第3章 专题提升课(1) 圆锥曲线中的定点、定值问题(Word教参)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

专题提升课(一)　圆锥曲线中的定点、定值问题 [对应学生用书P92] 考点一　定点问题 [例1] (2025·鞍山高二月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(2，0)且离心率为，直线l：x＝6，椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，P为l上任意一点，且不在x轴上，PA1与椭圆C的另一个交点为M，PA2与椭圆C的另一个交点为N. (1)直线MA1和直线MA2的斜率分别记为kMA1，kMA2，求证：kMA1·kMA2为定值； (2)求证：直线MN过定点． 证明：(1)由题意可得 所以椭圆C：＋＝1，且A1(－3，0)，A2(3，0). 设M(x1，y1)，则＋＝1，即y＝5－x， 可得kMA1·kMA2＝·＝＝＝－， 所以kMA1·kMA2为定值－. (2)设P(6，yP)，则kA1P＝kMA1＝，kA2P＝kA2N＝，kA2N＝3kMA1， 可得kA2M·kA2N＝kA2M·3kA1M＝－， 设直线MN：x＝my＋t，t≠±3，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程消去x可得(5m2＋9)y2＋10mty＋5t2－45＝0， 则Δ＝100m2t2－4(5m2＋9)(5t2－45)>0，解得5m2＋9>t2， 且y1＋y2＝，y1y2＝， 则kA2M·kA2N＝·＝ ＝－， 整理可得(5m2＋3)y1y2＋5m(t－3)(y1＋y2)＋5(t－3)2＝0， 则(5m2＋3)＋5m(t－3)＋5(t－3)2＝0， 因为t≠±3，则(5m2＋3)＋＋t－3＝0，解得t＝， 所以直线MN：x＝my＋过定点(，0). 定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． [练1] 已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点M(x0，4)在抛物线上，且|MF|＝x0. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若A，B是抛物线C上的两个动点，且OA⊥OB，O为坐标原点，求证：直线AB过定点，并求出这个定点． 解：(1)由题意得，|MF|＝x0＋＝x0，解得x0＝2p. 因为点M(x0，4)在抛物线C上，所以42＝2px0＝4p2，解得p2＝4. 又p>0，所以p＝2，即抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0. 因为点A，B在抛物线C上，所以y＝4x1，y＝4x2，代入得＋y1y2＝0. 因为y1y2≠0，所以y1y2＝－16. 设直线AB的方程为x＝my＋n，联立得y2－4my－4n＝0， 则y1y2＝－4n，所以n＝4， 所以直线AB的方程为x＝my＋4，过定点(4，0). 考点二　定值问题 [例2] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，长轴是短轴的3倍，点(1，)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若过点Q(1，0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，T(3，0)，证明：TM，TN斜率之积为定值，并求出此定值． 解：(1)由题意得a＝3b，故椭圆C为＋＝1， 又点(1，)在椭圆C上，所以＋＝1，得b2＝1，a2＝9， 故椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)由已知直线l过Q(1，0)，设l的方程为x＝my＋1， 联立方程得消去x得(m2＋9)y2＋2my－8＝0，由Δ＝4m2＋32(m2＋9)>0得m∈R， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－，(*) 因为T(3，0)，故kTM·kTN＝·＝·＝， 将(*)代入上式，可得＝－＝－， ∴直线TM与TN斜率之积为定值－. 求定值问题常见的两种方法 (1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． [练2] 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值． (1)解：由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2， 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1． (2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， 所以kPA＝－kPB，即＝－. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上， 所以x1＝，x2＝， 从而有＝－，即＝－， 得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率 kAB＝＝＝－1为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$