3.3探索与表达规律（第一课时） 教学设计2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦日历数字规律探究，以日历生活情境导入，承接整式基础，通过观察-猜想-表达-验证流程，搭建从算术具象思维到代数归纳思维的学习支架。 资料特色在于生活化情境贯穿，分层探究（基础规律到复杂九宫格），规范建模验证（如设九宫格中间数a，求和得9a），培养抽象能力、推理意识与模型观念，助学生形成严谨探究思维，教师易操作且落实核心素养。

3.3探索与表达规律（第一课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版《数学》七年级上册第3章《整式及其加减》第3节探索与表达规律第一课时。 （二）教学内容解析 本节课是学生从“算术具象思维”走向“代数归纳思维”的关键一课，承接本章整式的所有基础知识，是代数式建模、归纳推理能力的首次系统训练。教材以学生日常熟悉的日历为唯一载体，素材简单、直观、贴近生活，降低了规律探究的抽象难度。 教材编排逻辑：观察日历具体数字→发现相邻数字变化规律→用字母设元建模→列代数式表示规律→整式化简验证规律→拓展特殊方框数字规律。本节课的学习，不仅巩固列代数式、整式加减化简的运算技能，更核心是培养学生从特殊到一般、数形结合、数学建模的核心素养，为后续图形规律、数列规律、函数规律探究奠定思维基础。 教学重点：探究并掌握日历中横行、竖列数字规律，能用代数式准确表示日历数字关系，会验证九宫格、十字形数字规律。 教学难点：合理设元构建代数式模型；通过整式化简证明规律的通用性，摆脱特例依赖，建立严谨的归纳推理思维。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.掌握日历数字的基本排列规律，能准确说出横行、竖列、对角线数字的数量关系；学会用字母表示日历中的任意日期，熟练用代数式表示相邻数字；掌握十字形、九宫格日历数字规律，能通过整式化简验证规律，解决日历规律基础题型。 2. 经历“观察日历特例—猜想数字规律—字母建模表达—整式化简验证”的完整探究过程，体验从特殊到一般的数学探究方法，提升观察分析、归纳概括、代数建模与运算推理能力。 3. 感受生活中蕴含的数学规律，体会代数式表达规律的简洁性、严谨性与通用性；养成细心观察、大胆猜想、严谨验证的良好探究习惯，激发数学探究兴趣，增强代数学习自信心。 （二）教学目标解析 基础目标：学生能准确说出日历横行相邻数差1、竖列相邻数差7的基本规律，会设任意日期为字母，正确写出上下左右相邻数字的代数式。 中层目标：学生能独立探究十字形数字和的规律，能用代数式完整表达规律，并通过简单整式运算验证规律成立。 高层目标：学生能自主探究3×3九宫格复杂数字规律，熟练通过整式化简证明规律的普遍性，能规避特例误区，形成规范的规律探究思维。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 学生已经熟练掌握字母表示数、代数式书写规范、列代数式、整式去括号与合并同类项等核心知识；具备小学阶段简单找规律的直观观察能力，能快速发现数字的简单增减变化；具备基本的小组合作、观察对比、归纳总结的学习能力，为本节课日历规律建模探究提供充足基础。 （二）学生认知特点 七年级学生直观感知能力强，能快速发现日历数字的表面变化规律，但抽象建模能力薄弱。学生习惯具体数字计算，不习惯用字母代表任意数；容易将几组特例的规律当成普遍规律，缺乏验证意识；在复杂九宫格规律探究中，容易出现代数式书写混乱、化简不规范、规律总结不全面等问题。 （三）学习难点预判 1. 建模难点：不会合理设元，无法用字母统一表示日历中一组相关数字； 2. 思维难点：仅凭个别日历特例总结规律，不会用整式化简验证规律的通用性； 3. 运算难点：多数字代数式相加化简时，合并同类项不熟练，计算出错； 4. 认知难点：无法理解“字母可以表示日历中任意数”，局限于具体数字认知。 四、教学策略分析 （一）整体教学理念 以日历生活情境为唯一探究载体，以“观察—猜想—表达—验证”为主线，由浅入深逐层探究基础规律、特殊图形规律，通过具象观察过渡到抽象代数建模，落实从特殊到一般的数学思想，规范学生规律探究的完整思维流程。 （二）具体教学策略 1. 情境激趣法：利用学生日常使用的日历创设问题情境，消除陌生感，激发探究兴趣； 2. 逐层探究法：从单行单列基础规律→十字形规律→九宫格规律，梯度推进，层层突破难点； 3. 建模示范法：统一字母设元方法，规范日历数字代数式表达格式，固化解题模型； 4. 合作探究法：小组合作观察、讨论、猜想、验证，自主归纳日历数字规律； 5. 正误辨析法：展示仅凭特例下结论的错误思维，强化化简验证的必要性。 （三）教学辅助 多媒体课件、月度日历实物图、规律探究流程图、分层随堂练习题、课堂板书模板。 五、教学过程分析 （一）情境导入，激趣引学 1.情境展示：课件出示完整月度日历，引导学生观察日历数字整齐排列的特点； 2. 趣味设问：老师不用看日历，只要说出任意一个日期，就能快速说出它上下左右的日期和九宫格数字总和，引发学生好奇； 3. 导入课题：日历中藏着固定的数学规律，今天我们借助整式知识，探究《日历中的规律》。 设计意图：生活化情境贴近学生实际，趣味设问激发探究欲望，自然引出本节课探究主题。 （二）探究新知，构建体系 观察图3-7所示的日历图，回答下列问题:　　　　　　　　　　　　 （1）日历图中的数有什么规律? 鼓励学生观察日历中的数，从不同角度发现规律、表示规律。例如:横向相邻两数相差1，纵向相邻两数相差7，因此横向相邻的三个数可分别表示为a-l，a,a+l,纵向相邻的三个数可分别表示为a-7，a,a+7。还可以引导学生观察对角线上相邻两数之间的关系。 （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系? 9个数之和为90，90=9×10。有的学生可能得出其他关系，让学生再找几个方框试试，看发现的规律是否还成立。 （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? 设方框正中间的数为，则周围8个数可表示为：。 求和：，因此对任何一个月的日历都成立（因日历排列规律“一周7天”固定）。 （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?请用代数式表示。 横向每行3个数的和：（是中间数的3倍）； 纵向每列3个数的和：（是中间数的3倍）； 对角线两数的和：，（是中间数的2倍）。 尝试·思考 （1）图3-7所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144？180呢？为什么？ 分析：根据“9个数的和是正中间数的9倍”，设正中间的数为，则9个数的和为。 和为144时：由，解得。 和为180时：由，解得。 （2）在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号？ 分析：同一列中，相邻两个星期日的日期差为7天（一周7天）。 设这个月的第一个星期日为号，则五个星期日的日期依次为：、、、、。 根据“日期数的和为80”，列方程： 化简方程： 解方程： 因此，这个月的第一个星期日是2号。 思考·交流 （1）如图3-8，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律?如果改为H形框呢?它们有什么共同规律? 将方框改成十字形框、H形框，引导学生思考规律背后的本质。答案不唯一。 ①十字形框的规律：设十字形框的中间数为，则框内包含的数为：上方、下方、左方、右方，以及中间数。 规律：十字形框中5个数的和是中间数的5倍。 ②H形框的规律：设H形框的中间数为，则框内包含的数为：上方两个数、，中间两个数、，下方两个数、，以及中间数（共7个数）。 规律：H形框中7个数的和是中间数的7倍。 ③共同规律：这类对称形状的数框（十字形、H形等），框内数的和都是中间数的倍数，且“倍数等于框内数的个数”（十字形5个数→和为中间数的5倍；H形7个数→和为中间数的7倍）。 原因：日历中数的排列遵循“横向相邻差1，纵向相邻差7”，对称分布的数在相加时，偏移量（如与、与等）会相互抵消，最终和为“中间数×数的个数”。 （2）你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗?与同伴进行交流。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 解：①例如“口”形，这样的方框中正中间的一个数是a，则8个方格中的数字之和是8a。 ②例如“X”形，这样的方框中正中间的一个数是a，则5个方格中的数字之和是5a。　　 总结归纳：通过以上学习，我们会用代数式表示规律，并借助运算论证一些数量关系的正确性。 （三）巩固提升 例1．图1是2024年10月的月历． (1)如图1，如果本周三对应的日期用（，且为正整数）表示，那么本周二对应的日期可以表示为_______，下周三可以表示为______（用含的代数式表示）； (2)如图2，若用m表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与m之间的关系式． 【详解】（1）解：由图可得， 如果本周三对应的日期用（，且x为整数）表示，那么本周二可以表示为，下周三对应的日期可以表示， 故答案为：，； （2）解：由图可得， ， 即S与a之间的关系式为． 例2．将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第_____ 行第_____ 列； (2)数表中第行第1列的数是_____ ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 【详解】（1）解：由题中数表，每一行有7个数， 第行的最后一个数为，则， 数100位于第15行第2列， 故答案为：15；2； （2）解：由题中数表可知第行最后一个数为， 第行第1列的数是， 故答案为：； （3）解：①如图所示，， ，则， 故答案为：； ②成立， 理由如下： 设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为． ；； ， 即． （四）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对知识的理解。 （五）布置作业、巩固提高 1.基础题：习题3.3第1，2题。 2.拓展题：自主选取日历一组数字，探究2×2方框数字规律，写出完整猜想与验证过程。 设计意图：书面作业强化书写规范，自编习题加深知识运用理解。 （6） 板书设计 3.3.1 探索与表达规律 一、日历中的数字规律 基本排列规律： 横向：相邻数差1；纵向：相邻数差7；对角线：左上－右下差8，右上－左下差6 3×3方框（9宫格）规律：设中间数为，周围数： 9个数和=9；每行/每列和=3；对角线和=2 拓展：和→中间数（和÷9），最大数= 二、数框规律拓展 十字形框（5个数）：设中间数为，数：，和=5 H形框（7个数）：设中间数为，数：，和=7 共同规律：对称数框的和=中间数×框内数的个数（偏移量抵消） 其他数框示例： 2×2方框：对角线和相等，和=4（）（为左上角数） 竖条3个数：和=3（为中间数） 三、图形中的规律（棋子摆三角形） 实例：第1个3枚（3×1），第2个6枚（3×2），第3个9枚（3×3） 第个三角形：3枚棋子 应用：已知棋子数→求（列方程3=总数） （七）教学反思 本节课聚焦日历单一情境开展规律探究，素材简单直观，有效降低了代数规律探究的抽象难度。大部分学生能够快速掌握日历横行、竖列的基础数字规律，熟练完成字母设元和相邻数字代数式表达，掌握十字形、九宫格的核心规律，能运用整式化简完成规律验证，顺利达成本节课基础教学目标。课堂依托小组合作探究，充分调动学生主动性，有效培养了学生观察归纳、代数建模的能力。 本节课存在的不足：部分学生的抽象推理能力较弱，仍依赖具体数字观察，对“字母代表任意数、规律具有普遍性”的理解不透彻；少数学生整式化简步骤不规范，验证过程书写不完整；自主探究2×2方框变式规律的迁移能力不足。 后续改进措施：强化字母建模专项训练，让学生深度理解代数表达的通用性；规范化简验证的书写步骤，杜绝只猜想不验证的问题；增加日历变式规律训练，提升学生知识迁移与归纳推理能力，逐步培养学生严谨的代数探究思维，为后续复杂规律探究筑牢基础。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $