课时规范练55　求值、最值与范围问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线求值、最值与范围问题，通过椭圆、双曲线、抛物线典例，系统覆盖方程求解、几何量计算及动态问题处理，体现数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆|2题|方程求解、弦长与向量关系、面积最值|从定义性质到直线与椭圆位置关系，结合韦达定理、参数法转化| |双曲线|2题|方程求解、焦点弦长、平行向量与面积|离心率、渐近线与方程关联，通过联立方程及向量转化解决动态问题| |抛物线|2题|方程求解、斜率最值、面积范围|定义应用与参数方程结合，利用函数思想求最值及范围|

课时规范练55　求值、最值与范围问题 1.(2025黑龙江大庆一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点P(0,)作斜率为k的直线l交C于M,N两点.当k=0时,MF2⊥x轴,且|MF1|=. (1)求椭圆C的方程; (2)若|MN|=3|PM|·|PN|,求直线l的方程. 2.(2025浙江金华三模)双曲线C':=1(a>0,b>0)的离心率为,过左焦点F的直线l与双曲线的左支、右支分别交于点A,B,当直线l与y轴垂直时,|AB|=2. (1)求双曲线C'的方程; (2)点C(12,0)满足CB∥OA,其中O是坐标原点,求四边形OABC的面积. 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线C的方程; (2)已知点O为坐标原点,点P在抛物线C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值. 4.如图,已知椭圆C:=1(a>b>0)内切于矩形ABCD,对角线AC,BD的斜率之积为-,过右焦点F(1,0)的弦交椭圆于M,N两点,直线NO交椭圆于另一点P. (1)求椭圆的标准方程; (2)若=λ,且≤λ≤,求△PMN面积的最大值. 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0),点A在抛物线C上,点B在x轴的正半轴上,等边三角形OAB的边长为. (1)求抛物线的方程; (2)若直线l:x=ty+2(t∈[1,3])与抛物线C相交于D,E两点,直线DE不过点M(0,1),△DEM的面积为S,求的取值范围. 6.设双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为点A,B,左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2,且双曲线E的渐近线方程为y=±x,直线l交双曲线E于P,Q两点. (1)求双曲线E的方程; (2)当直线l过点(4,0)时,求的取值范围. 参考答案 1.解 (1)当k=0时,l∥x轴,此时点M的纵坐标为. 令=1, 解得x=±, 由题意,知M(). 又MF2⊥x轴,则=c,a=c,故b==2c. 由|MF2|=c.根据椭圆定义,得|MF1|+|MF2|=2a=2c=c, 解得c=1,则b=2,a=, 故椭圆C的方程为=1. (2)由(1)知点P的坐标为(0,), 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为y=kx+, 由弦长公式,知|MN|=|x1-x2|,|PM|=|x1|,|PN|=|x2|. 将l:y=kx+与椭圆方程联立,得(4+5k2)x2+8kx-4=0, 由根与系数的关系,知x1+x2=-, x1x2=-, 故|PM|·|PN|=|x1|·|x2|=(1+k2)|x1x2|=. 又|MN|=|x1-x2|=, 所以=3·,解得k=±.所以直线l的方程为y=±x+. 2.解 (1)由直线l与y轴垂直时,|AB|=2,故2a=2,故a=. 又离心率为,则c=a=3,所以b2=c2-a2=6. 双曲线C'的方程为=1. (2)设直线l的方程是x=ty-3,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得(2t2-1)y2-12ty+12=0. y1+y2=,y1y2=. 因为CB∥OA,所以=5,从而y2=5y1. 所以6y1=,5,消去y1,得,解得t2=3, 它满足2t2-1≠0,Δ>0. |AB|=|y1-y2|=2 =2=8 =, 故点O到直线AB的距离d=. 所以S△AOB=|AB|d=. 由于=5, 所以S△AOF=S△AOB=, S四边形OABC=24S△AOF=. 3.解(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,抛物线C的方程为y2=4x. (2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2). 因为F(1,0),所以=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2). 因为=9, 所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2, 得x1=10x2-9,y1=10y2. 又因为点P在抛物线C上,所以=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=x-.易知直线OQ的斜率存在. 设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=x-相切时,斜率取得最大值和最小值. 由得k2x2=x-, 即k2x2-x+=0. (*) 当直线OQ和曲线y2=x-相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即-4k2·=0,解得k=±,所以直线OQ斜率的最大值为. 4.解(1)由椭圆C:=1内切于矩形ABCD,对角线AC,BD的斜率之积为-, 可得解得 故椭圆的标准方程为=1. (2)依题意可知直线MN的斜率不为0,故设其方程为x=my+1, 联立 消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0. Δ=(6m)2-4(3m2+4)(-9)>0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-. 因为S△PMN=2S△OMN=2××1×|y1-y2|=. 又=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2), 所以由=λ,得-y1=λy2,即y1=-λy2, 于是可得y1+y2=(1-λ)y2=-, ① y1y2=-λ=-, ② 由,得, 即λ+-2=. 令h(λ)=λ+(λ>0),当0<λ<1时,h(λ)单调递减. 题中已知≤λ≤, 所以≤λ+. 所以,即m2≥. 又由S△PMN=, 令t=,则S△PMN=. 令f(t)=(t≥),则f'(t)=<0, 故当t≥时,f(t)单调递减, 所以f(t)≤f()=, 所以S△PMN≤, 即△PMN面积的最大值为. 5.解(1)△OAB是边长为的等边三角形,点A在抛物线C上,点B在x轴的正半轴上,有A,故p,得p=2, 故抛物线的方程为y2=4x. (2)联立 得y2-4ty-8=0,易知Δ>0. 设D(x1,y1),E(x2,y2), 则y1+y2=4t,y1y2=-8,|DE|=·|y1-y2|==4·. 点M到直线l:x-ty-2=0的距离d=, △DEM的面积S=·|DE|·d=2·=2··|t+2|. 又t∈[1,3],=4(t2+2)(t+2)=4(t3+2t2+2t+4). 令f(t)=t3+2t2+2t+4,则f'(t)=3t2+4t+2>0, ∴f(t)在[1,3]上单调递增,∴f(t)∈[9,55], ∴的取值范围为[36,220]. 6.解 (1)由题意可得解得 所以双曲线E的方程为-y2=1. (2)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=4,A(-2,0),此时P(4,),Q(4,-), 所以=(6,)·(6,-)=36-3=33. 当直线l的斜率存在时,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为直线l过点(4,0), 设直线l的方程为y=k(x-4),k≠0, 联立 可得(-k2)x2+8k2x-16k2-1=0. 当k≠±时,Δ=(8k2)2-4(-k2) (-16k2-1)=12k2+1>0, x1+x2=,x1x2=. =(x1+2,y1)·(x2+2,y2) =(x1+2)(x2+2)+y1y2 =(1+k2)x1x2+(2-4k2)(x1+x2)+4+16k2 =(1+k2)·+(2-4k2)·+4+16k2 = ==33+. 令t=k2,则t∈[0,)∪(,+∞). 令g(t)=33+,g(t)在[0,),(,+∞)上单调递减, 又g(0)=33-33=0,所以g(t)∈(-∞,0]∪(33,+∞), 所以的取值范围为(-∞,0]∪(33,+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $