一元函数的导数训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以导数几何意义与应用为核心，构建“基础方法-性质研究-综合应用”三阶训练体系，提炼构造函数等解题模型，培养数学推理与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线问题|13题|过点/在点切线求法、切线条数判定|从导数几何意义到切线综合应用，覆盖基础计算与参数讨论| |构造函数|14题|“加/减”型关系式构造模型（如e^x f(x)、f(x)/x等）|基于导数四则运算法则，归纳函数构造通法，培养转化思维| |极值与最值|9题|极值点判定、含参函数最值求解|衔接导数与函数性质，强化分类讨论与数形结合| |恒成立与能成立|13题|分离参数法、函数单调性分析|结合不等式与导数应用，提升参数范围求解能力| |综合运用|11题|函数单调性讨论、零点问题综合|整合前四模块方法，培养复杂问题解决与数学表达能力|

一元函数的导数培优资料 专题一 切线问题 1.曲线在处的切线方程为 ． 2.过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3.曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 4.过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 5.已知曲线在处的切线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D．1 6.已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 7.过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（     ） A． B． C．1 D．2 8.已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为 . 9.已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 10.（多选）过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （     ） A． B．-3 C．1 D．3 11.过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围. 12.已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 13.点P，Q分别是函数，图象上的动点，则的最小值为 . 专题二 构造函数 (1)关系式为“加”型 ①f'(x)+f(x)≥0：构造[exf(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]； ②xf'(x)+f(x)≥0：构造[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)； ③xf'(x)+nf(x)≥0：构造[xnf(x)]'=xnf'(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)]. (注意对x的符号进行讨论) (2)关系式为“减”型 (1)f'(x)-f(x)≥0：构造； (2)xf'(x)-f(x)≥0：构造； (3)xf'(x)-nf(x)≥0：构造. 1.设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 2.已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 3.函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是 . 4.设是函数的导函数，若对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 5.已知定义域为的函数满足，且满足条件，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 6.定义在R上的函数的导数为，且满足条件，则不等式 的解集为 . 7.设为上的奇函数.当 时，且满足条件，则不等式的解集为 . 8.已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 9.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若对任意，都有成立，则不等式的解集为（ ） A.（-∞，-1） B.（-1，1） C.（1，+∞） D.（-∞，1） 10.已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式 的解集是（     ） A. B. C. D. 12.函数是定义在上的可导函数，且满足，，则对任意正数、，若满足条件，则必有（     ） A. B. C. D. 13.已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 14.已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 专题三 函数的极值与最值 1.求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝. 2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值． (1)求a，b的值； (2)若f(－1)＝，求函数f(x)的单调区间和极值． 3.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内的极大值点的个数为________； (2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________； (3)已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________； (4)y＝2x＋的极小值为_______，极大值为_______； (5)函数y＝(x>0)的极小值为________. 4.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值. 5. (多选)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)在区间(0，4)内单调递增 B.函数f(x)在区间内单调递减 C.函数f(x)在x＝1处取得极大值 D.函数f(x)在x＝0处取得极小值 6.若函数f(x)＝x2－2x＋a ln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是 . 7.已知f(x)＝x ln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围． 8．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 9.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（    ） A.函数的最大值为1 B.函数的最小值为1 C.函数的最大值为1 D.函数的最小值为1 专题四 恒成立与能成立问题 1.已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 2.若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 4.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 5.函数的单调递减区间是，则（     ） A. B. C. D. 6.（多选）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（    ） A. B. C.0 D.2 7.若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（     ） A. B. C. D. 8.若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（    ） A. B. C. D. 9.若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10.已知函数，若，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 11.若不等式有解，则实数的取值范围为 . 12.已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是　　　 　.  13.已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 专题五 导数的综合运用 1.已知函数，e是自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 2.若恒成立，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 3.设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 4.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”.若函数，，的“躺平点”分别为、、，则、、的大小关系为（    ） A. B. C. D. 5.已知函数，过点且与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是 . 6.定义在上的的导数为，且，则的大小关系为（     ） A. B. C. D. 7.（多选）设函数，则（     ） A.当时，有三个零点 B.当时，是的极大值点 C.存在a、b，使得为曲线的对称轴 D.存在a，使得点为曲线的对称中心 8.已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 9.（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 10.若是函数的极值点，则___________. 11.已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元函数的导数培优资料（解析版） 专题一：切线问题 1.曲线在处的切线方程为 ． 答案： 【详解】设，则；所以，且， 即直线斜率，过点，故曲线在处的切线方程为，即， 2.过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 答案：C 【详解】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以，整理得，解得或， 所以切线方程为或. 3.曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 答案： 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率，切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为，令，则，令，则， 则该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 4.过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 答案：A 【详解】设，由，得，曲线在点处的切线方程为， 把代入切线方程，得，化简得， 同理可得曲线在点处的切线方程为，都满足直线， 直线的方程为. 5.已知曲线在处的切线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D．1 答案：A 【详解】因为，则，可得，即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率，由题意得，解得. 6.已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 答案：3 【详解】，求导得，曲线在处的切线斜率， 曲线在处的切线与直线即平行， ． 7.过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（     ） A． B． C．1 D．2 答案：B 【详解】由题意得，过点作曲线的两条切线，设切点坐标为， 则，即，由于，故，， 由题意可知，为的两个解，则，，故. 8.已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为 . 答案：0 【详解】设函数与的公共点为，则有， 则，解得或（舍去），所以，所以，解得. 9.已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 答案：A 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 所以切线方程为，直线过点，则， 化简得， 又因为切线有且仅有1条，即，解得或2， 10.（多选）过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （     ） A． B．-3 C．1 D．3 答案：AD 【详解】设切点为，由函数，可得， 则切线的斜率，切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 因为切线有2条，所以，解得或，故选：AD. 11.过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围. 答案： 【详解】由，得，切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为，因为，所以，因为点在切线上， 所以，得，令，则， 当时，，当时，，所以在上递增，在上递减， 所以在处取得极小值，当时，，当时，， 由题意可得直线与函数的图象有两个交点，所以，解得，所以实数a的取值范围为， 12.已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 答案： 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点，点到直线的距离为. 故答案为： 13.点P，Q分别是函数，图象上的动点，则的最小值为 . 答案： 【详解】的最小值等价于函数图象上的点到直线的最短距离， 当函数在点处的切线与平行时，最小，即最小.因为，所以，令得或（舍）， 所以切点为， 所以的最小值为切点到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 专题二：构造函数 (1)关系式为“加”型 ①f'(x)+f(x)≥0：构造[exf(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]； ②xf'(x)+f(x)≥0：构造[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)； ③xf'(x)+nf(x)≥0：构造[xnf(x)]'=xnf'(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)]. (注意对x的符号进行讨论) (2)关系式为“减”型 (1)f'(x)-f(x)≥0：构造； (2)xf'(x)-f(x)≥0：构造； (3)xf'(x)-nf(x)≥0：构造. 1.设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 答案：D 【详解】当时，，令，， 则在单调递增，又是定义在上的偶函数，且， 是上的奇函数，则， 故函数的图像可以为：的解集为．故选：D． 2.已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 答案：A 【详解】 令，对求导，得， ，即在上为减函数，， ， 不等式可化为不等式，即， 由在上为减函数得， 不等式的解集为. 故选: A 3.函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是 . 答案： 【详解】令函数，由是上的奇函数，得， 函数是上的偶函数，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 显然，当时，由，得，即，解得， 当时，由，得，即，解得， 所以成立的x的取值范围是.故答案为： 4.设是函数的导函数，若对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 答案： 【详解】设，则，，可知在R上单调递减， 由，得，即， 故，则，即使得成立的的取值范围是，故答案为： 5.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A. B. C. D. 答案：D 【详解】令，则，所以在上单调递减， 因为，所以不等式可变为，即， 所以，即，所以不等式的解集为. 故选：D. 6.定义在R上的的导数为，且，则不等式的解集为 . 答案： 【详解】令函数，由，得， 因此函数在R上单调递减，而，不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7.设为上的奇函数.当 时，，则不等式的解集为 . 答案： 【详解】令，所以当时， ， 所以在上单调递减，又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上单调递减，故在上单调递减且 ， 不等式可化为，即，即 ，故 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 8.已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】令，则， 因为在上，恒成立，可知在上单调递增， 因为，所以，当时，即，可得， 因为在上单调递增，所以. 故选：B. 9.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若对任意，都有成立，则不等式的解集为（ ） A．（-∞，-1） B．（-1，1） C．（1，+∞） D．（-∞，1） 答案：A 【详解】构造函数，，所以函数是实数集上的增函数， 所以由， 故选：A 10.已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】构造函数， ， . 又任意都有.在R上恒成立. 在R上单调递增.当时，有，即的解集为. 11.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】解：令，则，因为， 所以，当时，，即在区间单调递增；又是上的偶函数， 所以是，，上的偶函数，又；故， 于是，不等式化为，故，解得，又，故选：． 12.函数是定义在上的可导函数，且满足，，则对任意正数，，若，则必有（    ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】设，则因为时，， 所以时，则函数在上是减函数； 所以对任意正数a，b，若a>b，则必有，即 故选：B 13.已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】设，不等式化为，， 在上是增函数，所以不等式的解为. 故选：C. 14.已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】构造函数，在时恒成立， 所以在时单调递增，所以，即，所以， 故选:C. 专题三：函数的极值与最值 1.求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝. [解]　(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增 因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22. (2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 单调递减 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，函数没有极小值． 2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值． (1)求a，b的值； (2)若f(－1)＝，求函数f(x)的单调区间和极值． 解　(1)令f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0.由题设，知x＝1，x＝－为f′(x)＝0的解． 由一元二次方程根与系数的关系，得－a＝1－，＝1×.∴a＝－，b＝－2. (2)由(1)，知f(x)＝x3－x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1. ∴f(x)＝x3－x2－2x＋1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 单调递减 － 单调递增 ∴函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为. 当x＝－时，f(x)有极大值，极大值为f＝；当x＝1时，f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－. 3.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内的极大值点的个数为________； (2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________； (3)已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________； (4)y＝2x＋的极小值为_______，极大值为_______； (5)函数y＝(x>0)的极小值为________. 答案　(1)2　(2)a<0　(3)1　(4)8　－8　(5)e 4.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值. [解]　因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 所以即解得或 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去． 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)， 当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 所以f(x)在x＝－1时取得极小值． 所以a＝2，b＝9. 5. (多选)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0，4)内单调递增 B．函数f(x)在区间内单调递减 C．函数f(x)在x＝1处取得极大值 D．函数f(x)在x＝0处取得极小值 答案　ABD 6.若函数f(x)＝x2－2x＋a ln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是 . 解析　f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－2＋＝，若函数f(x)有两个不同的极值点， 则g(x)＝x2－2x＋a＝0在(0，＋∞)上有2个不同的实数根，故解得0<a<1. 7.已知f(x)＝x ln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)函数f(x)＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1. 令f′(x)<0，得ln x＋1<0，解得0<x<，∴函数f(x)的单调递减区间是； 令f′(x)>0，得ln x＋1>0，解得x>， ∴函数f(x)的单调递增区间是. (2)g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得2x ln x≤3x2＋2ax＋1恒成立． ∵x>0，∴a≥ln x－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立. 设h(x)＝ln x－x－(x>0)，则h′(x)＝－＋＝－. 令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去). 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) h′(x) ＋ 0 － h(x) 单调递增 －2 单调递减 ∴当x＝1时，h(x)取得最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2， ∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立， 则a≥h(x)max＝－2，即a≥－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞) 8．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：D 详解】易知函数的定义域为，则， 显然可知，无论为何值，恒成立， 若在处取得极大值，可知在左侧，在右侧； 因此可知在附近自左向右从正变为负，因此在处单调递减， 令，可得，所以， 因此可得. 故选：D. 9.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（    ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 答案：C 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为， 故恒成立，故在R上单调递增，则A，B显然错误； 对于C，D，，由图像可知时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误． 故选：C 专题四：恒成立与存在性问题 1.已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立.所以，恒成立.设，， 因为对称轴为，所以在为增函数，所以，所以. 故选：C 2.若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 答案： 【详解】依题意知，当时，，只有两个单调区间，不符合题意， 则当时，， 因函数恰有三个单调区间，即恰有两个极值点，故必有两个不相等的零点， 则，解得且，故答案为：. 4.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 答案：D 【详解】由，则，因为函数在上单调递减， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 而，则，即，则实数a的取值范围为.故选：D. 5.函数的单调递减区间是，则（     ） A． B． C． D． 答案：A 【详解】由题可知，因为函数有单调递减区间，所以； 令，则，又，故， 即的单调递减区间是，可得. 故选：A. 6.(多选)若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 答案：BD 【详解】当时，，显然不满足题意；当时，依题意知，有两个不相等的零点，所以，解得且， 故选：BD． 7.若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】依题意，在区间上能成立，即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 8.若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立，令， 因为，所以，所以当，即时，，所以， 故选：B． 9.若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 答案:D 【详解】，因为函数在区间单调递增， 所以在区间恒成立，即在区间恒成立， 即在区间恒成立，由对勾函数的单调性可得故. 故选：D. 10.已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】定义域为，且，原不等式等价于，即， 令，则，易知在单调递增，则，即， 令，则，故在单调递减，在单调递增， 故，则a的取值范围是． 故选：C. 11.若不等式有解，则实数的取值范围为 . 答案：. 【详解】由不等式有解，可得，令， 则，令，解得或（舍去）， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，且，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 12.已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是　　　 　.  答案：t∈[0，1） 解析：由题意，f（x）＝－x2－3x＋4ln x的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝－x－3＋＝－，当f'（x）＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，∵f（x）在（t，t＋2）上不单调，且（t，t＋2）⊆（0，＋∞），∴可得t∈[0，1）. 13.已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】函数在区间上单调递增，所以其导数在该区间上恒大于等于0, 将不等式变形，得到,令，则, 所以在区间上，，所以单减，其中，在区间上的值域为， 要使在上恒成立，只需，所以的取值范围是，故选：C. 专题五：导数的综合运用 1.已知函数，e是自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 【详解】（1），，若，则恒成立，所以在上单调递增， 若，，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 综上，时，的增区间是，当时，的减区间是，增区间是； （2）方程，显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点，， 当时，，在区间和单调递减， 并且时，，当时， 当时，，单调递增， 时，当时，取得最小值，，如图，函数的图象， 与有2个交点，则. 2.若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】根据题意易知， 依题意将不等式变形为； 构造函数，因为函数，在上单调递增，所以函数为增函数， 由可得，因此在上单调递增；即在上恒成立， 令，，则， 令可得，当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，即，所以； 因此只需即可.即的取值范围为. 故选：C 3.设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】当时，，则． 由得，所以在上单减；由得，所以在上单增． 当时，，当时，，当时，， 当时，取得极小值，． 又当时，所以函数的大致图象，   由图可知，当或时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数的取值范围是， 故选：C． 4.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 答案：A 【详解】，则，即， ，则，设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得，即； ，则，即， 综上所述，， 故选：A． 5.已知函数，过点且与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是 . 答案： 【详解】设过点与曲线相切的切点坐标为， 函数，求导得， 则切线方程为，于是， 整理得，令， 过点且与曲线相切的直线有3条，当且仅当函数有3个零点， 求导得，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值， 函数有三个零点，当且仅当，解得，所以实数的取值范围是. 6.定义在上的的导数为，且，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】由，得，令， 则，所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 7.(多选)设函数，则（     ） A.当时，有三个零点 B.当时，是的极大值点 C.存在a，b，使得为曲线的对称轴 D.存在a，使得点为曲线的对称中心 答案：AD 【详解】A选项，，由于，故时， 故在上单调递增，时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值，由，， 则，根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得，即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 8.已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则，可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得，所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点，令，可得， 可知与有交点，则，若，令，解得； 令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建，因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得，所以a的取值范围为. 9.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 答案：ABD 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD. 10.若是函数的极值点，则___________. 答案： 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单增，所以是函数的极小值点，符合； 所以. 故答案为：. 11.已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【小问1详解】由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减，所以在上恒成立， 又因为，时，所以时， 所以存唯一使得，即在上存在唯一零点. 【小问2详解】（i）由（1）知，则，， ，则 ， ，， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减，所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $