湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期秋季开学数学学情自测卷

**基本信息** 聚焦初高中知识衔接，通过研学租车、黄金分割等真实情境与文化素材，分层考查数学抽象、运算推理及模型应用能力，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合（第9题）、函数图像（第5题）、不等式（第4题）|单选基础检测（如分式意义），多选综合辨析（如均值不等式应用）| |填空题|3题15分|几何折叠（第12题）、命题真假（第13题）、黄金分割（第14题）|结合文化素材（黄金分割），考查转化能力（面积比计算）| |解答题|5题77分|集合运算（15题）、研学租车（16题）、二次函数（19题）|实际情境建模（租车方案），逻辑推理分层（含参数二次函数最值）|

湖南省长沙市2026-2027学年高一秋季开学学情自测卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知对任意实数，式子 都有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 3．如果抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 5．函数的图象的大致形状是（   ） A． B． C． D． 6．下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 8．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知集合，则下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个选项，则正确的有（    ） A．与的面积一定相等 B．与的面积可能相等 C．一定是锐角三角形 D．可能是等边三角形 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．如图，将三角形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为.若的面积为，的面积为，则______. 13．设命题：已知，，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题、中有一个为真命题，一个为假命题，则实数的取值范围是__________. 14．黄金分割比，这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉.古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联.如图，在中，，，，点D在线段AB上，过点D作于点E，于点F，得到矩形DECF，若矩形DECF的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则AD的长为__________. 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知集合，，，全集为实数集R． (1)求，，； (2)如果，求的取值范围． 16．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题. 材料一 租车公司有两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆型客车比每辆型客车多载客15人；用型客车载客600人与用型客车载客450人的车辆数相同. 材料二 型客车租车费用为 3200 元/辆；型客车租车费用为 3000元/辆.优惠方案：租用型客车辆，租车费用元/辆；租用型客车，租车费用打八折. 材料三 租车公司最多提供8辆型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用两种型号客车共10辆. (1)两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 17．某单位欲购买A､B两种电器，根据预算，共需资金15750元.购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元. (1)购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？ (2)若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？ (3)为节省开支，该单位只购买A､B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：自己出资金不超过4000元；其中政府对A､B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案？ 18．如图，四边形中，，是延长线的一点．若，．求的长．    19．已知二次函数 （1）若在的最大值为，求的值； （2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高一秋季开学学情自测卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A B A C A AC AB 题号 11 答案 AD 1．B 【详解】， 对任意实数，式子都有意义，，，解得． 2．A 【详解】由统计图可知，乙的物理成绩非常靠前，远远高于甲的物理成绩， 但甲、乙两人的理化总成绩却相差不大，说明甲的化学成绩比乙好； 丙的物理成绩非常靠前，比乙好，但是理化总成绩却比乙差许多，说明丙化学成绩比乙差. 综上所述，三人中化学成绩最好的是甲． 3．B 【分析】根据顶点式得到顶点坐标，从而得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得抛物线的顶点坐标为， 因为其在第一象限，则，解得. 故选：B. 4．A 【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集. 【详解】令，所以或. 解得，. 所以不等式的解集是. 故选：A. 5．B 【分析】分析函数的单调性，排除不符合要求的选项即可得解. 【详解】当时，在上单调递减，排除CD； 当时，在上单调递增，排除A，选项B符合要求. 故选：B 6．A 【分析】根据不等式恒成立的条件及其必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， ∵不等式在上恒成立， ∴，解得， 又∵， ∴是的必要不充分条件， 选项,,则是的充要条件， 选项,,则是的充分不必要条件， 选项,,则是的充分不必要条件. 故选：A. 7．C 【分析】根据图形与性质求得，再解直角三角形求得. 【详解】连接，因为是直径，所以， 因为，所以， 而，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以，所以， 在中，，所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以，在中，. 故选：C    8．A 【分析】根据对称轴求得，根据二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】抛物线的对称轴为直线，所以. 则关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根， 整理得，而， 所以. 故选：A 9．AC 【解析】根据集合与集合直接关系的符号表示，以及元素与集合之间的符号表示，即可判定出结果. 【详解】因为集合， 则，即A选项正确；集合中元素都是正整数，则，即C正确； “”只能表示元素与集合之间关系，故B错； “”只能表示集合之间的关系，故D错. 故选：AC. 10．AB 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由， 可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即， 与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误； 对于D，， 故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 11．AD 【分析】通过设点坐标，利用反比例函数表达式求出相关线段长度，进而计算三角形面积来判断各选项的正确性. 【详解】设点坐标为，点坐标为， 则， ，， ， ， ，故A正确； ，     ， 当与的面积相等时，，即， 当时，重合，与题意不符，故B错误； 当在的同侧时，可能是钝角三角形，C错误；     等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，D正确； 如图： 故选：AD. 12．. 【分析】根据题意，由折叠的性质可得，所以的面积为，由面积关系可求解. 【详解】由题意，的面积为，的面积为， 所以的面积为， 因为将三角形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为， 所以，所以的面积为， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】先求出当命题、为真命题时的取值范围，再根据题意可知，有一真一假，然后根据真，假或假，真列出不等式组，即可即可． 【详解】对于：，所以，当且仅当时取等号， 恒成立，则，即； 对于：存在，使得不等式成立， 只需， 而，，； 因为，有一真一假，所以 若为假命题，为真命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则，所以. 综上，或， 故答案为：. 14． 【分析】设，则，由求出即可. 【详解】，，，由勾股定理得，， 四边形为矩形，，， 设，则，，，， ，解得， . 故答案为：. 15．(1)，，或 (2) 【分析】（1）利用集合的运算法则求解即可； （2）在数轴上表示出集合和集合,利用已知条件求解. 【详解】（1）∵，， ∴,,或， （2）因为集合，，且， 所以， 即的取值范围为.    16．(1)型号的客车每辆载客量是60人，型号的客车每辆载客量是45人. (2)本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 【分析】（1）设型号的客车每辆载客量是人，根据题意列出方程，即可求解； （2）设租用型号的客车辆，则租用型号的客车辆，租车费用是元， 根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由已知设型号的客车每辆载客量是人，则型号的客车每辆载客量是人. 根据题意有，解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 所以（人）. 答：型号的客车每辆载客量是60人，型号的客车每辆载客量是45人. （2）设租用型号的客车辆，则租用型号的客车辆. 根据题意有，解得. 设本次研学活动学校的租车费用是元. 则有 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，随着的增大而增大， 又因为取正整数，且， 所以当时，取得最小值， 且最小值为（元）. 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 17．(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件及等量关系联立方程组即可求解； （2）利用关系式为：总费用减去B种电器的总费用不超过件A种电器的费用即可求解； （3）根据政府补贴资金和自己出的资金得到不等式组，求得整数解即可. 【详解】（1）设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元. 由题意可知,解得， 故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元. （2）设购买B种电器件. ,解得, 故可购买B种电器至少有件. （3）设购买A种电器件，则购买B种电器件. ,解得， 因为取整数， 所以可取，共种方案. 18．5 【分析】可连接，得出≌（），即，再利用勾股定理求解即可． 【详解】    连接，∵，，，， ∴，∴≌（），∴． 因为，所以，故． 19．（1）；（2）. 【分析】由解析式可知为开口方向向上，对称轴为的二次函数； （1）分别在和两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果； （2）将问题转化为对恒成立，分别在、、和，根据单调性可得，将看做关于的函数，利用恒成立的思想可求得结果. 【详解】由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数， （1）当，即时，在上单调递减， ，不合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ， 又，，在的最大值为， ，解得：； 综上所述：. （2）若对任意实数，总存在，使得， 则对恒成立， ①当时，在上单调递增， ， 当时，单调递增， ，； ②当，即时，在上单调递减， ， 当时，单调递减， ，； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，又，， 令，则在上单调递增， ，解得：； ④当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，在上单调递减， ，解得：； 综上所述：的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $