专题1.2.1 从立体图形到平面图形（一）（十大题型+过关检测）（小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.2.1从立体图形到平面图形（一）》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 正方体几种展开图的识别 微专题1由展开图计算几何体的表面积 模块2 正方体相对两面上的字 微专题2由展开图计算几何体的体积 模块3 补一个面使图形围成正方体 压轴1 用七巧板拼图形 模块4 含图案的正方体的展开图 压轴2 项目学习：制作无盖长方体纸盒问题 模块5 几何体展开图的认识 通关检测·实战演练 模块6判断立体图形的截面形状 知识梳理 · 基础溯源 知识点1  正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种． 正方体展开图口诀： ①一线不过四；田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知． 知识点2  截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 模块通关·举一反 三 【模块一】正方体几种展开图的识别 【典例1】（2025-2026张家口市·七上·期中）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-1】如图，下面哪一个是正方体的平面展开图（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】从下图中裁掉一个正方形后，剩余部分恰好是正方体的表面展开图，则裁剪错误的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-3】如图所示，从①②③④中选取一个正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【模块二】正方体相对两面上的字 【典例2】（2025-2026·深圳高级中学·七上·期中）亚太经合组织是亚太地区层级最高、领域最广、最具影响力的经济合作机制．2026年，中国将第三次担任亚太经合组织东道主，举办地花落深圳．将“相约深圳”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“圳”字所在面相对的面上的是（   ） A．2026 B． C．相 D．约 【变式2-1】将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．校 B．安 C．平 D．园 【变式2-2】晋城市以“建设国家文旅康养融合发展示范区，打造全国文旅康养重要目的地”为目标，加快提升基础设施承载能力，为文旅康养产业高质量发展提供了“硬支撑”．如图，这是一个正方体的宣传架的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，与“晋”字所在面相对的面上的汉字是（    ）    A．康 B．养 C．之 D．城 【变式2-3】综合实践课上，嘉淇利用标有①~⑤的纸板制作了一个无盖正方体的展开图（图1），将该展开图折成的无盖正方体盒子放在课桌上（图2），则与桌面贴在一起的底面对应的是展开图的（    ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．④号面 【模块三】 补一个面使图形围成正方体 【典例3】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（    ） A．B．C． D． 【变式3-2】如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形(图中阴影部分)，但是由于疏忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你一共有(   )种画法． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】如图是一个无盖正方体纸盒的表面展开图，请解答下列问题：    (1)若在图上补上一个同样大小的正方形F，便它能围成一个正方体，共有______种补法； (2)请画出两种不同的补法；         (3)设，若（1）中的展开图围成正方体后，相对两个面的代数式之和都相等，求所代表的代数式． 【模块四】含图案的正方体的展开图 【典例4】（2025-2026青岛市城阳第十七中学七上月考）小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】表面带有图案的正方体展开图正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式4-2】如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】把左边的正方体的表面展开，可能得到的展开图是（　　）    A．  B．   C．   D．   【模块五】几何体展开图的认识 【典例5】如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列图形是三棱柱展开图的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是棱锥的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【模块六】判断立体图形的截面形状 【典例6】一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（     ） A．7个 或8个 B．8个或9个 C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个 【变式6-1】用一个平面去截正方体，截面图形不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，用一个平面从不同的位置，沿着不同的方向截取一个圆柱，圆柱的截面不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（    ）    A．   B．   C．   D．   专题攻坚·多题归一 【微专题一】由展开图计算几何体的表面积 【典例7】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图六棱柱，底面是正六边形，边长为4cm，侧棱长为7cm，则该棱柱的侧面积为 cm2． 【变式7-2】如图1是卷筒纸，如图2是它的轴截面的示意图，将厚度为0.02cm的卷筒纸卷在直径为10cm的圆筒上，卷成的卷纸直径为20cm． （1）求卷纸围成的轴截面积 ． （2）求这卷卷筒纸的总长度 ．（取3.14） 【变式7-3】如图是3个几何体的平面展开图．    (1)请写出对应几何体的名称：①　　　；②　　　　；③　　 (2)图③中，侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为，求图③所对应几何体的表面积．（结果保留） 【微专题二】由展开图计算几何体的体积 【典例8】某数学活动课上，进行制作长方体形状的包装盒子活动，现在利用边长为（cm）的正方形纸板制作出了两种方案的长方体盒子（图1是无盖的长方体纸盒，图2是有盖的长方体纸盒） (1)先在正方形纸板的四个角处剪去四个边长为（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来，得到无盖的长方形盒子，则 ①长方体盒子的高为：________cm； ②盒子的底面面积为：________； (2)先在正方形纸板的相邻两角剪去边长均为（cm）的两个小正方形，再在剩下的正方形两个角处剪去两个同样大小一边长为（cm）的小长方形，最后沿虚线折合起来，得到有盖的长方体盒子．若，，求长方体盒子的体积． 【变式8-1】将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的长为 (1)用表示包装盒的体积 (2)用表示包装盒的表面积 (3)如果，分别求包装盒的表面积和体积 【变式8-2】如图，一个圆柱切开拼成一个近似长方体，有三种摆法．已知圆柱底面半径是，拼成近似长方体后，表面积增加了．这个圆柱的体积是 ． 【变式8-3】小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：求这个包装盒的表面积和体积．    压轴拓展·素养提升 【压轴一】用七巧板拼图形 【典例9】七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式9-1】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【变式9-2】七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（　　） A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2 【变式9-3】七巧板是古代中国劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，明、清两代在中国民间广泛流传，清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之，在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸板制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅“奔跑者“作品，其中阴影部分的面积为5cm2的是（    ） A．B．C． D． 【压轴二】项目学习：制作无盖长方体纸盒问题 【典例10】【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 【变式10-1】项目学习 项目主题：自制月饼包装礼盒 项目背景：中秋佳节之际，某校七年级1班的同学们亲手制作了一些美味的月饼，并计划每6枚月饼打包成一份送到敬老院．为了美观和便于携带，他们计划制作一些长方体形月饼包装礼盒．在数学张老师的带领下，同学们开展了以“自制月饼包装礼盒”为主题的项目学习． 驱动问题：如何制作一个长方体形月饼包装礼盒？ 以下是善思小组的活动过程．请你将过程中“▲”处空缺的内容补充完整． 解决问题： (1)选取材料：根据6枚月饼的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的月饼质量是否均衡，于是将6枚月饼分别称重并记录，数据如下（每枚月饼的标准质量为，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差/g ①这6枚月饼的总质量为______g，据此选取了合适的材料； ②这6枚月饼中，质量最大的与最小的相差______g． (2)制作礼盒：需要制作两个无盖的长方体盒子，一个为盒盖，一个为盒体． 以下是组员们为制作无盖的长方体画的展开图，其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，打蝴蝶结要的丝带． ①用含a，b，c的代数式表示丝带长为______； ②若，则丝带的总长为______． 【变式10-2】综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______． 【变式10-3】创意包装盒设计 活动任务 在手工制作课上，老师将同学们分成四组，分别给每组提供了一张边长为的正方形卡纸，要求大家通过裁剪、拼接的方式，将它制作成体积至少达到的无盖包装盒（卡纸厚度、剪切及接缝损耗均忽略不计）． 活动过程 素材1 勤学小组设计了一个如图1所示的方案，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒，（图中阴影部分为裁去的余料，下同．） 素材2 乐学小组准备在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的正方形，如图2，再沿虚线折合起来设小正方形的边长为，小组发现，如果剪去的小正方形的边长x的值改变，那么制成的无盖长方体包装盒的体积也会随之改变．当时，长方体的体积最大． 素材3 善学小组为了增加包装盒的体积，改进了勤学小组的方案，将裁剪下来的余料充分利用，重新拼接，得到新无盖长方体的设计方案，并出色地完成了任务． 素材4 创学小组考虑到包装盒作为吸引顾客的第一个惊喜，顾客也很愿意购买其他造型美观的包装盒，他们计划设计无盖圆柱体包装盒． 任务1：请你通过计算分析勤学小组与乐学小组的方案是否符合要求． 任务2：请在图3中画出善学小组的方案示意图，并求出包装盒的体积． 任务3：创学小组能完成任务吗？若能，请在图4中画出示意图，并通过计算说明方案的合理性；若不能，请说明理由，（半径取整数，取3.14） （要求：本任务将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“体积的最大值”给分，设计出体积最大的方案才可得满分） 通关检测·实战演练 1.如图，下面哪一个是正方体的平面展开图（   ） A．   B．   C．   D．   2.亲爱的同学们，这是你进入中学后的首次大考，老师送给你一个正方体礼品盒（如图），六面上各有一字，连起来是“预祝考试成功”．其中“预”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（   ） A． B． C． D． 3.如图，是一个正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对两面的点数之和为7，“面”应该是（    ）． A． B． C． D． 4.如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 5.如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 6.已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 7.如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 8.如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 9.用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么这个几何体可能是 ．（请写出一种） 10.如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截的截面有可能是长方形的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 11.如图，一个棱长为15的正方体木块，从它的八个顶点处依次截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，最后得到的几何体的表面积是（    ） A． B． C．或 D．或 12.如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 13.小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：    (1)该长方体盒子的长______，宽______cm，高______； (2)求这个包装盒的表面积和体积． 14.我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)如图①所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 ． (2)图②中的图Ⅰ、图Ⅱ分别是第（1）题中长方体的一种表面展开图，已知图Ⅰ的外围周长为52，求图Ⅱ的外围周长． (3)第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？并求它的外围周长． 15.【综合与实践：】我们在“几何初步”这一章课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”，小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究： 【动手操作：】小明用一张正方形的纸板按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒． 小亮用一张长方形的纸板按如图2所示的方式先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来可以制作一个有盖的正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 【问题解决：】现有一块长为、宽为的长方形纸板，请探究； (1)若，按图1的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，此时，你发现c与b之间存在的数量关系为____________． (2)若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，发现a与b之间存在的数量关系是________． (3)在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.2.1从立体图形到平面图形（一）》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 正方体几种展开图的识别 微专题1由展开图计算几何体的表面积 模块2 正方体相对两面上的字 微专题2由展开图计算几何体的体积 模块3 补一个面使图形围成正方体 压轴1 用七巧板拼图形 模块4 含图案的正方体的展开图 压轴2 项目学习：制作无盖长方体纸盒问题 模块5 几何体展开图的认识 通关检测·实战演练 模块6判断立体图形的截面形状 知识梳理 · 基础溯源 知识点1  正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种． 正方体展开图口诀： ①一线不过四；田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知． 知识点2  截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 模块通关·举一反 三 【模块一】正方体几种展开图的识别 【典例1】（2025-2026张家口市·七上·期中）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河北省张家口市桥西区2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】根据正方体展开图分析即可求解． 本题考查了正方体的表面展开图，理解正方体的表面展开图的模型是解题的关键． 【详解】如图所示， 根据正方体展开图得，④的对面是⑤， ∴不能裁掉④． 故选：D． 【变式1-1】如图，下面哪一个是正方体的平面展开图（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.94 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即： “1-4-1”结构； “2-2-2”结构； “3-3”结构； “1-3-2”结构． 根据正方体展开图的11种特征，选项C属于“2-2-2”型，其他均不符合． 【详解】解：根据正方体展开图的特征，选项C属于“2-2-2”型，是正方体展开图． 故选：C． 【变式1-2】从下图中裁掉一个正方形后，剩余部分恰好是正方体的表面展开图，则裁剪错误的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【来源】2024年山西省吕梁市交城县中考一模数学试题 【答案】A 【分析】本题考查将侧面展开图还原为立体图形，涉及正方体的侧面展开图，熟记正方体常见的平面展开图，利用空间想象能力还原即可判定，熟记正方体常见的平面展开图是解决问题的关键． 【详解】解：裁剪甲，如图所示： 不能还原成正方体，不是正方体的侧面展开图，符合题意； 裁剪乙，如图所示： 展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意； 裁剪丙，如图所示： 展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意； 裁剪丁，如图所示： 展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】如图所示，从①②③④中选取一个正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查的是正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形． 【详解】解：如图， ①能与阴影部分组成正方体展开图， 故选A 【模块二】正方体相对两面上的字 【典例2】（2025-2026·深圳高级中学·七上·期中）亚太经合组织是亚太地区层级最高、领域最广、最具影响力的经济合作机制．2026年，中国将第三次担任亚太经合组织东道主，举办地花落深圳．将“相约深圳”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“圳”字所在面相对的面上的是（   ） A．2026 B． C．相 D．约 【答案】B 【难度】0.94 【来源】广东省深圳高级中学2025-2026学年七年级上学期期中数学试题 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】此题考查了正方体相对面上的字，根据正方体相对面之间间隔一个正方形即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：与“圳”字所在面相对面上的是“”， 故选：B． 【变式2-1】将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．校 B．安 C．平 D．园 【答案】A 【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”， 故选：A． 【变式2-2】晋城市以“建设国家文旅康养融合发展示范区，打造全国文旅康养重要目的地”为目标，加快提升基础设施承载能力，为文旅康养产业高质量发展提供了“硬支撑”．如图，这是一个正方体的宣传架的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，与“晋”字所在面相对的面上的汉字是（    ）    A．康 B．养 C．之 D．城 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无临点”，依此来找相对面． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点， 与“晋”字所在面相对的面上的汉字是是“养”． 故选：B． 【变式2-3】综合实践课上，嘉淇利用标有①~⑤的纸板制作了一个无盖正方体的展开图（图1），将该展开图折成的无盖正方体盒子放在课桌上（图2），则与桌面贴在一起的底面对应的是展开图的（    ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．④号面 【答案】A 【分析】此题考查了正方体对立面的知识；正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此得与①号面相对是空的，即可作答． 【详解】解：正方体表面展开图141型中，与①号面相对是空的， 贴在桌子上的底面对应的是展开图的①号面， 故选：A． 【模块三】 补一个面使图形围成正方体 【典例3】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键． 【变式3-1】如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、折叠后才能围成一个正方体，故本选项符合题意； B、含有“田”字形，，故本选项不符合题意； C、折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺个面，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意； D、含有“田”字形，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了几何体的折叠和展开图形，熟练掌握“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图是解题的关键． 【变式3-2】如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形(图中阴影部分)，但是由于疏忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你一共有(   )种画法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据正方形的展开图的11种形式解答即可． 【详解】解：如图所示； 故答案为B. 【点睛】本题考查作图应用与设计作图和几何体的展开图，熟记正方体展开图的常见的11种形式是解题的关键． 【变式3-3】如图是一个无盖正方体纸盒的表面展开图，请解答下列问题：    (1)若在图上补上一个同样大小的正方形F，便它能围成一个正方体，共有______种补法； (2)请画出两种不同的补法；         (3)设，若（1）中的展开图围成正方体后，相对两个面的代数式之和都相等，求所代表的代数式． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据正方体的展开图：一三二型，三三型，进行作答即可； （2）补全图形即可； （3）先确定对立面，再根据相对两个面的代数式之和都相等，列式计算即可． 【详解】（1）解：根据正方体的展开图：一三二型，有3种，三三型，有1种， ∴在图上补上一个同样大小的正方形F，共有4种补法． 故答案为：4； （2）如图所示：（任选两种即可）    （3）由展开图可知：为相对面，为相对面，为相对面． ∵， ． ． 【点睛】本题考查正方体的展开图以及确定正方体的相对面、整式的加减．熟练掌握正方体的11种展开图，是解题的关键． 【模块四】含图案的正方体的展开图 【典例4】（2025-2026青岛市城阳第十七中学七上月考）小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】山东省青岛市城阳第十七中学2025-2026学年七年级上学期10月月考数学试题 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】 本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图特征是解题关键．根据正方体的平面展开图可得与是两个相对的面，由此即可得． 【详解】 解：由正方体的平面展开图可知，礼物所在的盒子是． 故选：B． 【变式4-1】表面带有图案的正方体展开图正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.94 【来源】吉林省延边朝鲜族自治州2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了立正方体展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 根据正方体上的图案，逐项判断即可． 【详解】解：先看A，C选项，假设带有●的面作为前面，带有■的面作为上面进行展开，展开后带有★的面应该在带有●的面的右方，所以A选项不对，C选项符合； 再看B，D选项，假设带有●的面作为前面，带■的面作为左面，展开展开后带有★的面应该在带有●的面的上方，所以B，D选项都不符合； 综上，所述选项C符合， 故选： C． 【变式4-2】如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方体的表面展开图，根据题意，两个三角形有一个公共顶点，公共顶点一个为直角三角形的直角顶点，另一个为锐角的顶点，据此逐项分析解题． 【详解】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式4-3】把左边的正方体的表面展开，可能得到的展开图是（　　）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力，这类问题动手实际操作是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，“■”、“★”、“●”、三个图案应该相邻， A、“■”与“★”图案相对，故不符合题意； B、“■”与“★”图案相对，故不符合题意； C、根据有图案的表面之间的位置关系，是正确的展开图； D、“★”图案的位置应在“●”上面，故不符合题意． 故选：C． 【模块五】几何体展开图的认识 【典例5】如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】 2025年山西省晋文源中考百校联考三数学试题 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：A． 【变式5-1】下列图形是三棱柱展开图的是（    ） A．   B．   C．   D．   【来源】2024年西安市雁塔区西安交通大学附属中学中考五模数学试题 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察图形的能力．根据图形结合所学的几何体的形状得出即可． 【详解】解：A、不是三棱柱的展开图，故此选项不符合题意； B、不是三棱柱的展开图，故此选项不符合题意； C、是三棱柱的展开图，故此选项符合题意； D、不是三棱柱的展开图，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是棱锥的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【来源】广东省潮州市潮安区德芳中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的展开图，熟知棱柱和棱锥的展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：第1个图是三棱锥； 第2个图是三棱柱； 第3个图是四棱锥； 第4个图是三棱柱． ∴是棱锥的有2个． 故选：B． 【变式5-3】如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】辽宁省沈阳市虹桥初级中学2024-2025学年上学期七年级10月份月考数学试卷 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，解题的关键是根据由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：∵圆柱的侧面展开面为长方形， ∴展开后应该是两条线段，且有公共点． 故选：C． 【模块六】判断立体图形的截面形状 【典例6】一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（     ） A．7个 或8个 B．8个或9个 C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个 【答案】D 【详解】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点个数分别为：7个、8个、9个或10个. 故选D. 【变式6-1】用一个平面去截正方体，截面图形不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线．正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．据此选择即可． 【详解】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形． 因此不可能是七边形， 故选：D． 【变式6-2】如图，用一个平面从不同的位置，沿着不同的方向截取一个圆柱，圆柱的截面不可能是（    ） A． B． C． D． 【来源】2024年江苏省南京市江北新区明发一中九年级中考数学三模试题 【答案】D 【分析】本题主要考查截面的相关知识，从不同角度去截几何体，根据得到的截面形状去判断选项，即可解答． 【详解】解：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状为长方形，故A选项正确； 当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆或梯形，故B选项正确； 当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆，故C选项正确； 所得截面的形状不可能是D选项中形状； 故选D． 【变式6-3】截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（    ）    A．   B．   C．   D．   【来源】辽宁省阜新市细河区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【答案】B 【分析】此题考查了几何体的截面图，根据题意进行排除即可，解题的关键是正确理解几何体的截面图 【详解】根据几何体的截面可知， 、圆锥的截面图为圆，三角形，此选项不符合题意； 、正方体的截面图如图，此选项不符合题意；    、球的截面图为圆，此选项不符合题意； 、圆柱的截面图为圆，长方形，此选项不符合题意； 故选：． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】由展开图计算几何体的表面积 【典例7】将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【来源】第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛七年级试题 D卷 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 【变式7-1】如图六棱柱，底面是正六边形，边长为4cm，侧棱长为7cm，则该棱柱的侧面积为 cm2． 【答案】168 【分析】根据题意可知该六棱柱的侧面展开图为长方形，再结合题意可知这个长方形的长和宽，即可求出其面积． 【详解】由题意该六棱柱的底面是正六边形，可知它的侧面展开图，如图， ∴该六棱柱的侧面积是． 故答案为：168． 【点睛】本题考查由展开图求几何体的侧面积．正确的确定该六棱柱的侧面展开图是长方形是解答本题的关键． 【变式7-2】如图1是卷筒纸，如图2是它的轴截面的示意图，将厚度为0.02cm的卷筒纸卷在直径为10cm的圆筒上，卷成的卷纸直径为20cm． （1）求卷纸围成的轴截面积 ． （2）求这卷卷筒纸的总长度 ．（取3.14） 【答案】 【分析】（1）根据圆的面积公式，即可求出答案． （2）如图，卷筒纸卷着的时的面积与拉开后的面积相等，设展开后的长度为，根据长方形面积公式，即可求出答案． 【详解】（1）卷纸围成的轴截面积为： 故答案为：． （2）如图，卷筒纸卷着的时的面积与拉开后的面积相等，设展开后的长度为 厚度为0.02cm ，取3.14 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆及长方形的面积计算公式，利用面积不变建立等量关系是解题的关键． 【变式7-3】如图是3个几何体的平面展开图．    (1)请写出对应几何体的名称：①　　　；②　　　　；③　　 (2)图③中，侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为，求图③所对应几何体的表面积．（结果保留） 【答案】(1)圆锥；三棱柱；圆柱 (2) 【分析】（1）根据几何体的展开图，可得答案； （2）根据圆柱的表面积公式，可得答案． 【详解】（1）解：对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱． 故答案为：圆锥；三棱柱；圆柱． （2）∵侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为， ∴圆柱的表面积为： ． ∴图③所对应几何体的表面积． 【点睛】本题考查几何体的展开图和圆柱的表面积．熟练掌握几何体的展开图及圆柱表面积的计算公式是解题的关键． 【微专题二】由展开图计算几何体的体积 【典例8】某数学活动课上，进行制作长方体形状的包装盒子活动，现在利用边长为（cm）的正方形纸板制作出了两种方案的长方体盒子（图1是无盖的长方体纸盒，图2是有盖的长方体纸盒） (1)先在正方形纸板的四个角处剪去四个边长为（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来，得到无盖的长方形盒子，则 ①长方体盒子的高为：________cm； ②盒子的底面面积为：________； (2)先在正方形纸板的相邻两角剪去边长均为（cm）的两个小正方形，再在剩下的正方形两个角处剪去两个同样大小一边长为（cm）的小长方形，最后沿虚线折合起来，得到有盖的长方体盒子．若，，求长方体盒子的体积． 【答案】(1)①，②； (2)长方体盒子的体积 【分析】本题考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据长方形面积公式得出答案即可； （2）根据长方体公式得出答案即可． 【详解】（1）解：①由题意可知，盒子的高为． ②盒子的边长为， ∴盒子的底面面积为． （2）解：由题意可知，该长方体的底面积为， ∴长方体的体积为， 把，代入可得， ． 【变式8-1】将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的长为 (1)用表示包装盒的体积 (2)用表示包装盒的表面积 (3)如果，分别求包装盒的表面积和体积 【答案】(1) (2) (3)包装盒的体积是；表面积是 【分析】本题考查了列代数式及求值、利用长方体的展开图求长方体的表面积，根据展开图正确找出包装盒底面的长和宽的关系是解题的关键； （1）包装盒底面的长为，由展开图可知，包装盒的宽为，包装盒的高为，再由长方体的体积公式计算即可． （2）包装盒的表面积为展开侧面大矩形的面积加上上下两个底面的面积，由此解答即可； （3）把代入（1）（2）计算即可． 【详解】（1）包装盒底面的长为，包装盒的宽为：，包装盒的高为：， ∴包装盒的体积为：． （2）包装盒的表面积为：； （3）当时，包装盒的体积为：， 包装盒的表面积为：． 【变式8-2】如图，一个圆柱切开拼成一个近似长方体，有三种摆法．已知圆柱底面半径是，拼成近似长方体后，表面积增加了．这个圆柱的体积是 ． 【答案】785 【难度】0.85 【来源】第02讲 从立体图形到平面图形（5个知识点 8种题型 过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024） 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查的是长方形的面积与圆柱的体积公式，解题的关键是知道拼后的图形与圆柱的关系，再利用相应的公式解答．根据题意，知道长方体表面积增加的，是2个以圆柱的底面半径为宽，高为长的长方形的面积，由此即可求出圆柱的高，再利用圆柱的体积公式：求出这个圆柱的体积即可． 【详解】解：， ， 答：这个圆柱的体积是． 故答案为：785． 【变式8-3】小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：求这个包装盒的表面积和体积．    【答案】， 【分析】根据长方体包装盒的展开图先分别求出长、宽、高，再根据长方体表面积和体积公式进行求解即可，掌握长方体表面积和体积公式是解题的关键． 【详解】解：由图得 高为：， 长为：（）， 宽为：（） （）， （）； 故这个包装盒的表面积为，体积为． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】用七巧板拼图形 【典例9】七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025年河北省唐山市迁安市中考二模数学试题 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．根据小三角形的面积是小正方形面积的一半；平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等；大三角形的面积是小正方形面积的2倍，即可求出结果． 【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为， 两块最大等腰直角三角形的面积为， 平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半， 平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为， 小三角形的面积是小正方形面积的一半， 小三角形的面积是， “灵蛇开运”图的面积是， 故选：B． 【变式9-1】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2025年福建省宁德市宁德地区毕业毕班二模数学试题 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】该题考查了七巧板，根据图1和图2分析即可解答． 【详解】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形， 故图1中没用上的那一块七巧板是⑤， 故选：B． 【变式9-2】七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（　　） A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2 【答案】D 【分析】解答此题要熟悉中国和日本七巧板的结构，中国七巧板的结构：五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形；日本七巧板的结构：三个等腰直角三角形，一个直角梯形，一个等腰梯形，一个平行四边形，一个正方形，根据这些图形的性质便可解答． 【详解】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示： 故选：D． 【点睛】此题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 【变式9-3】七巧板是古代中国劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，明、清两代在中国民间广泛流传，清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之，在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸板制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅“奔跑者“作品，其中阴影部分的面积为5cm2的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得答案． 【详解】解：∵正方形的边长为4cm， ∴七巧板中两个大等腰直角三角形的面积为4cm2，两个小等腰直角三角形的面积为1cm2，小正方形和平行四边形的面积为2cm2，右下角的等腰直角三角形的面积为2cm2，则 A中阴影部分面积和为4cm2， B中阴影部分面积和为3cm2， C中阴影部分面积和为6cm2， D中阴影部分面积和为5cm2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了七巧板，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 【压轴二】项目学习：制作无盖长方体纸盒问题 【典例10】【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 【答案】（1）①③④；（2）①；②1000；（3）58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】解：（1）根据构成，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为： ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大， 边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小； 故答案为：58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【变式10-1】项目学习 项目主题：自制月饼包装礼盒 项目背景：中秋佳节之际，某校七年级1班的同学们亲手制作了一些美味的月饼，并计划每6枚月饼打包成一份送到敬老院．为了美观和便于携带，他们计划制作一些长方体形月饼包装礼盒．在数学张老师的带领下，同学们开展了以“自制月饼包装礼盒”为主题的项目学习． 驱动问题：如何制作一个长方体形月饼包装礼盒？ 以下是善思小组的活动过程．请你将过程中“▲”处空缺的内容补充完整． 解决问题： (1)选取材料：根据6枚月饼的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的月饼质量是否均衡，于是将6枚月饼分别称重并记录，数据如下（每枚月饼的标准质量为，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差/g ①这6枚月饼的总质量为______g，据此选取了合适的材料； ②这6枚月饼中，质量最大的与最小的相差______g． (2)制作礼盒：需要制作两个无盖的长方体盒子，一个为盒盖，一个为盒体． 以下是组员们为制作无盖的长方体画的展开图，其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，打蝴蝶结要的丝带． ①用含a，b，c的代数式表示丝带长为______； ②若，则丝带的总长为______． 【答案】(1)①481，②9 (2)D (3)①，②160 【难度】0.65 【来源】山西省晋中市榆次区2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题 【知识点】几何体展开图的认识、有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用、从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了正负数应用，展开图折叠成几何体．解决本题的关键是熟练掌握有理数的混合运算，根据展开图确定出立体图形． （1）①80乘6甽超过与不足标准质量的总和；②比较超过或不足标准质量的大小，用最大数减去最小数； （2）能制作无盖的长方体画的展开图只有D； （3）①梱扎长方体礼盒的丝带构成两个长方形，周长分别为 ，，再加上打蝴蝶结要的丝带，即得丝带总长；②当时，代入①中结果，计算即得． 【详解】（1）①（g）； ②∵， ∴（g）； 故答案为：①487；②9； （2）A、可以做一个有盖长方体盒子； B、做不了无盖长方体盒子； C、只能做一个无盖三棱柱盒子； D、可以做一个无盖长方体盒子； 故答案为：D； （3）①（）； ②当时，（）． 故答案为：①；②160． 【变式10-2】综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______． 【答案】(1)，， (2)588；576 (3)C (4) 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）把，，以及，代入 进行计算即可； （3）求出当，时，计算的值即可． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为 ，则折成的无盖长方体盒子的高为 ，底面积为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 ； 故答案为：，，； （2）当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576； （3）由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故答案为：C； （4）当，时，体积最大，最大体积为， 故答案为：． 【变式10-3】创意包装盒设计 活动任务 在手工制作课上，老师将同学们分成四组，分别给每组提供了一张边长为的正方形卡纸，要求大家通过裁剪、拼接的方式，将它制作成体积至少达到的无盖包装盒（卡纸厚度、剪切及接缝损耗均忽略不计）． 活动过程 素材1 勤学小组设计了一个如图1所示的方案，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒，（图中阴影部分为裁去的余料，下同．） 素材2 乐学小组准备在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的正方形，如图2，再沿虚线折合起来设小正方形的边长为，小组发现，如果剪去的小正方形的边长x的值改变，那么制成的无盖长方体包装盒的体积也会随之改变．当时，长方体的体积最大． 素材3 善学小组为了增加包装盒的体积，改进了勤学小组的方案，将裁剪下来的余料充分利用，重新拼接，得到新无盖长方体的设计方案，并出色地完成了任务． 素材4 创学小组考虑到包装盒作为吸引顾客的第一个惊喜，顾客也很愿意购买其他造型美观的包装盒，他们计划设计无盖圆柱体包装盒． 任务1：请你通过计算分析勤学小组与乐学小组的方案是否符合要求． 任务2：请在图3中画出善学小组的方案示意图，并求出包装盒的体积． 任务3：创学小组能完成任务吗？若能，请在图4中画出示意图，并通过计算说明方案的合理性；若不能，请说明理由，（半径取整数，取3.14） （要求：本任务将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“体积的最大值”给分，设计出体积最大的方案才可得满分） 【答案】任务1：不符合要求，见解析；任务2：；任务3：见解析 【难度】0.65 【来源】福建省泉州市晋江市2024--2025学年七年级上学期期末质量抽测数学试卷 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查长方体、圆柱的体积公式及长方体，圆柱的展开图及一元一次方程的应用，熟知常见几何体的展开图是解题的关键． 任务1：根据图形，结合长方体的体积公式分别计算比较即可解答； 任务2：根据长方体展开图，将减下的纸片如图拼接上去，再根据长方体的体积公式计算计较即可， 任务3：在正方形的一个角处裁剪一个直径为的圆作为圆柱体的底面，再沿虚线将剩下的部分裁剪成两个长方形，将其拼成一个长为、宽为的长方形作为圆柱体的侧面，根据将圆柱侧面展开长方形的长等于底圆周长，列出方程，求解出半径即可解题． 【详解】解：任务1：勤学小组的方案： ∵包装盒底面为正方形， ∴每个小长方形的宽为 ∴ ∵， ∴不符合要求； 乐学小组的方案： 当时， ． ∵， ∴不符合要求； 任务2：善学小组的方案： 阴影代表原裁下的余料，重新拼接后如图1所示， ． 答：包装盒的体积为 任务3：能，理由如下： 如图2，在正方形的一个角处裁剪一个直径为的圆作为圆柱体的底面，再沿虚线将剩下的部分裁剪成两个长方形，将其拼成一个长为、宽为的长方形作为圆柱体的侧面． ∵直径为， ∴圆柱的高为． 当时， 解得：， 根据实际，直径不超过，且为偶数， ∵半径取整数，即直径为整数， ∴底面圆的半径不超过， 当时， 则， 方案是合理的， 当时， 则， 方案是合理的， 当时， 则， 方案是不合理的， ∵， ∴当时，即半径为时，“体积最大”． 通关检测·实战演练 1.如图，下面哪一个是正方体的平面展开图（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.94 【来源】河北省 张家口市怀来沙城中学2020-2021学年 七年级上学期数学期末模拟试卷 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即： “1-4-1”结构； “2-2-2”结构； “3-3”结构； “1-3-2”结构． 根据正方体展开图的11种特征，选项C属于“2-2-2”型，其他均不符合． 【详解】解：根据正方体展开图的特征，选项C属于“2-2-2”型，是正方体展开图． 故选：C． 2.亲爱的同学们，这是你进入中学后的首次大考，老师送给你一个正方体礼品盒（如图），六面上各有一字，连起来是“预祝考试成功”．其中“预”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】甘肃省兰州市五校联考2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟记正方体表面展开图的结构特点是解题的关键．根据正方体侧面展开图的结构特点，即每行或每列相邻的正方形代表正方体中相邻的面，相对的面在展开图中不相邻，对各个选项进行逐项分析即可． 【详解】A. 因为“成”的对面是“功”，由相对的面在展开图中不相邻可知，“成”和“功”两字不相邻，故A选项错误； B. 因为“预”的对面是“考”，由相对的面在展开图中不相邻可知，“预”和“考”两字不相邻，故B选项错误； C.因为“预”、“祝”、“成”三字相邻，代表正方体中三个相邻的面，且相对的面“预”和“考”、 “成”和“功”、 “祝”和“试”在展开图中都不相邻，故C选项正确； D. 因为“成”的对面是“功”，由相对的面在展开图中不相邻可知，“成”和“功”两字不相邻，故D选项错误． 故选C． 3.如图，是一个正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对两面的点数之和为7，“面”应该是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】正方体几种展开图的识别、正方体相对两面上的字、含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查立体图形平面展开图还原，熟记正方体的平面展开图，运用空间想象能力是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，若底面是4点，则上面是3点，就是面；后面是1点，则前面是6点，就是面；右面是2点，则左面是5点，就是面， 面应该是3点， 故选：B． 4.如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】 2025年山西省晋文源中考百校联考三数学试题 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：A． 5.如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山东省青岛市市南区部分学校2024-2025学年七年级上学期分班数学试题 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】此题是考查表面积的区别和求法．根据表面积是指物体所有面的总面积．根据表面积的意义，可知甲的表面积等于乙的表面积． 【详解】解：甲的表面积等于乙的表面积都等于24个小正方形的面积． 故选：C． 6.已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 【答案】(1)，，，b (2)这两个圆柱的侧面积相等 【分析】本题考查圆柱的计算、几何体的表面积，掌握圆柱侧面积的计算公式是解题的关键． （1）根据图作答即可； （2）根据圆柱的侧面积公式分别计算圆柱①和圆柱②的侧面积并比较大小即可． 【详解】（1）解：圆柱①的底面直径是，高是；圆柱②的底面直径是，高是b． 故答案为：，，，b． （2）解：圆柱①的侧面积是；圆柱②的侧面积是， ∴这两个圆柱的侧面积相等． 7.如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【答案】4 【难度】0.65 【来源】重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 8.如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【难度】0.65 【来源】江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年上学期七年级数学期末模拟试卷（二） 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第③块的倍，A选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，B选项不符合题意； 第①块的面积是整个面积的，C选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，D选项不符合题意， 故选∶C． 9.用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么这个几何体可能是 ．（请写出一种） 【答案】圆柱（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据截面的形状是圆，那么圆柱，圆锥，球等几何体都符合题意，据此可得答案． 【详解】解：用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么这个几何体可能是圆锥，圆柱，球等等， 故答案为：圆柱（答案不唯一）． 10.如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截的截面有可能是长方形的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据正方体，圆柱，长方体，三棱锥，圆锥，三棱柱的形状特点，截面的角度和方向，逐一进行判断即可得． 本题考查了截一个几何体，所截的截面形状．解决问题的关键是熟练掌握被截的几何体形状，截面的角度和方向． 【详解】解：用一个平面去截正方体，所截的截面可能是长方形， 用一个平面去截圆柱体，所截的截面可能是长方形， 用一个平面去截长方体，所截的截面可能是长方形， 用一个平面去截三棱锥，所截的截面可能是长方形， 用一个平面去截圆锥体，所截的截面不可能是长方形， 用一个平面去截三棱柱，所截的截面可能是长方形， ∴所截的截面可能是长方形的由5个． 故选：D． 11.如图，一个棱长为15的正方体木块，从它的八个顶点处依次截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，最后得到的几何体的表面积是（    ） A． B． C．或 D．或 【来源】2024年云南省昆明市中考二模数学试题 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体的知识，此题解答的关键在于注意考虑当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，剩下部分的表面积最少．一般情况下，正方体八个顶点截取小正方体，表面积不会变．但当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，表面积就会有变化，少掉2个边长为7的正方形的面积．至于其它6个顶点不可能割穿，所以不用考虑． 【详解】解：如题图，一个棱长为15的正方体木块，从它的八个顶点处依次截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体， 一般情况下，正方体八个顶点截取小正方体，表面积不会变，最后得到的几何体的表面积是； 或当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，表面积就会有变化，少掉2个边长为7的正方形的面积，最后得到的几何体的表面积是． 12.如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【难度】0.85 【来源】山东省淄博市博山中学（五四制）2024-2025学年六年级上学期期中考试数学试题（五四学制） 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 13.小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：    (1)该长方体盒子的长______，宽______cm，高______； (2)求这个包装盒的表面积和体积． 【答案】(1)，， (2)表面积为，体积为 【分析】（1）根据展开图可得长方体的长、宽、高； （2）由面积和体积的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：由图得 高为：， 长为：（）， 宽为：（） 故答案：，，． （2）解： （）， （）； 故这个包装盒的表面积为，体积为． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，求几何题的表面积及体积，分清立方体的长宽高是解题的关键． 14.我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)如图①所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 ． (2)图②中的图Ⅰ、图Ⅱ分别是第（1）题中长方体的一种表面展开图，已知图Ⅰ的外围周长为52，求图Ⅱ的外围周长． (3)第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？并求它的外围周长． 【答案】(1) (2)58 (3)图见解析，外围周长为70 【难度】0.65 【来源】5.3 转化 表达（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂） 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据长方体的平面展开图求解即可； （2）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6结合图形求解即可； （3）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6画出图形求解即可． 【详解】（1）解：根据长方体的表面展开图可得， 可能是该长方体表面展开图的有， 故答案为：； （2）解：∵长方体的长、宽、高分别为4，3，6， ∴圆B的外围周长； （3）解：观察展开图可知，外围周长为． 15.【综合与实践：】我们在“几何初步”这一章课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”，小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究： 【动手操作：】小明用一张正方形的纸板按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒． 小亮用一张长方形的纸板按如图2所示的方式先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来可以制作一个有盖的正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 【问题解决：】现有一块长为、宽为的长方形纸板，请探究； (1)若，按图1的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，此时，你发现c与b之间存在的数量关系为____________． (2)若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，发现a与b之间存在的数量关系是________． (3)在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，正方体的展开图，正确找出图形中边长之间的数量关系是解题的关键． （1）根据图形，即可得出结论； （2）设做成的有盖的正方体纸盒棱长为，由图可知：，则， 即可得出结论； （3）先求出有盖正方体的棱长，再根据正方体表面积公式，即可解答． 【详解】（1）解：由图可得：， 故答案为：； （2）解：设做成的有盖的正方体纸盒棱长为， 由图可知：， 则， ∴， 整理得：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴做成的有盖的正方体纸盒棱长为， ∴有盖正方体纸盒的表面积为． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $