第一章 丰富的图形世界（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学复习讲义通过知识框架图和分类表格系统梳理立体图形知识体系，涵盖立体图形识别、展开折叠、截面、三视图等核心内容，以棱柱特征对比表呈现几何要素，结合动态生成原理解析点线面体关系，突出正方体展开图11种类型和三视图绘制等重难点。 讲义亮点在于“动态生成与实践操作”结合的练习设计，如直角三角形旋转形成圆锥的体积计算，培养空间观念和推理意识。分层练习含基础题（几何体分类）与综合题（三视图还原），提供正方体展开图相对面“Z”字型判断技巧，支持学生自主复习，教师可通过题型分类实施精准教学。

第一章 丰富的图形世界复习讲义 教学目标 1. 学生能够准确识别圆柱、圆锥、正方体、长方体、球等常见立体图形，掌握各类立体图形的基本特征，能区分平面图形与立体图形，建立基础的几何图形认知体系。 2. 通过观察、触摸、拼接几何体实物，培养学生直观观察能力和空间想象能力，能从生活场景中抽象出几何图形，提升图形抽象概括能力。 3. 学生掌握立体图形的展开与折叠、截面、视图绘制的基础方法，能动手完成简单几何体的展开操作，学会绘制简单立体图形的三视图。 4. 引导学生感受几何图形在生活中的广泛应用，体会几何图形的美感与实用价值，激发学生对几何知识的学习兴趣，培养数学几何核心素养。 5. 学生能运用图形相关知识，简单分析生活中物体的图形构成，解决基础的图形识别、分类、视图判断问题，提升知识实际运用能力。 教学重难点 1. 重点 （1）识别常见立体图形与平面图形，熟练掌握各类几何体的核心基本特征。 （2）掌握正方体等常见立体图形的展开图，能正确完成折叠与展开操作。 （3）学会观察立体图形，准确绘制简单几何体的主视图、左视图与俯视图。 2. 难点 （1）依托立体图形实物，建立清晰的空间观念，提升空间想象能力。 （2）精准判断正方体各类展开图的有效性，规避折叠拼接的认知误区。 （3）根据立体图形准确绘制三视图，能依据三视图还原对应立体图形。 知识点01 立体图形 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 知识点02 棱柱的相关概念 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 【即学即练】 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是一些常见的几何体，请将图中的几何体进行分类，并说明理由． 【答案】 可以按柱体，锥体，球体来分类： 属于柱体的有：①，③，④，⑤，⑥，⑧； 属于锥体的有：②； 属于球体的有；⑦． （答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查了几何体的分类，解题的关键在于先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)． 首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分． 【详解】略 知识点03 点、线、面、体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即学即练】 3．（25-26六年级上·山东威海·期末）一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查棱柱的顶点数与侧棱数的关系，熟练掌握“棱柱顶点数底面边数，侧棱数=底面边数”是解题关键．先通过顶点数求出侧棱条数，再计算每条侧棱的长度． 【详解】解：由题意得，该棱柱的侧棱数为 ∴每条侧棱的长， 故选：C． 4．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查棱柱的顶点数，棱数和面数，根据棱柱的性质，n棱柱的顶点数为，棱数为，面数为，进行求解即可． 【详解】解：五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为；；； 故选：C． 知识点04 平面图形旋转后形成的图形 核心原理 一个平面图形绕一条固定直线（旋转轴）转动一周，扫过的空间形成立体图形，该过程叫面动成体。 基础图形旋转结论 长方形 绕一边旋转一周 → 圆柱 旋转的边：圆柱的高；邻边：底面圆半径 直角三角形 绕一条直角边旋转一周 → 圆锥 旋转直角边：圆锥的高；另一条直角边：底面半径；斜边：圆锥母线 半圆 绕直径旋转一周 → 球体 直角梯形 绕垂直底边的腰旋转一周 → 圆台 圆形 绕自身一条直径旋转一周 → 球；绕外部直线旋转 → 圆环柱 线段 绕定点旋转一周：圆；绕平行线旋转：圆柱侧面 关键区分易错点 旋转轴不同，立体图形不同 例：长方形绕长转、绕宽转，得到两个底面半径、高相反的圆柱。 只有封闭平面图形旋转才能形成实心立体；开放线条仅得到曲面。 面动成体、线动成面、点动成线，三者是几何动态生成三类规律。 常考题型思路 判断旋转后的几何体：先找旋转轴，再看平面图形形状； 求旋转体体积 / 表面积：确定底面半径与高，套用圆柱、圆锥公式； 辨析：圆锥只能由直角三角形绕直角边旋转得到，绕斜边旋转是双圆锥组合体。 【即学即练】 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用面动成体的特征解答即可． 【详解】解：近似看作由旋转一周得到的是． 6．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆锥； (2)或． 【分析】本题主要考查了圆锥的形成原理和圆锥的体积公式的应用． （1）根据“面动成体”可知这个几何体为圆锥； （2）根据不同的旋转轴确定圆锥的底面半径和高，进而计算体积即可． 【详解】（1）解：这个几何体的名称为圆锥， 故答案为：圆锥； （2）解：根据题意，可分两种情况讨论： ①绕直角三角形较长的直角边旋转时，圆锥的体积为； ②绕直角三角形较短的直角边旋转时，圆锥的体积为； 综上所述，圆锥的体积为或． 知识点05 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【即学即练】 7．（25-26七年级上·全国·期末）下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4个． 8．（25-26七年级上·河北·期末）如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点，即可求解． 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，所在的平面不可能是对面， A、折叠后，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，故选项符合题意； B、折叠后，含有4，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； C、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； D、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意． 知识点06 截一个几何体 1. 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 2. 正方体常见的截面如图所示： 【即学即练】 9．（25-26六年级下·山东泰安·期末）下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，分别根据选项判断得出即可． 【详解】解：圆柱的截面跟圆、四边形有关，截面不可能是三角形；过圆锥的顶点和下底圆心的面得到的截面是三角形，过正方体的三个面得到的截面是三角形，过长方体的三个面得到的截面是三角形， 所以，截面可能是三角形的有3个． 10．（25-26七年级上·山东青岛·期末）用一个平面截下列几何体，截面的形状可能是三角形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了截一个几何体，熟知常见几何体截面的形状是解题的关键． 【详解】解：用经过正方体三个面的平面去截正方体，截面为三角形，符合题意； 用垂直于底面的平面截圆锥，截面是三角形，符合题意； 用平行于三棱柱的底面的面截三棱柱时，截面是三角形，符合题意； 截圆柱时，截面不可能为三角形，不符合题意； 综上所述，截面的形状可能是三角形的共有3个 故选：B． 知识点07 从不同方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【即学即练】 11．（25-26七年级上·全国·期末）若干个棱长为2的小正方体，摆成如图所示的几何体． (1)求几何体的表面积； (2)依图中摆放方法类推，如果该几何体摆放了上下共10层，求该几何体的表面积． 【答案】(1)144 (2)1320 【分析】（1）从正面看有6个正方形，一共有6个方向，可得几何体表面积为36个小正方形面积； （2）从正面看有55个面，从6个方向看共有330个面，进而求解即可． 【详解】（1）解：几何体的表面积为； （2）解：从正面看有个面，从6个方向看共有个面， ∴表面积． 12．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)这个几何体的表面积为． 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， 这个几何体的表面积为． 题型01 常见几何体构成及分类 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．根据圆柱体的特征判断即可． 【详解】解：A、有两个大小相同的圆形底面，且互相平行，侧面是曲面，符合圆柱的特征，故此选项符合题意； B、只有一个圆形底面，顶点是一个点，是圆锥，故此选项不符合题意； C、底面是三角形，侧面是三角形是三棱锥，故此选项不符合题意； D、是一个完全由曲面构成的球体，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B 3．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）将下列几何体分类用序号填空： (1)按有无曲面分类：有曲面的是______，没有曲面的是______； (2)按柱体、锥体、球体分类：柱体的是______，锥体的是______，球体的是______． 【答案】 ②③④ ①⑤⑥ ①③⑤ ④⑥ ② 【分析】(1)根据曲面和没有曲面的特征进行求解即可； (2)根据柱体，锥体和球体的定义进行求解即可． 【详解】(1)按有无曲面分类：有曲面的是②③④，没有曲面的是①⑤⑥， 故答案为：②③④；①⑤⑥； (2)按柱体，锥体，球体分类：柱体的是①③⑤，锥体的是④⑥，球体的是②． 故答案为：①③⑤；④⑥；②． 【点睛】本题主要考查了几何体的分类的有关知识．正确把握相关定义是解题关键． 4．（25-26七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有_________个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有____________个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 5．（25-26九年级下·河北承德·阶段检测）若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 6．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是_____________________； （2）锥体的是_______________________； （3）球体的是____________________； （4）有曲面的是_____________________． 【答案】 ②，③，⑥ ①，④ ⑤ ①，③，⑤ 【分析】本题考查立体图形的判断，熟练掌握每种立体图形的特征是解题关键． 按照立体图形的特征逐一判断，然后填到适当的横线上即可． 【详解】根据立体图形的特征判断，①是圆锥，②是棱柱，③是圆柱，④是棱锥，⑤是球体，⑥是棱柱． ∴柱体包括②，③，⑥，锥体包括①，④，球体包括⑤，有曲面的是①，③，⑤． 题型02 几何体中的点、棱、面 7．（25-26六年级上·山东东营·期末）下列图形中有个面的棱柱是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱和棱锥，解题的关键是掌握棱柱和棱锥的定义．根据棱柱和棱锥的组成情况依次进行判断即可得． 【详解】解：A、是棱柱，有八个面，不符合题意； B、 是棱锥，不是棱柱，不符合题意； C、 是棱柱，有七个面，符合题意； D、 是棱锥，不是棱柱，不符合题意； 故选：C． 8．（25-26七年级上·江西抚州·期末）一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是________． 【答案】7 【分析】本题考查棱柱，根据棱柱的顶点数与棱数的关系，求出棱数，再根据侧棱数和总侧棱长求每条侧棱长即可． 【详解】解：设棱柱的底面边数为，则顶点数为，由题意得，解得， 所以是六棱柱，有条侧棱， 所有侧棱长的和为， 因此每条侧棱长为， 故答案为： 9．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图1所示，现将正方体相对的两个面涂上阴影，再将正方体沿某些棱剪开，得到如图2所示的展开图，则没有被剪开的棱是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的特点，掌握立体图形的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据图2所示，棱棱未被剪开， 故选：B ． 10．（25-26七年级上·全国·期末）由27个小立方体堆成的一个大立方体如下所示，现将它的表面涂成黄色．问： (1)有三个面涂成黄色的小立方体有几个？ (2)有一个面涂成黄色的小立方体有几个？ (3)有两个面涂成黄色的小立方体有几个？ 【答案】(1)有8个 (2)有6个 (3)有12个 【分析】此题考查了正方体的特征，有良好的空间观念是关键． （1）根据立方体表面的特点，得出三面涂色的在每个顶点处，正方体有8个顶点，即可得出答案； （2）根据立方体表面的特点，得出有一个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，共有6个，即可得出答案； （3）根据立方体表面的特点，得出有两个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，共有12个，即可得出答案． 【详解】（1）解：有三个面涂成黄色的小立方体在8个顶点上，有8个； （2）解：有一个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，有6个； （3）解：有两个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，有12个． 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． 12．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)八，10，24； (2) (3)n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得； （2）由八棱柱有个侧面求解可得； （3）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得答案． 【详解】（1）解：因为此直棱柱有个顶点， 所以由知，此棱柱是八棱柱，有个面，有条棱；． （2）八棱柱的所有侧面的面积之和是：； （3）n棱柱共有个顶点，共有条棱． 题型03 点、线、面、体之间的关系 13．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理． 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有________个面，________条棱，________个顶点；n棱锥有________个面，________条棱，________个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为________． 【答案】 3n 2n 2n 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点． 故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 15．（24-25六年级上·山东东营·期中）完成下列各题： (1)请完成下表 棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数 三棱柱 四棱柱 (2)如图，有一个长为，宽为的长方形，绕它的一边所在的直线旋转一周，求所得的圆柱体的体积是多少? 【答案】(1) 解：填表如下： 棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数 三棱柱 5 6 9 四棱柱 6 8 12 (2)几何体的体积是或 【分析】本题考查几何体的点、棱、面，圆柱体的体积的求法及面动成体的知识，熟练掌握棱柱的特点是解题的关键． （1）用表格分别列出三棱柱、四棱柱所对应的面的个数、顶点个数、棱的条数即可． （2）根据圆柱体的体积底面积高，由于没有说清楚是绕长方形的哪条边旋转，所以分两种情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：； 绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积：． 故得到的几何体的体积是或． 16．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给几何体的形状即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）根据（2）所求可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 17．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【答案】(1)4；4；6；6；6；10 (2)11；11；20；；； (3)； 【分析】考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识． （1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可； （2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可； ②根据n棱锥的特征填写即可； （3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系； ②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系． 【详解】（1）解：观察与发现：三棱锥中，，，； 五棱锥中，，，； 故答案为：4；4；6；6；6；10； （2）解：猜想：①十棱锥中，，，； ②n棱锥中，，，； 故答案为：11；11；20；；；； （3）解：探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：． 故答案为：；． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 题型04 平面图形旋转后的立体图形计算 19．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将矩形绕其一边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱． 20．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图是一张长，宽的长方形纸片，将此长方形纸片绕其长边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)得到的这个几何体的名称是_________，这一过程体现了_________（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2) 【分析】本题主要考查了求几何体的体积，面动成体，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）根据题意可得所得圆柱的底面圆的半径为，高为，据此根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，所得的几何体是圆柱，这一过程体现了面动成体； （2）解：， ∴得到的这个几何体的体积为． 21．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】（1）旋转得到的几何体为圆锥； （2）以直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的圆锥底面圆半径为，高为，然后根据圆锥的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：将这个直角三角形绕边所在直线旋转一周得到的几何体为圆锥； （2）解：由题意得，得到的圆锥底面圆半径为，高为， ， 答：这个几何体的体积为． 22．（25-26七年级上·江西九江·期末）已知长方形的长为a，宽为b，将这个长方形绕它的长旋转一周，可以得到一个圆柱，记这个圆柱的侧面积为，体积为；绕它的宽旋转一周，可以得到另一个圆柱，记这个圆柱的侧面积为，体积为． (1)计算和，并说明和的关系． (2)当，时，通过计算比较和的大小． 【答案】(1)，理由： 依题意得：长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱底面半径为b，高为a， 则侧面积， 长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱底面半径为a，高为b， 则侧面积， ； (2)，见解析 【分析】本题考查了平面图形的旋转体、圆柱的侧面积、体积的计算方法，解题关键是求出旋转得到圆柱的底面半径和高． （1）根据圆柱的侧面积公式分别求出两个圆柱的侧面积即可； （2）根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意得：， ， ，， ． 23．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1是一直角三角形（边竖直），其中，，，为边上的高． (1)将图1绕所在直线逆时针旋转一周得如图2所示的几何体，原理是______； (2)求图2中几何体的体积（提示：圆锥体积为，其中为底面半径，） 【答案】(1)面动成体 (2) 【分析】本题考查了平面图形旋转后得到的立体图形、圆锥的体积公式，熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键． （1）根据面动成体即可解答； （2）根据圆锥的体积公式列式计算即可解答． 【详解】（1）解：将图1绕所在直线逆时针旋转一周得如图2所示的几何体，原理是面动成体； 故答案为：面动成体； （2）解：，，，， ， 则图2中几何体的体积为． 24．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是______； (2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 【答案】(1)圆柱 (2)①6，， ②先增大，后减小 ③ 【分析】本题考查了点、线、面、体、因式分解、配方法求最值，熟练掌握圆柱的体积公式解题的关键． （1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； （2）①根据，计算即可； ②列出表格分析数据的变化情况； ③表示出，结合配方法解题即可． 【详解】（1）解：根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱； 故答案为：圆柱； （2）解：①当时，， 解得， ∴； 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 故答案为：6，，； ②， 表格补全如下： 1 2 3 4 5 可以发现，当逐渐增大时，先增大，后减小； 故答案为：先增大，后减小； ③ 则当时，有最大值． 题型05 三视图问题 25．（26-27七年级上·全国·开学考试）从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从上面看有2行，前边1行3个小正方形，后边1行靠左1个小正方形， 则从上面观察，看到的形状是． 26．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下列用小方块拼搭成的几何体中，从三个方向看到的形状如右下图的几何体是（     ） A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（2）与（3） D．（2）与（4） 【答案】B 【详解】解：（1）从三个方向看到的形状如图 （2）从三个方向看到的形状如图 （3）从三个方向看到的形状如图 （4）从三个方向看到的形状如图 综上，符合条件的几何体是（1）与（3）． 27．（26-27七年级上·浙江·开学考试）一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据从上面看到的形状得出最下面一层最少要有6个，根据从右面看到的形状可以得出第二层最少要有2个，从而得出总个数最少需要8个． 【详解】解：（个）， 即搭这样一个立体图形至少需要8个小正方体． 28．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （2）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （3）根据从左面看到的形状图画出图形． 【详解】（1）解：从图可得，，； （2）解：结合从上面看到的图和正面看到的图，画出立体几何图形 ∴几何体最少由个小立方块搭成， ∴最多由个小立方块搭成． （3）略． 【点睛】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形． 29．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 如图所示． 【分析】根据从上面看到的几何体的形状图得到从正面和从左面看到的形状即可 【详解】略 30．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1) 如图所示 (2)①； 【详解】（1） 略 （2）解：当去掉一个小正方体①时，剩余部分从上面看到的形状没有改变． 保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，可在第一层的前面第一行添加2个小正方体． 题型06 三视图中小方块数量问题 31．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）一个几何体，从正面看到，从右面看到的，摆成这样的几何体至少需要小正方体（要求小正方体之间有公共面）（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据从正面、右面看到的情况，摆成这样的几何体最少需要小正方体分前、后两排，前排分上、下两层，前排下层3个，上层2个，右齐；后排1个，可与前排下层的任一个对齐． 【详解】解：根据题中从正面和从右面看到的图形，摆成这样的几何体至少需要6个小正方体（如图）： 32．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了从不同方向看几何体等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据题意，画出所有可能情况，再确定小立方块不可能的个数． 【详解】解：根据从上面和左面看到的图形，可画出所有可能情况，如图： 小立方块的个数有三种情况：最多为个，最少为个，还有可能为个， 所以不可能是个， 故选：A． 33．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． (1)请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加 块小正方体 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，解题的关键是熟练掌握基本知识以及运用空间想象能力． （1）由题意直接画出图形即可； （2）由题意根据从左面和上面看到的图形进行分析解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从正面和上面看到的形状图都不变，最多可以在右前方第二层再添加1个正方体． 故答案为：1． 34．（25-26七年级上·广东梅州·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1) 从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示； (2)3 【分析】本题考查作图−−从不同方向看几何体． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可． （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可． 【详解】（1）略 （2）解：保持这个几何体从上面，正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加3个小立方块（见从上面看到的图中的数字） 35．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）请完成下列问题： (1)如图1是用若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体，分别在图2，图3，图4中用粗实线画出从这个几何体的正面，左面，上面三个方向所看到的平面图形； (2)在（1）中的几何体上添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的平面图形不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． 【答案】(1) 解：如图， (2)3 【分析】本题考查了从不同方向看几何体； （1）确定从正面看、从上面看和从左面看的图形的层数和列数，以及对应位置的分布情况，再画出对应的图形即可； （2）从左面和上面看到的平面图形不变，从左往右，第1列可再添加2个，第2列可再添加1个，据此即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：从左面和上面看到的平面图形不变，从左往右，第1列可再添加2个，第2列可再添加1个， 所以最多可以再添加个小正方体． 故答案为：3． 36．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【分析】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是数形结合． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可． （2）根据保持从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方体的数字即可． 【详解】（1）略 （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变， 最多可在从上面看的图形中两个1所在的位置各加两个小立方体， 即最多可以再添加个小正方体， 故答案为：． 题型07 由展开图计算几何体的表面积、体积 37．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1所示为宽、长30cm的长方形纸板，某同学要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算．根据图示求出此无盖长方体盒子的长、宽、高，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：由题可知，长方体的高即为减去四个正方形（图中阴影）的边长，即为， 则长方体底面的长为，宽为， 所以长方体的体积为， 故答案为：1000． 38．（25-26七年级上·天津河西·期末）如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是长方体的表面积公式，解题关键是熟练掌握长方体的表面积公式． 根据长方体的表面积公式得，代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，是长方体的高，是长方体的宽，是长方体的长， 长方体的表面积长宽长高宽高， 且这个长方体的表面积为， ， 又，， ， 解得． 故答案为：． 39．（2025九年级上·广西崇左·专题练习）一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 40．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 41．（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒      项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 【答案】任务1：长方体包装盒的容积为；任务2：容积变大；任务3：红红的方案节省材料 【分析】本题考查了长方体的体积，圆柱的体积． 任务1：根据长方体的体积公式求解； 任务2：先求出圆柱的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式求解； 任务3：计算纸板材料阴影部分的面积，比较大小，即可求解． 【详解】解：任务1，长方体包装盒的容积为， 任务2，容积变大； 理由：设半径为， ∴， ∴， ∴直径为， ∴高为， ∴圆柱形包装盒的容积为：， ∵， ∴容积变大． 任务3，图1中的阴影部分面积为， 则包装盒的表面积为：， 图2中的阴影部分面积为， 包装盒的表面积为：， ， ∴红红的方案节省材料． 42．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）创新综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是长方体的表面展开图的是________（填序号）； 【实践探索】 （2）创新综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1是制作一个无盖长方体纸盒的方法：先在正方形纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的底面积为________； ②图2是制作一个有盖长方体纸盒的方法：先在正方形纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为________； 【实践分析】 （3）若一个有盖长方体纸盒的长、宽、高分别是，如图3是该长方体的一种表面展开图，该长方体表面展开图的外围周长为，事实上，该长方体的表面展开图还有不少，请你画出该长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出这个最大外围周长． 【答案】（1）③；（2）①400；②1000； （3）解：观察下面展开图，此时外围周长最大，为， 【分析】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据长方体的展开图得出结论即可． （2）①根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长两个小正方形的边长求解即可； ②根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． （3）画出图象，根据外围组成的定义计算即可 【详解】解：（1）由题意知，图形③不能折叠成长方体， 故答案为：③； （2）①根据题意，得：该长方体纸盒的底面小正方形的边长为， 该长方体纸盒的底面积为， 故答案为：400； ②根据题意，得裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：， 长方体纸盒的体积为 故答案为：1000； （3） 略 题型08 正方体展开图的识别、图案等问题 43．（2022·四川自贡·模拟预测）下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的“”、“”、“”等常见类型及“一线不过四，田凹应弃之”的口诀进行判断． 【详解】解： A、属于“”型，能折叠成正方体 ． B、属于“”型，能折叠成正方体 ． C、属于“”型，能折叠成正方体． D、属于“凹”字型结构，折叠后会有两个面重合，不能围成正方体． 44．（2022·河北邯郸·三模）如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点重合的点为（     ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】将原图的展开图折叠成正方体，即可得出答案． 【详解】解：将原图的展开图折叠成正方体，可知，与点重合的点为点和点． 45．（26-27七年级上·上海·开学考试）下列图形不是左面的正方体的展开图的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体可知有圆点的面与有阴影部分的面是相邻的面，再逐项判断即可． 【详解】解：从原正方体知，带圆点的面与黑色的面是相邻的两个面， A选项：带圆点的面与黑色的面是相对的两个面，不是相邻的，所以图形不是； B、C、D选项：带圆点的面与黑色的面都是相邻的，都是原正方体的展开图． 46．（25-26七年级上·全国·期末）如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 【答案】 【分析】根据相对面上的数相等得到，进而可知的值． 【详解】解：∵相对面上的数相等， ∴， ∴． 47．（25-26七年级上·陕西·期末）小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖．请你把它补上，使其成为一个有盖的正方体盒子．请你任意画出一种成功的设计图，并将这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0． 【答案】 如图（答案不唯一）： 【分析】本题考查了正方体展开图的知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正方体展开图的特征，通过分析图形可知，要使其成为有盖的正方体盒子，共有种补法；根据正方体相对面上的两个数相加得0，把数字填上即可． 【详解】解：根据正方体展开图特点，可设计为： ，将这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0， 可将和，和，和分别填 在相对的面上，图略． 48．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 【答案】（1）该长方形卡纸宽是15cm；（2）C；（3） 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， （1）根据折叠和正方形的性质得，即可得出，则此题可解； （2）根据四个字的位置特点可得对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，进而得出答案； （3）根据长方体的棱最短的剪的越少，展开图的外围周长越大解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，根据折叠的性质得，且， ∴． ∵四边形是正方形，且， ∴． ∵， ∴， 即； （2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，且对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，结合选项可知，只有C符合题意； 故答案为：C； （3）如图所示，周长为， 所以长方体表面展开图的最大外围周长为92． 故答案为：92． 题型09 补一个面使图形围成正方体 49．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 50．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 51．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有________种添法． 【答案】4/四 【分析】按照正方体及其表面展开图的特点分析作出图形即可. 【详解】解：一共有以下4种添法： 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的11种展开图. 52．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 53．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 54．（25-26七年级上·北京石景山·期末）小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是_______． 【答案】 解：如图所示：（答案不唯一） 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，答案不唯一． 【详解】略 【点睛】考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体的11种平面展开图，并灵活应用其进行准确判断是解题的关键，此类题重点培养学生的空间想象能力． 题型10 截一个几何体 55．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【答案】③ 【分析】圆柱、圆锥、球体含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形． 【详解】解：①圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ②圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ③正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； ④球，用任意平面去截，截面都是圆． 综上所述，截面不可能是圆的几何体是③． 56．（25-26七年级上·福建漳州·期末）用一个平面去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④三棱柱，截面形状可能是三角形的几何体有_____个； 【答案】3 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据各几何体的形状特征，判断截面可能为三角形的几何体即可． 【详解】解：①正方体：当平面截过三个相邻面时，截面可为三角形； ②圆柱：截面通常为圆形、椭圆形或矩形，无法得到三角形； ③圆锥：当平面通过顶点且与底面相交时，截面可为三角形； ④三棱柱：当平面平行于底面时，截面可为三角形； 综上，截面形状可能是三角形的几何体有①③④，共3个； 故答案为：3． 57．（25-26七年级上·陕西西安·期中）若用平面分别截下列几何体：①三棱柱：②正方体：③球；④圆锥，得到的截面可能是三角形的是___________（填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了截一个几何体，根据几何体的形状和截面的方向，判断用平面截取时是否可能得到三角形截面． 【详解】解：①用平面截三棱柱时，如果平面平行于底面或经过某些棱，可以得到三角形截面． ②用平面截正方体时，如果平面经过三个相邻的顶点，可以得到三角形截面． ③用平面截球时，无论从什么方向截取，截面都是圆，不可能是三角形． ④用平面截圆锥时，如果平面通过顶点，可以得到三角形截面． 故答案为：①②④． 58．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】考查了截一个几何体； 截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，六棱柱有八个面，用平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形． 【详解】解：用一个平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形， 所以边数最多的截面形状是八边形． 故选：C． 59．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）数学课上，研究正方体的截面特征时，以下说法正确的是（　　） ①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与正方体其中的四个面都相交时，所得截面一定是正方形； ③用一个平面去截正方体，可能截出七边形； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条． A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体的应用，主要考查学生的观察图形的能力、空间想象能力和动手操作能力．根据用一个平面截正方体，从不同角度截取所得形状会不同，进而得出答案． 【详解】解：①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面，说法正确； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与四个平面相交时，所得的截面不一定是正方形，原来的说法是错误的； ③正方体不可能截出七边形，原来的说法是错误的； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条，说法正确． 故选：C． 60．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 【答案】(1)六棱柱，8 (2)①②③ (3) 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面 故答案为：六棱柱，8； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． 题型11 用七巧板拼接图形 61．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】7 【分析】此题考查了求阴影面积，首先求出正方形的面积，然后依次求出的面积，的面积，平行四边形的面积，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为 ∴的面积为， ∴的面积为，平行四边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：7． 62．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【分析】此题考查了“七巧板”的相关知识．根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，“七巧板”拼成的正方形的面积为， 根据“七巧板”的特征可知，图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的， ∴则图中阴影部分面积为， 故答案为： 63．（24-25七年级上·山东烟台·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于______． 【答案】40 【分析】本题考查七巧板，关键是掌握七巧板中各图形之间的面积关系．根据七巧板中各图形之间的面积关系分别得出每个部分的面积，即可求解． 【详解】解：的面积等于， 和的面积为，的面积为，的面积为， 由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于． 故答案为：． 64．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 65．（25-26七年级上·福建泉州·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查七巧板各个图形面积之间的关系，熟练掌握七巧板各个图形之间的关系是解题的关键． 根据七巧板的面积为8，得知七巧板分割成的大三角形的面积为2，小三角形的面积为，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：如图，∵正方形的两条对角线分正方形为4等份， ∴三角形①面积等于七巧板面积的， ∴， ∵三角形②的面积等于三角形①的面积的， ∴三角形②的面积为：， ∴阴影的面积为：． 故答案为：2.5． 66．（25-26七年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． 【答案】（1）④⑦； （2）； （3）如图所示：（答案不唯一） 【分析】本题考查了七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）根据图块的面积，可得出答案； （2）根据题意计算出图2中对应图块面积即可； （3）依据题意，在图3中补充图形即可． 【详解】（1）解：根据图像，编号⑥的图块面积为， 图中编号④与⑦的面积也为2， 故答案为：④⑦． （2）解：由七巧板的规律可得： ，，， 所以，“小船”的面积为． （3）略 1．（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）（三视图）如图是由6个小立方体搭成的，从左面观察这个几何体，看到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从左面看：共有2列，从左往右分别有2，1个小正方形，据此可画出图形． 【详解】 解：从左面观察这个几何体，看到的是： 2．（2026·陕西榆林·二模）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．五棱柱 【答案】D 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：由题意知， 上下底面是五边形， 故该几何体是五棱柱． 3．（2026·河南信阳·一模）下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的分类．柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：正方体是四棱柱，棱柱和圆柱都是柱体，则属于柱体的有3个， 4．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 5．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 【答案】或 【分析】先根据从上面看确定底层纸箱的数量，因为从上面看每个正方形对应底层一个位置的纸箱，所以可先得出底层纸箱总数，再结合从前面看和从左面看判断各位置上的层数，从前面看反映每列的最大层数，从左面看反映每行的最大层数，由此分析每个位置可能的层数取值．分别计算所有可能的层数组合对应的总纸箱数． 【详解】解：首先根据从上面看（图②）可得：这堆纸箱底层共有3个纸箱， 结合从前面看和左面看到的形状如图①，可得这堆纸箱排列如图 因此总个数为： 或 ，两种情况都满足从前面、从上面和左面看到的形状要求． 6．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 【答案】 【分析】根据从不同方向看到几何体的形状，判断底层小立方块的个数，再判断上层最多有几个小立方块，即可求解． 【详解】解：根据从上面看的形状可知该几何体底层有5个小立方块，根据从正面看的形状可知该几何体左侧上层至多有3个小立方块， 该几何体最多是用8个小立方块搭成的． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东青岛·期末）把正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，每种颜色对应的分值各不相同，各面上的颜色和对应的价值如表所示：将上述大小相等，颜色和对应价值分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体（如图），那么长方体下底面价值______分． 颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿 分值 1 2 3 4 5 6 【答案】17 【分析】本题主要考查正方体的面的关系，以及通过已知条件推理出相对面，熟练掌握以上知识点是做题的关键．由图中显示的规律，可分别求出各个正方体下底面的颜色，再计算即可． 【详解】解：由题意可得，红色相邻的面有黄、白、蓝、紫，故红色相对的面为绿色；黄色相邻的面有红、蓝、白，且红色相对的面为绿色，故黄色相对的面为紫色；剩下白色相对的面为蓝色， 由此规律可知，右二的正方体的下底面为绿色，右三的正方体下底面为黄色，左一的正方体下底面为紫色，右一的正方体下底面为白色， 则长方体的下底面价值为（分）． 故答案为：17． 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，从不同方向看几何体，熟练掌握正方体的展开图特点是解题关键． 先根据图1可得数字1所在面的相对面上的数字是5，数字4所在面的相对面上的数字是2，则可得数字6所在面的相对面上的数字是3，再根据图2可得标有的面与标有数字2的面是相对面，由此即可得解． 【详解】解：由图1可知，与标有数字1的面相邻的面上的数字有， ∴数字1所在面的相对面上的数字是5， 同理可得：数字4所在面的相对面上的数字是2， ∴数字6所在面的相对面上的数字是3， 由图2可知，标有的面与标有数字2的面是相对面， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 10．（25-26六年级上·山东东营·期末）如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)用一个平面去截粮仓，截面可能是____________（写出一个即可）； (2)将下面的图形分别绕虚线旋转一周，____________（填字母）能形成粮仓； (3)求出该粮仓的容积（计算结果保留）．（，） 【答案】(1)圆形或四边形或梯形（答案不唯一） (2)D (3)粮仓的容积为． 【分析】本题考查旋转体及圆锥圆柱的体积，用平面截一个几何体所形成的图形． （1）用一个平面去截圆锥或圆柱，都可以得到一个圆，即可解答； （2）根据图形的旋转体：直角三角形沿直角边旋转得到圆锥，矩形旋转得到圆柱即可得到答案； （3）根据圆锥圆柱的体积公式代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：用一个平面去截粮仓，截面可能是圆形、四边形、梯形； 故答案为：圆形或四边形或梯形（答案不唯一）． （2）解：图形的上部是一个圆锥，下部是圆柱，直角三角形按直角边旋转得到圆锥，矩形旋转得到圆柱， 故选：D； （3）解：∵粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为， ∴， 答：粮仓的容积为． 11．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，逐项分析，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：A． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形①后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； B． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形②后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； C． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形③后，得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，该项正确； D． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形④后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误． 12．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等． 根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【详解】解：∵八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， ∴每条侧棱的长为． 故选：C． 13．（25-26七年级上·广东深圳·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从左面和从上面．看到的几何体的形状图如图所示，设这个几何体最多要用个小立方块，最少要用个小立方块，则等于（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看，在得到图形的相应位置上标注所能摆放的最多和最少时，所需要的小正方体的个数即可． 【详解】解：如图，在得到图的相应位置上标注所摆放小正方体的个数（最少、最多）， 最多时， 最少时， 所以， 故选：A． 14．（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）以下几个说法：①连接两点的线段叫做这两点间的距离；②如图1，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；③如图2，圆锥从左面看得到的平面图形是等腰三角形；④如图3，将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查两点间距离的定义、线段的性质、圆锥的视图和直线的性质，熟练掌握并运用知识点是解题的关键． 首先需根据两点间距离的定义、线段的性质、圆锥的视图和直线的性质，对每一个说法逐一进行分析判断正误，最后选择正确的数量即可． 【详解】解：对于①：两点间的距离是指连接两点的线段的长度，而不是连接两点的线段，故说法错误，不符合题意； 对于②：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是基于两点之间线段最短，故说法正确，符合题意； 对于③：圆锥从左面看得到的平面图形是等腰三角形，故说法正确，符合题意； 对于④：将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，故说法正确，符合题意； 综上，正确的说法有②③④，共3个． 故选：C． 15．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 16．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．则该几何体的表面积是______． 【答案】 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，根据不同方向看到的图形，即可求解． 【详解】解：从上面看有6个面，从下面看有6个面， 从正面看有10个面，从后面看有10个面， 从左边看7个面，从右面看7个面，中间有4个面； 该几何体的表面积为：， 故答案为：． 17．（25-26六年级上·山东烟台·期中）分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是___________． 【答案】36 【分析】本题考查了组合几何体的构成，培养并发展自身的空间想象能力是解题的关键． 通过观察可知，该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，分别算出这种正方体的个数，再将其相加，即可得出答案． 【详解】解：该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，其中： 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， （个）， 该大正方体中包含个正方体， 故答案为：36． 18．（25-26七年级上·四川成都·期中）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“4”对面的数字是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了立体图形的展开图，准确分析判断是解题的关键． 通过分析正方体骰子投掷时各面的相邻关系，来确定相对面的数字即可． 【详解】解：由题意可知： 的邻面有，，，， 的对面是， 对面的数字是． 故答案为：． 19．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图是由相同的小正方体拼成的立体图形，请先观察，再按要求完成： (1)请仿照示例，将从上面和从左面观察到的图形画在下面的方格图中（所画图形请涂上阴影）． (2)至少要添加___________个小正方体，可以将其拼成一个较大的正方体． (3)若小正方体每一面的面积都是1，则该简单组合体的表面积（含底面）为___________． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) (3) 【分析】本题考查从不同方向看，几何体的表面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据几何体画出相应图形即可； （2）由图知，补成的正方体最小为共有3层，每层有9个小正方体，因此最下面一层补3个，中间一层补6个，最上面一层补8个，计算总和即可； （3）由从上面看，从正面看，从左面看的三个图形可知：表面积． 【详解】（1）略 （2）解：由图知，补成的正方体最小为共有3层，每层有9个小正方体． ∴最下面一层补3个，中间一层补6个，最上面一层补8个， 共补（个）， 故答案为：； （3）解：由从上面看，从正面看，从左面看的三个图形可知： 表面积． 故答案为：． 20．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家定制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，请用含a，b，c的代数式表示制作一个该长方体纸箱需要__________平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？此时的最大外围周长是__________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)图，，所需外包装盒的纸板面积分别为平方分米，平方分米，平方分米，图所需外包装盒的纸板面积更少； (3) 如图所示，此时外围周长最大， 【分析】本题考查了列代数式，长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）结合长方体表面积公式列出代数式，即可解题； （2）分别计算出图，，所需外包装盒的纸板面积，再进行比较判断，即可解题． （3）要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：制作的长方体纸箱需要纸板面积为平方厘米， 故答案为：． （2）解：图所需外包装盒的纸板面积为： （平方分米）； 图所需外包装盒的纸板面积为： （平方分米）； 图所需外包装盒的纸板面积为： （平方分米）； ， 图所需外包装盒的纸板面积更少； （3）解：略． 最大外围周长为：； 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 丰富的图形世界复习讲义 教学目标 1. 学生能够准确识别圆柱、圆锥、正方体、长方体、球等常见立体图形，掌握各类立体图形的基本特征，能区分平面图形与立体图形，建立基础的几何图形认知体系。 2. 通过观察、触摸、拼接几何体实物，培养学生直观观察能力和空间想象能力，能从生活场景中抽象出几何图形，提升图形抽象概括能力。 3. 学生掌握立体图形的展开与折叠、截面、视图绘制的基础方法，能动手完成简单几何体的展开操作，学会绘制简单立体图形的三视图。 4. 引导学生感受几何图形在生活中的广泛应用，体会几何图形的美感与实用价值，激发学生对几何知识的学习兴趣，培养数学几何核心素养。 5. 学生能运用图形相关知识，简单分析生活中物体的图形构成，解决基础的图形识别、分类、视图判断问题，提升知识实际运用能力。 教学重难点 1. 重点 （1）识别常见立体图形与平面图形，熟练掌握各类几何体的核心基本特征。 （2）掌握正方体等常见立体图形的展开图，能正确完成折叠与展开操作。 （3）学会观察立体图形，准确绘制简单几何体的主视图、左视图与俯视图。 2. 难点 （1）依托立体图形实物，建立清晰的空间观念，提升空间想象能力。 （2）精准判断正方体各类展开图的有效性，规避折叠拼接的认知误区。 （3）根据立体图形准确绘制三视图，能依据三视图还原对应立体图形。 知识点01 立体图形 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 知识点02 棱柱的相关概念 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 【即学即练】 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是一些常见的几何体，请将图中的几何体进行分类，并说明理由． 知识点03 点、线、面、体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即学即练】 3．（25-26六年级上·山东威海·期末）一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A． B． C． D． 知识点04 平面图形旋转后形成的图形 核心原理 一个平面图形绕一条固定直线（旋转轴）转动一周，扫过的空间形成立体图形，该过程叫面动成体。 基础图形旋转结论 长方形 绕一边旋转一周 → 圆柱 旋转的边：圆柱的高；邻边：底面圆半径 直角三角形 绕一条直角边旋转一周 → 圆锥 旋转直角边：圆锥的高；另一条直角边：底面半径；斜边：圆锥母线 半圆 绕直径旋转一周 → 球体 直角梯形 绕垂直底边的腰旋转一周 → 圆台 圆形 绕自身一条直径旋转一周 → 球；绕外部直线旋转 → 圆环柱 线段 绕定点旋转一周：圆；绕平行线旋转：圆柱侧面 关键区分易错点 旋转轴不同，立体图形不同 例：长方形绕长转、绕宽转，得到两个底面半径、高相反的圆柱。 只有封闭平面图形旋转才能形成实心立体；开放线条仅得到曲面。 面动成体、线动成面、点动成线，三者是几何动态生成三类规律。 常考题型思路 判断旋转后的几何体：先找旋转轴，再看平面图形形状； 求旋转体体积 / 表面积：确定底面半径与高，套用圆柱、圆锥公式； 辨析：圆锥只能由直角三角形绕直角边旋转得到，绕斜边旋转是双圆锥组合体。 【即学即练】 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 知识点05 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【即学即练】 7．（25-26七年级上·全国·期末）下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26七年级上·河北·期末）如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 知识点06 截一个几何体 1. 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 2. 正方体常见的截面如图所示： 【即学即练】 9．（25-26六年级下·山东泰安·期末）下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26七年级上·山东青岛·期末）用一个平面截下列几何体，截面的形状可能是三角形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 知识点07 从不同方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【即学即练】 11．（25-26七年级上·全国·期末）若干个棱长为2的小正方体，摆成如图所示的几何体． (1)求几何体的表面积； (2)依图中摆放方法类推，如果该几何体摆放了上下共10层，求该几何体的表面积． 12．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 题型01 常见几何体构成及分类 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 3．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）将下列几何体分类用序号填空： (1)按有无曲面分类：有曲面的是______，没有曲面的是______； (2)按柱体、锥体、球体分类：柱体的是______，锥体的是______，球体的是______． 4．（25-26七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有_________个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有____________个． 5．（25-26九年级下·河北承德·阶段检测）若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是_____________________； （2）锥体的是_______________________； （3）球体的是____________________； （4）有曲面的是_____________________． 题型02 几何体中的点、棱、面 7．（25-26六年级上·山东东营·期末）下列图形中有个面的棱柱是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·江西抚州·期末）一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是________． 9．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图1所示，现将正方体相对的两个面涂上阴影，再将正方体沿某些棱剪开，得到如图2所示的展开图，则没有被剪开的棱是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·全国·期末）由27个小立方体堆成的一个大立方体如下所示，现将它的表面涂成黄色．问： (1)有三个面涂成黄色的小立方体有几个？ (2)有一个面涂成黄色的小立方体有几个？ (3)有两个面涂成黄色的小立方体有几个？ 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 12．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 题型03 点、线、面、体之间的关系 13．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有________个面，________条棱，________个顶点；n棱锥有________个面，________条棱，________个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为________． 15．（24-25六年级上·山东东营·期中）完成下列各题： (1)请完成下表 棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数 三棱柱 四棱柱 (2)如图，有一个长为，宽为的长方形，绕它的一边所在的直线旋转一周，求所得的圆柱体的体积是多少? 16．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 17．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 题型04 平面图形旋转后的立体图形计算 19．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将矩形绕其一边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图是一张长，宽的长方形纸片，将此长方形纸片绕其长边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)得到的这个几何体的名称是_________，这一过程体现了_________（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 21．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知直角三角形纸板，，．绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是______； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 22．（25-26七年级上·江西九江·期末）已知长方形的长为a，宽为b，将这个长方形绕它的长旋转一周，可以得到一个圆柱，记这个圆柱的侧面积为，体积为；绕它的宽旋转一周，可以得到另一个圆柱，记这个圆柱的侧面积为，体积为． (1)计算和，并说明和的关系． (2)当，时，通过计算比较和的大小． 23．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1是一直角三角形（边竖直），其中，，，为边上的高． (1)将图1绕所在直线逆时针旋转一周得如图2所示的几何体，原理是______； (2)求图2中几何体的体积（提示：圆锥体积为，其中为底面半径，） 24．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是______； (2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________； ③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值． 25．（26-27七年级上·全国·开学考试）从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下列用小方块拼搭成的几何体中，从三个方向看到的形状如右下图的几何体是（     ） A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（2）与（3） D．（2）与（4） 27．（26-27七年级上·浙江·开学考试）一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 28．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 29．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 30．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成． (1)请在网格中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)在这个几何体中，当去掉一个小正方体________时，剩余部分从上面看到的形状没有改变（填写图中小正方体的序号）；如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的从正面、左面看到的形状不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 题型06 三视图中小方块数量问题 31．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）一个几何体，从正面看到，从右面看到的，摆成这样的几何体至少需要小正方体（要求小正方体之间有公共面）（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 32．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 33．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． (1)请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加 块小正方体 34．（25-26七年级上·广东梅州·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 35．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）请完成下列问题： (1)如图1是用若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体，分别在图2，图3，图4中用粗实线画出从这个几何体的正面，左面，上面三个方向所看到的平面图形； (2)在（1）中的几何体上添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的平面图形不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． 36．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 题型07 由展开图计算几何体的表面积、体积 37．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1所示为宽、长30cm的长方形纸板，某同学要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为________． 38．（25-26七年级上·天津河西·期末）如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 39．（2025九年级上·广西崇左·专题练习）一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 40．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 41．（25-26七年级上·四川眉山·期末）(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务． 项目主题 设计经济适用的包装盒      项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计) 素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒． 素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒． 任务1 计算长方体包装盒的容积？ 任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3) 任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3) 42．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）创新综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是长方体的表面展开图的是________（填序号）； 【实践探索】 （2）创新综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1是制作一个无盖长方体纸盒的方法：先在正方形纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的底面积为________； ②图2是制作一个有盖长方体纸盒的方法：先在正方形纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为________； 【实践分析】 （3）若一个有盖长方体纸盒的长、宽、高分别是，如图3是该长方体的一种表面展开图，该长方体表面展开图的外围周长为，事实上，该长方体的表面展开图还有不少，请你画出该长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出这个最大外围周长． 题型08 正方体展开图的识别、图案等问题 43．（2022·四川自贡·模拟预测）下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 44．（2022·河北邯郸·三模）如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点重合的点为（     ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 45．（26-27七年级上·上海·开学考试）下列图形不是左面的正方体的展开图的是（     ）． A． B． C． D． 46．（25-26七年级上·全国·期末）如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 47．（25-26七年级上·陕西·期末）小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖．请你把它补上，使其成为一个有盖的正方体盒子．请你任意画出一种成功的设计图，并将这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0． 48．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 题型09 补一个面使图形围成正方体 49．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 50．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 51．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有________种添法． 52．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 53．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 54．（25-26七年级上·北京石景山·期末）小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是_______． 题型10 截一个几何体 55．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 56．（25-26七年级上·福建漳州·期末）用一个平面去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④三棱柱，截面形状可能是三角形的几何体有_____个； 57．（25-26七年级上·陕西西安·期中）若用平面分别截下列几何体：①三棱柱：②正方体：③球；④圆锥，得到的截面可能是三角形的是___________（填写正确的序号） 58．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 59．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）数学课上，研究正方体的截面特征时，以下说法正确的是（　　） ①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与正方体其中的四个面都相交时，所得截面一定是正方形； ③用一个平面去截正方体，可能截出七边形； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条． A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 60．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 题型11 用七巧板拼接图形 61．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 62．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 63．（24-25七年级上·山东烟台·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于______． 64．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 65．（25-26七年级上·福建泉州·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 66．（25-26七年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． 1．（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）（三视图）如图是由6个小立方体搭成的，从左面观察这个几何体，看到的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．五棱柱 3．（2026·河南信阳·一模）下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 5．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 6．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 7．（25-26七年级上·山东青岛·期末）把正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，每种颜色对应的分值各不相同，各面上的颜色和对应的价值如表所示：将上述大小相等，颜色和对应价值分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体（如图），那么长方体下底面价值______分． 颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿 分值 1 2 3 4 5 6 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 10．（25-26六年级上·山东东营·期末）如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)用一个平面去截粮仓，截面可能是____________（写出一个即可）； (2)将下面的图形分别绕虚线旋转一周，____________（填字母）能形成粮仓； (3)求出该粮仓的容积（计算结果保留）．（，） 11．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ 12．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·广东深圳·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从左面和从上面．看到的几何体的形状图如图所示，设这个几何体最多要用个小立方块，最少要用个小立方块，则等于（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 14．（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）以下几个说法：①连接两点的线段叫做这两点间的距离；②如图1，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；③如图2，圆锥从左面看得到的平面图形是等腰三角形；④如图3，将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 16．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．则该几何体的表面积是______． 17．（25-26六年级上·山东烟台·期中）分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是___________． 18．（25-26七年级上·四川成都·期中）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“4”对面的数字是________． 19．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图是由相同的小正方体拼成的立体图形，请先观察，再按要求完成： (1)请仿照示例，将从上面和从左面观察到的图形画在下面的方格图中（所画图形请涂上阴影）． (2)至少要添加___________个小正方体，可以将其拼成一个较大的正方体． (3)若小正方体每一面的面积都是1，则该简单组合体的表面积（含底面）为___________． 20．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家定制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，请用含a，b，c的代数式表示制作一个该长方体纸箱需要__________平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？此时的最大外围周长是__________．（直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $