3.5点与圆、直线与圆的位置关系（3）导学案2026-2027学年新版苏科版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“切线的判定和性质”，通过回顾直线与圆相切的数量关系（d=r），引导学生思考位置关系判定方法，搭建旧知到新知的学习支架，结合作图探究（过圆上一点作切线）和逆向思考，帮助理解定理条件与结论。 以自主探究为特色，通过作图操作培养几何直观（数学眼光），典例分析提炼“连半径，证垂直”等解题模型（模型意识，数学思维），分层练习与反思问题发展推理能力和应用意识（数学语言），规范书写要求提升几何表达能力，助力学生深度学习。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（3） —切线的判定和性质 学业质量要求： 1. 通过作图探究，理解切线判定定理与切线性质定理，分清两个定理的条件与结论；掌握证明切线两类常用思路. 2. 能够运用切线判定定理证明直线是圆的切线，能够运用切线性质定理进行几何计算与推理证明. 3. 发展几何推理能力，规范几何证明书写格式，建立 “见切线，连半径，得垂直” 的解题模型. 学习重点： 切线判定定理、切线性质定理的理解与应用；切线相关证明的书写规范. 学习难点： 区分切线判定与性质定理；根据题型灵活选择证明切线的两种辅助线作法. 学习过程： 一、回顾旧知，铺垫新知 1. 直线与⊙O相切对应的数量关系是什么？ 2. 思考：除了依靠d＝r(数量关系）判断相切，能不能利用直线和半径的位置关系直接判定切线？ 二、自主探究，新知建构 1. 切线判定定理 问题：如何过圆上一点作圆的切线？ 操作与交流：点D是⊙O 上一点，过点D如何作⊙O的切线. 切线判定定理：经过 并且 的直线是圆的切线. 要点解读：两个条件缺一不可 ① ； ② . 2. 切线性质定理 逆向思考：若直线与圆相切，切线和过切点的半径存在什么位置关系？ 1．如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？ 2．请你将上面发现的结论进行归纳总结： 切线性质定理： . 解题模型：题目给出切线，优先连接圆心与切点，得到垂直关系. 3. 典例分析 例1 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O 的直径，∠BAD＝∠ACB.判断直线 AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明. 思路分析:直线 AD 与圆已有公共点 A，采用 “连半径，证垂直”.连接 OA（即 AC），利用直径所对圆周角为 90°，进行角度等量代换证明 AD⊥AC，再使用切线判定定理完成证明. 解： 变式：例1中，若AC不是直径，其余条件不变，上面的结论还成立吗？ 例2 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点 E.求证：DE⊥AC. 思路分析:已知 DE 是切线，遵循 “见切线，连半径”，连接 OD.先用角平分线、等边对等角证明 OD∥AC，再由切线性质得到 DE⊥OD，推导出 DE⊥AC. 证明： 三、学以致用，当堂巩固 1. 如图，P 是⊙O 外一点，以 OP 为直径作圆，与⊙O 相交于 A，B 两点.连接 PA，PB.求证：PA，PB 是⊙O 的切线. 2. 如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 P.PA 与 PB 相等吗？为什么？ 四、梳理归纳，素养提升 1.根据下面知识结构图,自主完善本节课知识框架： 2.课堂反思 ①切线判定定理两个条件能不能缺少其中一个？举反例说明. ②判定切线两种辅助线做法，怎么判断选择哪一种？核心区分点是什么？ ③判定定理和性质定理条件、结论相反，使用的时候不要混淆. 五、分层落实，拓展延伸 1.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点D. 图中互余的角有（ ） A. 1对 B. 2对 C.3对 D.4对 2.如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙O的弦，过点C 的切线交AB的延长线于点D.已知∠D=30° . 则∠A的度数为 . 第1题 第2题 3.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝45°，AB＝AC．判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由． 4.如图，O是∠ABC的平分线上的一点，OD⊥BC于D，以O为圆心、OD为半径的圆与AB相切吗？为什么？ 分层落实，拓展延伸参考答案 1.【答案】C 【知识点】切线性质、直径所对圆周角、互余角 【详解】解：∵BC 是⊙O 切线，AB 为直径， ∴AB⊥BC，∠ABC=90°， ∴∠A+∠C=90°. ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠A+∠ABD=90°，∠C+∠DBC=90°. 综上共有 3 对互余的角，故选 C. 2.【答案】30° 【知识点】切线性质、等腰三角形性质、三角形外角 【详解】解：连接 OC， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OC⊥CD，∠OCD=90°. ∵∠D=30°， ∴∠COD=60°. ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA. ∵∠COD=∠A+∠OCA， ∴∠A=30°. 3.【答案】直线 AC 与⊙O 相切，理由如下 【知识点】切线判定 【详解】解：∵AB=AC，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴∠BAC=180°−45°−45°=90°， ∴AB⊥AC. ∵AB 是⊙O直径，A 在⊙O 上， ∴直线 AC与⊙O 相切. 4.【答案】相切，理由如下 【知识点】角平分线性质、切线判定 【详解】解：过点 O 作 OE⊥AB 于E， ∵O 在∠ABC 的平分线上，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE=OD. ∵⊙O 半径为OD， ∴OE 等于⊙O半径， ∴以 O 为圆心、OD为半径的圆与 AB 相切. 学科网（北京）股份有限公司 $