精品解析：陕西汉中市龙岗学校2025-2026学年高二上学期期末质量检测数学试题

汉中市龙岗中学2027届高二上期末质量检测数学试题 时间：120分钟满分：150分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对不等式因式分解得，解得或， 即得或； 结合，得. 2. 已知复数，则z的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数的乘法运算以及复数的虚部概念即可求解． 【详解】因， 则， 所以z的虚部是． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据的定义求解即可． 【详解】到原点的距离为， 则． 故选：A． 4. 设随机变量，，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.3 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可计算. 【详解】因为随机变量，且， 所以， 故选：B. 5. 向量满足，向量与的夹角为，则（ ） A. 0 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 6. 已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线方程变形得到定点，将点代入直线确定的关系，最后运用基本不等式中的“乘1法”即可. 【详解】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 7. 某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法，特殊元素优先安排原则，利用分步乘法原理可求解. 【详解】把捆绑，相当于共有4个指令，内部排列有种排法， 不排在最后一个位置，先排有种排法，再排另外3个指令， 由分步乘法计数原理可得总的排列数为. 故选：B. 8. 已知为坐标原点，双曲线：的左，右焦点分别为，点为上一点，且在第一象限，的平分线与轴的交点为，过点作的垂线，垂足为点，点到的一条渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确，再根据三角形的中位线的性质得到，再结合双曲线的定义得到，进而可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 双曲线的右焦点到渐近线即的距离为. 所以. 因为平分，且，延长交于，则为等腰三角形，，且为中点. 又为中点，所以. 根据双曲线的定义，， 即. 所以双曲线的离心率为. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分.） 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共8项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理可判断A正确，根据展开式通项可判断B错误、C正确，根据所有项的二项式系数之和为可得D正确. 【详解】对于A，易知的展开式中共有8项，即A正确； 对于B，设展开式中的第项为, 令，解得； 因此含项的系数为，所以B错误； 对于C，令，此时不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C正确； 对于D，易知所有项的二项式系数之和为，可得D正确. 故选：ACD 10. 一个袋子中有编号分别为的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 事件与事件互为对立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，由古典概型的概率公式得，所以该选项正确；对于选项B，由题得，事件与事件不相互独立，所以该选项错误；对于选项C, ，所以该选项正确；对于选项D,举例说明事件与事件不是对立事件，所以该选项错误. 【详解】对于选项A，两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有 ，共5个，由古典概型的概率公式得，所以该选项正确； 对于选项B，由题得,,所以， 事件与事件不相互独立，所以该选项错误； 对于选项C, ，所以该选项正确； 对于选项D, 如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A和B都没有发生，所以事件与事件不是对立事件，所以该选项错误. 故选：AC 11. 在正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 平面与平面所成角的正弦值是 C. 当时，的值最小 D. 若平面上的动点满足，则点M的轨迹是椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算求解判断ACD；易得平面平面，进而求解判断B. 【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则，，设，， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面， 而平面，则平面平面， 所以平面与平面所成角的正弦值是1，故B错误； 对于C，由A知，，则， 则，， 所以， 当，即时，的值最小，故C正确； 对于D，设，则，， 当平面上的动点满足时， ， 整理得，所以点的轨迹为椭圆，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.请将正确答案填在答题卷相应位置） 12. 一组从小到大排列的10个数据：0,1,2,3,4,8,9,10,11,13，这组数据的第80百分位数是____________. 【答案】10.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数的定义直接求解. 【详解】由，得这组数据的第80百分位数是. 故答案为：10.5 13. 在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算基本事件总数，计算其中没有感兴趣的专业包含的基本事件数，利用对立事件解决所求的概率. 【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 14. 在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，利用异面直线间的距离公式即可求解，第二空由圆的定义求出点的轨迹即可求解. 【详解】 如图连接，则，平面.过作，则，，又，故，. 如图：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设与都垂直的向量为，则，取，则，异面直线之间的距离，则点到直线的距离的最小值为. 如图：过作 因为，所以，所以点在正方形内，以为圆心,为半径的圆弧上，因为，所以，，所以，同理,所以，所以点的轨迹长度为. 故答案为：； 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求解即可. （2）求出等差数列前项和，结合二次函数的性质即可求出最小值. 【小问1详解】 设的公差为，由题意得，即， 又，所以，故数列的公差． 【小问2详解】 由（1）得． 所以当时，取得最小值，最小值为． 因此，最小值为. 16. 某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. （1）估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; （2）以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算均值即可； （2）根据二项分布可得，再根据二项分布求解概率分布列与期望即可. 【小问1详解】 ， 故均值为29． 【小问2详解】 设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则，则， ； ， 列的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 17. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. （1）求的值； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 18. 如图，在直角三角形中，，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且. （1）在上是否存在一点，使得直线与平面平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由； （2）若第（1）问存在符合条件，求出此时直线与平面的距离； （3）若将绕点逆时针旋转角后，得到的新的直线与平面所成角的正弦值为，求出. 【答案】（1）存在， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，再由线面平行的性质，结合向量计算推理即得. （2）先把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用空间向量法计算点到平面的距离； （3）先根据旋转得到新的直线所在向量，利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，解得结果； 【小问1详解】 依题意，平面， 则平面， 由，得，即， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系， 则 假设在上存在一点，使得直线与平面平行， 由平面，平面平面，得， 令，则， 于是，解得， 所以在上存在一点，使得直线与平面平行，且. 【小问2详解】 由（1）可知直线与平面平行，且， ，， 所以点到平面的距离即为直线与平面的距离， 设平面的法向量为，则 令，解得， 所以点到平面的距离为 【小问3详解】 设绕点逆时针旋转角后得到的新的直线为， 直线与平面所成角的正弦值为， 所以，, 设平面的法向量为，则 令，解得， 直线与平面所成角的正弦值为， 所以，即 解得，即 19. 法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. （1）求的方程； （2）若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据极线的定义直接求解即可； （2）①设直线AB的方程为，又椭圆方程可化为，利用齐次化方法化简得，结合韦达定理及两点斜率公式化简证明；②先利用①的结论证明Q，M，N三点共线，进而利用斜率关系证得为线段的中点. 【小问1详解】 由题意易知，极线的方程为即. 【小问2详解】 ①设，设直线AB的方程为：， 又椭圆方程可化为， 即， 由， 得， 设，则（★） 故为（★）的两个解， 所以， 因为AB过，故，故， 故， 又，所以. ②连接QM，QN， 由①中的结论可知， 又，故即Q，M，N三点共线， 如图所示，设， 则， 由①中结论知，，故， 故，故为线段的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市龙岗中学2027届高二上期末质量检测数学试题 时间：120分钟满分：150分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 设随机变量，，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.3 D. 0.7 5. 向量满足，向量与的夹角为，则（ ） A. 0 B. 8 C. D. 6. 已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 144 8. 已知为坐标原点，双曲线：的左，右焦点分别为，点为上一点，且在第一象限，的平分线与轴的交点为，过点作的垂线，垂足为点，点到的一条渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分.） 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共8项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 10. 一个袋子中有编号分别为的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 事件与事件互为对立事件 11. 在正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 平面与平面所成角的正弦值是 C. 当时，的值最小 D. 若平面上的动点满足，则点M的轨迹是椭圆 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.请将正确答案填在答题卷相应位置） 12. 一组从小到大排列的10个数据：0,1,2,3,4,8,9,10,11,13，这组数据的第80百分位数是____________. 13. 在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______． 14. 在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 16. 某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. （1）估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; （2）以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. （1）求的值； （2）若，求边上的高. 18. 如图，在直角三角形中，，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且. （1）在上是否存在一点，使得直线与平面平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由； （2）若第（1）问存在符合条件，求出此时直线与平面的距离； （3）若将绕点逆时针旋转角后，得到的新的直线与平面所成角的正弦值为，求出. 19. 法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. （1）求的方程； （2）若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $