第二章 有理数及其运算（重难点单元自测）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学第二章有理数及其运算，通过选择（10题40分）、填空（8题32分）、解答（8题78分）三题型，覆盖正负数、数轴、绝对值、运算律等核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，体现抽象能力、运算能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|正负数意义（题1）、数轴表示（题2）、0的性质（题3）|结合生活情境（温度变化），基础概念辨析| |填空题|8/32|绝对值最值（题13）、科学记数法（题16）、二进制转换（题18）|设置跨学科情境（二进制），提升知识迁移能力| |解答题|8/78|运算律应用（题22）、新定义“除方”（题26）、数轴折叠（题17）|融入创新题型（除方概念），培养推理意识与模型意识|

第二章 有理数及其运算 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·四川雅安·一模）如果温度升高记作，那么温度下降应该记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵温度升高记作， ∴升高记为正， ∴温度下降记为负， ∴温度下降记作． 2．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）在数轴上表示数，其中在原点左边的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵数轴上的原点左边的点表示的数都是负数， ∴给出的数中，负数有，，，共个， ∴在原点左边的点有个． 3．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． 4．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，，， ，且，， ． 故选：C ． 5．（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）在同一数轴上，点表示的数是2，又知点与点相距3个单位长度，则点所表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：点表示数，点与点相距个单位长度， ∴分两种情况讨论： 当点在点的右侧时， 点表示的数为； 当点在点的左侧时， 点表示的数为； 点表示的数是或． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 7．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 8．（2026·重庆·三模）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，， ，即最小的数是． 9．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 10．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（26-27六年级·上海·小升初衔接）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 【详解】解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 综上可知，正有理数有：，，，，． 12．（26-27六年级上·上海·开学考试）比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 即． 13．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 14．（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则________． 【答案】 【详解】解：∵， 而，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 15．（26-27七年级·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 16．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，那么我国约万的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧_______千克煤所产生的能量． 【答案】 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 【答案】或3/3或 【详解】解：设点A的对应点为，分两种情况： 当点在点B左侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 当点在点B右侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 综上可知，点表示的数为或3， 故答案为：或3． 18．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 【答案】5 【详解】解：根据二进制转十进制的规则展开， 得， 即二进制中的数转换为十进制的数是． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 【答案】；； 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：， 故答案为：；；． 20．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 21．（2022七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 22．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988(2)99900 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：________． (2)用学过的知识说明（1）中式子成立的理由． (3)计算：． 【答案】(1) (2)理由如下： ． (3)32 【详解】（1）解：根据题干的规律可得： ； 故答案为：. （2）略 （3）解：原式 ． 24．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 25．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 26．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)， (3)0 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·四川雅安·一模）如果温度升高记作，那么温度下降应该记作（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）在数轴上表示数，其中在原点左边的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 4．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）在同一数轴上，点表示的数是2，又知点与点相距3个单位长度，则点所表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 6．（2025七年级上·全国·专题练习）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·三模）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（26-27六年级·上海·小升初衔接）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 12．（26-27六年级上·上海·开学考试）比较大小：_______．（填“”“”或“”） 13．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 14．（21-22七年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则________． 15．（26-27七年级·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 16．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，那么我国约万的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧_______千克煤所产生的能量． 17．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 18．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 20．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 21．（2022七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 22．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：________． (2)用学过的知识说明（1）中式子成立的理由． (3)计算：． 24．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 25．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 26．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $