课时规范练58　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定点、定值、定直线问题，通过椭圆、双曲线、抛物线典例，系统整合定义法、参数法、韦达定理等解题方法，构建“定义-方程-位置关系”逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆锥曲线综合|4题（含2025-2026模拟题）|轨迹方程求解与定点定值证明|以圆锥曲线定义为起点，通过方程联立、韦达定理转化参数关系，培养逻辑推理与数学运算素养|

课时规范练58　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 (分值:58分) 1.(13分)(2026·浙江高三期中)在平面直角坐标系中,圆C的方程为(x+1)2+y2=16,定点F(1,0),B是圆C上任意一点,线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. (1)求点T的轨迹W的方程; (2)已知点A(-2,0),过点F的一条直线,斜率不为0,交曲线W于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线x=3交于M,N两点,求证:直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 2.(13分)(2025·湖北黄冈模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点A(-1,0)到其渐近线的距离为,过右焦点F的直线分别交双曲线的左、右两支及直线l:x=于N,M,P三点,过点N作平行于x轴的直线交直线AP于点G,点G满足. (1)求双曲线C的方程; (2)证明:直线MH过定点. 3.(15分)在平面直角坐标系Oxy中,点P到点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E:=1于A,B两点,交曲线C于M,N两点,若为定值,求实数λ的值. 4.(17分)(2025·甘肃金昌模拟)已知抛物线T:y2=2px(p>0),过抛物线上一点A(1,p)作两条直线l1,l2分别交抛物线T于B,C两点,直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-4. (1)求抛物线T的方程; (2)证明:直线BC过定点; (3)记直线BC经过的定点为M,N为直线BC上一点(异于点M),且满足,证明点N在某定直线上,并求出该定直线的方程. 参考答案 课时规范练58　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 1.(1)解 由题意,点T在线段BF的垂直平分线上,则|TB|=|TF|,可得|TC|+|TF|=|TC|+|TB|=|CB|=4>2=|CF|. 由椭圆定义可得,点T的轨迹是以C(-1,0),F(1,0)为焦点的椭圆, 且椭圆的长轴长为2a=4,焦距为2c=2,b2=4-1=3, 所以点T的轨迹W的方程为=1. (2)证明 设直线PQ:x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立消去x整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,则y1+y2=-,y1y2=-. 根据题意可设M(3,yM),N(3,yN),则由, 可得yM=,同理可得yN=, 所以直线FM与直线FN的斜率之积 kFMkFN= = = = = =-=-. 所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值-. 2.(1)解 因为双曲线C的一条渐近线方程为bx-y=0,所以点A到渐近线的距离为, 所以b2=3,所以双曲线C的方程是x2-=1. (2)证明 由题意,双曲线C的右焦点F(2,0),直线PF的斜率不为0, 故可设直线PF的方程为x=my+2, 因为直线PF与双曲线左、右两支分别交于N,M两点, 所以m∈(-∞,-)∪(,+∞). 设M(x1,y1),N(x2,y2),将直线PF的方程代入x2-=1中,得到(3m2-1)y2+12my+9=0,则y1+y2=-,y1y2=, 所以my1y2=-(y1+y2). 联立可得P(,-), 所以直线AP的方程为y=-(x+1). 联立可得G(-1-my2,y2). 又, 所以点H的坐标是(-2-x2-2my2,y2). 所以直线MH的方程是y-y1=(x-x1),令y=0,由x1=my1+2,x2=my2+2,得x===-1, 所以直线MH过定点(-1,0). 3.解 (1)由点P到点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,可转化为点P到点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离,所以点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程为y2=4x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),依题意,设直线l的方程为y=k(x-1). 由消去y并整理,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 因此x1+x2=,x1x2=, 则|AB|=. 由消去y并整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x3+x4=,于是|MN|=x3+x4+2=. 从而,要使为定值,则4λ-3=3λ,即λ=3,所以实数λ的值为3. 4.(1)解 将点A的坐标(1,p)代入抛物线T的方程可得p2=2p,解得p=0(舍去)或p=2,故抛物线T的方程为y2=4x. (2)证明 由(1)可知点A的坐标为(1,2),设B(,y1),C(,y2),则k1=,k2=. 由k1k2=-4,得=-4,所以(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=-4,即y1y2+2(y1+y2)+8=0. kBC=,所以直线BC的方程为y=·(x-)+y1,即y=+y1-,整理得y=. 又y1y2=-8-2(y1+y2),从而直线BC的方程为y=,化简得y=-2,因此直线BC过定点(2,-2). (3)解 由(2)知M(2,-2),设N(x0,y0),B(,y1),C(,y2), 易知直线BC的斜率不为0,设直线BC的方程为x=my+2m+2. 由消去x得y2-4my-8m-8=0,Δ>0,则y1+y2=4m,y1y2=-8m-8. 因为,所以,即|(y1+2)(y2-y0)|=|(y1-y0)(y2+2)|,当(y1+2)(y2-y0)=(y1-y0)(y2+2)时,y1≠y2,化简得y0=-2,与直线BC的斜率不为0矛盾,不合题意;当(y1+2)(y2-y0)=-(y1-y0)(y2+2)时,化简得2y1y2+(2-y0)(y1+y2)-4y0=0,2(-8m-8)+4m(2-y0)-4y0=0. 即y0m+2m+y0+4=0. 又x0=my0+2m+2,可得my0+2m=x0-2,所以x0-2+y0+4=0,即x0+y0+2=0,所以点N在定直线x+y+2=0上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $