精品解析：山东省烟台第一中学2025-2026学年第一学期阶段性检测高一数学试题

烟台一中2025—2026学年第一学期阶段性检测 高一数学试题 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分. 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生需将自己的姓名、考号、科目、试卷类型涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他选项. 第Ⅰ卷：（选择题共11题，共68分） 一、单选题（单选题共8题，共40分，每题5分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足， 所以，解得，即函数的定义域为. 故选：A. 2. 若满足，满足，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】将所给式化简可得，，进而和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可 【详解】由题意，故有 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标. 根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 且关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称. 即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上， 即，求得x1+x2=5， 故选：D. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可 【详解】因为，， 所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，所以排除A，C选项； 又，所以排除B选项， 故选：D． 4. 若，则（ ） A. 或2 B. 或 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出tanα，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数关系化简要求值的式子，带值计算即可得到答案. 【详解】或， 代入tanα求得值均为：2. 故选：C. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得结果. 【详解】原式 . 故选：D. 6. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数形结合，结合条件可得，，，进而即得. 【详解】画出函数图象，不妨设，则， 由，可得， 所以， 所以， 所以，， 由于，所以， 由于，所以， 所以． 故选：C. 7. 已知，则（ ） A 5 B. C. -5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把写成，写成，是为了后续能用两角和与差的公式展开，将已知条件转化为与、相关式子. 依据两角和与差的余弦公式，把和展开，得到只含、、、的式子，得到，再根据正切的定义，将其转化为的形式，进而求出结果. 【详解】已知，可变形为. 因为，， 所以.  左边， 即. 右边， 即. 所以.  可得： . 即. 所以，也就是.  故选：D. 8. 已知函数有唯一零点，则实数的值为 A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】设，函数有唯一零点，等价于有唯一零点，根据是偶函数可得的唯一零点一定是，从而可得结果. 【详解】化为 ， 设，函数有唯一零点， 等价于有唯一零点， 因为 所以是偶函数， 若有唯一零点， 的图象与有唯一交点， 因为的图象关于轴对称， 所以的唯一零点一定是， 所以， 解得，故选A. 【点睛】本题主要考查方函数的零点以及函数的奇偶性与函数图象的应用，属于中档题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. 二、多选题（多选题共3题，共18分，每题6分） 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 曲线对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上有一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式将函数化简成余弦型函数.对于A，求得解析式由奇偶性定义即得；对于B，将看成整体角，结合余弦函数的图象即可求得对称中心；对于C，仿照B项处理，观察余弦函数在上的图象单调性即可判断；对于D，由求得，观察余弦函数图象即可判断. 【详解】由题意可得：. 对于选项A：因为，为偶函数，故正确； 对于选项B：令，解得， 所以曲线的对称中心为，故正确； 对于选项C：取，由可得， 因在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于选项D：因为，则， 因在内有且仅有一条对称轴，故在区间上有且仅有一条对称轴，故正确． 故选：ABD． 10. 已知函数，说法正确的是（    ） A. 在区间上单调递增； B. 的对称轴是； C. 若，则； D. 方程在的解为，且. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据的取值范围去掉绝对值得出分段函数，的周期， 结合函数的图象逐一判断各选项. 【详解】当时，； 当时，. 函数的周期. 如下图， 对于A，在区间上单调递增，故A正确； 对于B， 不是的对称轴，故B错误； 对于C，令，；令，. 满足，，不满足，故C错误； 对于D，方程在的解为. 如下图， 关于直线对称，则；关于直线对称，则，所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若关于的方程有2个不同实根，则的取值范围是 B. 若关于的方程有3个不同实根，则的取值范围是 C. 若有5个零点，则的取值范围是 D. 最多有6个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意根据对数函数，指数函数的性质作出的函数图象，对于AB，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解，对于CD，首先若，则有或，进一步列出不等式组即可判断. 【详解】如图： 作出的大致图象，由图可知若关于的方程有2个不同实根，则的取值范围是，故A错误； 由图可知若关于的方程有3个不同实根，则的取值范围是，故B正确； 令，得， 解得或， 若有5个零点，则 或，解得，故C正确； 若有6个零点，则，该不等式组的解集为空集，所以最多有5个零点. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：本题CD选项的关键是由，得到或，进一步通过数形结合即可顺利得解. 第Ⅱ卷（非选择题，试题72分） 注意事项： 1．答卷时必须用0.5毫米的黑色笔在答题区域书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整、笔迹清晰，禁止增添附页. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 三、填空题（填空题共3题，共15分，每题5分） 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域可得不等式，结合同角三角函数关系与三角函数图象性质解不等式即可得函数定义域. 【详解】函数的定义域满足：， 所以，整理得， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况分别求出分段函数每段上的值域，再由的值域为，可求出实数的取值范围． 【详解】①当时， 当时，在上递增，则， 当时，， ∵时，； 时，，即， ∴当时，， 因为的值域为， 所以，得，所以． ②当时， 当时，在上递增，则， 当时，，则，在上递增， 所以， 因为值域为， 所以，得， 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示， 由图可知，当时，， 所以当时，不等式成立， 综上，，即实数的取值范围. 故答案为：． 14. 已知函数区间内没有零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据周期性可得，以为整体，结合题意可得其取值范围，再结合正弦函数零点运算求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 根据函数周期性可知：，即， 且，则，可得， 因为，则， 且， 因为函数在区间内没有零点，可知在区间内没有零点， 可得或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（解答题共3题，共77分） 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）若，，为锐角，为钝角，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据根式运算性质、指数幂运算法则化简运算即可； （2）根据对数换底公式、对数运算法则计算可得的值，再根据指数幂运算法则化简求值即可； （3）根据三角函数和差角公式与平方关系转化求解即可. 【详解】（1）原式； （2）因为， 所以. （3）若，，又，所以，则， 又，则，所以， 又，所以， 所以 ， 又，所以. 16. 已知函数在区间上单调，且． （1）求解析式； （2）若函数，求的值域和单调递增区间． 【答案】（1）； （2）值域为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，列式求出即可. （2）由（1）的结论，结合辅助角公式求出，再利用正弦函数的性质求出值域及单调递增区间. 【小问1详解】 由函数在区间上单调，得，解得， 又，，则，， 而，，则 解得，所以的解析式为． 【小问2详解】 由（1）知，则， 因此， 所以函数的值域为； 由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 17. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）求这块铁皮的可用部分的面积； （2）求关于的函数表达式； （3）当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 【答案】（1） （2） （3）最小值是，或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用矩形和圆的面积公式，即可求解； （2）过作，垂足为，得到，结合矩形的面积公式，即可求解； （3）由（2）知，化简得到，结合三角函数的基本关系式和二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，矩形的面积为，阴影部分的面积为， 所以可用部分的面积为 【小问2详解】 解：过作，垂足为， 由，且圆的半径为，可得， 所以， 所以矩形的面积. 【小问3详解】 解：由（2）知：矩形的面积， 故 ， 因为， 又因为，可得，所以， 则当时，矩形的面积取得最小值，即， 此时，所以， 解得或 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 18. 已知是偶函数． （1）求实数的值； （2）证明函数在上的单调性，解不等式； （3）记，若对任意的都成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求得m的值； （2）根据函数单调性的定义可证明函数在上的单调性，利用函数单调性将转化为即可求解； （3）将对任意的都成立，转化为对任意的都成立且，结合分离参数即可求得a的范围. 【小问1详解】 依据题意，定义域为R， 由是偶函数，则，即， 得，又，则不恒等于0， 故； 【小问2详解】 证明：任取，且， 则 ， 由于得，， 所以，，故， 所以，则， 又因为，所以在上是增函数， 又为偶函数，则在上是减函数， 则即为， 两边平方得，解得或， 不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意得， 即对任意的都成立， 首先对任意的都成立， 由有意义得， 对任意的都成立，得， 其次对任意的都成立， 即，得， 亦即，对任意的都成立， 因为，所以， 即对任意的都成立， 由于，所以， 综上所述. 【点睛】难点点睛：解答本题难点在于第（3）问中参数a的范围求解，解答时要利用不等式恒成立等价转化，同时注意对数函数成立的前提条件，继而采用参变分离的方法，求得参数范围. 19. 已知函数（、），. （1）设的解集为A，解集为，若，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象关于点对称，当时，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，则的解集为等价于的解集为，然后求出b，即可求解； （2）将问题转化为函数的值域是函数的值域的子集问题，然后利用对称性，分类讨论的值域即可求出b的范围. 【小问1详解】 设的解集， 则的解集为， 设， 则的解集为等价于的解集为， 的一个解为， ，的另一个解所以， 又，， 解得或或， 所以或， 又∵的解集非空，，或. 综上所述或. 【小问2详解】 因为对任意的，总存在，使得， 所以函数的值域是函数的值域的子集， 因为为增函数，所以为增函数， 所以当时，的值域为， 设函数的值域为集合，则原问题转化为， 因为的图像关于对称，且时，，所以，. 当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数， 所以函数在上递增， 又，，所以的值域为，即， 又，所以，解得， 当，即时，在上递减，则函数在上也是减函数. 所以函数在上递减，则， 又，所以，解得， 当，即时，在上递减，在上递增， 又因函数过对称中心，所以函数在上递增，在上递减， 故此时，， 要使，只需要，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】本题难点有二：一是将问题转化为值域的包含关系；二是分类讨论求值域.分类讨论求值域时，要充分利用对称性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 烟台一中2025—2026学年第一学期阶段性检测 高一数学试题 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分. 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生需将自己的姓名、考号、科目、试卷类型涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他选项. 第Ⅰ卷：（选择题共11题，共68分） 一、单选题（单选题共8题，共40分，每题5分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 若满足，满足，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4 若，则（ ） A. 或2 B. 或 C. 2 D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 5 B. C. -5 D. 8. 已知函数有唯一零点，则实数的值为 A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 二、多选题（多选题共3题，共18分，每题6分） 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 曲线的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上有一条对称轴 10. 已知函数，说法正确的是（    ） A. 在区间上单调递增； B. 的对称轴是； C. 若，则； D. 方程在的解为，且. 11. 已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若关于的方程有2个不同实根，则的取值范围是 B. 若关于的方程有3个不同实根，则的取值范围是 C. 若有5个零点，则取值范围是 D. 最多有6个零点 第Ⅱ卷（非选择题，试题72分） 注意事项： 1．答卷时必须用0.5毫米的黑色笔在答题区域书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整、笔迹清晰，禁止增添附页. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 三、填空题（填空题共3题，共15分，每题5分） 12. 函数的定义域是______. 13. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是________. 14. 已知函数区间内没有零点，则的取值范围是__________. 四、解答题（解答题共3题，共77分） 15 （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）若，，为锐角，为钝角，求的值. 16. 已知函数在区间上单调，且． （1）求的解析式； （2）若函数，求值域和单调递增区间． 17. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）求这块铁皮的可用部分的面积； （2）求关于的函数表达式； （3）当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 18. 已知是偶函数． （1）求实数值； （2）证明函数在上的单调性，解不等式； （3）记，若对任意的都成立，求的取值范围． 19. 已知函数（、），. （1）设的解集为A，解集为，若，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象关于点对称，当时，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $