专题2.3 有理数的乘法与除法（15大题型+过关检测）（小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，构建从基础运算到综合应用的三阶训练体系，突出符号判断、简便计算等核心方法的系统提炼。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数乘法运算|1典例+3变式|“奇负偶正”符号法则、三步运算流程|从乘法法则到符号规律，再到实际应用| |乘除混合运算|1典例+3变式|除法转乘法、统一符号判断|衔接乘法与除法法则，构建混合运算模型| |简便计算|1典例+3变式|分配律正逆用、凑整拆分技巧|运算律与数感结合，提升计算效率| |压轴突破|2典例+3变式|规律探究四步法、新运算转化策略|从具体运算到抽象建模，发展数学思维|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.3 有理数的乘法与除法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数乘法的基本运算 模块9有理数的乘除混合运算的基本计算 模块2 有理数的乘法中的符号判断 模块10 有理数的乘除混合运算的实际应用 模块3 有理数的乘法的应用 微专题1有理数的加减乘除混合运算 模块4 求一个数的倒数 微专题2有理数的加减乘除混合运算中的简便计算 模块5 有理数的乘法的简便计算 微专题3有理数的加减乘除混合运算的实际应用 模块6有理数的乘法与绝对值、倒数的综合 压轴1 有理数的加减乘除混合运算的实际应用 模块7有理数除法的基本运算 压轴2 定义新运算问题 模块8 有理数的除法在实际生活中的应用 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同0相乘，都得0． （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值． （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0． 知识点2：多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时， 积为正数,负的乘数的个数是奇数时，积为负。 2.几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. 知识点3 乘法运算律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等．即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c． 知识点4 除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 知识点5 倒数 （1）定义：的两个数互为倒数． （2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数． 注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为． 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数乘法的基本运算 可以按照以下步骤进行运算： 1. 先观察相乘的数中是否存在因数0，如果存在乘数0，那么直接得到结果为0，无需计算其余部分； 2. 若所有乘数都不为0，先数出算式中负乘数的个数，根据“奇负偶正”判断最终乘积的符号，再将所有乘数的绝对值相乘得到乘积的绝对值； 3. 对于可以简化计算的算式，可以灵活运用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律调整运算顺序，简化计算过程。 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】计算： (1)9×(－6) (2)(－9)×6 (3)(－9)×(－6) (4)； (5)． 【变式1-2】计算： （1）；                  （2）； （3）；             （4）； （5）；       （6）． 【变式1-3】计算： （1）．     （2）． （3）．     （4）． （5）．         （6）． （7）．         （8）． （9）； （10） 【模块二】有理数的乘法中的符号判断 可以根据相乘有理数的数量，分情况判断符号： 1. 仅两个有理数相乘时，直接遵循“同号得正，异号得负”的规则：两个乘数同为正号或同为负号时，乘积为正；两个乘数一个为正一个为负时，乘积为负。若任意一个乘数为0，则乘积为0，无需额外判断符号。 2. 多个不为0的有理数相乘时，无需逐次判断符号，只需统计算式中负乘数的个数，遵循“奇负偶正”的规则：负乘数个数为奇数时，最终乘积为负；负乘数个数为偶数时，最终乘积为正。若多个乘数中存在0，则乘积直接为0，无需判断符号。 【典例2】如果三个非零有理数的积为正数，则下列结论： ①这三个数同号；②若其中一个数是正数，则另外两个数同号；③若其中一个数是负数，则另外两个数同号；④若其中一个数是负数，则另外两个数异号．其中必定成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】已知，，判断下列叙述何者正确？(　　) A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【变式2-2】下列算式中，积为正数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，，在数轴上的位置如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【模块三】有理数的乘法的应用 有理数乘法的应用，一般可以按照以下步骤进行： 首先，根据实际问题的情境设定正方向，明确不同状态、不同方向的量对应的正负符号，比如通常将盈利、上升、正向位移记为正数，将亏损、下降、反向位移记为负数，完成实际问题向有理数运算的转化。 其次，结合题干给出的数量关系，提取对应数据，列出正确的有理数乘法算式，注意准确标注每个量的符号，避免符号错误导致结果偏差。 最后，按照有理数乘法的符号判断和运算规则计算出乘积结果，再结合最开始设定的情境，解释计算结果对应的实际含义，得到实际问题的最终答案。 对于多个相同量累计的实际问题，比如计算连续多日的总盈亏、多个相同规格商品的总价差，都可以直接用单个量的数值乘以对应的数量，再整合不同类项的结果即可。 【典例3】出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米） (1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？ (2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示） (3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱） 【变式3-1】一辆出租车一天上午以某商场为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：）如下： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，相对于商场，出租车的位置在哪里？ (2)已知出租车每行驶耗油，每升汽油的售价为元．如果不计其他成本，出租车平均每千米收费元，那么这半天出租车盈利（或亏损）了多少元？ 【变式3-2】．某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？ (2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？ (3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？ 【变式3-3】某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） +3 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元； (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折； 方式二：每斤售价10元； 为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱． 【模块四】求一个数的倒数 可以根据原数的类型，采用对应的方法求解： 对于非零整数a（a≠0），它的倒数可直接写为1/a，即将原整数作为分母、分子取1得到倒数，例如5的倒数是1/5，-3的倒数是-1/3。 对于非零分数b/c（b≠0，c≠0），直接交换分子和分母的位置就能得到它的倒数，原数的符号保持不变；如果原数是带分数，需要先把带分数化为假分数，再交换分子分母得到倒数。 如果原数是小数，一般先把小数化为最简分数，再按照分数求倒数的方法交换分子分母即可得到对应倒数。 需要特别注意：0没有倒数，因为0作分母没有意义，1和-1的倒数都是其本身。 【典例4】下列关于0的说法错误的是（    ） A．0的相反数是0 B．0的绝对值是0 C．0的倒数是0 D．0大于所有的负数 【变式4-1】的相反数是______，倒数是______，绝对值是______． 【变式4-2】一个数的倒数是它本身，则该数是（    ） A．1 B． C． D．不存在 【变式4-3】如果 互为相反数，互为倒数，m是最大的负整数，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【模块五】有理数的乘法的简便计算 常见的简便计算方法主要依托有理数乘法的运算律展开，主要有以下几类： 第一类，运用乘法交换律和结合律凑整约分：当多个有理数连乘时，可以交换乘数的位置，把乘积是整十、整百或者便于约分的几个乘数先结合起来计算，大幅简化运算过程，比如多个分数相乘时，优先将能交叉约分的分数分组计算，省去多次通分约分的麻烦。 第二类，正向运用乘法分配律：当一个数与几个数的和（或差）相乘时，可将这个数分别乘括号内的每一个数，再将所得积相加（或相减），将复杂的混合运算拆分为多个简单乘法后再加减，降低计算难度。 第三类，逆向运用乘法分配律提取公因数：如果算式中多个乘法项都含有同一个公因数，可以将该公因数提取出来，把剩余的部分先做加减运算，若剩余部分运算后能得到整数，就能将复杂运算转化为一步乘法计算。 第四类，拆分凑整法：对于接近整十、整百的带分数或小数参与乘法运算时，可以将原数拆分为一个整数与一个简单小数（或分数）的和或差，再利用乘法分配律展开计算，避免复杂的通分或多位数乘法运算。 运用以上简便方法时，需要特别注意保留每个乘数的原有符号，避免因移动项、提取公因数时错漏符号，导致最终计算结果出错。 【典例5】计算： (1)； (2)． (3) (4) 【变式5-1】利用运算律作简便运算，写出计算结果． (1) (2) (3) (4) 【变式5-2】用简便方法计算 (1) (2) (3) (4) 【变式5-3】用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【模块六】有理数的乘法与绝对值、倒数的综合 可以按照分步分析的思路求解，具体步骤如下： 首先，先利用绝对值的代数性质，得到每个未知数的所有可能取值，再结合倒数的定义，确定相关数的关系：若题目给出某数存在倒数，则该数一定不为0，且该数与其倒数的乘积为1；若某数不存在倒数，则该数为0。 其次，结合题干给出的未知数大小关系、符号限定条件，排除不符合要求的取值，确定最终参与乘法运算的各个数。 最后，根据多个有理数相乘的运算法则计算结果：若确定参与运算的某个乘数为0，则直接得出最终乘积为0；若所有乘数都不为0，则先判断负乘数的个数，根据“负乘数个数为偶数时积为正，奇数时积为负”确定乘积的符号后，再将所有乘数的绝对值相乘得到最终结果。 需要注意的易错点是，绝对值对应的非零原数一般有两个互为相反数的取值，解题时不要遗漏符合条件的情况，同时要牢记0不存在倒数的性质，快速结合乘法规则得到最终答案。 【典例6】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如果 互为相反数，互为倒数，m是最大的负整数，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式6-2】数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】已知有理数a、b、c，满足，求的值． 【模块七】有理数除法的基本运算 有理数除法运算遵循“符号先行，再算绝对值”的基本思路，核心依据是“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，具体运算可按以下步骤开展： 第一步确定商的符号：当被除数与除数同号时，商为正；当被除数与除数异号时，商为负；若被除数为0且除数不为0时，商直接为0，需注意除数永远不能为0，否则该运算无意义。 第二步计算商的绝对值：若两数能整除，直接将两数的绝对值相除得到商的绝对值即可；若两数不能整除，则利用除法法则将除法转化为乘法，通过约分计算得到最终结果。 对于多个有理数连除的情况，可以按从左到右的顺序逐步计算，也可以统一将除法转化为乘法后一次性约分计算，减少运算出错概率。 【典例7】直接写出得数 (1)÷5= (2)×4= (3)÷2= (4)6÷= (5)+= (6)÷= (7)÷= (8)÷= (9)÷= (10)－= 【变式7-1】．计算： (1) 2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【变式7-2】计算： (1)； (2). (3) (4) 【变式7-3】阅读下列材料：计算 解法一：原式=． 解法二：原式=． 解法三：原式的倒数为 故原式=300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【模块八】有理数的除法在实际生活中的应用 有理数的除法应用，核心是把实际问题转化为有理数运算问题，可按以下思路完成求解： 首先先梳理题意，提炼运算关系：从实际场景中提取出总量、单位量、份数三类量，明确已知量和未知量，结合“未知量=对应总量÷已知量”确定除法运算关系，若涉及盈亏、升降、收支这类带相反意义的量，要先根据实际意义给被除数和除数标注正确的正负符号。 其次按照有理数除法的规则计算出运算结果，最后结合实际场景对结果做检验调整：如果所求的结果是人数、物品个数这类整数量，要根据实际要求对结果取整；如果结果为负，要对应场景解释结果代表的实际意义，最终给出符合问题要求的答案。 【典例8】某辆汽车每次加油都会把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程） 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2020年3月10日 15 56000 2020年3月25日 50 56500 这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（    ） A．7升 B．8升 C．10升 D．升 【变式8-1】一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【变式8-2】两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位，已知火车上的座位的排法如图所示，那么下列座位号码符合要求的是（　　） A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85 【变式8-3】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？ 【模块九】有理数的乘除混合运算的基本计算 有理数的乘除混合运算可按照以下步骤完成计算： 第一步先统一运算形式，依据除法法则将算式中所有除法运算转化为乘法运算，即将除数改写为它的倒数，同时注意保持每个数原有符号不变，将原式转换为多个有理数连乘的形式。 第二步确定最终结果的符号，统计算式中负因数的个数：负因数个数为偶数时，结果为正；负因数个数为奇数时，结果为负；若算式中任意一个因数为0，则可直接得出最终结果为0。 第三步计算结果的绝对值，可以先对所有因数的绝对值进行约分简化，再将约分后剩余部分相乘得到绝对值结果，结合第二步确定的符号，即可得到最终运算结果。若算式中含有括号，需要先计算括号内的运算，再按上述步骤计算括号外的内容，同级运算遵循从左到右的顺序进行即可。 【典例9】下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算： 解：原式=……第一步      =……第二步      =……第三步 解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程． 【变式9-1】．（1）计算：_____________． （2）_____． （3）计算：的结果为______． （4）计算的结果是_____． （5）计算：的结果是___________ 【变式9-2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【变式9-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【模块十】有理数的乘除混合运算的实际应用 解决这类问题的核心是将实际生活情境转化为有理数乘除混合运算的数学问题，具体可按如下思路进行： 第一步，梳理实际情境中的数量关系，结合问题中相反意义的量确定各个数的正负符号，比如可将盈利、上升、收入记为正，亏损、下降、支出记为负，再按照题目描述的运算逻辑，列出正确的有理数乘除混合运算算式。 第二步，按照有理数乘除混合运算的计算规则求出算式的结果。 第三步，结合实际生活情境对计算结果进行解读与验证：若结果为带符号的数，要对应实际含义说明结果表示的状态；若所求量为人数、物品个数等不可拆分的整数实际量，需要结合实际需求采用进一法或者去尾法对结果取整，最终得到符合问题要求的答案。 【典例10】出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：． 起步价 （3千米以内） 超过3千米部分每千米费用 （不足1千米以1千米计） 等候费 （不足1分钟以1分钟计） （单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元 (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点___________（南/北）___________千米； (2)若汽车耗油量是0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 【变式10-1】有个写运算符号的游戏：在“”中的每个“□”内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)请计算琪琪填入符号后得到的算式：； (2)嘉嘉填入符号后得到的算式是，一不小心擦掉了□里的运算符号，但她知道结果是，请推算□内的符号.（请写出计算过程） 【变式10-2】如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm． (2)由题(1)的启发,请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题: 问题:一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【变式10-3】为了方便“国庆节”出行，张琛老师买了一辆小轿车，他连续记录了七天行程结束时里程表上的读数（月号的被忘记了）： 时间 月号 月号 月号 月号 月号 月号 月号 里程表千米 解答下列问题： (1)张老师记录的七天行程中，从第天起哪一天行程最多，哪一天行程最少？它们相差多少千米？ (2)根据统计情况估计张老师每月大约要行驶多少千米？（每月按天计算） (3)若每行驶千米需耗油升，每升汽油的市场价为元，请求出张老师每月汽油费支出是多少元？（精确到元） 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 有理数的加减乘除混合运算 进行有理数加减乘除混合运算时，我们可以遵循如下步骤和方法： 首先明确运算顺序：若算式中包含括号，需要优先计算括号内的运算；括号运算完成后，按照先乘除后加减的顺序计算，同级运算遵循从左到右的顺序依次进行即可。 其次，可灵活运用运算律简化计算：观察算式中各数的特点，合理运用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及加法的运算律调整运算顺序，降低计算难度，减少计算出错的概率，尤其对于可凑整、可约分的数字，优先通过运算律简化后再计算。 然后，全程注意符号判断：每一步运算都先确定当前步骤结果的符号，再计算绝对值，避免符号错误影响最终结果。 最后，计算完成后可通过逆运算对结果进行验证，确认计算结果正确无误。 【典例11】计算题： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)．（用简便方法计算） 【变式11-1】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式11-3】用适当的方法计算： （1）0.36＋(－7.4)＋0.5＋(－0.6)＋0.14； （2）(－2.125)＋＋(－3.2)； （3）. （4）|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋. （5） 【微专题二】有理数的加减乘除混合运算中的简便计算 有理数加减乘除混合运算的简便计算还可通过以下方法实现： 第一，分组凑整法：将能凑成整数、整十数或互为相反数的数分组，优先计算这些组，简化后续计算过程，比如把和为0的互为相反数先相加抵消，再计算剩余部分。 第二，裂项相消法：当算式是形如这类分数连加运算时，可将每一项拆分为两个分数的差，拆分后相邻项相互抵消，仅保留首尾项计算即可得到结果。 第三，换元简化法：若算式中多次重复出现同一个整体代数式，可将这个整体替换为一个字母，简化算式的书写和计算过程，算出字母代表的整体结果后，再回代得到最终答案。 实际计算中，需要先观察算式的整体结构和各数字特征，灵活选择合适的简便方法，必要时可结合多种方法，最大程度简化计算流程。 【典例12】数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______； （3）请你运用小明的解法计算：． 【变式12-1】简便运算： (1) (2) (3) (4) 【变式12-2】观察下列等式： ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： （其中为正整数）； （2）直接写出下列各式的计算结果： = ； （3）探究并计算：. 【变式12-3】先计算，再阅读材料，解决问题： (1)计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： ． 故． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【微专题三】有理数的加减乘除混合运算的实际应用 可按照从建模到计算再到解读的思路逐步解决，具体方法如下： 首先完成实际问题到数学问题的转化：梳理题干中的已知条件与所求量，结合实际情境中具有相反意义的量确定各数的正负属性，比如一般将收入、盈利、上升记为正，将支出、亏损、下降记为负，再根据量与量之间的逻辑关系列出对应的有理数加减乘除混合运算算式。 其次按照运算规则计算：遵循“先括号内，后括号外，先乘除后加减，同级运算从左到右”的基本顺序，若算式符合简便计算的特征，可灵活运用前文提到的分组凑整、裂项相消、换元简化等方法简化计算过程，计算过程中优先确定每一步结果的符号，再计算绝对值，最大限度降低出错概率。 最后结合实际解读结果：计算得到结果后，需结合问题的实际含义判断结果是否符合要求，若所求量为不可拆分的实物数量（如人数、物品个数等），需要根据实际场景选择进一法或去尾法对结果取整；若结果带正负符号，需要对应情境说明符号代表的实际意义，最终得到符合问题要求的答案。 【典例13】生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例：十六进制2B对应十进制的数为，10C对应十进制的数为，那么十六进制中14E对应十进制的数为（    ） A．328 B．362 C．338 D．334 【变式13-1】一种金属棒，当温度是20 ℃时，长为5厘米，温度每升高或降低1 ℃，它的长度就随之伸长或缩短0.0005厘米，则温度为10 ℃时金属棒的长度为(　　) A．5.005厘米 B．5厘米 C．4.995厘米 D．4.895厘米 【变式13-2】某停车场的停车收费标准如下表所示： 停车收费标准 小型车 大型车 白天（7：00-19：00） 首小时内 2.5元/15分钟 5元/15分钟 首小时后 3.75元/15分钟 7.5元/15分钟 夜间（19：00（不含）-次日7：00） 1元/2小时 2元/2小时 注：白天停车收费以15分钟为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用． 李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（       ）． A．13.5元 B．18.5元 C．20元 D．27.5元 【变式13-3】某商场对顾客实行优惠，规定： （1）如一次购物不超过200元，则不予折扣； （2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； （3）如一次购物超过500元的，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠． 某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（    ） A．52.8元 B．510.4元 C．560.4元 D．472.8元 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 有理数运算背景下的规律探索 解决这类问题，可按照从特殊到一般再回到特殊的思路开展探索： 首先从简单的特殊情形入手，按照有理数的运算法则计算出前几组运算的结果，将结果和原式的结构、项数对应列举出来，对比不同组的运算式和结果，分析结果随项数、数字变化的规律特征。 其次根据观察得到的变化特征，归纳猜想出适用于所有此类运算的通用规律，用含正整数n的代数式将规律表示出来。 接着对猜想的规律进行验证：选取题干给出范围外的一组运算代入验证，若计算结果符合猜想，则规律成立；若不符合，则重新分析调整猜想，直到得到正确规律。 最后如果需要应用规律解决复杂的大数运算，就将待求算式按照规律拆分变形，通过相互抵消等方式简化计算，最终得到结果。 【典例14】我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【变式14-1】1×2+2×3+3×4+…+99×100=（ ） A．223300 B．333300 C．443300 D．433300 【变式14-2】．． 【变式14-3】观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … 寻找规律，解决问题： (1)写出第5个等式： ＝ ；写出第10个等式： ＝ ； (2)求的值． 【压轴二】定义新运算问题 第一步首先要准确理解定义：抓住新运算给出的特殊符号、运算规则，明确运算顺序和对应数的代入方式，不混淆新符号与原有运算符号的意义，只需严格按照题目给定的规则操作，无需将新符号和已有运算符号的常规含义混淆。 第二步是转化代入计算：按照新运算规则，将待求式中的对应数值替换到规则中，把原本陌生的新运算转化为我们熟悉的有理数加减乘除混合运算，之后遵循常规的有理数运算顺序计算，有括号时先计算括号内的部分，符合简便计算特征的可利用运算律简化计算过程。 如果是需要探究规律的定义新运算问题，可沿用有理数规律探究的通用方法：先计算前几个特殊项的运算结果，对比结果和运算式的特征，归纳得到通用规律后，再代入所求项验证计算，最终得到正确结果。计算完成后，需要检查代入过程是否正确，确认没有混淆运算顺序和对应数值，保证结果符合新运算的要求。 【典例15】现定义一种新运算：a⊗b＝ab+a﹣b，如1⊗3＝1×3+1﹣3＝1． (1)求[（﹣2）⊗5]⊗（6） (2)新定义的运算满足交换律吗？试举例说明． 【变式15-1】．a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5， 例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1． 请根据“⊕”的定义计算： (1)﹣2⊕4； (2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）． 【变式15-2】现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有a*b＝a+2b﹣1，a☆b＝2ab+1． （1）求5*（﹣2）； （2）求（2*3）☆（3☆2）． 【变式15-3】现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（　　） A．4 B．11 C．4或11 D．1或11 通关检测·实战演练 一 选择题 1.的倒数是（    ） A．2022 B． C． D． 2．．已知，，判断下列叙述何者正确？(　　) A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 3.．若|a|=1，|b|=4，且ab＜0，则a＋b的值为（ ） A． B． C．3 D． 4.已知a，b都是有理数，如果，且，则下列说法中一定正确的是（　　） A．a，b都为负数 B．a是正数 C．a，b的值可能为负数 D．a的绝对值一定比b的绝对值大 5.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 二 填空题 6.小强有5张卡片写着不同数字的卡片： 从中取出2张不同的卡片，把卡片中的数字相乘，则最大的乘积是_________． 7. 计算：________． 8. 8.已知，则的值为 ． 9.若，，且，则的值为___________． 10.有理数在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论:中正确的是_____(填序号即可). 三解答题 11.计算： 解法1：原式＝ 解法2：原式的倒数为： 故原式＝ 请阅读上述材料，选择合适的方法计算： 12计算 （1）； .(2)． （3）； （4）． （5） 13.用适当的方法计算 (1) (2)（－99）×999 (3)； (4)． （5）0.36＋(－7.4)＋0.5＋(－0.6)＋0.14； （6）(－2.125)＋＋(－3.2)；（7）. （8）|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋.（9） 14.请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为： 所以： 问题，计算： ①； ② 15阅读下列材料：计算： 解：原式的倒数为 故原式 请仿照上述方法计算： 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.3 有理数的乘法与除法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数乘法的基本运算 模块9有理数的乘除混合运算的基本计算 模块2 有理数的乘法中的符号判断 模块10 有理数的乘除混合运算的实际应用 模块3 有理数的乘法的应用 微专题1有理数的加减乘除混合运算 模块4 求一个数的倒数 微专题2有理数的加减乘除混合运算中的简便计算 模块5 有理数的乘法的简便计算 微专题3有理数的加减乘除混合运算的实际应用 模块6有理数的乘法与绝对值、倒数的综合 压轴1 有理数的加减乘除混合运算的实际应用 模块7有理数除法的基本运算 压轴2 定义新运算问题 模块8 有理数的除法在实际生活中的应用 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同0相乘，都得0． （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值． （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0． 知识点2：多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时， 积为正数,负的乘数的个数是奇数时，积为负。 2.几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. 知识点3 乘法运算律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等．即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c． 知识点4 除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 知识点5 倒数 （1）定义：的两个数互为倒数． （2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数． 注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为． 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数乘法的基本运算 可以按照以下步骤进行运算： 1. 先观察相乘的数中是否存在因数0，如果存在乘数0，那么直接得到结果为0，无需计算其余部分； 2. 若所有乘数都不为0，先数出算式中负乘数的个数，根据“奇负偶正”判断最终乘积的符号，再将所有乘数的绝对值相乘得到乘积的绝对值； 3. 对于可以简化计算的算式，可以灵活运用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律调整运算顺序，简化计算过程。 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】（1）根据加法交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律计算即可； （3）将带分数化为假分数计算即可； （4）将原式整理之后提出，利用乘法分配律计算即可． （1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式1-1】计算： (1)9×(－6) (2)(－9)×6 (3)(－9)×(－6) (4)； (5)． 【答案】(1)-54 (2)-54 (3)54( 4) (5) 【详解】（1）解：9×(－6)=-54 （2）解：(－9)×6=-54 （3）解：(－9)×(－6)=54 （4）； （5）； 【变式1-2】计算： （1）；                  （2）； （3）；             （4）； （5）；       （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）7.5；（5）14；（6）0 【分析】（1）先利用乘法分配律去括号，然后合并即可； （2）利用乘法的结合律进行求解即可； （3）先把带分数化成假分数，然后利用乘法的交换律和分配律求解即可； （4）利用乘法的结合律求解即可； （5）利用乘法的分配律和结合律求解即可； （6）利用乘法的结合律求解即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式1-3】计算： （1）．     （2）． （3）．     （4）． （5）．         （6）． （7）．         （8）． （9）； （10） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或；（5）3； （6）；（7）；（8）2． （9）；（10）0 【分析】（1）根据有理数乘法的交换律即可得； （2）根据有理数乘法法则和交换律即可得；． （3）先将带分数化为假分数，再根据有理数乘法的结合律即可得； （4）方法一：先将小数化为分数、带分数化为假分数，再根据有理数乘法法则和结合律即可得；方法二：先将带分数化为假分数，再根据有理数乘法法则和结合律即可得； （5）根据有理数乘法的分配律即可得； （6）根据有理数乘法的分配律即可得； （7）先将写成，再根据有理数乘法的分配律即可得； （8）根据有理数乘法的分配律即可得． （9）根据有理数乘法运算法则，运用乘法交换律计算即可； （10）根据0乘以任何数都得0计算即可. 【详解】（1）原式， ， （2）原式， ， （3）原式， （4）方法一：原式， ， 方法二：原式， ， （5）原式， ， （6）原式， ， （7）原式， ， （8）原式， （9）； （10）． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则与运算律，熟记运算法则和运算律是解题关键 【模块二】有理数的乘法中的符号判断 可以根据相乘有理数的数量，分情况判断符号： 1. 仅两个有理数相乘时，直接遵循“同号得正，异号得负”的规则：两个乘数同为正号或同为负号时，乘积为正；两个乘数一个为正一个为负时，乘积为负。若任意一个乘数为0，则乘积为0，无需额外判断符号。 2. 多个不为0的有理数相乘时，无需逐次判断符号，只需统计算式中负乘数的个数，遵循“奇负偶正”的规则：负乘数个数为奇数时，最终乘积为负；负乘数个数为偶数时，最终乘积为正。若多个乘数中存在0，则乘积直接为0，无需判断符号。 【典例2】如果三个非零有理数的积为正数，则下列结论： ①这三个数同号；②若其中一个数是正数，则另外两个数同号；③若其中一个数是负数，则另外两个数同号；④若其中一个数是负数，则另外两个数异号．其中必定成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】三个非零有理数的积为正数，分其中一个数是正数或负数两种情况讨论，再结合“同号得正，异号得负”即可解答． 【详解】解：三个非零有理数的积为正数， 若其中一个数是正数，则另外两个数同号； 若其中一个数是负数，则另外两个数异号， 所以其中必定成立的有②④． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数乘法的符号法则，熟练掌握“同号得正，异号得负”是解题的关键． 【变式2-1】已知，，判断下列叙述何者正确？(　　) A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法法则判断a，b的符号即可求解． 【详解】解：中共有个负数相乘， 为正数， 中共有个负数相乘， 为负数， 为正数，为负数， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法的应用，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【变式2-2】下列算式中，积为正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数，当有偶数个负因数时，积为正数”逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 积为负，不合题意； B. 积为正数，符合题意； C. 积为0，不合题意； D. 积为负数，不合题意． 故选：B 【点睛】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，熟知“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数，当有偶数个负因数时，积为正数”是解题关键． 【变式2-3】已知，，在数轴上的位置如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据数轴的性质可得，，再根据有理数的加减法与乘法法则逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， 则，结论①正确； ，结论②正确； ，结论③错误； ，结论④错误； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法与乘法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【模块三】有理数的乘法的应用 有理数乘法的应用，一般可以按照以下步骤进行： 首先，根据实际问题的情境设定正方向，明确不同状态、不同方向的量对应的正负符号，比如通常将盈利、上升、正向位移记为正数，将亏损、下降、反向位移记为负数，完成实际问题向有理数运算的转化。 其次，结合题干给出的数量关系，提取对应数据，列出正确的有理数乘法算式，注意准确标注每个量的符号，避免符号错误导致结果偏差。 最后，按照有理数乘法的符号判断和运算规则计算出乘积结果，再结合最开始设定的情境，解释计算结果对应的实际含义，得到实际问题的最终答案。 对于多个相同量累计的实际问题，比如计算连续多日的总盈亏、多个相同规格商品的总价差，都可以直接用单个量的数值乘以对应的数量，再整合不同类项的结果即可。 【典例3】出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米） (1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？ (2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示） (3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱） 【答案】(1)千米 (2)升 (3)元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得答案； （3）将每次收入相加可求解． 【详解】（1）解：（千米） 答：距离出车时地点为30千米． （2）解：（升） 答：小明共耗油升． （3）解：（元） 答：小王收入了元． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，理解题意，掌握有理数的加减混合运算的运算法则是解题关键． 【变式3-1】一辆出租车一天上午以某商场为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：）如下： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，相对于商场，出租车的位置在哪里？ (2)已知出租车每行驶耗油，每升汽油的售价为元．如果不计其他成本，出租车平均每千米收费元，那么这半天出租车盈利（或亏损）了多少元？ 【答案】(1)在商场处 (2)盈利了元 【分析】（1）根据相反数的意义，有理数的加减法运算即可求解； （2）根据有理数与实际问题的运用，绝对值的意义即可求解． 【详解】（1）解：（）， ∴将最后一名乘客送到目的地，出租车回到商场处． （2）解：， ∴这天上午出租车总共行驶了， ∴（元）， ∴这半天出租车盈利了元． 【点睛】本题主要考查有理数的实际运用，理解相反数的意义，有理数的混合运算是解题的关键． 【变式3-2】．某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？ (2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？ (3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？ 【答案】(1)5千克 (2)9千克 (3)元 【分析】（1）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解； （2）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解； （3）首先求得大米的总重量，再乘以单价，即可求解 【详解】（1）解：（千克）， 答：这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差5千克 （2）解：（千克）， 答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克 （3）解：这30袋大米的总重量为（千克）， 食堂购进大米总共花了（元）． 答：食堂购进大米总共花了元． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键． 【变式3-3】某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） +3 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元； (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折； 方式二：每斤售价10元； 为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)六；15 (2)这一周超市出售此种百香果盈利135元 (3)选择方式一购买更省钱 【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）计算总进价和总售价，比较即可； （3）计算两种购买方式，比较得结论． 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是（元）． 故答案为：六；15． （2）解：（元）， （元）， （元）； 答：这一周超市出售此种百香果盈利135元． （3）解：方式一：（元）， 方式二：（元）， ∵， ∴选择方式一购买更省钱． 【点睛】本题主要考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表，理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价． 【模块四】求一个数的倒数 可以根据原数的类型，采用对应的方法求解： 对于非零整数a（a≠0），它的倒数可直接写为1/a，即将原整数作为分母、分子取1得到倒数，例如5的倒数是1/5，-3的倒数是-1/3。 对于非零分数b/c（b≠0，c≠0），直接交换分子和分母的位置就能得到它的倒数，原数的符号保持不变；如果原数是带分数，需要先把带分数化为假分数，再交换分子分母得到倒数。 如果原数是小数，一般先把小数化为最简分数，再按照分数求倒数的方法交换分子分母即可得到对应倒数。 需要特别注意：0没有倒数，因为0作分母没有意义，1和-1的倒数都是其本身。 【典例4】下列关于0的说法错误的是（    ） A．0的相反数是0 B．0的绝对值是0 C．0的倒数是0 D．0大于所有的负数 【答案】C 【分析】根据0的意义，结合相反数、绝对值、倒数、负数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、0的相反数是0，说法正确，不符合题意； B、0的绝对值是0，说法正确，不符合题意； C、0没有倒数，说法错误，符合题意； D、0大于所有的负数，说法正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查0的意义，涉及相反数、绝对值、倒数、负数的定义，掌握相关定义和0的特殊性是解答的关键． 【变式4-1】的相反数是______，倒数是______，绝对值是______． 【答案】 / / 【分析】依据相反数、倒数、绝对值的定义求解，要区分清楚这三个容易混淆的概念，求带分数的倒数时，应先把带分数化成假分数后再求倒数． 【详解】， ∴的相反数是，倒数是，绝对值是． 故答案为：①，②，③． 【点睛】此题考查了相反数、绝对值和倒数的性质，要求掌握相反数、绝对值和倒数的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中.绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0. 【变式4-2】一个数的倒数是它本身，则该数是（    ） A．1 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：一个数的倒数是它本身的数是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用． 【变式4-3】如果 互为相反数，互为倒数，m是最大的负整数，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由题意知，再代入计算即可． 【详解】解：由题意知， 则原式 ＝ ＝0， 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【模块五】有理数的乘法的简便计算 常见的简便计算方法主要依托有理数乘法的运算律展开，主要有以下几类： 第一类，运用乘法交换律和结合律凑整约分：当多个有理数连乘时，可以交换乘数的位置，把乘积是整十、整百或者便于约分的几个乘数先结合起来计算，大幅简化运算过程，比如多个分数相乘时，优先将能交叉约分的分数分组计算，省去多次通分约分的麻烦。 第二类，正向运用乘法分配律：当一个数与几个数的和（或差）相乘时，可将这个数分别乘括号内的每一个数，再将所得积相加（或相减），将复杂的混合运算拆分为多个简单乘法后再加减，降低计算难度。 第三类，逆向运用乘法分配律提取公因数：如果算式中多个乘法项都含有同一个公因数，可以将该公因数提取出来，把剩余的部分先做加减运算，若剩余部分运算后能得到整数，就能将复杂运算转化为一步乘法计算。 第四类，拆分凑整法：对于接近整十、整百的带分数或小数参与乘法运算时，可以将原数拆分为一个整数与一个简单小数（或分数）的和或差，再利用乘法分配律展开计算，避免复杂的通分或多位数乘法运算。 运用以上简便方法时，需要特别注意保留每个乘数的原有符号，避免因移动项、提取公因数时错漏符号，导致最终计算结果出错。 【典例5】计算： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4)2 【详解】（1）解：原式 （2）原式 (3)解：原式 ． (4)解： 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算：先算乘除，再加减运算；有括号先算括号 【变式5-1】利用运算律作简便运算，写出计算结果． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加法交换律与结合律将小数部分相同的数结合在一起，再根据加法法则计算即可； （2）将化为，再利用乘法分配律计算即可； （3）每一项都有，逆用乘法分配律，即可计算； （4）利用加法的结合律，将相邻的两个数组成一组，得和为，共组，由此即可计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4） 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，解题是要注意灵活运用加法的结合律和乘法的分配律，凑整计算． 【变式5-2】用简便方法计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)12 (3) (4)0 【分析】（1）利用加法交换律和加法结合律求解； （2）将除法转换为乘法，利用乘法分配律求解； （3）将变形为，利用乘法分配律求解； （4）利用乘法分配律求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查有理数的混合运算以及简便运算，解题的关键是掌握加法交换律、加法结合律、乘法分配律等运算规律． 【变式5-3】用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3)0 (4) 【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）利用乘法分配律的逆运算求解即可； （4）把原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键 【模块六】有理数的乘法与绝对值、倒数的综合 可以按照分步分析的思路求解，具体步骤如下： 首先，先利用绝对值的代数性质，得到每个未知数的所有可能取值，再结合倒数的定义，确定相关数的关系：若题目给出某数存在倒数，则该数一定不为0，且该数与其倒数的乘积为1；若某数不存在倒数，则该数为0。 其次，结合题干给出的未知数大小关系、符号限定条件，排除不符合要求的取值，确定最终参与乘法运算的各个数。 最后，根据多个有理数相乘的运算法则计算结果：若确定参与运算的某个乘数为0，则直接得出最终乘积为0；若所有乘数都不为0，则先判断负乘数的个数，根据“负乘数个数为偶数时积为正，奇数时积为负”确定乘积的符号后，再将所有乘数的绝对值相乘得到最终结果。 需要注意的易错点是，绝对值对应的非零原数一般有两个互为相反数的取值，解题时不要遗漏符合条件的情况，同时要牢记0不存在倒数的性质，快速结合乘法规则得到最终答案。 【典例6】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a、b在数轴上的位置判断出，，，然后一一判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴，故选项A结论正确，不符合题意； B. ∵，， ∴，故选项B结论正确，不符合题意； C. ∵，， ∴，故选项C结论正确，不符合题意； D. ∵，， ∴，故选项D结论错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的加减乘法运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则和数轴上的点表示数的特点． 【变式6-1】如果 互为相反数，互为倒数，m是最大的负整数，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由题意知，再代入计算即可． 【详解】解：由题意知， 则原式 ＝ ＝0， 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【变式6-2】数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用数轴，绝对值的意义，有理数的加法法则，有理数的减法法则对每个关系式作出判断即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知，，， ①错误，不符合题意； ②错误，不符合题意； ③，，∴正确，符合题意； ④∵，∴正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，有理数的乘法则，有理数的加法法则，有理数的减法法则，正确利用上述法则与性质作出判断是解题的关键． 【变式6-3】已知有理数a、b、c，满足，求的值． 【答案】-1 【分析】根据已知条件可得a、b、c这三个数其中一个为正数，其余两个为负数，分为三种情况：①当时，，，②当时，，，③当时，，，由此即可求出答案． 【详解】解：，， 符合条件的只有一种情况： a、b、c这三个数其中一个为正数，其余两个为负数， 分为以下三种情况：①当时，，， ； ②当时，，， ； ③当时，，， ， 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，加法，绝对值的意义，解此题的关键是熟练掌握绝对值的代数意义，当a＞0，|a|＝a；当a＝0，|a|＝0；当a＜0，|a|＝﹣a． 【模块七】有理数除法的基本运算 有理数除法运算遵循“符号先行，再算绝对值”的基本思路，核心依据是“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，具体运算可按以下步骤开展： 第一步确定商的符号：当被除数与除数同号时，商为正；当被除数与除数异号时，商为负；若被除数为0且除数不为0时，商直接为0，需注意除数永远不能为0，否则该运算无意义。 第二步计算商的绝对值：若两数能整除，直接将两数的绝对值相除得到商的绝对值即可；若两数不能整除，则利用除法法则将除法转化为乘法，通过约分计算得到最终结果。 对于多个有理数连除的情况，可以按从左到右的顺序逐步计算，也可以统一将除法转化为乘法后一次性约分计算，减少运算出错概率。 【典例7】直接写出得数 (1)÷5= (2)×4= (3)÷2= (4)6÷= (5)+= (6)÷= (7)÷= (8)÷= (9)÷= (10)－= 【答案】(1) (2) (3) (4)9 (5) (6) (7)1 (8) (9) (10) 【分析】根据分数的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）÷5=； （2）×4=； （3）÷2=； （4）6÷=； （5）+=+=； （6）÷==； （7）÷=1； （8）÷=； （9）÷=÷=； （10）－=－=． 【点睛】本题考查分数的加减乘除，属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性． 【变式7-1】．计算： (1) 2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)0 (2)2 (3) (4) (5) (6)2 (7) (8) 【分析】（1）根据零除以任何数都为零即可解答； （2）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （3）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （4）根据有理数除法法则计算即可； （5）根据有理数除法法则计算即可； （6）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （7）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （8）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． （7）解：． （8）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，灵活运用有理数的除法运算法则成为解答本题的关键． 【变式7-2】计算： (1)； (2). (3) (4) 【答案】(1) (2)(3)22 (4)-11 【详解】（1） （2）原式 (3) （4）解：原式. 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解决问题的关键，注意利用运算律简便运算． 【变式7-3】阅读下列材料：计算 解法一：原式=． 解法二：原式=． 解法三：原式的倒数为 故原式=300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】一，． 【分析】利用乘法分配律求出原式倒数的值，求出原式的值即可解答． 【详解】解：上述得出的结果不同，正确答案为300，解法一是错误的； 故答案为：一； 原式的倒数= = = ==-14， 则原式=． 【点睛】本题考查有理数的除法；阅读型，正确理解题意是解题关键． 【模块八】有理数的除法在实际生活中的应用 有理数的除法应用，核心是把实际问题转化为有理数运算问题，可按以下思路完成求解： 首先先梳理题意，提炼运算关系：从实际场景中提取出总量、单位量、份数三类量，明确已知量和未知量，结合“未知量=对应总量÷已知量”确定除法运算关系，若涉及盈亏、升降、收支这类带相反意义的量，要先根据实际意义给被除数和除数标注正确的正负符号。 其次按照有理数除法的规则计算出运算结果，最后结合实际场景对结果做检验调整：如果所求的结果是人数、物品个数这类整数量，要根据实际要求对结果取整；如果结果为负，要对应场景解释结果代表的实际意义，最终给出符合问题要求的答案。 【典例8】某辆汽车每次加油都会把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程） 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2020年3月10日 15 56000 2020年3月25日 50 56500 这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（    ） A．7升 B．8升 C．10升 D．升 【答案】C 【分析】由表格信息，得到该车加了50升的汽油，跑了500千米,由此得到该车每100千米平均耗油量． 【详解】解：由表格信息，得到该车加了50升的汽油，跑了（56500-56000）=500千米， 所以该车每100千米平均耗油量50÷5=10（升）． 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的应用．需要学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力． 【变式8-1】一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】A 【分析】根据题意，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，完整纸环是5的倍数；中间缺少蓝紫红3个，由此确定正确的答案． 【详解】解：纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，应是5的整数倍； 又从“红黄绿”到“黄绿”中间至少有蓝紫红3个； ∴被截去部分纸环的个数应该是被5整除余3的数， ∴满足条件的是A中的2018； 故选A． 【点睛】本题考查了归纳推理和有理数的除法，难度中等. 【变式8-2】两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位，已知火车上的座位的排法如图所示，那么下列座位号码符合要求的是（　　） A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85 【答案】D 【分析】根据图形中的数据变化，可得被5除余1的数，和能被5整除的座位号靠窗，座位连在一起，且有一个靠窗的座位，通过分析选项即可得结论． 【详解】解：由已知图形中座位的排列顺序， 可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号靠窗， 由于两位旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位， ，故A选项不符合； ，故B选项不符合； ，故C选项不符合； ，故D符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了数据的变化规律，对数据的处理，并能正确找出其中的规律是解题的关键． 【变式8-3】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？ 【答案】快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒 【分析】如果从两车头对齐开始算，那么超车距离为快车的车长；如果从两车尾对齐开始算，那么超车距离为慢车车长，即可根据路程÷速度=时间求解． 【详解】快车车长： （米） 慢车车长： （米） 重叠起到车尾相离时间： （秒） 答：快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒． 【点睛】本题考查了路程÷速度=时间，根据题意求出快车和慢车的车长是解题的关键． 【模块九】有理数的乘除混合运算的基本计算 有理数的乘除混合运算可按照以下步骤完成计算： 第一步先统一运算形式，依据除法法则将算式中所有除法运算转化为乘法运算，即将除数改写为它的倒数，同时注意保持每个数原有符号不变，将原式转换为多个有理数连乘的形式。 第二步确定最终结果的符号，统计算式中负因数的个数：负因数个数为偶数时，结果为正；负因数个数为奇数时，结果为负；若算式中任意一个因数为0，则可直接得出最终结果为0。 第三步计算结果的绝对值，可以先对所有因数的绝对值进行约分简化，再将约分后剩余部分相乘得到绝对值结果，结合第二步确定的符号，即可得到最终运算结果。若算式中含有括号，需要先计算括号内的运算，再按上述步骤计算括号外的内容，同级运算遵循从左到右的顺序进行即可。 【典例9】下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算： 解：原式=……第一步      =……第二步      =……第三步 解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程． 【答案】见解析 【分析】根据有理数的运算顺序和运算法则判断即可得；依据混合运算顺序和运算法则判断即可得；由乘除同级运算应该从左到右依次计算和两数相除同号得正判断可得；先计算括号内的数，然后化除为乘再进行有理数的乘法运算． 【详解】解：解答过程有错．错在第二步和第三步． 第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算； 第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除，同号得正． 正确过程： 解：原式= = = 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【变式9-1】．（1）计算：_____________． （2）_____． （3）计算：的结果为______． （4）计算的结果是_____． （5）计算：的结果是___________ 【答案】（1） （2） （3） （4）9 （5） 【详解】（1）解：， （2）解：原式 （3） （4）解：原式 （5）解：． 【变式9-2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行计算； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算； （3）根据乘法分配律进行计算； （4）根据有理数的乘除混合运算进行计算； （5）根据有理数的混合运算进行计算； （6）根据乘法分配律进行计算； （7）根据乘法分配律进行计算；． （8）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： （7）解： （8）解： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数运算法则以及运算顺序是解题的关键． 【变式9-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 【模块十】有理数的乘除混合运算的实际应用 解决这类问题的核心是将实际生活情境转化为有理数乘除混合运算的数学问题，具体可按如下思路进行： 第一步，梳理实际情境中的数量关系，结合问题中相反意义的量确定各个数的正负符号，比如可将盈利、上升、收入记为正，亏损、下降、支出记为负，再按照题目描述的运算逻辑，列出正确的有理数乘除混合运算算式。 第二步，按照有理数乘除混合运算的计算规则求出算式的结果。 第三步，结合实际生活情境对计算结果进行解读与验证：若结果为带符号的数，要对应实际含义说明结果表示的状态；若所求量为人数、物品个数等不可拆分的整数实际量，需要结合实际需求采用进一法或者去尾法对结果取整，最终得到符合问题要求的答案。 【典例10】出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：． 起步价 （3千米以内） 超过3千米部分每千米费用 （不足1千米以1千米计） 等候费 （不足1分钟以1分钟计） （单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元 (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点___________（南/北）___________千米； (2)若汽车耗油量是0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 【答案】(1)南；1 (2)出租车共耗油8.8升 (3)第三位乘客需要支付41元 【分析】（1）根据题意将所有数据加起来即可； （2）根据题意将所有里程的绝对值加起来乘以油耗即可； （3）根据给出的表格进行计算即可． 【详解】（1）根据题意可得：， 则将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点的南方1千米， 故答案为：南；1； （2）根据题意可得： （千米）， ∴（升）， 答：出租车共耗油8.8升； （3）根据题意可得： （元）， 答：第三位乘客需要支付41元． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用和绝对值，解决本题的关键是读懂题意并准确的计算． 【变式10-1】有个写运算符号的游戏：在“”中的每个“□”内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)请计算琪琪填入符号后得到的算式：； (2)嘉嘉填入符号后得到的算式是，一不小心擦掉了□里的运算符号，但她知道结果是，请推算□内的符号.（请写出计算过程） 【答案】(1) (2)-，过程见解析 【分析】(1)原式先计算括号内的，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值； (2)根据题意，据此即可确定出所求即可． 【详解】（1）解： （2）解：根据题意得：， ， ， ， ， □内的符号为“-”． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式10-2】如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm． (2)由题(1)的启发,请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题: 问题:一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】（1）5 （2）70岁 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm），则此木棒长为5cm； （2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-40，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为125，所以可知爷爷比小红大[125-（-40）]÷3=55，可知爷爷的年龄． 【详解】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm）， 则此木棒长为：15÷3=5cm， 故答案为：5． （2）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB， 类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为-40， 小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为125， ∴可知爷爷比小红大[125-（-40）]÷3=55， 可知爷爷的年龄为125-55=70． 答：爷爷的年龄是70岁． 【变式10-3】为了方便“国庆节”出行，张琛老师买了一辆小轿车，他连续记录了七天行程结束时里程表上的读数（月号的被忘记了）： 时间 月号 月号 月号 月号 月号 月号 月号 里程表千米 解答下列问题： (1)张老师记录的七天行程中，从第天起哪一天行程最多，哪一天行程最少？它们相差多少千米？ (2)根据统计情况估计张老师每月大约要行驶多少千米？（每月按天计算） (3)若每行驶千米需耗油升，每升汽油的市场价为元，请求出张老师每月汽油费支出是多少元？（精确到元） 【答案】(1)10月6号的行程最多，10月4号的行程最少，它们相差为10千米． (2)张老师每月大约要行驶1220千米． (3)张老师每月汽油费支出是788元． 【分析】（1）通过有理数的减法，把每一天的行驶里程计算出来，再比较大小即可． （2）先求出10月1号到7号行驶的平均公里数，再乘以每月的天数即可． （3）用行驶总里程除以100，再乘以百公里耗油量和每升汽油的单价即可． （1）解：10月号行程为：千米， 月号行程为：千米， 月号行程为：千米， 月号行程为：千米， 月号行程为：千米， 月号行程为：千米， 故月号的行程最多，月号的行程最少，它们相差为千米； （2）千米， 答：张老师每月大约要行驶千米； （3）元， 答：张老师每月汽油费支出是788元． 【点睛】此题考查了有理数的加，减，乘，除在生活中的应用，解题的关键是看懂题意，正确处理数据． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 有理数的加减乘除混合运算 进行有理数加减乘除混合运算时，我们可以遵循如下步骤和方法： 首先明确运算顺序：若算式中包含括号，需要优先计算括号内的运算；括号运算完成后，按照先乘除后加减的顺序计算，同级运算遵循从左到右的顺序依次进行即可。 其次，可灵活运用运算律简化计算：观察算式中各数的特点，合理运用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及加法的运算律调整运算顺序，降低计算难度，减少计算出错的概率，尤其对于可凑整、可约分的数字，优先通过运算律简化后再计算。 然后，全程注意符号判断：每一步运算都先确定当前步骤结果的符号，再计算绝对值，避免符号错误影响最终结果。 最后，计算完成后可通过逆运算对结果进行验证，确认计算结果正确无误。 【典例11】计算题： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)．（用简便方法计算） 【答案】(1)(2)0(3)-3(4)4(5)(6) 【分析】（1）根据有理数的加法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）根据乘法分配律简便计算； （4）先去掉绝对值，然后根据有理数的乘除法即可解答本题； （5）根据乘法分配律简便计算； （6）把写成，再用乘法分配律简便计算． 【详解】（1）解： （2）解：    =0； （3）解： （4）解： =4； （5）解： （6）解： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化 【变式11-1】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】(1)根据有理数的加减运算法则及绝对值的概念运算即可； (2)将带分数拆成整数部分和分数部分，然后再将整数部分结合，分数部分结合，进行简便运算； (3)同(2)中思路结合有理数的加减运算法则运算即可； (4)同(2)中思路结合有理数的加减运算法则运算即可； (5)先全部化成假分数的形式，然后再根据有理数的乘除运算法则运算即可； (6)按照有理数的运算法则从左往右依次运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除四则运算法则，注意运算顺序：先乘除，后加减即可． 【变式12-2】计算： ； ． 【答案】；． 【详解】分析：（1）原式变形后，约分即可得到结果； （2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果． 详解：原式； 原式． 点睛：此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【变式11-2】计算： ； ． 【答案】；． 【详解】分析：（1）原式变形后，约分即可得到结果； （2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果． 详解：原式； 原式． 点睛：此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式11-3】用适当的方法计算： （1）0.36＋(－7.4)＋0.5＋(－0.6)＋0.14； （2）(－2.125)＋＋(－3.2)； （3）. （4）|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋. （5） 【答案】（1）-7；（2）3；（3）；（4）-1；（5） 【分析】利用有理数混合运算法则以及简便算法解答即可，利用加法交换律解（1）（2）（3）（4）更简便. 【详解】(1)0.36＋(－7.4)＋0.5＋(－0.6)＋0.14； 解：原式＝(0.36＋0.14)＋[(－7.4)＋(－0.6)]＋0.5 ＝0.5＋(－8)＋0.5＝－7. (2)(－2.125)＋(＋3)＋(＋5)＋(－3.2)； 解：原式＝[(－2.125)＋(＋5)]＋[(＋3)＋(－3.2)]＝3. (3)(－2)＋(＋3)＋(－3)＋(＋2)＋(－1)＋(＋1). 解：原式＝[(－2)＋(－3)]＋[(＋3)＋(＋2)]＋[(－1)＋(＋1)] ＝(－6)＋6＋(－)＝－. （4）|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－|＋. 解：原式＝0.75－3＋0.25＋＋ ＝(0.75＋0.25)＋(＋)－3 ＝1＋1－3＝－1. (5)(－81)÷(＋3)×(－)÷(－1)； 解：原式＝－81÷×÷ ＝－81××× ＝－10 . 【点睛】本题考查有理数的混合运算及简便算法，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键. 【微专题二】有理数的加减乘除混合运算中的简便计算 有理数加减乘除混合运算的简便计算还可通过以下方法实现： 第一，分组凑整法：将能凑成整数、整十数或互为相反数的数分组，优先计算这些组，简化后续计算过程，比如把和为0的互为相反数先相加抵消，再计算剩余部分。 第二，裂项相消法：当算式是形如这类分数连加运算时，可将每一项拆分为两个分数的差，拆分后相邻项相互抵消，仅保留首尾项计算即可得到结果。 第三，换元简化法：若算式中多次重复出现同一个整体代数式，可将这个整体替换为一个字母，简化算式的书写和计算过程，算出字母代表的整体结果后，再回代得到最终答案。 实际计算中，需要先观察算式的整体结构和各数字特征，灵活选择合适的简便方法，必要时可结合多种方法，最大程度简化计算流程。 【典例12】数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______； （3）请你运用小明的解法计算：． 【答案】（1）见解析；（2）这个数本身；（3）-3 【分析】（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可； （2）根据题意得出结论即可； （3）仿照已知的方法计算即可． 【详解】（1） ∴小明的解法的正确 （2）一个非零数的倒数的倒数等于这个数本身 （3） ∴ 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式12-1】简便运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，然后根据有理数加法的交换律求解即可； （2）根据有理数乘法的分配律求解即可； （3）根据有理数乘法的交换律求解即可； （4）根据有理数乘法的结合律求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式12-2】观察下列等式： ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： （其中为正整数）； （2）直接写出下列各式的计算结果： = ； （3）探究并计算：. 【答案】(1);(2);(3). 【分析】(1)利用分母是两个连续自然数的乘积,分子是1的分数可以拆成分子是1,分母是这两个自然数的差,由此得出答案即可; (2)利用发现的规律拆项抵消计算得出答案即可; (3)利用得出的规律变形,计算即可得到结果. 【详解】解：（1）由题意知 ； （2）由（1）知，原式= ； （3）原式= ； 【点睛】本题考查的是有理数的运算能力和学生的归纳总结能力．解题关键是会从材料中找到数据之间的关系，并利用数据之间的规律总结出一般结论，然后利用结论直接解题．找出本题中的规律是裂项相消，是解决此题的关键． 【变式12-3】先计算，再阅读材料，解决问题： (1)计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： ． 故． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子的解题方法，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）原式 ； （2）原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】本题考查有理数的混合运算以及乘法运算律，解答本题的关键是明确有理数混合运算法则． 【微专题三】有理数的加减乘除混合运算的实际应用 可按照从建模到计算再到解读的思路逐步解决，具体方法如下： 首先完成实际问题到数学问题的转化：梳理题干中的已知条件与所求量，结合实际情境中具有相反意义的量确定各数的正负属性，比如一般将收入、盈利、上升记为正，将支出、亏损、下降记为负，再根据量与量之间的逻辑关系列出对应的有理数加减乘除混合运算算式。 其次按照运算规则计算：遵循“先括号内，后括号外，先乘除后加减，同级运算从左到右”的基本顺序，若算式符合简便计算的特征，可灵活运用前文提到的分组凑整、裂项相消、换元简化等方法简化计算过程，计算过程中优先确定每一步结果的符号，再计算绝对值，最大限度降低出错概率。 最后结合实际解读结果：计算得到结果后，需结合问题的实际含义判断结果是否符合要求，若所求量为不可拆分的实物数量（如人数、物品个数等），需要根据实际场景选择进一法或去尾法对结果取整；若结果带正负符号，需要对应情境说明符号代表的实际意义，最终得到符合问题要求的答案。 【典例13】生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例：十六进制2B对应十进制的数为，10C对应十进制的数为，那么十六进制中14E对应十进制的数为（    ） A．328 B．362 C．338 D．334 【答案】D 【分析】根据题干十六进制与十进制的运算方法求解． 【详解】解：由题意得． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是正确理解十六进制与十进制的关系． 【变式13-1】一种金属棒，当温度是20 ℃时，长为5厘米，温度每升高或降低1 ℃，它的长度就随之伸长或缩短0.0005厘米，则温度为10 ℃时金属棒的长度为(　　) A．5.005厘米 B．5厘米 C．4.995厘米 D．4.895厘米 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】根据题意得：5-（20-10）×0.0005=5-0.005=4.995（厘米）． 则温度为10℃时金属棒的长度为4.995厘米． 故选C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式13-2】某停车场的停车收费标准如下表所示： 停车收费标准 小型车 大型车 白天（7：00-19：00） 首小时内 2.5元/15分钟 5元/15分钟 首小时后 3.75元/15分钟 7.5元/15分钟 夜间（19：00（不含）-次日7：00） 1元/2小时 2元/2小时 注：白天停车收费以15分钟为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用． 李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（       ）． A．13.5元 B．18.5元 C．20元 D．27.5元 【答案】B 【分析】根据题意可知，小轿车白天停放1小时内，每15分钟付费2.5元，超过1小时后，每15分钟付费3.75元，夜间每2小时付费1元。从17:30到19时按照白天付费，从19时到次日7时按照夜间付费．据此解答即可． 【详解】解：根据题意， 李明应缴纳的停车费为： ； 故选：B． 【点睛】此题考查的目的是理解掌握统计表的特点及作用，并且能够根据统计表提供的信息，解决有关的实际问题． 【变式13-3】某商场对顾客实行优惠，规定： （1）如一次购物不超过200元，则不予折扣； （2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； （3）如一次购物超过500元的，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠． 某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（    ） A．52.8元 B．510.4元 C．560.4元 D．472.8元 【答案】C 【分析】某人两次去购物，分别付款168元与423元，由于168＜200×0.9，故168元没有优惠；423元是优惠价格，则可求得两次购物的商品实际价格，再按照（3）中的优惠方法计算即可． 【详解】解：由题意得：423÷0.9=470（元）； 168+470=638（元）； 500×0.9+（638-500）×0.8 =450+110.4 =560.4（元）． ∴如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是560.4元． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 有理数运算背景下的规律探索 解决这类问题，可按照从特殊到一般再回到特殊的思路开展探索： 首先从简单的特殊情形入手，按照有理数的运算法则计算出前几组运算的结果，将结果和原式的结构、项数对应列举出来，对比不同组的运算式和结果，分析结果随项数、数字变化的规律特征。 其次根据观察得到的变化特征，归纳猜想出适用于所有此类运算的通用规律，用含正整数n的代数式将规律表示出来。 接着对猜想的规律进行验证：选取题干给出范围外的一组运算代入验证，若计算结果符合猜想，则规律成立；若不符合，则重新分析调整猜想，直到得到正确规律。 最后如果需要应用规律解决复杂的大数运算，就将待求算式按照规律拆分变形，通过相互抵消等方式简化计算，最终得到结果。 【典例14】我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解； （2）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解； （3）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算，根据题意，找到规律是解题的关键． 【变式14-1】1×2+2×3+3×4+…+99×100=（ ） A．223300 B．333300 C．443300 D．433300 【答案】B 【分析】根据题目中的数据可以求出该式子的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：1×2+2×3+3×4+…+99×100 =×[(1×2×3)−(0×1×2)]+×[(2×3×4)−(1×2×3)]+×[(99×100×101)−(98×99×100)] =×[(99×100×101)−(0×1×2)] =×99×100×101 =333300， 故选B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中数字的变化规律． 【变式14-2】．． 【答案】 【分析】先通过观察发现： 再把每项都裂成具有相同特点的算式，再去括号进行加减运算即可得到答案. 【详解】解：原式= = = = 【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，乘法运算，掌握“分数的加减运算中通过裂项相消进行简便运算”是解题的关键. 【变式14-3】观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … 寻找规律，解决问题： (1)写出第5个等式： ＝ ；写出第10个等式： ＝ ； (2)求的值． 【答案】(1)第5个等式： 第10个等式： (2) 【分析】（1）由前四个等式发现分子都是1，左边分母第一个因数从1开始是一列奇数，第二个因数是从3开始的一列奇数，而等式右边刚好是以这两个因数为分母的分数之差的一半，从而可得第5个，第10个等式； （2）由（1）中的发现先把表示出来，再利用乘法的分配律可解决问题． 【详解】（1）解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ∴第5个等式： 第10个等式： 故答案为：，；，； （2） . 【点睛】本题考查的是有理数的运算规律的探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结规律并运用规律解题”是关键． 【压轴二】定义新运算问题 第一步首先要准确理解定义：抓住新运算给出的特殊符号、运算规则，明确运算顺序和对应数的代入方式，不混淆新符号与原有运算符号的意义，只需严格按照题目给定的规则操作，无需将新符号和已有运算符号的常规含义混淆。 第二步是转化代入计算：按照新运算规则，将待求式中的对应数值替换到规则中，把原本陌生的新运算转化为我们熟悉的有理数加减乘除混合运算，之后遵循常规的有理数运算顺序计算，有括号时先计算括号内的部分，符合简便计算特征的可利用运算律简化计算过程。 如果是需要探究规律的定义新运算问题，可沿用有理数规律探究的通用方法：先计算前几个特殊项的运算结果，对比结果和运算式的特征，归纳得到通用规律后，再代入所求项验证计算，最终得到正确结果。计算完成后，需要检查代入过程是否正确，确认没有混淆运算顺序和对应数值，保证结果符合新运算的要求。 【典例15】现定义一种新运算：a⊗b＝ab+a﹣b，如1⊗3＝1×3+1﹣3＝1． (1)求[（﹣2）⊗5]⊗（6） (2)新定义的运算满足交换律吗？试举例说明． 【答案】(1)-125 (2)新定义的运算不满足交换律，例如： 【分析】（1）根据新运算的定义新计算出，然后计算的值即可； （2）分别算出，，然后举例，由此即可得到答案． （1）解：∵，代入这种新运算， ∴， ∴． ∴的值为：-125； （2）新定义的运算不满足交换律，理由如下： ∵新运算， ∴， ∴得， 故新定义的运算不满足交换律． 例如：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则，读懂题意． 【变式15-1】．a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5， 例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1． 请根据“⊕”的定义计算： (1)﹣2⊕4； (2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）． 【答案】(1)﹣25 (2)59 【分析】（1）根据题目中的定义计算即可； （2）根据题目中的定义和运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：﹣2⊕4 ＝（﹣2）×4﹣2×[4﹣（﹣2）]﹣5 ＝（﹣8）﹣2×（4+2）﹣5 ＝（﹣8）﹣2×6﹣5 ＝（﹣8）﹣12﹣5 ＝﹣25． （2）解：（﹣1⊕1）⊕（﹣7） ＝{（﹣1）×1﹣2×[1﹣（﹣1）]﹣5}⊕（﹣7） ＝[（﹣1）﹣2×（1+1）﹣5]⊕（﹣7） ＝[（﹣1）﹣4﹣5]⊕（﹣7） ＝（﹣10）⊕（﹣7） ＝（﹣10）×（﹣7）﹣2×[（﹣7）﹣（﹣10）]﹣5 ＝70﹣2×（﹣7+10）﹣5 ＝70﹣2×3﹣5 ＝70﹣6﹣5 ＝59． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是能够用运算法则求新定义． 【变式15-2】现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有a*b＝a+2b﹣1，a☆b＝2ab+1． （1）求5*（﹣2）； （2）求（2*3）☆（3☆2）． 【答案】（1）0；（2）183 【分析】（1）根据新定义列出算式，再进一步计算即可； （2）根据题意列出算式☆☆☆，再进一步计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）☆☆， ☆， ☆， ☆13， ， ， ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【变式15-3】现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（　　） A．4 B．11 C．4或11 D．1或11 【答案】A 【分析】对x的取值分为两种情况，当x≥3和x＜3分类求解，得出符合题意得答案即可. 【详解】当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4； 当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去． ∴若x*3＝5，则有理数x的值为4， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题目中运算规则是解题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.的倒数是（    ） A．2022 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倒数的定义得出答案． 【详解】解：， 是的倒数， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．相乘等于1的两个数互为倒数． 2．．已知，，判断下列叙述何者正确？(　　) A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法法则判断a，b的符号即可求解． 【详解】解：中共有个负数相乘， 为正数， 中共有个负数相乘， 为负数， 为正数，为负数， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法的应用，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 3.．若|a|=1，|b|=4，且ab＜0，则a＋b的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过ab＜0可得a、b异号，再由|a|=1，|b|=4，可得a=1,b=﹣4或者a=﹣1,b=4；就可以得到a＋b的值 【详解】解：∵|a|=1，|b|=4， ∴a=±1，b=±4， ∵ab＜0， ∴a+b=1-4=-3或a+b=-1+4=3， 故选A. 【点睛】本题主要考查了绝对值的运算，先根据题意确定绝对值符号中数的正负再计算结果，比较简单． 4.已知a，b都是有理数，如果，且，则下列说法中一定正确的是（　　） A．a，b都为负数 B．a是正数 C．a，b的值可能为负数 D．a的绝对值一定比b的绝对值大 【答案】A 【分析】利用有理数的加法，除法法则判断即可． 【详解】解：∵a，b都是有理数，如果，且， ∴a，b都为负数．无法确定a的绝对值与b的绝对值的大小， ∴B，C，D都不符合题意 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的除法，加法的运算符号的确定，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴的性质可得，，再判断各选项中式子的正负即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查数轴的认识，根据点A、B在数轴上的位置得到，是解题的关键． 二 填空题 6.小强有5张卡片写着不同数字的卡片： 从中取出2张不同的卡片，把卡片中的数字相乘，则最大的乘积是_________． 【答案】24. 【分析】分析几个数可知要使抽取的数最大，需同时抽两个最大正数或两个最小的负数，即可使乘积最大． 【详解】解：抽取-3和-8．最大乘积为（-3）×（-8）=24． 故答案为：24. 【点睛】两个负数的乘积为正数，且这两个负数越小，其乘积越大，掌握有理数的乘法运算是解题的关键. 7.计算：________． 【答案】/ 【分析】先将除法转化为乘法，根据有理数的乘除混合运算进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 8.已知，则的值为 ． 【答案】﹣1 【详解】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可： ∵ ∴a、b异号 ∴ab＜0 ∴ 故答案为：-1 9.若，，且，则的值为___________． 【答案】或//或 【分析】根据绝对值的意义得出的值，代入求值即可，注意分类讨论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴当时，， 当时，， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了绝对值的意义以及有理数加减法，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键． 10.有理数在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论:中正确的是_____(填序号即可). 【答案】① 【分析】根据点在数轴上的位置，先确定a＜b＜0＜c，|b|＜|c|＜|a|，再依据有理数的加减法、乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴上a、b、c的位置知a＜b＜0＜c，|b|＜|c|＜|a|， ∵a离开原点的距离大于4， ∴|a|＞4，故①正确； ∵b＜0＜c， ∴c-b＞0，故②错误； ∵a＜0＜c， ∴ac＜0，故③错误； ∵a＜0＜c，|c|＜|a|， ∴a+c＜0．故④错误． 故答案为①． 【点睛】此题主要考查了数轴以及绝对值，根据有理数的符号法则，正确得出各式的符号是解题关键． 三解答题 11.计算： 解法1：原式＝ 解法2：原式的倒数为： 故原式＝ 请阅读上述材料，选择合适的方法计算： 【答案】 【分析】先根据乘法的分配律求出原数的倒数，再还原为原数即可． 【详解】解：原式的倒数为： 故原式 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是能先根据乘法的分配律求出原数的倒数． 12计算 （1）； .(2)． （3）； （4）． （5） 【答案】（1）(2)（3）；（4）（5） 【详解】（1）原式， （2）解： （3）， ， （4）， ， ， （5）解： 13.用适当的方法计算 (1) (2)（－99）×999 (3)； (4)． （5）0.36＋(－7.4)＋0.5＋(－0.6)＋0.14； （6）(－2.125)＋＋(－3.2)；（7）. （8）|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋.（9） 【答案】(1) (2) (3) (4)（5）-7；（6）3；（7）；（8）-1；（9） 【详解】（1）===． （2）==999-99900=． （3）原式 （4）原式 (5)原式＝(0.36＋0.14)＋[(－7.4)＋(－0.6)]＋0.5 ＝0.5＋(－8)＋0.5＝－7. (6）原式＝[(－2.125)＋(＋5)]＋[(＋3)＋(－3.2)]＝3. (7)原式＝[(－2)＋(－3)]＋[(＋3)＋(＋2)]＋[(－1)＋(＋1)] ＝(－6)＋6＋(－)＝－. （8）原式＝0.75－3＋0.25＋＋ ＝(0.75＋0.25)＋(＋)－3 ＝1＋1－3＝－1. (9)原式＝－81÷×÷ ＝－81××× ＝－10 . 14.请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为： 所以： 问题，计算： ①； ② 【答案】①； ② 【分析】①根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可； ②仿照题目中的例子，先拆项，再化简即可． 【详解】解：① ② 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是会用拆项抵消法解答． 15阅读下列材料：计算： 解：原式的倒数为 故原式 请仿照上述方法计算： 【答案】 【分析】根据有理数乘法的分配律求出除法的倒数，即可解答． 【详解】解：原式的倒数为 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是利用乘法的分配律． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $