精品解析：山东省潍坊市寿光一中2025-2026学年高一强基部上学期12月测试数学试题

强基部25级月段检测数学试题 2025年12月 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知．若，则（ ） A. k B. －k C. 1－k D. 2－k 6. 已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为R，且满足，当时，，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2027 D. 2024 8. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论中正确的是（   ） A. 若角的终边过点，则 B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 对任意，恒成立 D. 若，，则 10. 已知平面向量，则（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值为 C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的周期 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 D. 函数的对称轴方程为 三、填空题 12. 已知向量，，若，则______ 13. 相互独立事件A、B满足，则___________． 14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为______. 四、解答题 15. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 17. 已知函数，的图象关于轴对称. （1）求角的值； （2）角，，锐角满足，求的值. 18. 随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； （2）若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 19. 已知双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 . （1）求证下列式子均为定值 ①； ② （2）求函数 在上的最小值; （3）若，，有 恒成立，求实数的取值范围. 注：函数 在 上递减，在 上递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 强基部25级月段检测数学试题 2025年12月 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以集合， 又由，则满足，即，解得， 所以集合，所以. 故选：C. 2. 已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 3. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数以及对数函数的单调性，可得内层二次函数的单调性，根据二次函数以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，且在上单调递增，则函数在上单调递减， 可得，即，解得. 故选：A. 4. 在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 5. 已知．若，则（ ） A. k B. －k C. 1－k D. 2－k 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性即可得出结论. 【详解】∵， ∴， ∴ . 故选：D 6. 已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量夹角为锐角，得到向量数量积大于零且向量不共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，的夹角为锐角， 所以且不存在实数使得，即，不共线. ①，因为， 所以，解得. ②，不共线，若，共线，则， 整理得，解得或， 所以且，综上，且. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为R，且满足，当时，，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2027 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，整理计算，可得的周期为4，根据解析式，代入数据，可得的值，代入条件，可得，根据的周期性，代入计算，即可得答案. 【详解】因为，则的周期为4， 因为当时，， 所以， 因为，所以，则， 又的周期为4，所以， 所以，， 故. 故选：A 8. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 二、多选题 9. 下列结论中正确的是（   ） A. 若角的终边过点，则 B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 对任意，恒成立 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义、象限角、三角函数恒等变换等知识点对各选项进行分析和计算. 【详解】选项A：当时，，则，故A正确； 选项B：若是第二象限角，则，， 所以，， 所以为第一象限角或第三象限角，故B错； 选项C：因为，如图， 射线与单位圆交于点，作轴，垂足为点，单位圆与轴正半轴的交点为点，设，由弧度制的定义可知，劣弧的长度为， 根据三角函数线可知，，，， ，，易得， 所以，所以，故C正确； 对于D，由，可得，因，故， 所以，又，则，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知平面向量，则（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值为 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可判定A，利用向量数量积的坐标表示结合二次函数计算可判定B，利用向量模长的坐标表示及一元二次不等式的计算、结合消元法可判定C、D. 【详解】对于A，当时，，即，故A正确； 对于B，当时，即， 所以， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，当时，则，所以， 解之得或，故C错误； 对于D，当时，则，所以， 而，则，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的周期 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 D. 函数的对称轴方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数的图象与性质逐一判断选项即可. 【详解】因为，所以是函数的周期，故A正确； ∵，∴，又在上不单调，故B错误； ∵函数向左平移个单位长度得到，故C正确； 令，得，故D正确， 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知向量，，若，则______ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程，化简求得的值. 【详解】因为向量，， 所以， 又， 所以， 解得. 故答案为： 13. 相互独立事件A、B满足，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由得，再根据独立事件的乘法公式计算即可求解 【详解】因为，而，所以， 又A、B相互独立，所以， 即. 故答案为： 14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过逐步分析画出在一个周期内的函数图象，根据长度的最小值得到等量关系，解方程可得结果. 【详解】令，则原函数可化为， ∴，的最小正周期为， 作出在上的函数图象，如图1， ∴在上的函数图象如图2， 由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3， 如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时， ∵， ∴，即，解得. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）减函数，证明如下： 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． 【小问2详解】 在上为减函数．证明略； 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合向量数量积的定义及运算律即可求解； （2）由，平方得到，通过配方法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 17. 已知函数，的图象关于轴对称. （1）求角的值； （2）角，，锐角满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据辅助角公式将函数化为一个角的三角函数，再由函数的图象关于y轴对称可得角的值； （2）先由可得，再由可得，再将角按两角差的正弦公式求得. 【小问1详解】 因为， 又因为的图象关于轴对称，所以，所以， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，所以； 因为，若，则，而，不合题意. 故，则，所以，. 所以， . 18. 随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； （2）若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 【答案】（1）； 平均数为74（分）；中位数为分 （2）288 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得，根据频率分布直方图估计平均数，中位数； （2）由频率估计概率可得高一年级480名学生中成绩不低于70分的频率后可得人数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. 【小问2详解】 由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. 【小问3详解】 由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任取3人的所有可能结果为， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，， 共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为. 19. 已知双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 . （1）求证下列式子均为定值 ①； ② （2）求函数 在上的最小值; （3）若，，有 恒成立，求实数的取值范围. 注：函数 在 上递减，在 上递增. 【答案】（1） ①为定值. ②为定值. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲正弦函数、双曲余弦函数的概念计算即可. （2）利用换元法，把问题转化成求，的最小值问题.再利用函数的单调性求函数的最小值. （3）把问题转化成二次不等式恒成立的问题求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上单调递增， 且，. 所以当时，. 又. 设，则， 设，. 若，则在上单调递增，所以； 若，则在上单调递减，在上单调递增. 当即时，在上单调递增，所以； 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当即时，在上单调递减，所以. 综上可得：. 【小问3详解】 当时，. 不等式， 可化为. 设， 则为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，所以对，不可能恒成立. 即所求实数不存在. 即满足条件的实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $