专题25.2.3因式分解法（4大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版九年级上册

本讲义聚焦因式分解法解一元二次方程核心知识点，从定义（化为两个一次因式乘积等于0）、核心原理（AB=0则A=0或B=0）出发，通过提公因式、平方差等常用方法，按“化0、分解、转化、求解”四步流程，结合易错点（漏根、分解不彻底）和技巧（口诀、优先级）构建学习支架，帮助学生系统掌握。 资料特色在于分题型设计（基础求解、分式方程、换元法、新定义问题），通过例题与变式练习结合，培养抽象能力（符号意识）、推理意识（逻辑分解）和应用意识（实际问题转化）。课中辅助教师结构化授课，课后助力学生通过易错点回顾和技巧总结查漏补缺，提升解题效率与准确性。

专题25.2.3因式分解法 【新人教版】 【题型1 因式分解法-解一元二次方程】..............................................................................................................2 【题型2 解分式方程（化为一元二次方程）】.....................................................................................................5 【题型3 换元法-解一元二次方程】......................................................................................................................7 【题型4 新定义问题】..........................................................................................................................................11 1. 因式分解法定义 将一元二次方程通过因式分解，化为两个一次因式乘积等于0的形式，根据“积为0则至少一个因式为0”直接求解，是最快、最常用的解方程方法。 2. 核心原理 若AB=0，则A=0或B=0。 3. 常用分解方法 ①提公因式法； ②平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)； ③完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²。 4. 因式分解法标准四步 步骤1：化0，将方程整理为右边为0的形式； 步骤2：因式分解，把左边分解成两个一次因式相乘； 步骤3：转化，令每个因式分别等于0； 步骤4：求解，得到两个一元一次方程的根。 5. 适用场景 方程左边易分解、系数简单、有公因式、符合乘法公式的一元二次方程，解题速度最快。 易错1：不移项为0直接分解 严禁两边同时约分、直接拆因式，必须右边先归0，否则会丢失根。 易错2：随意约去含未知数的因式 如 x(x-2)=2(x-2)，不能直接除以(x-2)，会漏掉x=2这个根。 易错3：因式分解不彻底 分解必须分解到一次因式为止，残留二次因式导致解错。 易错4：混淆“或”与“且” 两个因式是或关系，一个成立即可，不需要同时成立。 易错5：配方、公式法思维混用 能因式分解不分解，强行用公式法、配方法，计算量大且容易出错。 技巧 1：因式分解法口诀 先移零、再分解、因式为零、分别求解 技巧2：快速识别可分解方程 ①左右有相同因式；②符合平方差、完全平方结构；③各项有公共字母或系数公因数。 技巧3：防漏根技巧 只要等式两边出现含x的相同因式，不移项归0绝不约分，优先移项提公因式。 技巧4：三种解法优先级 因式分解法＞开平方法＞配方法＞公式法,能分解优先分解，省时且正确率最高。 题型一 因式分解法-解一元二次方程 【例1】（25-26九年级上·山东聊城·期中）解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 【变式1-1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）的根是______，的根是______． 【答案】 ， ， 【详解】解：， ， ， ，， 解得：，； ， ， ，， 解得，． 【变式1-2】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，公式法及因式分解法，熟知因式分解法及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）移项后，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，． （2）解：原方程可化为， 因式分解，得， 或， ，． 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． （2）解：， 两边同时开平方，得， ∴或， ∴，． 题型二 解分式方程（化为一元二次方程） 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ， ∴或， 解得：， 检验：当时，， 当时，， 故原方程的解为，． 【变式2-1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得， 经检验，都是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程与分式方程的解法，解题的关键是整式方程通过展开化简后因式分解求解，分式方程需去分母转整式方程并检验增根． （1）将方程展开化简为一元二次方程，因式分解求解； （2）分式方程去分母转整式方程，化简求解后检验增根，即可解答． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 检验：当时，，（舍去）． ∴方程的解为． 【变式2-3】（2026·四川成都·一模）若，则m的值为____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程、解一元二次方程等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．由得，代入求解，并检验分母不为零． 【详解】由，得． 代入， 分子， 所以， 即． 两边乘以2，得． 所以， 整理得， 因式分解得， 解得或． 检验：当时，分母，；当时，分母，，均满足． 故答案为：或． 题型三 换元法-解一元二次方程 【例3】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 【变式3-2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． (1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____； (2)请你按上述方法补全解方程的步骤． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，换元法解分式解方程， （1）根据换元法思想，令，则，即可得到关于的方程； （2）利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程求出的值，再解关于的分式方程即可得到原方程的解． 【详解】（1）解：如果设，则原方程可化为， 故答案为：； （2）解：由（1）得，原方程可变形为， 整理，得.解得，． 当时，方程可整理为． ， 方程无解． 当时，方程可整理为， 解得．经检验，是原方程的根． 原方程的根为． 题型四 新定义问题 【例4】（2026·湖北十堰·一模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为______． 【答案】或1 【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分和，依据新定义列出关于的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解． 【详解】①若，即，则，即， 解得：或 负值舍去， 经检验：是原分式方程的解； ②若，即，则，即， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 综上，方程的解为或1． 故答案为：或1． 【变式4-1】（25-26九年级上·河南商丘·期末）对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 【答案】D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 【变式4-2】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）阅读材料：对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1为这个代数式的“不动值”． (1)关于x的代数式的“不动值”是 ． (2)判断关于x的代数式是否有“不动值”，若有，请求出代数式的“不动值”；若没有，则说明理由． (3)若关于x的代数式只有一个“不动值”，求a的值． 【答案】(1)和2 (2)关于x的代数式没有“不动值”，见解析 (3) 【分析】（1）根据定义求出方程的实数根即可得到答案； （2）利用判别式判断方程是否有实数根即可得到结论； （3）根据题意可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于x的代数式的“不动值”是和2； （2）解：该代数式没有“不动值”，理由如下， 当时，则． ∵， ∴原方程无实数根， ∴该代数式没有“不动值”； （3）解：∵代数式只有一个“不动值”， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2.3因式分解法 【新人教版】 【题型1 因式分解法-解一元二次方程】..............................................................................................................2 【题型2 解分式方程（化为一元二次方程）】.....................................................................................................3 【题型3 换元法-解一元二次方程】......................................................................................................................4 【题型4 新定义问题】...........................................................................................................................................5 1. 因式分解法定义 将一元二次方程通过因式分解，化为两个一次因式乘积等于0的形式，根据“积为0则至少一个因式为0”直接求解，是最快、最常用的解方程方法。 2. 核心原理 若AB=0，则A=0或B=0。 3. 常用分解方法 ①提公因式法； ②平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)； ③完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²。 4. 因式分解法标准四步 步骤1：化0，将方程整理为右边为0的形式； 步骤2：因式分解，把左边分解成两个一次因式相乘； 步骤3：转化，令每个因式分别等于0； 步骤4：求解，得到两个一元一次方程的根。 5. 适用场景 方程左边易分解、系数简单、有公因式、符合乘法公式的一元二次方程，解题速度最快。 易错1：不移项为0直接分解 严禁两边同时约分、直接拆因式，必须右边先归0，否则会丢失根。 易错2：随意约去含未知数的因式 如 x(x-2)=2(x-2)，不能直接除以(x-2)，会漏掉x=2这个根。 易错3：因式分解不彻底 分解必须分解到一次因式为止，残留二次因式导致解错。 易错4：混淆“或”与“且” 两个因式是或关系，一个成立即可，不需要同时成立。 易错5：配方、公式法思维混用 能因式分解不分解，强行用公式法、配方法，计算量大且容易出错。 技巧 1：因式分解法口诀 先移零、再分解、因式为零、分别求解 技巧2：快速识别可分解方程 ①左右有相同因式；②符合平方差、完全平方结构；③各项有公共字母或系数公因数。 技巧3：防漏根技巧 只要等式两边出现含x的相同因式，不移项归0绝不约分，优先移项提公因式。 技巧4：三种解法优先级 因式分解法＞开平方法＞配方法＞公式法,能分解优先分解，省时且正确率最高。 题型一 因式分解法-解一元二次方程 【例1】（25-26九年级上·山东聊城·期中）解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【变式1-1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）的根是______，的根是______． 【变式1-2】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）解下列方程 (1) (2) 题型二 解分式方程（化为一元二次方程） 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程：． 【变式2-1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解分式方程：． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1) (2) 【变式2-3】（2026·四川成都·一模）若，则m的值为____． 题型三 换元法-解一元二次方程 【例3】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【变式3-2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． (1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____； (2)请你按上述方法补全解方程的步骤． 题型四 新定义问题 【例4】（2026·湖北十堰·一模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为______． 【变式4-1】（25-26九年级上·河南商丘·期末）对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 【变式4-2】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）阅读材料：对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1为这个代数式的“不动值”． (1)关于x的代数式的“不动值”是 ． (2)判断关于x的代数式是否有“不动值”，若有，请求出代数式的“不动值”；若没有，则说明理由． (3)若关于x的代数式只有一个“不动值”，求a的值． 1 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