3.3 导数与函数的极值、最值（精练）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦导数与函数极值、最值，通过分层题型系统覆盖概念理解、参数求解及综合应用，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|选择1-4题|极值点判断、导函数图像分析|从导数几何意义到极值判定定理的概念生成| |极值参数问题|选择5、9-11题，填空13题|含参极值存在性、极值点性质讨论|结合导数运算推理极值与参数的逻辑关系| |最值综合应用|选择6-8题，填空12、14题，解答15-19题|最值计算、恒成立问题、单调性与零点|从单一最值求解到多知识点综合应用的拓展|

3.3 导数与函数的极值、最值（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性分析极大值点. 【详解】因为函数的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递减，在，内单调递增， 所以函数的极大值点为. 2．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 【答案】D 【详解】由导函数的图象可知，当，，当，，当，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以A错误，D正确； 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极大值点，2是函数的极小值点，所以B, C错误. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在处取得极值，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】  函数的定义域为， ， 所以，解得， 则. 法一： 令，则，. 令，解得；令，解得或. 因此函数在上单调递增，在和上单调递减， 因为，，所以函数在上的最大值为. 法二： ， 令，得或， 解得，， 令，得或. 解得，， 因此函数在区间，，，，上单调递增； 在，，，，上单调递减. ，因此函数的最大值为. 4．（25-26高二下·湖北·期末）已知函数，则（   ） A．在处取得极大值 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】D 【分析】借助导数计算即可得. 【详解】， 令，则，有， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，故A、B、C错误，D正确. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求定义域，求导，得到函数极值点情况，得到不等式，求出答案 【详解】定义域为，， 令，解得，令，解得， 因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此是函数唯一的一个极值点，因此， 又由于，则，解得. 因此实数a的取值范围是. 6．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数的最大值为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出1为函数极大值点，结合极值点的性质得出，进而解方程求出． 【详解】由题意知， 所以1为函数极大值点，所以， 而，由，则 ，解得． 7．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 8．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求， 的值域，结合函数的图象，将问题转化为在， 的值域内任取，则直线 与函数， 的图象只有一个交点，然后可得． 【详解】， 令，解得或. 令，解得. 所以在上单调递减，在单调递增， 所以当时，在上的最小值为， 又，，所以在上的最大值为. 因为，， 由图可知，要使有唯一解，则 因为对任意的，存在唯一的，使得， 所以，解得，即实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则（     ） A．在处取得极小值 B．的图象关于点中心对称 C．有个零点 D．直线是的一条切线 【答案】BD 【分析】求导讨论函数单调性，并结合极值的定义，即可判断A；利用图象平移或中心对称定义，即可判断B；令，分解因式求解方程，即可判断C；设出切点，由已知切线斜率可求出切点，进而可判断D. 【详解】A. ， 令得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，A错误； B．法一：（图象平移）设， 此函数为奇函数，关于成中心对称， 因此的图象是向上平移2个单位得到的， 故关于成中心对称， 法二：（中心对称定义）由中心对称的定义， 得到=， 所以关于成中心对称，B正确； C. 因为， 令，得或，所以有2个零点，C错误; D.因为，设切点为，则切线斜率为 ，解得或， 当时，，切线方程为 ，即，D正确. 10．（25-26高二下·河北雄安·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在定义域上不单调 B．的图象关于点中心对称 C．有且仅有一个极小值点 D．恒成立 【答案】ACD 【分析】选项A，二阶导数判定导函数单调，结合端点函数值异号，可推导出原函数先减后增，不单调；选项B，定义域仅为单侧区间，函数图像不可能存在对称中心；选项C，导函数单调且仅有一个零点，对应原函数仅有一个极小值点；选项D，利用极值点处导数为零做等量代换，将最小值转化为平方形式，轻松证得最小值恒正. 【详解】选项A，定义域，，设，因为，所以在单调递增， 因为，所以存在唯一零点， 即单调递增；单调递减，A正确； 选项B，函数定义域是，图象不可能关于点中心对称，B错误； 选项C，由选项A可知，在定义域内先减后增，有且仅有一个极小值点，C正确； 选项D，，取时，，即， 代入得，所以有，D正确. 11．（25-26高二下·山东青岛·期末）设函数，下列说法正确的有（     ） A．当时，在区间单调递增 B．若，则有两个大于的极值点 C．当时， D．当时，不等式在恒成立 【答案】BCD 【分析】先求函数的导数，对A直接用导数判断函数的单调性可得；对B直接由判断函数的极值点可得；对C直接代入函数验证可得；对D对区间分两部分讨论：当时，由单调性判断可得，当时，分别可得，，进而可得，综上两部分可得结果. 【详解】由函数，， 对A选项 ，当时，， 在区间上，恒成立，因此在上单调递减，A错误； 对B选项 ，令，整理得​，由得， 得方程两个根， 所以有两个大于的零点，且是开口向上的二次函数， 当时，；当时，；当时，. 因此函数有两个大于的极值点，B正确； 对C选项， 当时： ，故C正确. 对D选项， 当时，，， 当，，单调递减；当，，单调递增. 当时，，因为在上单调递减，所以； 当时，在上单调递增，因此， ，显然，函数在上单调递减， 所以，即， 即当时，，因此. 综上所述，当时，不等式在恒成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东聊城·一模）若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 【答案】 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 对求导得，， 于是，所以， 于是， 所以的极小值为． 13．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数（k是常数，e是自然对数的底数）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先因式分解导函数，发现一个固定零点，只需保证另一零点落在区间且不等于 1，就能得到两个相异极值点. 【详解】由，得， 由在存在两个极值点，得在内有两个不等根， 由，解得 或， 因此且，解得且， 则实数k的取值范围是. 14．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 【答案】 【分析】同构变形，得到函数单调性和最值，从而得到不等式，求出答案 【详解】变形为， 令，，显然为增函数， 又时，，当时，， 所以的值域为R， 令，则， 因为，所以令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 要想恒成立，只需，即，解得， 故实数a的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，即可得解； （2）根据导函数的正负确定函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）， ， 故曲线在点处的切线方程为. （2）由得或， 由于，故当时，，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极大值为，极小值为. 16．（25-26高二下·广东云浮·期中）已知函数 在处取得极值 (1)求的解析式. (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为. 【分析】（1）利用极值点即可得，即可求解； （2）求导，列表得单调性，进而比较极值点与端点处的函数值即可求解. 【详解】（1）． 在时取得极值，所以，， 即且，解得． 检验，时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 故在处取得极大值，在处取得极小值． ． （2）由（1）知， 令，解得或； 时，和变化如下： 0 单调递减 单调递增 由上表可知函数在区间上的最大值为2，最小值为. 17．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (3) 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. （2）对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 18．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为1，无极大值 (2)当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． (3) 【分析】（1）代入后求导，由导函数符号得单调区间，确定极小值点与极小值，无极大值； （2）求导后分子为，讨论与两种情况，分别得单调区间； （3）分离参数得，构造函数求最大值，由恒成立条件得参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以，. 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以，在处取得极小值，无极大值. （2）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以在单调递增； 当时，令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （3）因为对任意的，都有恒成立，所以，即， 令，，则， 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，所以， 故当时，对任意的，恒成立，即恒成立． 19．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知函数. (1)当时，求函数的极值点: (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)已知函数在 上无零点，求的取值范围. 【答案】(1)极小值点为，无极大值点 (2) (3) 【分析】（1）利用函数导数与单调性，根据极值点的定义分析求解即可； （2）由函数在上单调递减转化为函数在上恒成立，然后构造新函数，利用函数导数与单调性求出最值分析即可； （3）利用函数导数与单调性，结合函数零点存在性，对进行分类讨论，即可求出答案. 【详解】（1）当时，函数，定义域为， 由， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，无极大值点. （2）由 即，定义域为 若函数在上单调递减，则等价于在上恒成立， 又，所以问题等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以若函数在上单调递减，则实数的取值范围为. （3）因为， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意， 当时，有一个零点，不符合题意， 当时，，的最小值， 因为，所以，使得，不符合题意， 综上所述若函数在 上无零点，则的取值范围为：. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 导数与函数的极值、最值（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在处取得极值，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高二下·湖北·期末）已知函数，则（   ） A．在处取得极大值 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 5．（26-27高三·全国·一轮复习）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数的最大值为1，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则（     ） A．在处取得极小值 B．的图象关于点中心对称 C．有个零点 D．直线是的一条切线 10．（25-26高二下·河北雄安·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在定义域上不单调 B．的图象关于点中心对称 C．有且仅有一个极小值点 D．恒成立 11．（25-26高二下·山东青岛·期末）设函数，下列说法正确的有（     ） A．当时，在区间单调递增 B．若，则有两个大于的极值点 C．当时， D．当时，不等式在恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东聊城·一模）若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 13．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数（k是常数，e是自然对数的底数）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是______． 14．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 16．（25-26高二下·广东云浮·期中）已知函数 在处取得极值 (1)求的解析式. (2)求在上的最值. 17．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 18．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 19．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知函数. (1)当时，求函数的极值点: (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)已知函数在 上无零点，求的取值范围. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $