重难点专训07 导数中的极值点偏移问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“定义-策略-题型-变式”为逻辑链，系统构建极值点偏移问题的解题方法体系，通过分层训练提升推理能力与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法技巧|4策略+4技巧|对称构造/差值换元/比值换元/对数均值不等式|从极值点偏移定义出发，提炼通法，结合函数类型（对数/指数）与运算形式（加减乘除平方）构建应用体系| |7类题型|每题型1-2典例+1-2变式|对数型用比值换元，指数型用差值换元，加减乘除平方型各有转化策略|按函数特征与运算类型分类，每类题型匹配核心解法，形成“题型-方法”对应关系| |分层过关|巩固5题+创新10题|综合应用四大策略，强调易错点规避|由基础巩固到创新提升，覆盖高考高频考法，培养问题转化与逻辑推理能力|

重难点专训07 导数中的极值点偏移问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 含对数型极值点偏移 2 题型2 含指数型极值点偏移 9 题型3 加法型极值点偏移 12 题型4 减法型极值点偏移 18 题型5 平方型（立方型）极值点偏移 25 题型6 乘积型极值点偏移 30 题型7 商式型极值点偏移 38 重难专题分层过关练 41 巩固过关 41 创新提升 48 解题方法及技巧提炼 1、极值点偏移问题的基本特征是： 对于可导函数 ，若其极值点为 ，方程 的两个根（或零点）为 （且 ），若 ，则称极值点发生了偏移。核心命题通常为证明 或 （或证明 与 的大小关系）。基本思路是： （1）确定函数的极值点 （可能为隐零点），明确函数在 两侧的单调性； （2）利用对称构造或变量代换，将双变量 转化为单变量函数； （3）通过导数研究所构造函数的单调性，判断其与 或相关表达式的大小关系； （4）结合 的等量关系，完成偏移方向的证明。 2、极值点偏移的四种核心解题策略： （1）对称构造法（最常用）：设 ，构造函数 （或 ），研究 在 一侧的符号。若证明 ，等价于证 ，利用单调性转化为证 ，即 ，归结为 。核心是构造对称差函数，求导判断单调性； （2）差值换元法：令 ，将 表示为 （），利用 建立 与 的关系，进而将目标 表示为 的函数，通过导数研究其单调性及取值范围； （3）比值换元法：令 ，由 解出 （或 ）用 表示，从而将 或 转化为 的函数，利用导数证明不等式； （4）对数均值不等式法：若函数中含 ，常由等式变形得到 的结构，直接引用对数均值不等式 进行快速放缩（需结合具体偏移方向选择左端或右端）。 3、实用技巧与关键变形： （1）若极值点 无法显式求出（隐零点型偏移），先设 ，利用该关系整体代换，再构造对称函数时可将 视为参数处理，最后通过隐零点范围估计符号； （2）构造对称函数 时，求导后往往出现 ，需利用 的符号判断其单调性；若仍无法判断，可继续求二阶导或利用 进行端点分析； （3）对于证明 或相反的问题，可转化为证明 ，再套用比值换元或对数均值不等式； （4）若函数形式为 或 等，可先取对数或化简再分析，使极值点表达式更简洁。 4、易错点与关键提醒： （1）必须明确哪个是极值点，哪个是零点或交点，不可混淆；同时需确保 在极值点两侧（否则偏移问题无意义）； （2）对称构造法中，要验证 是否落在函数单调区间内，否则无法利用单调性进行转化； （3）差值换元或比值换元时，新变量的取值范围必须由原变量范围及约束关系精确定义，否则导致单调性区间错误； （4）利用对数均值不等式时，若题目为解答题，需先证明该不等式（可通过构造函数 证明），不可直接引用； （5）偏移方向的判断可先通过取特殊函数（如二次函数无偏移， 有偏移）进行定性预估，再严格证明，避免方向反置。 题型通法及变式提升 题型1 含对数型极值点偏移 【典例1-1】已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】求函数导数，由函数存在极值点得到，，代入需要证明的不等式中并分离常数得到不等式，再由得到的代数式，从而建立不等式，通过换元后构造函数，并求导数，从而得到函数的单调性，从而知道的最值，然后证明不等式成立. 【详解】． 因为有两个不同的极值点，所以，. 欲证，即证，又， 所以原式等价于①． 由， 得②． 由①②知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即. 核心口诀：对数飘，结构巧；比值换元最常用，搭桥梁。 高分技巧： 对数平均不等式速解：对于含 的函数极值点偏移问题，优先联想对数平均不等式 （，）。若待证结论为 或 ，通常可通过变形直接套用； 比值换元法（核心通法）：令 （设 ）。由 可整理出 与 的关系式，将 （或 ）用 表示，目标式 、、 等均化为关于 的单变量函数，求导证明即可； 对数差转化为比值：出现 时，将其视为 ，引入比值换元天然适配。核心变形：由 解出 ，从而建立 与 的关系； 对称构造法（通法备用）：设极值点 ，构造 ，判断 在 上的符号。若 且 在极值点左侧，可推出 ，即 。此法不依赖对数结构的特殊性，但需分析 的符号，计算量较大； 利用 的凹凸性： 为凹函数（），其图象在弦上方。若极值点偏移问题中涉及 ，可利用琴生不等式或凹函数性质直接判断 与 的大小关系； “差化积”变形技巧：对形如 的条件，令 ，，将对数型极值点偏移转化为指数型或一般型处理。 易错警示：比值换元后需确认 ，且 恒成立；对数平均不等式有严格的使用条件（ 且 ），注意验证；对称构造法中 是否仍在定义域内需确认；凹函数性质使用时需明确是上凸还是下凸，方向不可搞反。 【典例1-2】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）不等式变形得到在上恒成立，构造函数，求出单调性和最小值，只需，解得； （2）不妨设，由（1）知方程，，，且，欲证，即证，构造差函数，得到差函数的单调性，结合（1）可知，所以，则. 【详解】（1）由可知，，， 即在上恒成立，， 令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于在上单调递增， 故只需，解得； （2）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（1）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， 由（1）知有两根，即有两根， 则有， 欲证，即证，， 令，， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 令， 在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故， 又，，结合在单调递增，， 所以，则. 【变式1-1】已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 【变式1-2】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点； （i）求的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知可知，分和讨论函数的单调性； （2）（i）设，判断的单调性，然后结合单调性讨论求解； （ii）先证明存在使得，然后证明，最后利用和的单调性即得结论. 【详解】（1）由已知，得， 当时，对任意的，有，所以在上单调递增； 当时，由于当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）函数有两个零点，当且仅当方程有两个解，即方程有两个解. 设，则，这表明当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 设，则，所以当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增，从而对任意的都有，即对任意的都有. 而对任意实数，在中取，就有. 这表明当时，有. 原命题等价于方程有两个解，分情况讨论： 当时，对任意，有，这表明方程至多有一个解，不符合条件； 当时，由于，，，且，故方程有两个解，且满足，再结合的单调性，知方程的所有解即为，满足条件. 综上，的取值范围是. （ii）设，则， 故当且时，从而在和上单调递增，故在上单调递增. 这就意味着当时，有，即. 由于在上单调递减，在上单调递增，故由， 知存在， 使得，即. 从而有， ， 这意味着 ，最后一步利用了和. 故，但，而在上单调递增，所以. 又因为在上单调递增，所以， 故，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，构造一个使得，得到和的大小关系，然后反向利用，判断和的大小关系，再比较和，即得结论. 题型2 含指数型极值点偏移 【典例2-1】已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明如下： 由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.      所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可； （2）根据题意，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，研究函数最小值即可求得答案； （3）设，结合题意得，即可将问题转化为证明：对任意，，再构造函数证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 所以. （2）解：. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又.                                  所以的最小值为， 所以的取值范围为. （3）略 核心口诀：指数飘，取对数；比值差化巧转化，同构函数显神通。 高分技巧： 取对数降维法：对 与 的结构，若 中含 和 ，可对等式两边取对数，将对数型极值点偏移转化为加法型或减法型处理。例如由 ，虽不能直接取对数，但若条件为 与 ，取对数后转化为 形式； 比值换元法（指数版）：由 解出 ，令 ，则 ，将 用 表示（通常为 ），目标式 、 等化为关于 的单变量函数。注意指数函数的特性使得差值换元 比比值换元更自然； 同构构造法：将条件 变形为 形式，令 ，，则 且 ，将对数型极值点偏移转化为关于 的代数型极值点偏移，再套用加法型或乘积型方法； 差值换元法（首选）：令 ，则 。将 整理为关于 和 的方程，若能解出 （或证明其存在唯一），目标式 转化为 ，再求关于 的函数最值； 对称构造法（指数版）：设极值点 ，构造 ，利用指数函数的性质（）简化求导符号判断； 利用 的凸性： 为凸函数（），其图象在切线上方。若极值点偏移涉及指数和，可利用凸函数性质结合琴生不等式直接判断。 易错警示：取对数时需保证等式两边均为正数，否则需讨论符号；差值换元 后， 的取值范围受 影响，需重新界定定义域；同构构造时外层函数的单调性需确认——若外层函数不单调， 不能直接推出 ，需谨慎使用。 【变式2-1】已知函数（）． (1)当时，求证：； (2)若函数的两个零点为（）． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)若，则， 可知函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以. (2)①； ②因为函数的两个零点为， 令，， 则， 可知在内单调递减，则， 可得，， 若函数的两个零点为，且，则， 可得， 又因为，，且函数在内单调递增， 则，可得， 所以. 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性和最值，进而证明不等式； （2）①求导，利用导数分析函数的单调性和最值，进而根据函数零点可得，运算求解即可；②，，利用导数可证，，即可得，结合基本不等式分析证明； 【详解】（1）略 （2）①因为，可知函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增，则函数的最小值为， 且当趋近于或时，趋近于， 若函数的两个零点，则，即，解得， 所以实数的取值范围为； ②略 题型3 加法型极值点偏移 【典例3-1】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 核心口诀：加法偏移看和差，对称构造是核心； 与 比， 符号定乾坤。 高分技巧： 对称构造法（核心通法）：已知 ， 为极值点，要证 （或 ）。构造 （），求导得 。若能证明 （或 ）且 ，则 的符号确定，进而推出 与 的大小关系； 的一阶导判定技巧： 的符号通常由 决定。若 （凸函数），则 单调递减，当 时 ，需进一步比较绝对值；常见情形下 恒成立； “差函数”变形技巧：将 等价变形为 ，即证明“右侧点到极值点的距离”大于“左侧点到极值点的距离”。可通过构造 （）判断符号—— 意味着右侧函数值更大； 利用单调性直接推导：若已知 在 上单调递增，在 上单调递减，且 （），则要证 等价于证 。因 在 单调递减，只需证 ，即 ——转化为单变量不等式； 对数平均/指数平均不等式法：若 的具体形式已知，且能通过 整理为 与某种平均的比较，直接套用对数平均不等式或指数平均不等式快速得出结论； 比值换元法（加法型通用）：令 ，将 表示为 ，由 将 表示为 的函数，转化为证明单变量不等式。 易错警示：对称构造中 是必要条件，需验证； 的符号判定若遇困难，可求二阶导或对 分段讨论； 必须在定义域内，若超出定义域则此法失效； 中 的最大值受定义域限制。 【变式3-1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用求切线斜率，再求切线方程； （2） （ⅰ）有两个极值点等价于有两解，即有两解，令，在分析的单调性即可求解； （ⅱ）有两解，先求出满足的关系式，再令，不等式等价于，令函数，求导分析单调性再求最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则， 而，所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以. （ⅱ）有两解，即，两边取对数得, 则当时，， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即 ，，于是. 【变式3-2】已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3) 当时，即， 不妨设，由（1）可知， 要证明，即证， 因为，且在上单调递增，所以只需要证， 又因为， 所以只需要证，即证， 即证， 两边同时除以，得， 化简为， 因为，所以只需证， 即证， 令， 则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以． 故，即， 所以． 【分析】（1）求导，分析单调性，确定极值． （2）分类讨论不同取值下需满足的条件，最后取并集. （3）利用函数对称性，将转化为证明，构造函数，求导分析单调性和极值，最终证得． 【详解】（1）， 令，所以，解得， 当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在的极小值为，无极大值． （2）在上恒成立， 即在上恒成立， ①当时，由，得，因此，满足题意. ②当时，令， 则， 令，则． 由，得，， 因此，则在上单调递增， 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则，， 因此在上存在唯一的零点， 且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，不满足题意. 综上，实数的取值范围为． （3）略 【点睛】规律总结  极值点偏移问题的解法： （1）（对称化构造法）构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性证得不等式． （2）（比值代换法）通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 题型4 减法型极值点偏移 【典例4-1】已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为． (2) 由（1）知． 令，则 ． 令，则． 令，则． 在上恒成立，在上单调递增， ，在上恒成立， 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，对任意恒成立． ，． 又，． 在上单调递增，，，即． 令，则 ． 在上单调递增， 在上恒成立， 在上单调递增，， 对任意恒成立． ．又． 在上单调递增，且， ．由，得， ，． 【分析】（1）对求导，分析函数单调性，根据极值定义即可求解； （2）令，则，令，则，令，则，分析单调性可得，即对任意恒成立．继而可得，由单调性可得，令，利用导数分析单调性可得，即对任意恒成立．可得，继而可得，由即可证明. 【详解】（1）定义域为，， 令，解得或， 当时，；当时，． 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 的极大值为，极小值为． （2）略 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题是高考数学中的热点和难点，通常作为压轴题出现，这类题通常考查学生的逻辑推理能力和函数与方程思想，以下是三种常见的解法： （1）构造法：构造函数，通过判断其在时的符号来确定与的大小关系；代换，结合，得到与的大小关系；再利用函数的单调性解决问题. （2）利用对称性：找到函数的极值点，构造对称函数，分析的单调性，利用其对称性来证明极值点偏移。 （3）增量法：令，，通过比较与的大小来证明极值点偏移；再利用函数单调性和对称性进行推导. 核心口诀：减法偏移看差值， 与 比；比值换元差分构，单调定号证清晰。 高分技巧： 差值换元法（核心首选）：要证明 （或 ），令 ，将条件 转化为关于 和 的方程，通过隐函数求导或零点存在定理证明 的取值范围，从而得到 或 ； 构造 ：要证 ，即 。设 在极值点左侧，构造 （ 在定义域左侧区间），证明 恒成立，则 ，结合单调性得 ； 比值换元法转化：令 ，则 。由 将 用 表示，目标式 化为关于 的单变量函数，证明其大于（或小于） 即可； 极值点距离估计：减法型极值点偏移本质是估计极值点左右两侧零点之间的距离。可先估计零点 各自所在的区间，再计算区间长度的最小值或最大值，从而得到 的界； 转化加法型处理：若减法型难以直接证明，可先将待证不等式转化为加法型等价形式。例如证 ，等价于证 ，令 ，，转化为证 或 的某种关系； 利用中值定理：若 ，由拉格朗日中值定理存在 使 ，则 （唯一极值点）。 的长度可视为区间 的跨度，利用 的单调性和端点导数符号来估计跨度范围。 易错警示：减法型中 可能为正也可能为负，需根据题目具体判断；构造 时需确保 在定义域内；将减法型转化为加法型时，代换后的变量与原变量定义域对应关系需正确；利用中值定理估计跨度时， 是否唯一极值点是前提。 【变式4-1】有两个零点． (1)时，求的范围； (2)且时，求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）将函数零点与方程的根联系起来，进一步分离参数构造新的函数，利用导数研究其性态即可求解. （2）当时由及的两个零点之间的距离可得. 【详解】（1）时，， 由题意的两个零点即为 方程的两个根， 分离参数即得，令， 对其求导得，设， 则，所以在定义域上面单调递减， 注意到，所以随的变化情况如下表： 所以有极大值（最大值）， 又当时，；当时，， 若方程有两个根， 则，即的取值范围为. （2）因为，设， 所以当且时有， 进而有，且 的函数图像恒在的函数图象上方，不妨设的两个零点为（且），如图所示： 因此的两个零点在二次函数两个零点之内， 所以有，令，则其二次项系数、一次项系数、常数项分步为，其判别式， 又，所以， 综上，有，命题得证. 【点睛】关键点点睛：第一问的关键在于将函数零点转化为方程的根进一步分离参数，至于第二问的关键是进行放缩，进而去发现相应零点之间的变化. 【变式4-2】已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的取值范围. (2)若函数的两个零点分别是，且，证明： ①随着的增大而减小； ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析：②证明见解析 【分析】（1）利用导数判断原函数单调性，卡端点列出不等式求解即可. （2）①合理判断有两个零点，构造与的函数，求其单调性即可. ②求出关键点的函数值，结合不等式的运算性质证明不等关系即可. 【详解】（1）若函数在上单调递增，易知， 令，，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故原命题等价于求，且，故，解得， 即的取值范围为. （2）①引理：对，必有成立，令， 故，令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，故成立， 设，则，即， 可得的最小值为 而，当时，， 且由引理知，故， 由零点存在性定理得有两个零点， 结合可得， 故当时，两个根一定会存在，设是关于的函数，记为， 我们同样可以定义为：对，存在唯一的，使得， 且这个就是关于的方程中的较大根，此时已有， 此时发现是上的函数，则证明在上单调递减即可， 由于， 首先，我们有，，所以，， 其次，我们实际上有，（因为要么，要么）， 所以，若，则，， 然后考虑，显然我们有， 若，则，所以另一根一定小于，从而， 若，由于是关于的较大根，故， 即，解得，但是对任意的时， 关于的方程的较小根都不超过， 要么，解得，要么， 所以是较大根，从而，这表明与关于对称， 所以我们只需要证明在上单调递减， 这里是的较大根，且， 由于，故对，设， 则，， 从而由是较大根，知，， 也意味着位于单调递增区间， 设，由于当时， ， 所以， 而，方程的较小根一定不超过， 这表明的较大根一定成立，所以， 这就证明了在上单调递减，从而一定在上单调递减， 故随着的增大而减小得证. ②由①知有两个零点，且， 由于， 由引理又有， 而根据单调性得，当或时，必有， 所以， 可得 即，原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用零点存在性定理证明函数有两个零点，然后构造函数，转化为证明函数单调性问题求解即可. 题型5 平方型（立方型）极值点偏移 【典例5-1】已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据和分类讨论，即可得出函数的单调性； （2）由可得，是方程的两不等实根，从而可将问题转化为是方程的两不等实根，即可得到和的范围，原不等式等价于，即极值点偏移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出． 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为. 由得：， 当时，在上单调递增； 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）因为是方程的两不等实根，， 即是方程的两不等实根， 令，则，即是方程的两不等实根. 令，则，所以在上递增，在上递减，， 当时，；当时，且. 所以0，即0. 令，要证，只需证， 解法1（对称化构造）：令， 则， 令， 则， 所以在上递增，， 所以h，所以， 所以，所以， 即，所以. 解法2（对数均值不等式）：先证，令， 只需证，只需证， 令， 所以在上单调递减，所以. 因为，所以， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造及对数均值不等式等方法证出． 核心口诀：平方目标构和积， 转加减；恒等变形 ，化归加法乘积再处理。 高分技巧： 平方和化归法：目标式 可利用恒等式 ，转化为加法型（）与乘积型（）的组合。若能分别判断 和 的范围，即可得到平方和的范围； 构造函数 ：对于平方和与某定值的比较，可考虑圆上点的对称性质。但更常用的方法是直接利用加法型结论——先证 ，再结合 的估计，推出 的范围； 立方和化归法：，同样化归为加法型与乘积型的组合。因此乘积型极值点偏移的结论对平方型、立方型均有支撑作用； 构造平方差函数：若需证明 ，可构造 （或类似含平方根的结构），利用导数分析符号。但此类构造较复杂，通常优先使用化归法； 利用 与 的相互约束：由均值不等式 ，若能证明 ，则 （等号不可取时需注意方向）。此法避免直接处理平方项，通过加法型间接证明； 极值点处二阶信息：平方型偏移往往与函数在极值点附近的二阶导（曲率）有关。若 较大，则极值点更“尖锐”，零点偏移更显著。选填中可利用此直观判断。 易错警示：均值不等式放缩方向需与待证方向一致——要证 ，若用 则需要证明 ，不能反向；化归法中乘积型结论的精度会传递到平方结论中，若乘积型结论较松，平方结论可能失效；立方和为负值时需特别注意符号，不建议盲目套用正数公式。 【变式5-1】已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【答案】(1) (2)证明如下： 有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到，构造，利用导函数得到其单调性，极值和最值情况，得到； （2）转化为有2个不同的实数根，构造，得到其单调性，得到，且，求出，换元后即证，构造，求导后得到在上单调递增，，得到证明. 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）略 【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 【变式5-2】已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到不等式，求出答案； （2）先证明对一切不相等的正实数，都有，进而得到，则，由基本不等式得，进而求出. 【详解】（1）定义域为， 由题意可得. 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，，且， 则，解得，即的取值范围为； （2）证明：先证明对一切不相等的正实数，都有. 不妨设，要证，即证 设， 则， 所以在上单调递增，所以，即当时，有， 故，即. 因为是的两个零点，所以 所以，则， 所以，则. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，所以，即. 题型6 乘积型极值点偏移 【典例6-1】若是函数的两个零点，且，求证：且． 【答案】证明见解析 【分析】方法一：根据题意，得，令，对于，其等价于，构造函数，即可得证；令，则，构造函数，即得证； 方法二：由函数单调性，知，有，，则，且，，令，利用导数可证；令，利用导数可证. 【详解】方法一：比值代换 因为，由题意结合可知，，， 所以． 令，则，，代入上式得， ．对于，其等价于，即． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即得证． 对于，其等价于，即，即． 令，则，构造函数，则， 在上单调递减，所以，即得证． 方法二：差值代换 由可得． 设函数，则， 当，，则函数在上单调递减， 当，，则函数在上单调递增， 所以，则有，，则，且，． 对于，即，即，即， 令，则，则只需证． 令，则，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，则，即成立． 对于，其等价于，即，即． 左边分子、分母同时除以，得，令，则， 则只需证，即． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以在上单调递减，所以，即成立． 核心口诀：乘积偏移看 ，对数变换加法和； 与 比，加法型结论直接套。 高分技巧： 对数化加法型（核心通法）：要证明 （或 ），等价于证明 。令 ，，则 的偏移问题即为加法型极值点偏移。因此乘积型是加法型在对数变换下的等价形式； 利用对数平均不等式：若条件 可整理为 形式，可直接套用对数平均不等式 ，结合其他条件判断 的范围； 比值换元法（乘积版）：令 ，则 。由 将 用 表示（通常为 ），目标式 化为关于 的单变量函数，求导证明其与 的大小关系； 积型对称构造法：设 为极值点，构造 （），其中 是与 关于 的“几何对称点”，满足 。判断 在 上的符号，可推出 与 的大小关系，即 与 的大小关系； 同取对数转化为加法型：若原函数含对数结构，直接对 取对数后可能自然化为加法型偏移，再使用加法型的所有技巧； 利用均值不等式转换： 与 满足 。若加法型结论已得 的范围，可间接给出 的上界。但下界判断较困难，通常需直接处理乘积型。 易错警示：对数化要求 ，若定义域含负数则此法失效；几何对称点 需在定义域内，若超出定义域则不能使用；比值换元中 的表达式若为隐式，需证明 的唯一性和单调性；均值不等式只能提供上界，要证 不能用均值不等式直接证明。 【典例6-2】已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合函数有两个零点、，得出，，将所证不等式变形为证明，然后构造函数，利用函数的单调性可证得结论成立. 【详解】因为，该函数的定义域为，， ①若，则恒成立，不可能有两个零点； ②若，， 令，令，可得，令， 由可得，由可得， 故在单调递增，在单调递减， 且，则， 时符合题意， 因为函数有两个零点、， 则，可得，同理可得， 要证，即证，即证，即证， 即证，即证， 故只需证，即证． 构造函数，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以在单调递减，在单调递增，则， 即，在上单调递增， 因为，故，即，故原不等式得证. 【变式6-1】已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①； ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②略 【变式6-2】已知函数，其中. (1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围. (2)，若，求证： 【答案】(1) (2)函数的定义域为， ， 当时，，所以，所以单调递增； 当时，，所以，所以单调递减. 因为，所以可设，则. 令， 则， 当，所以，，所以； 当，所以，，所以， 又，所以恒成立， 所以函数是增函数. 所以，所以， 即. 【分析】（1）利用导数分析的单调性，并求得其最小值，由此不等式对恒成立，转化为.构造函数，利用导数分析其单调性，即可解得实数的取值范围； （2） 利用导数分析函数的单调性，得，则，构造函数，利用导数分析函数的单调性，得，从而证得. 【详解】（1）函数的定义域为， . 当时，令，得. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. 因为不等式对恒成立，所以. 设， 则恒成立， 所以在上单调递增. 因为，所以，解得，即. 综上所述：的取值范围是. （2）略 题型7 商式型极值点偏移 【典例7-1】已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. (2) (3)由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【详解】（1）略 （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）略 核心口诀：商式偏移看比值， 定偏移量；比值换元是正途，证 与 比大小。 高分技巧： 比值换元法（唯一首选）：商式型极值点偏移的核心目标是证明 （或 ）。令 ，由 将 用 表示（通常为 ），再结合 的有界性或其他条件，证明 的取值范围——即直接得到 或 ； 转化为减法型处理：令 ，则 。证明 等价于证明 ，即 ，转化为减法型极值点偏移（差值型）。若函数结构便于处理对数差，此法更简单； 构造 型函数：若条件可整理为 的形式，其中 ，令 ，则 是方程 的两个根。利用 的单调性和极值点，通过加法型或乘积型方法求出根之间的关系，进而得到 的范围； 取对数转化（指数/幂指函数）：若原函数含幂指结构，取对数后可将 转化为 的指数形式，再采用差值换元法。例如由 取对数得 ，可解出 ； 利用单调性直接判断比值：若 在区间上有明确单调性，且 分别位于极值点两侧，可通过估计 的上界和 的下界，直接得到 的范围。此法不需要完整消元，适用于选填速判； 商式与对数平均不等式的结合：若条件中涉及 与 的关系，利用对数平均不等式可得 的界，再结合已知条件反推 的范围。 易错警示：比值换元中 的表达式若为隐式，需保证 与 的一一对应关系；转化减法型时 需有意义（），若 则此法不适用；构造 型时需注意 的定义域限制；选填中直接估计 上界和 下界时，须确保上下界相互独立且方向一致（不能“上界”用了一个条件，“下界”用了另一个不兼容的条件）。 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知，若有两个不等实根，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先设，将变为，将问题转化为有两个不相等实根，利用导数求出的单调性，进而找到，再将问题转化为，再令将问题转化为证明不等式，构造函数借助导数证明即可. 【详解】设，，则， 则有两不等实根，（不妨设）， 要证，只要即可；又， 令，解得， 所以时，，单调递增；时，单调递减； 所以， 方程要有两个不等实根，则，即，且， 下面证明，由，两式作差得（①）， 作和得（②）， 由①②两式化简可得， 若要证明，只需证明， 只需证明，只需证明， 令，即证明， 只需证明， 令， 令，解得，故，单调递减， 所以，故不等式成立，从而原不等式成立. 所以得证，所以，所以． 2．已知函数有两个不同的零点.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用导数可得在处取得极小值，设，要证明，只需证，构造函数，求导证明即可. 【详解】定义域为， ，所以在上单调递减. ，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 又， 所以先保证必要条件成立，即满足题意. 当时，； ， 由以上可知，当时，有两个不同的零点. 由题意，设，要证明，只需证明. 因为在上单调递减，且， 只需证. 又，即只需证， 构造函数， 因为， 所以 ，， 则， 所以在单调递减， 所以. 因为，所以，成立，即， 所以. 3．已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】先换元，即证，分别构造函数来证明即可. 【详解】因为，有两个零点，， ， 令，则， 即证明，即证， 设， 由于，即， 左边即证， 即证， 设，则，单调递增， 则当时，，即成立，故. 要证， 即证即, 而, 故即证， 即证：， 令，即证：. 则， 设， 则， 设，则， 设，则，其， 而，故在为减函数， 而，，故存在， 使得时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，且， 故，故即恒成立， 故在上为减函数，而， 故当时，即，时，即， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，故（不恒为零），故为减函数， 故，即， 即得证. 4．已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1)的零点为0；在上单调递减，在上单调递增. (2)（i）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 【分析】（1）利用导数分析的单调性，可得到在上有唯一零点.利用的单调性得到及的解，从而得到判断的单调性； （2）（i）构造新函数，通过分析新函数的单调性，结合的单调性证得，即； （ii）构造新函数，根据新函数的单调性分析，结合的单调性证得，即． 【详解】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）略 （ii）略 5．已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1)最大值为0，最小值为. (2) . 当时，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去； 当时，所以， 由，得，所以在上单调递增； 由，得，所以在上单调递减. 所以当时，取得极大值，极大值为， 为满足题意，必有，得. 因为是的两个不同的零点， 所以， 两式相减得. 设，要证， 只需证，即证. 设，只需证， 设，则， 所以在上为增函数，从而， 所以成立，从而． 【分析】（1）将带入原函数中求得函数的解析式，确定函数的定义域，再对原函数求导， 判断在区间上的单调性，即可求得函数在区间上的最值； （2）对原函数求导，并对参数，分类讨论，得出函数在两种情况下的单调性，由单调性求得函数有两个不同的零点时两根与参数的关系，再利用比值换元法即可证明. 【详解】（1）当时，， . 由，得；由，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为， ， 所以在区间上的最大值为0，最小值为. （2）略 【点睛】关键点睛：本题（2）关键在于构造函数，转化为求新函数的单调性，再由单调性求最值，即可证明. 创新提升 6．已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i）， （ii）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 设， 则， 由基本不等式，则，单调递增， 则时，， 则， 由于，在单调递增， 则， 设， 则 则，单调递增， 当时，， 则， 即， 由于，在单调递增， 则， 由 ，可得， 则， 即. 【分析】（1）由恒成立，分参配方即可求解； （2）（i）由题意列出方程组，消去得，求导分析的整数零点，即可求； （ii）求导分析单调性，得出，构造函数证明，构造函数证明，由不等式的性质即可证明. 【详解】（1）， 由题意恒成立，则， 则. （2）（i）由题意，存在使得， 消去得， 设， 则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值，当时， 极小值， ， 则在存在1个零点， 综上的整数零点只有0， 则. （ii）略 7．已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ， 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即， 由此可得，即， 两边同时取指数，则有，命题得证. 【分析】(1) 运用导数的几何意义求出切线方程，再通过计算该切线在两坐标轴上的截距来求解三角形面积, (2) 采用分离参数法，将“存在实数使不等式成立”的问题，转化为求解新构造函数最小值的最值问题, (3)使用换元法，将难以处理的双根不等式问题，转化为关于单变量的函数单调性证明问题. 【详解】（1）当时，, 则，即切点坐标为, ，， 则切线方程为， 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积. （2）已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得， 即， 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以， 即. （3）略 8．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：． 【答案】(1) 当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减. (2) 当时，可得，， 由（1）可知：在内单调递增，在内单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递减， 则，即； 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递增， 则，即； 由和可得. 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断函数单调性； （2）根据题意分析可知：在内单调递增，在内单调递减，，利用极值点偏离证明和，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，， 且，令，可得， 当，即时，可知在内恒成立， 即在内恒成立，所以在内单调递增； 当，即时，由解得或， 由可知， 若，；若，； 所以在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 9．已知函数，若方程有三个不同的实数根. (1)求的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到函数单调性和极值，结合时，，得到； （2）先得到的对称中心为，先由得，再证时，恒成立，结论成立； （3）由（1）知.先利用构造差函数法证明出，再由题意知，又，故，解得，所以成立． 【详解】（1）， 令得或，令得， 故在内单调递增，在内单调递减，内单调递增， 的极大值为的极小值为，且时，， 方程有三个不同的根，所以； （2）设，则， 故的对称中心为，恰好是点和点所连线段的中点. 对，都有， 由可得，，解得，需要满足. 下证时，恒成立，即证. 即证，即， 即证， 设，令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， ，从而成立， 所以当且仅当时，恒成立； （3）由（1）知.先证，即证明：， 由于在内单调递增，即证，又， 即证， 设， ， 设，， 在区间内存在零点，设为在区间上单调递减， 在区间上单调递增，，. 所以在上存在零点，在， 在所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以时，，即有对恒成立. 成立． 下证，由题意知，又， 故，解得， 所以成立． 10．设函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导得，分为，，和四种情况，分别讨论的符号，从而得到函数的单调性； （2）①分为，，，和五种情况，结合函数的单调性分别讨论，即可求出答案；②由①知，，即，要证，只需证，通过构造函数，判断在上单调递增，从而证明，继而得到，再结合函数的单调性即可证明. 【详解】（1）， （ⅰ）当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； （ⅱ）当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； （ⅲ）当时，，在上单调递增； （ⅳ）当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时 ，在上单调递减，在上单调递增. （2）①， （ⅰ）当时，，令，解得， 此时函数只有一个零点，不符合题意，舍去； （ⅱ）时 ，在上单调递减，在上单调递增， 则， 又， 取且， 则， 所以有两个零点，其中，，符合题意； （ⅲ）当时， 在上单调递增， 当时，， 所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅳ）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅴ）当时， 当时，， 又在上单调递减，在上单调递增，， 所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围为. ②由①知，，，所以， 要证，即证， 令， 则， 当时，，在上单调递增， 因为，所以， 即，即， 又因为，所以， 又因为且在上单调递减， 所以，即， 原命题得证. 11．已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可得，令，令，其中，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的取值范围； （2）令，，先证明出，由已知条件得出，可得，即可证得所证不等式成立； （3）先证明，结合以及所证不等式可证得结论成立. 【详解】（1）由， 可得， 令，其中，则函数，故函数在上为增函数， 所以，故函数的值域为， 令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 因为内层函数在上为增函数， 故直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. （2）令，，因为函数在上为增函数，且，则， 先证明：， 不妨令，则，即证，即证. 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，所以， 即当时，，故. 本题中，因为，，且， 即，即， 故，所以，故， 即. （3）先证明：， 不妨令，则，即证， 即证， 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，故， 即，故，即. 本题中，，所以，即，即. 12．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2知，，， 要证，即证， 因为，所以， 又在单调递减，即证， 又，即证. 设，， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以，函数在单调递增. 当时，，因此，， 因为，所以，故原不等式成立； 证明2：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，则，即证（），即证（）， 设（），则， 由（1）知，，当且仅当时取等号， 故，即，在单调递增， 当时，，故原不等式成立， 证明3：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，，则，，， 即证（），即证（）， 令，即证（）， 设（），则， 在单调递减，， 因为，所以，故原不等式成立. 【分析】（1）借助导数研究函数单调性后即可得其最小值； （2）（ⅰ）解法1：令得，再构造函数，结合导数求出该函数单调性后，利用图象与直线有两个交点即可得解；解法2：求导后，分及进行讨论，再利用导数研究其单调性后结合零点存在性定理即可得；（ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2可得、的范围，从而可转化为证明，结合函数单调性，即证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证；证明2：由题意可知，，则，从而只需证明，再构造函数，结合（1）中所得即可得证；证明3：由题意可知，，则，从而只需证明，令，，令，即只需证（），再构造函数，再利用导数研究该函数单调性即可得证. 【详解】（1）当时，，， 令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 故的最小值为； （2）（ⅰ）解法1：令得， 设，则图象与直线有两个交点， ，当时，；当时，， 因此在单调递增，在单调递减， 时，，，，故的取值范围为； 解法2：函数的定义域为，， 若时，则，故在上单调递减，不满足题意； 若时，令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 因为函数有两个零点，所以， 即，解得， 此时，， 满足题意，故的取值范围为； （ⅱ）略 13．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) (3) 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 函数有两个零点，，不妨设，则. 要证，只要证，，，只要证. 又∵，∴只要证.     设，， 则. 当时，，，， ∴，∴单调递减，∴.     ，即， ∴. 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论研究函数单调性； （2）将题干恒成立问题转化为，设，利用导数法求得在上单调递增，从而转化为在上恒成立，设，，利用导数法求得，即可求解； （3）将证明转化为证，设，，利用导数法求得单调递减，则有，即可得证. 【详解】（1）函数，其定义域为，∴.     当时，恒成立，∴在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增.     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意，∴即.     ∵，∴不等式可化为，即.     设，则当时，；当时，；当时，. ，当时，，在上单调递增. 当时，，，故， 当时，，，，在上恒成立， 即在上恒成立. 设，，则， 在上单调递增，， ∴， 综上实数a的取值范围是. （3）略 14．已知函数有两个零点 (1)求a的取值范围； (2)记，为的两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导讨论单调性，结合零点存在定理讨论零点个数即可； （2）左侧构造，结合单调性即可证明；右侧利用，以及与的关系，代入化简整理即可证明. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由已知得，， 设， 可得， 由反比例函数性质得在上单调递减， 由幂函数性质得在上单调递减， 则在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 由于，故时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，， 当时， ，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，再区间上单调递增， 所以时，函数有最小值，即， 因为在区间上恒为正，而， 所以 ， 即， 取，则，存在，使， 可得，存在，使，符合题意； 当时，有且只有1个零点，不符合题意； 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 此时单调递减，不会有两个零点； 当时，当时，，单调递增， 而，单调递减，得到， 当时，存在，， 当时，，单调递增，， 当时，，单调递减， 且由对数函数与幂函数增长速度可知，当趋于时，趋于， 则存在，， 当时，，单调递增，， 当时，，单调递减，不会有2个零点； 当时，，， 存在，， 当时，，， 当时，，单调递减，， 则单调递减，在上不会有2个零点； 综上，. （2）由（1）得，， 设， 则， 则，又， 所以，故， 由于，且在上单调递增， 则，即； 设，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 则，则， 由于， 则时，， 当时，， 则， 整理得， 则得，， 由于，则， 则； 综上得证. 15．设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 【答案】(1) (2) (3) 设，则， 因为，所以． 当时，，在上单调递增，不符合题意，所以． 由，得． 设，则，所以在上单调递增． 又因，所以， 所以，所以， 所以，所以， 设，则， 因为当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，即． 因为，所以，即， 又因，所以，所以， 又因为，，所以． 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，结合函数极值点的定义可得出实数的取值范围，求出该函数的极小值，根据函数无零点可得出关于的不等式，综合可解得实数的取值范围； （2）分析可知，存在、使得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出，即可解出实数的取值范围； （3）分析可知，证明出，可得出，所以，再证明出，即可得出，再结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）因为，则， 当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数有极小值点，故的极小值为， 因为函数无零点，所以，即，即，解得， 综上，的取值范围为． （2）由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线， 可知存在、使得． 当，则，不符合题意． 当时，在上单调递增． 所以在内的值域为． 所以，由题意可得， 整理可得，解得， 因此，的取值范围为． （3）略 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训07 导数中的极值点偏移问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 含对数型极值点偏移 2 题型2 含指数型极值点偏移 4 题型3 加法型极值点偏移 4 题型4 减法型极值点偏移 6 题型5 平方型（立方型）极值点偏移 7 题型6 乘积型极值点偏移 8 题型7 商式型极值点偏移 9 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 10 解题方法及技巧提炼 1、极值点偏移问题的基本特征是： 对于可导函数 ，若其极值点为 ，方程 的两个根（或零点）为 （且 ），若 ，则称极值点发生了偏移。核心命题通常为证明 或 （或证明 与 的大小关系）。基本思路是： （1）确定函数的极值点 （可能为隐零点），明确函数在 两侧的单调性； （2）利用对称构造或变量代换，将双变量 转化为单变量函数； （3）通过导数研究所构造函数的单调性，判断其与 或相关表达式的大小关系； （4）结合 的等量关系，完成偏移方向的证明。 2、极值点偏移的四种核心解题策略： （1）对称构造法（最常用）：设 ，构造函数 （或 ），研究 在 一侧的符号。若证明 ，等价于证 ，利用单调性转化为证 ，即 ，归结为 。核心是构造对称差函数，求导判断单调性； （2）差值换元法：令 ，将 表示为 （），利用 建立 与 的关系，进而将目标 表示为 的函数，通过导数研究其单调性及取值范围； （3）比值换元法：令 ，由 解出 （或 ）用 表示，从而将 或 转化为 的函数，利用导数证明不等式； （4）对数均值不等式法：若函数中含 ，常由等式变形得到 的结构，直接引用对数均值不等式 进行快速放缩（需结合具体偏移方向选择左端或右端）。 3、实用技巧与关键变形： （1）若极值点 无法显式求出（隐零点型偏移），先设 ，利用该关系整体代换，再构造对称函数时可将 视为参数处理，最后通过隐零点范围估计符号； （2）构造对称函数 时，求导后往往出现 ，需利用 的符号判断其单调性；若仍无法判断，可继续求二阶导或利用 进行端点分析； （3）对于证明 或相反的问题，可转化为证明 ，再套用比值换元或对数均值不等式； （4）若函数形式为 或 等，可先取对数或化简再分析，使极值点表达式更简洁。 4、易错点与关键提醒： （1）必须明确哪个是极值点，哪个是零点或交点，不可混淆；同时需确保 在极值点两侧（否则偏移问题无意义）； （2）对称构造法中，要验证 是否落在函数单调区间内，否则无法利用单调性进行转化； （3）差值换元或比值换元时，新变量的取值范围必须由原变量范围及约束关系精确定义，否则导致单调性区间错误； （4）利用对数均值不等式时，若题目为解答题，需先证明该不等式（可通过构造函数 证明），不可直接引用； （5）偏移方向的判断可先通过取特殊函数（如二次函数无偏移， 有偏移）进行定性预估，再严格证明，避免方向反置。 题型通法及变式提升 题型1 含对数型极值点偏移 【典例1-1】已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 核心口诀：对数飘，结构巧；比值换元最常用，搭桥梁。 高分技巧： 对数平均不等式速解：对于含 的函数极值点偏移问题，优先联想对数平均不等式 （，）。若待证结论为 或 ，通常可通过变形直接套用； 比值换元法（核心通法）：令 （设 ）。由 可整理出 与 的关系式，将 （或 ）用 表示，目标式 、、 等均化为关于 的单变量函数，求导证明即可； 对数差转化为比值：出现 时，将其视为 ，引入比值换元天然适配。核心变形：由 解出 ，从而建立 与 的关系； 对称构造法（通法备用）：设极值点 ，构造 ，判断 在 上的符号。若 且 在极值点左侧，可推出 ，即 。此法不依赖对数结构的特殊性，但需分析 的符号，计算量较大； 利用 的凹凸性： 为凹函数（），其图象在弦上方。若极值点偏移问题中涉及 ，可利用琴生不等式或凹函数性质直接判断 与 的大小关系； “差化积”变形技巧：对形如 的条件，令 ，，将对数型极值点偏移转化为指数型或一般型处理。 易错警示：比值换元后需确认 ，且 恒成立；对数平均不等式有严格的使用条件（ 且 ），注意验证；对称构造法中 是否仍在定义域内需确认；凹函数性质使用时需明确是上凸还是下凸，方向不可搞反。 【典例1-2】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【变式1-1】已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【变式1-2】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点； （i）求的取值范围； （ii）证明． 题型2 含指数型极值点偏移 【典例2-1】已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 核心口诀：指数飘，取对数；比值差化巧转化，同构函数显神通。 高分技巧： 取对数降维法：对 与 的结构，若 中含 和 ，可对等式两边取对数，将对数型极值点偏移转化为加法型或减法型处理。例如由 ，虽不能直接取对数，但若条件为 与 ，取对数后转化为 形式； 比值换元法（指数版）：由 解出 ，令 ，则 ，将 用 表示（通常为 ），目标式 、 等化为关于 的单变量函数。注意指数函数的特性使得差值换元 比比值换元更自然； 同构构造法：将条件 变形为 形式，令 ，，则 且 ，将对数型极值点偏移转化为关于 的代数型极值点偏移，再套用加法型或乘积型方法； 差值换元法（首选）：令 ，则 。将 整理为关于 和 的方程，若能解出 （或证明其存在唯一），目标式 转化为 ，再求关于 的函数最值； 对称构造法（指数版）：设极值点 ，构造 ，利用指数函数的性质（）简化求导符号判断； 利用 的凸性： 为凸函数（），其图象在切线上方。若极值点偏移涉及指数和，可利用凸函数性质结合琴生不等式直接判断。 易错警示：取对数时需保证等式两边均为正数，否则需讨论符号；差值换元 后， 的取值范围受 影响，需重新界定定义域；同构构造时外层函数的单调性需确认——若外层函数不单调， 不能直接推出 ，需谨慎使用。 【变式2-1】已知函数（）． (1)当时，求证：； (2)若函数的两个零点为（）． ①求实数的取值范围； ②求证：． 题型3 加法型极值点偏移 【典例3-1】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 核心口诀：加法偏移看和差，对称构造是核心； 与 比， 符号定乾坤。 高分技巧： 对称构造法（核心通法）：已知 ， 为极值点，要证 （或 ）。构造 （），求导得 。若能证明 （或 ）且 ，则 的符号确定，进而推出 与 的大小关系； 的一阶导判定技巧： 的符号通常由 决定。若 （凸函数），则 单调递减，当 时 ，需进一步比较绝对值；常见情形下 恒成立； “差函数”变形技巧：将 等价变形为 ，即证明“右侧点到极值点的距离”大于“左侧点到极值点的距离”。可通过构造 （）判断符号—— 意味着右侧函数值更大； 利用单调性直接推导：若已知 在 上单调递增，在 上单调递减，且 （），则要证 等价于证 。因 在 单调递减，只需证 ，即 ——转化为单变量不等式； 对数平均/指数平均不等式法：若 的具体形式已知，且能通过 整理为 与某种平均的比较，直接套用对数平均不等式或指数平均不等式快速得出结论； 比值换元法（加法型通用）：令 ，将 表示为 ，由 将 表示为 的函数，转化为证明单变量不等式。 易错警示：对称构造中 是必要条件，需验证； 的符号判定若遇困难，可求二阶导或对 分段讨论； 必须在定义域内，若超出定义域则此法失效； 中 的最大值受定义域限制。 【变式3-1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【变式3-2】已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 题型4 减法型极值点偏移 【典例4-1】已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 核心口诀：减法偏移看差值， 与 比；比值换元差分构，单调定号证清晰。 高分技巧： 差值换元法（核心首选）：要证明 （或 ），令 ，将条件 转化为关于 和 的方程，通过隐函数求导或零点存在定理证明 的取值范围，从而得到 或 ； 构造 ：要证 ，即 。设 在极值点左侧，构造 （ 在定义域左侧区间），证明 恒成立，则 ，结合单调性得 ； 比值换元法转化：令 ，则 。由 将 用 表示，目标式 化为关于 的单变量函数，证明其大于（或小于） 即可； 极值点距离估计：减法型极值点偏移本质是估计极值点左右两侧零点之间的距离。可先估计零点 各自所在的区间，再计算区间长度的最小值或最大值，从而得到 的界； 转化加法型处理：若减法型难以直接证明，可先将待证不等式转化为加法型等价形式。例如证 ，等价于证 ，令 ，，转化为证 或 的某种关系； 利用中值定理：若 ，由拉格朗日中值定理存在 使 ，则 （唯一极值点）。 的长度可视为区间 的跨度，利用 的单调性和端点导数符号来估计跨度范围。 易错警示：减法型中 可能为正也可能为负，需根据题目具体判断；构造 时需确保 在定义域内；将减法型转化为加法型时，代换后的变量与原变量定义域对应关系需正确；利用中值定理估计跨度时， 是否唯一极值点是前提。 【变式4-1】有两个零点． (1)时，求的范围； (2)且时，求证：． 【变式4-2】已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的取值范围. (2)若函数的两个零点分别是，且，证明： ①随着的增大而减小； ②. 题型5 平方型（立方型）极值点偏移 【典例5-1】已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 核心口诀：平方目标构和积， 转加减；恒等变形 ，化归加法乘积再处理。 高分技巧： 平方和化归法：目标式 可利用恒等式 ，转化为加法型（）与乘积型（）的组合。若能分别判断 和 的范围，即可得到平方和的范围； 构造函数 ：对于平方和与某定值的比较，可考虑圆上点的对称性质。但更常用的方法是直接利用加法型结论——先证 ，再结合 的估计，推出 的范围； 立方和化归法：，同样化归为加法型与乘积型的组合。因此乘积型极值点偏移的结论对平方型、立方型均有支撑作用； 构造平方差函数：若需证明 ，可构造 （或类似含平方根的结构），利用导数分析符号。但此类构造较复杂，通常优先使用化归法； 利用 与 的相互约束：由均值不等式 ，若能证明 ，则 （等号不可取时需注意方向）。此法避免直接处理平方项，通过加法型间接证明； 极值点处二阶信息：平方型偏移往往与函数在极值点附近的二阶导（曲率）有关。若 较大，则极值点更“尖锐”，零点偏移更显著。选填中可利用此直观判断。 易错警示：均值不等式放缩方向需与待证方向一致——要证 ，若用 则需要证明 ，不能反向；化归法中乘积型结论的精度会传递到平方结论中，若乘积型结论较松，平方结论可能失效；立方和为负值时需特别注意符号，不建议盲目套用正数公式。 【变式5-1】已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【变式5-2】已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 题型6 乘积型极值点偏移 【典例6-1】若是函数的两个零点，且，求证：且． 核心口诀：乘积偏移看 ，对数变换加法和； 与 比，加法型结论直接套。 高分技巧： 对数化加法型（核心通法）：要证明 （或 ），等价于证明 。令 ，，则 的偏移问题即为加法型极值点偏移。因此乘积型是加法型在对数变换下的等价形式； 利用对数平均不等式：若条件 可整理为 形式，可直接套用对数平均不等式 ，结合其他条件判断 的范围； 比值换元法（乘积版）：令 ，则 。由 将 用 表示（通常为 ），目标式 化为关于 的单变量函数，求导证明其与 的大小关系； 积型对称构造法：设 为极值点，构造 （），其中 是与 关于 的“几何对称点”，满足 。判断 在 上的符号，可推出 与 的大小关系，即 与 的大小关系； 同取对数转化为加法型：若原函数含对数结构，直接对 取对数后可能自然化为加法型偏移，再使用加法型的所有技巧； 利用均值不等式转换： 与 满足 。若加法型结论已得 的范围，可间接给出 的上界。但下界判断较困难，通常需直接处理乘积型。 易错警示：对数化要求 ，若定义域含负数则此法失效；几何对称点 需在定义域内，若超出定义域则不能使用；比值换元中 的表达式若为隐式，需证明 的唯一性和单调性；均值不等式只能提供上界，要证 不能用均值不等式直接证明。 【典例6-2】已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 【变式6-1】已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【变式6-2】已知函数，其中. (1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围. (2)，若，求证： 题型7 商式型极值点偏移 【典例7-1】已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 核心口诀：商式偏移看比值， 定偏移量；比值换元是正途，证 与 比大小。 高分技巧： 比值换元法（唯一首选）：商式型极值点偏移的核心目标是证明 （或 ）。令 ，由 将 用 表示（通常为 ），再结合 的有界性或其他条件，证明 的取值范围——即直接得到 或 ； 转化为减法型处理：令 ，则 。证明 等价于证明 ，即 ，转化为减法型极值点偏移（差值型）。若函数结构便于处理对数差，此法更简单； 构造 型函数：若条件可整理为 的形式，其中 ，令 ，则 是方程 的两个根。利用 的单调性和极值点，通过加法型或乘积型方法求出根之间的关系，进而得到 的范围； 取对数转化（指数/幂指函数）：若原函数含幂指结构，取对数后可将 转化为 的指数形式，再采用差值换元法。例如由 取对数得 ，可解出 ； 利用单调性直接判断比值：若 在区间上有明确单调性，且 分别位于极值点两侧，可通过估计 的上界和 的下界，直接得到 的范围。此法不需要完整消元，适用于选填速判； 商式与对数平均不等式的结合：若条件中涉及 与 的关系，利用对数平均不等式可得 的界，再结合已知条件反推 的范围。 易错警示：比值换元中 的表达式若为隐式，需保证 与 的一一对应关系；转化减法型时 需有意义（），若 则此法不适用；构造 型时需注意 的定义域限制；选填中直接估计 上界和 下界时，须确保上下界相互独立且方向一致（不能“上界”用了一个条件，“下界”用了另一个不兼容的条件）。 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知，若有两个不等实根，，求证：． 2．已知函数有两个不同的零点.求证：. 3．已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 4．已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 5．已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，证明：. 创新提升 6．已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 7．已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 8．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：． 9．已知函数，若方程有三个不同的实数根. (1)求的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)证明：. 10．设函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 11．已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 12．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 13．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 14．已知函数有两个零点 (1)求a的取值范围； (2)记，为的两个零点，证明： 15．设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $