25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过复习求根公式与判别式唤醒旧知，搭建从“解方程求根”到“由系数分析根”的学习支架，衔接前后知识脉络。 此资料以双向推导（求根公式与因式分解法）验证定理，融入数学史渗透德育，设计分层练习与特色探究作业，培养推理意识与运算能力，如含参几何题提升综合应用，助力学生形成代数思维，为教师提供系统教学资源。

第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系   一、教材分析 本节课《一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)》安排在一元二次方程解法之后，是一元二次方程板块核心拓展内容. 横向来看，它以一元二次方程求根公式和因式分解法为基础，从“解方程求根”延伸至“由系数直接分析根的性质”，完善了方程求解与根的分析的知识体系；纵向来看，为后续二次函数零点分析、分式方程、二次代数式求值、高中一元n次方程根与系数推广铺垫基础. 在中考题型中，根与系数关系常出现在代数式求值、含参方程、几何综合题中，是承上启下的关键知识点，实现“解方程”到“用方程性质分析根”的思维升级. 教材先借助求根公式，直接对两根做加法、乘法运算，通过代数化简推导出两根之和、两根之积与系数a，b，c的关系式；再借助二次三项式因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，展开对比多项式系数，第二种路径印证韦达定理，体现定理双向推导逻辑；随后配置例题，示范先整理方程标准形式，再直接套用结论求两根和与积；最后配套随堂练习，巩固公式使用前提与运算步骤，整体遵循“公式推导——双向印证——例题示范——巩固练习”由浅入深的编排逻辑，兼顾代数推理严谨性与实操应用性.   二、教学目标 1. 熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系. 2. 灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题. 3. 经历探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力. 4. 感受数学知识内在关联统一之美，养成严谨验算、主动推导不盲从结论的习惯，激发代数探究学习兴趣.   三、教学重难点 重点：熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系. 难点：灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.   四、教学过程 · 复习回顾 问题1：一元二次方程的求根公式是什么? 答：x= (b2-4ac≥0) 问题2：如何判定一元二次方程的根的情况? 答：b2-4ac＞0↔方程有两个不等的实数根 b2-4ac=0↔方程有两个相等的实数根 b2-4ac＜0↔方程没有实根 师生活动：教师依次抛出两个复习问题，点名学生口头作答求根公式、判别式判定根的三种情况；其余学生倾听纠错，教师板书梳理核心式子，查漏补缺，快速唤醒旧知. 设计意图：回顾一元二次方程求根公式与判别式知识，夯实本节课推导韦达定理的运算基础，搭建新旧知识桥梁，为后续由求根公式推导根与系数关系做好铺垫. · 探究新知 活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 问题3：观察求根公式 x= 它有什么特点?由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发? 师生活动：教师递进抛出3个探究问题，引导学生观察两根结构，分组演算两根相加、相乘的化简过程，推导韦达定理；教师板书公式，点明使用注意事项，安排例题演算验证结论，最后设问引出第二种推导思路. 答：求根公式 x= (b2-4ac≥0)可以表示由方程的系数a，b，c决定根的值. 由 x= 得 x1= →m+n x2=→m-n 可以发现：从整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 问题4：观察这两个式子，它们有什么特点?可以相加减或者乘除吗? 答：可以发现这两个式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式更简便. 两式相加：x1+x2 两式相乘：x1x2 总结：由此得出，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2=， x1x2= ． 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数. 两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 这种表示方式中，交换x1，x2的位置，不影响它们的和、积的值，随着后续的学习，研究一元n次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 特别地，(当二次项系数a=1时)方程可以化为x2+px+q=0的形式，则有 x1+x2=， x1x2= ． 注意：(1)不是一般形式的，要化成一般形式. (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0. (3)在使用x1+x2= 时，注意“-”不要漏写. 问题5：解方程2x2-3x+1=0，验证上述关系? 解：∵a=2，b=-3，c=1. ∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0 方程有两个不相等的实数根 x=， 即 x1=1，x2=. x1+x2=1， x1x2=1 追问：还有其他方法得出上述根与系数的关系吗？ 设计意图：依托求根公式自主探究推导根与系数关系，培养代数推理运算能力；借助实例验证加深理解，明确定理适用前提，完善知识逻辑，为后续灵活运用定理解题铺垫. 问题6：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的左边可以分解因式为a(x-x1)(x-x2)，那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2. 反过来，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，你能看出x1，x2与a，b，c之间的关系吗? 师生活动：教师出示问题6，引导学生自主展开多项式，对比等式两边同类项系数推导韦达定理；学生上台板书推导步骤，师生共同纠错梳理. 教师介绍韦达生平事迹，学生阅读感悟，完善定理两种推导思路. 答：推导过程：把方程ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)的右边展开，化成一般形式，得， ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 即 ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2 由此可得 -a(x1+x2)=b，ax1x2=c 结论：因此，根与系数的关系为： x1+x2= ， x1x2= . 读一读：韦达生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码. 韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，推动了符号代数的发展. 韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”). 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. 小结：韦达通过引入字母和系统研究方程根与系数的关系，为代数学的发展奠定了重要基础. 设计意图：借助因式分解法再次推导定理，完善推导逻辑；借助数学史渗透德育，提升数学学习兴趣，加深学生对韦达定理来源与本质的理解. · 应用新知 【教材例题】 师生活动：教师出示三道例题，先点拨解题要点，学生独立动笔完成求解；指名学生口述答案，师生共同订正，着重强调先整理方程一般式、留意两根和公式自带负号两处易错点，梳理规范解题步骤. 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2-6x-15=0； (2)3x2+7x-9=0； (3) 5x-1=4x2. 解：(1) x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15. (2) x1+x2=，x1x2=. 注意：注意公式自身的符号及系数的符号. (3) 方程化为4x2-5x+1=0. 所以 x1+x2=，x1x2=. 用根与系数的关系前，一定要化成一般式. 设计意图：借助基础例题巩固韦达定理运用方法，让学生熟练找准对应系数计算两根和与积，针对性突破符号、方程未标准化的易错问题，夯实公式实操应用能力. 【经典例题】 师生活动：教师出示两道进阶例题，先引导学生分析解题思路，学生独立演算；挑选学生板演步骤，师生共同点评订正，归纳代数式整体变形套路，强调含参问题必须结合判别式检验取值合理性. 例2已知实数，，满足，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，不解方程求下列各式的值： ； ； ； ； ． 解：(1)∵， ∴ a＝2，b＝4，c＝-1， ∴方程为2x2＋4x-1＝0，∴x1＋x2＝-2，． ． (2)．  (3)．  (4) . (5)． 总结：巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值 (1)计算：计算出x1+x2，x1x2的值； (2)变形：将所求的代数式变形为用x1+x2和x1x2表示的式子； (3)代入：代入所求的代数式计算． 例3 已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求的取值范围； 若方程的两根满足，求的值． 解：根据题意得， 解得：； 根据题意得：，， ， ， ， ， 解得：，根据舍去． 故的值是．  设计意图：深化韦达定理灵活运用，掌握代数式恒等变形技巧，建立整体代换思想；融合判别式综合考查，培养严谨审题，检验取舍的解题习惯，突破本节重难点. · 课堂练习 【教材练习】 不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (1) x2-3x=15； (2) 3x2+2=1-4x； (3) 5x2-1=4x2-x； (4) 2x2-x+2=3x+1. 解：(1)方程化为 x2-3x-15=0. ∴x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15 (2)方程化为3x2+4x+1=0 ∴x1+x2=，x1x2= (3)方程化为 x2+x-1=0. ∴x1+x2=-1，x1x2=-1 (4)方程化为2x2-4x+1=0 ∴x1+x2=2，x1x2= 师生活动：教师布置教材随堂练习，学生独立完成四道习题，要求先整理成一元二次方程一般形式，再利用韦达定理求两根和与积. 完成后同桌互查核对答案，教师集中订正共性符号错误，梳理标准化方程的解题步骤. 设计意图：当堂巩固韦达定理基础用法，强化“先化为一般式再套公式”的解题习惯，及时排查符号、移项易错问题，夯实基础运算，检测课堂新知掌握情况. 【限时训练】 1.已知一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.若关于的方程两根异号，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据题意得：方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 设是方程的两根， 方程的两根异号， ， 的取值范围是． 故选C． 3.若、是方程的两个实数根，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、是方程的两个实数根， ，， ． 故选： 4.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，，则的取值范围是    ． A. B. 且 C. D. 且 【答案】B  5.已知，是关于的一元二次方程的两实数根． 若，恰好是矩形的两邻边长，且，求该矩形的周长和面积． 若，恰好是菱形的两条对角线的长，菱形边长为，求的值． 若等腰的一边长为，且，恰好是另外两边的长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)∵m＝3，∴原方程化为x2－8x＋14＝0， ∴x1＋x2＝8，x1x2＝14， ∴该矩形的周长为2（x1＋x2）＝16，面积为x1x2＝14．  (2)x1＋x2＝2m＋2，x1x2＝m2＋5． ∵2x1，2x2是边长为6的菱形的两条对角线的长， ∴， 解得 m＝－7或m＝3． 由题意可知Δ＝[－（2m＋2）]2－4（m2＋5）≥0，x1＋x2＝2m＋2>0，x1x2＝m2＋5>0， ∴m≥2，∴m＝3．  (3)①当7为底边长时，方程的两根为腰， ∴两根相等，即Δ＝0，解得m＝2，代入原方程可解得x1＝x2＝3． ∵3＋3<7，∴不能构成三角形． ②当7为腰长时，x＝7是方程的一个根， 把x＝7代入方程得49－14（m＋1）＋m2＋5＝0， 整理得m2－14m＋40＝0， 解得m1＝10，m2＝4． 当m＝10时，x1＋x2＝2（m＋1）＝22， ∴x2＝15，而7＋7<15，故舍去； 当m＝4时，x1＋x2＝2（m＋1）＝10， ∴x2＝3，则三角形的周长为3＋7＋7＝17． 综上，这个三角形的周长为17．  师生活动：教师出示分层巩固练习题，学生独立限时完成作答，选取学生上台板演压轴综合题；师生逐题核对答案，针对含参范围、几何分类讨论易错点集中讲评，梳理解题取舍思路，规范答题步骤. 设计意图：分层巩固韦达定理基础、变形、综合应用题型，融合判别式与几何知识，锻炼分类讨论思维；查漏补缺课堂薄弱点，提升学生综合解题与严谨验算的能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.一元二次方程的根与系数的关系是什么？ 3.在运用一元二次方程的根与系数的关系时有哪些注意事项？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：双向推导韦达定理，探究适用条件与解题易错点 任务：1.用求根公式完整推导根与系数关系式；再借助ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)展开对比系数，完成第二种推导. 2.韦达定理成立前提，举Δ<0的方程说明无根时定理无法使用. 3.两道非标准一元二次方程，用韦达定理求两根和、积，再解方程验算，总结两条易错注意事项. 要求：1.步骤完整清晰，对比两种推导思路的特点，撰写简短探究感悟. 2.完成演算，书写规范，整体思考过程详实. 学科网（北京）股份有限公司 $