精品解析：湖南益阳市桃江县第一中学2025-2026学年高一入学摸底考试数学试题

桃江一中2025级高一入学摸底考试 数学 时间:100分钟 满分:150分 一、选择题：本题共12道小题，每小题4分，共48分．在给出的选项当中，只有一个答案符合题目要求． 1. 下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） 北京 上海 天津 重庆 ℃ 5.8℃ ℃ 8.1℃ A. 北京 B. 上海 C. 天津 D. 重庆 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱 4. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 7 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若点（其中）都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形内有一点，且满足，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的中线交于点，连结，设的面积为，的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 现有四批黄桃，从中各随机抽取40个，测量并计算得它们直径的平均数与方差如下：则这四批黄桃中果型较大且整齐的一批是（ ） 批次 甲 乙 丙 丁 平均数（单位：cm） 9.0 9.0 10.5 10.5 方差（单位：cm2） 15.0 5.0 15.0 5.0 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数的图像经过点，若，则下列可能成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 12. 如图，是正方形的边上一动点（不与重合），连结，以为边作正方形，点是的中点，连结．给出下列结论：①；②点三点共线，则下列判断正确的是（ ） A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 二、填空题：本题共6道小题，每小题4分，共24分． 13. 因式分解：___________． 14. 方程的解为___________． 15. 如图，已知圆锥的底面的直径，高，则该圆锥的侧面展开图的面积为___________． 16. 长和宽分别是19和15的矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是___________． 17. 如图，在菱形中，点在对角线上，，将边平移至，点的对应点为点，连接，若，则的长为___________． 18. 如图，在半径为4的扇形中，，点为中点，作交于点，则围成的图形（阴影部分）的周长为___________． 三、解答题：本题共7道小题，共78分． 19. 计算：． 20. 如图在中，，为中点，连结． （1）求的长． （2）求的值． 21. 某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间（小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题： （1）求所抽取的学生总人数； （2）若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数． 22. 如图，在四边形中，，在上取两点，使，连接，且． （1）试说明≌； （2）连接，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 23. 按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）如图1，的顶点、在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使∽； （2）如图2，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． ①请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点； ②若，则的长度为多少． 24. 在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下： （1）【观察发现】如图1，在等边中，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． ∵在等边中，， ∴点为边上的中点，． ∴． 过点作，使，连接． ∴． ∴． 又∵， ∴≌（SAS）． ∴． 连接，当三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接，可证四边形是矩形， ∴． ∴的最小值为__________． （2）【类比应用】如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，分别是上的动点，且总有，连接，求的最小值． （3）【拓展延伸】如图3，矩形中，，是的中点，分别是和上的动点，且总有，求的最小值． 25. 甲、乙、丙三个同学研究了二次函数的图象和性质，并交流了自己的学习成果． （1）甲同学的说法：当和时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由． （2）乙同学的发现：取某个值时，该函数图象上到轴的距离为的点有个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为．根据乙同学的发现，求出此时的值． （3）丙同学的探索：若，当时，的取值范围中恰有个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桃江一中2025级高一入学摸底考试 数学 时间:100分钟 满分:150分 一、选择题：本题共12道小题，每小题4分，共48分．在给出的选项当中，只有一个答案符合题目要求． 1. 下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） 北京 上海 天津 重庆 ℃ 5.8℃ ℃ 8.1℃ A. 北京 B. 上海 C. 天津 D. 重庆 【答案】A 【解析】 【分析】由表格中的数据进行大小比较即可． 【详解】因为， 所以气温最低的是北京． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，A正确,B错误；，C,D错误. 3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱 【答案】A 【解析】 【详解】三视图中，主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形， 作出几何体的直观图如图： 故该几何体为三棱柱. 4. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】二次函数开口向上，顶点坐标为 所以二次函数的最小值是. 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质及三角形外角关系求解即可. 【详解】设与的交点为. 因为，所以. 因为为的外角，所以. 故. 6. 若点（其中）都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得，，， ，则，故. 7. 如图，矩形内有一点，且满足，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明，得到，再结合，即可求解. 【详解】在矩形中，， 又，因此是等腰三角形. 由，可得， 根据等腰三角形底角相等得，​ 同理，由，是等腰三角形，可得： ， 因为， 所以，所以， 即 又 ， 即， 整理得. 8. 如图，的中线交于点，连结，设的面积为，的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中线性质，推出点为的重心，以及，进而证明，，得到，，再结合三角形中线性质，三角形重心性质推出与的数量关系，即可得解． 【详解】解：的中线交于点， ，点为的重心， ，， ，， ，即， ； 由中线性质可知，， 又， ， ， ， ，其他均不正确. 9. 现有四批黄桃，从中各随机抽取40个，测量并计算得它们直径的平均数与方差如下：则这四批黄桃中果型较大且整齐的一批是（ ） 批次 甲 乙 丙 丁 平均数（单位：cm） 9.0 9.0 10.5 10.5 方差（单位：cm2） 15.0 5.0 15.0 5.0 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【详解】根据平均数、方差的意义， 由表格中平均数知，丙、丁的果型比甲、乙大， 由表格中方差知，乙、丁比甲、丙整齐， 综上，丁的果型较大且整齐. 10. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据网格线解直角三角形即可. 【详解】 如图所示，易知为直角三角形，，则. 故选：D 11. 已知二次函数的图像经过点，若，则下列可能成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得出，再分类和两种情况分别判断各个选项即可． 【详解】因为二次函数图像经过点， 所以， 又，所以，故A错误； 当时， ，故C错误； ，故D错误； 当时，， ，所以可能成立． 12. 如图，是正方形的边上一动点（不与重合），连结，以为边作正方形，点是的中点，连结．给出下列结论：①；②点三点共线，则下列判断正确的是（ ） A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形性质可推出∽，即可推出为直角三角形，利用直角三角形性质即可判断①，由题意推出≌，即可推出，从而判断②. 【详解】连接 ，由于四边形和均为正方形， 故，，且， 则， 且，可得∽（两边成比例且夹角相等）， 故，即为直角三角形， 又M是的中点，根据直角三角形斜边中线定理，知， 结合，得，即，结论①正确； 连接，由于，则， 结合，则≌, 可得，结合，则， 又，故 三点共线，结论②正确. 二、填空题：本题共6道小题，每小题4分，共24分． 13. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】 14. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，即，可得. 15. 如图，已知圆锥的底面的直径，高，则该圆锥的侧面展开图的面积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】已知底面直径，因此底面半径. 已知圆锥的高，在直角三角形中， 由勾股定理得母线长， 因此该圆锥的侧面展开图的面积为. 16. 长和宽分别是19和15的矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形、正方形性质，结合三角函数关系求解即可. 【详解】设小正方形的边长为，与矩形的长边夹角为， 则，整理得，则. 又，所以，则. 故每个小正方形的边长为. 17. 如图，在菱形中，点在对角线上，，将边平移至，点的对应点为点，连接，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形对角线与交于点，通过，对应边长比值相等，即可求解. 【详解】由平移的性质得，，四边形为平行四边形， ，则， 设菱形对角线与交于点，则是中点， 又，，对角线，可得， 因为菱形对角线互相垂直平分，即， 因为， 所以，又，， 所以， 则 即 ， 因此. 18. 如图，在半径为4的扇形中，，点为中点，作交于点，则围成的图形（阴影部分）的周长为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为在半径为4的扇形中，，所以， 因为点为中点，，所以， 因为,所以, 所以围成的图形（阴影部分）的周长为. 三、解答题：本题共7道小题，共78分． 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【详解】． 20. 如图在中，，为中点，连结． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得与均为直角三角形，先在中利用勾股定理求出的长度，再结合推出，求出长度后求和即可得到的长. （2）利用为中点的性质求出的长度，在中由勾股定理求出斜边的长度，再根据正弦函数的定义即可求出的值. 【小问1详解】 ∵，∴， 在中，，∴； 【小问2详解】 为的中点，∴． 在中，，∴． 21. 某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间（小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题： （1）求所抽取的学生总人数； （2）若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数． 【答案】（1）60人 （2）600人 【解析】 【小问1详解】 B 组有18人，扇形图 B 占30%，所以所抽取的学生总人数为（人）； 【小问2详解】 估算学生进行体育锻炼的时间满足的人数约为人． 22. 如图，在四边形中，，在上取两点，使，连接，且． （1）试说明≌； （2）连接，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵, ∴, ∵， ∴， 在和中,， ∴≌ (ASA)； （2），理由如下: 如图: ∵≌， ∴， ∵，∴, ∴， 在和中,， ∴≌ (SAS)， ∴. 【解析】 【分析】 【小问1详解】 利用线线平行得出内错角相等，再通过ASA证明三角形全等. 【小问2详解】 通过SAS证明三角形全等，根据全等三角形对应边相等可以判断线段长度相等. （1）略 （2）略 23. 按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）如图1，的顶点、在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使∽； （2）如图2，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． ①请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点； ②若，则的长度为多少． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）延长交于点，连接并延长交于另一点，连接即可； （2）①以为圆心，为半径画圆弧，圆弧与相切于点，连接即可；②根据题意证明即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①略； ②因为是的切线，所以，即， 已知，所以，即，同时，内错角， 在中，，所以，因此， 由于是直径，在上，所以，，所以， 又因为，所以. 24. 在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下： （1）【观察发现】如图1，在等边中，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． ∵在等边中，， ∴点为边上的中点，． ∴． 过点作，使，连接． ∴． ∴． 又∵， ∴≌（SAS）． ∴． 连接，当三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接，可证四边形是矩形， ∴． ∴的最小值为__________． （2）【类比应用】如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，分别是上的动点，且总有，连接，求的最小值． （3）【拓展延伸】如图3，矩形中，，是的中点，分别是和上的动点，且总有，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造全等将转化为 ，当 共线时，最小值即为 ，由矩形得 ； （2）类比构造全等将 转化为 ，当 共线时，最小值即为 ，利用等腰直角三角形和勾股定理计算； （3）延长构造相似，将 转化为 ，当 共线时，最小值即为 ，利用勾股定理计算. 【小问1详解】 ∵，，∴， 又∵，∴四边形是矩形，∴， ∴的最小值为． 【小问2详解】 如图，类比（1），过点作，使，连接， ∴ 在和中， ∵，∴≌（SAS）． ∴．∴． 连接，当三点共线时，线段的长为的最小值． 过点作，交的延长线于点． 在正方形中，为对角线，∴． ∵，∴． ∴为等腰直角三角形． ∵正方形的边长为6，∴， ∴． ∴在中，． ∴的最小值为． 【小问3详解】 如图，延长到，使，连接． ∵，，∴∽． ∴，∴． ∴， 连接，当、、三点共线时，线段的长为的最小值． ∵，， ∴． 25. 甲、乙、丙三个同学研究了二次函数的图象和性质，并交流了自己的学习成果． （1）甲同学的说法：当和时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由． （2）乙同学的发现：取某个值时，该函数图象上到轴的距离为的点有个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为．根据乙同学的发现，求出此时的值． （3）丙同学的探索：若，当时，的取值范围中恰有个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出的取值范围． 【答案】（1）甲同学说法正确，理由如下： 因为二次函数解析式为，所以对称轴为直线， 由于和关于对称， 所以当和时，函数值相等，即甲同学说法正确. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象关于对称即可判断； （2）根据题意，结合二次函数图像的性质即可求解； （3）根据题意，结合二次函数开口向上，且离对称轴越远，函数值越大即可判断的取值为，再结合函数的端点值即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 在中，当时，，所以顶点坐标为； 由于该函数图象上到轴的距离为的点有个，所以函数值的绝对值为的点有个， 所以二次函数开口一定向上，且纵坐标为的有两个点， 又因为到轴的距离为的三个点组成的三角形的面积为， 所以纵坐标为的两个点的距离为， 所以纵坐标为的两个点到对称轴的距离都为， 所以，即在二次函数图象上， 所以，解得. 【小问3详解】 因为，所以二次函数开口向上，且对称轴为直线， 由于离对称轴越远，函数值越大， 因为，且当时，， 所以当时，， 由于当时，的取值范围中恰有个不同的整数值，即， 所以，解得，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $