补 = 补的并；并的补 = 补的交，常用于复杂化简、证明题. 3. 集合分配律、结合律公式 ； （三）高考深度拓展拔高内容 1. 抽象集合证明（新高考多选 / 证明小题） 不给出具体元素，利用集合运算性质证明等式，如证明，采用定义法 + Venn 图辅助. 2. 与充分必要条件结合综合题 集合包含关系等价于命题推出关系，，衔接逻辑用语章节. 3. 数域拓展：全集为整数集、自然数集的混合运算，限制元素取值. 4. 容斥原理拓展 二元容斥： 三元容斥： 用于计数类大题，解决 Venn 图人数、物件统计问题. （四）易混对比表格 对比内容 交集 并集 补集 逻辑关联词 且（同时满足） 或（任一满足） 不属于 Venn 图区域 两集合重叠部分 两集合全部区域 全集扣除 A 元素特点 公共元素 全部元素去重 全集中排除 A 包含关系 空集结果 任意集合交空集 = 空集 任意集合并空集 = 自身 全集补集为空集 题型01 集合的基本运算 角度1：集合的并集运算 【典例1】若集合，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知集合，或，则（     ） A．或 B． C． D．或 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 角度2：集合的交集运算 【典例1】已知集合 是不大于6的正奇数，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 角度3：集合的补集运算 【典例1】设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知集合，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 角度4：集合的交、并、补的混合运算 【典例1】已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 集合的基本运算结果求参数 角度1：根据集合并集运算结果求参数 【典例1】已知集合.若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【典例3】设已知集合，若，求实数a的取值范围. 【变式1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】集合或.若，求的取值范围； 【变式3】已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 角度2：根据集合交集运算结果求参数 【典例1】已知集合，，若，则实数__________． 【典例2】设集合，且，则的值为__________. 【典例3】已知集合，若，求实数t的取值范围. 【变式1】已知集合，且，则实数的值为___________. 【变式2】（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3】已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 角度3：根据集合混合运算结果求参数 【典例1】已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【典例2】已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【变式1】（多选）设全集，集合，则集合可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 题型03 韦恩图的应用 【典例】已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． 【变式】图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 题型04 集合新定义题 【典例1】定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【变式1】定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【变式2】对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 题型05 容斥原理的应用 【典例】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式】为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 题型06 集合基本运算综合题 【典例1】已知集合. (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【典例2】我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为. 类似地，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中是全集，，为的子集);    (2)若，，求； (3)若集合，集合，且，求实数的取值范围. 【变式1】已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【变式2】对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【巩固训练】 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3. 已知集合，若且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4. 设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 5. 已知集合，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6. 已知集合，若，则实数的取值范围是_____. 7. 已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 8. 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 9. 已知集合.，则实数m的取值范围是______. 10. 已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【强化训练】 1. 集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 2. 已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 4. 设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 5. 已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 6. （多选）已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 7. （多选）以下命题正确的有（   ） A．已知全集，，，那么 ； B．若集合，且，则m的值为0或1； C．集合，，若，则实数a的取值集合为 D．若集合A满足：⫋，则这样的集合A有7个. 8. 设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 9. 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 10. 对于正整数集合 ，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． (1)分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； (2)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． (3)若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合的基本运算 重点目标： 1. 理解并识记并集、交集、全集、补集的定义，熟练掌握四种运算对应的数学符号、文字读法. 2. 会用Venn 图表示交集、并集、补集，能结合图形直观理解集合运算的含义. 3. 针对列举法、描述法表示的集合，熟练求解交集、并集、补集. 4. 掌握区间形式的实数集合运算，能求解数集（不等式解集）的交、并、补. 5. 熟记集合交、并运算的交换律、结合律，以及补集相关基础恒等式，能简单化简集合式子. 6. 能解决基础题型：已知两个集合求交并、已知全集求补集、根据交并结果求集合中的参数. 7. 建立数形结合思维：遇到实数集合运算优先画数轴，有限集合优先画 Venn 图. 8. 掌握集合运算文字应用题，能把 “且、或、不属于” 文字描述转化为交集、并集、补集运算. 难点目标： 1. 区分 “且（交集）” 与 “或（并集）” 的逻辑含义，做题不混淆两种运算. 2. 含参数集合运算：根据、等条件求解参数取值范围，不漏空集特殊情况. 3. 多层混合运算（交并补综合，如、），分清运算先后顺序. 4. 灵活运用德摩根定律处理双重补集转化，结合 Venn 图证明集合恒等式. 5. 数轴求解连续数集运算时，精准区分实心点、空心点，正确处理边界取值. 6. 综合应用题：结合方程解集、不等式解集、整数范围进行多层集合运算，分类讨论参数. 7. 抽象集合推理：不给出具体元素，仅依靠集合关系（包含、相等、交并结果）推导未知集合. 1、 重点知识 （1） 四大核心运算定义与符号 1. 并集 · 文字：所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合； · 符号：； · Venn 图：两个集合全部区域合并. 2. 交集 · 文字：所有既属于集合且属于集合的公共元素组成的集合； · 符号：； · Venn 图：两个集合重叠公共区域. 3. 全集 · 定义：研究问题中所有元素构成的整体集合，题目会直接给出或隐含（实数集）. 4. 补集 · 文字：全集中所有不属于的元素构成的集合； · 符号：； · Venn 图：全集内扣除集合剩余部分. （2） 集合运算性质 1. 交集基础性质 2. 并集基础性质 3. 交并关联等价转化（高频考点） 4. 补集基础性质 （3） 两类集合运算解题工具 1. 有限集合（列举法）：画 Venn 图，标出公共元素、独有元素，直接数出交并元素； 2. 无限实数集（不等式 / 区间）：画数轴，空心点不含边界、实心点包含边界，重叠区域为交集，全部覆盖区域为并集. 2、 难点知识 （一）概念逻辑难点 1. “或” 与 “且” 逻辑区分（高频易错） · 并集 “或” 包含三种情况：只在 A、只在 B、同时在 A、B； · 交集 “且” 必须同时满足两个条件，缺一不可； · 易错坑：求并集时重复元素只写一次，集合元素具有互异性. 2. 空集隐藏陷阱 题目条件时，必须讨论的情况，绝大多数学生容易遗漏导致答案不全. （二）运算与化简难点 1. 交并补混合运算，运算优先级：先算括号内，再算补集，最后交并 例：，括号改变运算范围，必须分步画图. 2. 德摩根定律 ； 文字翻译：交的补 = 补的并；并的补 = 补的交，常用于复杂化简、证明题. 3. 集合分配律、结合律公式 ； （三）高考深度拓展拔高内容 1. 抽象集合证明（新高考多选 / 证明小题） 不给出具体元素，利用集合运算性质证明等式，如证明，采用定义法 + Venn 图辅助. 2. 与充分必要条件结合综合题 集合包含关系等价于命题推出关系，，衔接逻辑用语章节. 3. 数域拓展：全集为整数集、自然数集的混合运算，限制元素取值. 4. 容斥原理拓展 二元容斥： 三元容斥： 用于计数类大题，解决 Venn 图人数、物件统计问题. （四）易混对比表格 对比内容 交集 并集 补集 逻辑关联词 且（同时满足） 或（任一满足） 不属于 Venn 图区域 两集合重叠部分 两集合全部区域 全集扣除 A 元素特点 公共元素 全部元素去重 全集中排除 A 包含关系 空集结果 任意集合交空集 = 空集 任意集合并空集 = 自身 全集补集为空集 题型01 集合的基本运算 角度1：集合的并集运算 【典例1】若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，无解；由，解得；由，解得，所以，所以， 【典例2】已知集合，或，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】 或 或 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由并集的概念可知，． 【变式2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式，可得；又因为，因此. 又因为，所以. 角度2：集合的交集运算 【典例1】已知集合 是不大于6的正奇数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是不大于6的正奇数，又， 则. 【典例2】集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，则 . 【变式1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，则. 【变式2】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，， 又集合，所以. 角度3：集合的补集运算 【典例1】设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 【典例2】已知集合，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】因为，所以或 【变式1】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知全集，则. 【变式2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 角度4：集合的交、并、补的混合运算 【典例1】已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，又因，则. 【典例2】设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知全集为且，可得， 又，则. 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，则 【变式2】设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，故. 题型02 集合的基本运算结果求参数 角度1：根据集合并集运算结果求参数 【典例1】已知集合.若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由及集合中元素的互异性可得或，故实数的取值集合为. 【典例2】已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【详解】因为集合，， 若，则，结合选项可知：ABD错误，C正确； 【典例3】设已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即， 所以，解得； 所以实数的取值范围是. 【变式1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 【变式2】集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 【变式3】已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 角度2：根据集合交集运算结果求参数 【典例1】已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【详解】因为已知集合，，， 所以，解得. 【典例2】设集合，且，则的值为__________. 【答案】或 【详解】因为，所以， 由可得， 当时，解得：或， 若时，，满足， 若时，，满足， 当时，解得：，不满足集合的互异性； 所以的值为或； 【典例3】已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 【变式1】已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】1或2 【详解】因为，所以或或， 解得或或， 又当时，集合不满足互异性， 所以的值为或. 【变式2】（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上. 【变式3】已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为集合，，且， 当是空集时，，所以； 当不是空集时，集合中是非负数， 所以，无解； 综上，实数的取值范围为． 角度3：根据集合混合运算结果求参数 【典例1】已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 【典例2】已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 【变式1】（多选）设全集，集合，则集合可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】， ， 集合必须有3，6两个元素，不能有0，4这两个元素，可知选项ACD符合； 【变式2】集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 题型03 韦恩图的应用 【典例】已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 【变式】图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据图形，阴影部分属于集合，不属于集合A，C， 则阴影部分所表示的集合可以为. 题型04 集合新定义题 【典例1】定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 【典例2】（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 【变式1】定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【详解】由题意得：，所以. 【变式2】对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 题型05 容斥原理的应用 【典例】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 【变式】为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 题型06 集合基本运算综合题 【典例1】已知集合. (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3). 【详解】（1）解：当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. （2）解：由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 【典例2】我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为. 类似地，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中是全集，，为的子集);    (2)若，，求； (3)若集合，集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)    (2) (3) 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：    （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得：. （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是. 【变式1】已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 【变式2】对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【答案】(1)，. (2) (3) 若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 【详解】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）略 【巩固训练】 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以 2. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，，则 3. 已知集合，若且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 由，得， 由，得， 所以． 4. 设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，解得，所以， 阴影部分表示的集合为， 且或，， 则. 5. 已知集合，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由，得，而，则， 集合中，由元素互异性，，即，则， 所以，因此或， 由，所以的值为2. 6. 已知集合，若，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为，所以， 则无实数根，所以， 解得，则实数的取值范围是. 7. 已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 8. 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 9. 已知集合.，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 10. 已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 【强化训练】 1. 集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 【答案】A 【详解】，故A正确； ，故B错误； 集合可以表示为，其中， 即集合可描述为形式，故C错误； 集合A有6个元素，子集总数为，故D错误． 2. 已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 3. 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确. 4. 设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 【答案】C 【详解】由，可得， 因为、，必有，且， 所以，或，解得或， 因此，. 5. 已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 6. （多选）已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题，可得， 对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，故C正确； 对于D，表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故D错误. 7. （多选）以下命题正确的有（   ） A．已知全集，，，那么 ； B．若集合，且，则m的值为0或1； C．集合，，若，则实数a的取值集合为 D．若集合A满足：⫋，则这样的集合A有7个. 【答案】AD 【详解】对于A，，， ， 所以 ，故A正确； 对于B，集合，且， 则或，解得或， 当时，不满足集合的互异性， 当时，，故B错误； 对于C，若，则或或， 若，则，解得， 若，则，解得， 若，则， 则实数a的取值集合为，故C错误； 对于D，⫋， 则可以是：， 故这样的集合A有7个.故D正确. 8. 设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解. 【详解】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 9. 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 10. 对于正整数集合 ，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． (1)分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； (2)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． (3)若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 【答案】(1) 若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性； (2) 不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性； (3)7． 【详解】（1）略 （2）略 （3）先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. / 学科网（北京）股份有限公司 $