暑假几何提升专题讲义 第五讲 截长补短模型2026-2027学年北师大版八年级数学上册

暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第五讲 全等三角形 —— 截长补短模型 第5讲 讲 截长补短模型 一、知识讲解 模型解读 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段； 补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 常见模型与证法 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法： ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+DC=AD 方法： ①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD； ②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE 二、例题精析 【例1】．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F． （1）如图1，若． ①直接写出的大小； ②求证：． 解析： ①答案：∠AFC=120° 解析： AE、CD 平分∠BAC、∠BCA， ∠FAC=1/2∠BAC，∠FCA=1/2∠BCA ∠FAC+∠FCA=1/2 (∠BAC+∠BCA)=1/2 (180°−∠B)=60° ∠AFC=180°−60°=120°。 ②证明（截长法） 1. 在 AC 上截取 AG=AD，连接 FG； 2. AF 平分∠DAC，∠DAF=∠GAF，AF=AF，AD=AG， ∴ △ADF ≌ △AGF (SAS)； 3. ∠AFD=∠AFG，∠AFC=120°，∠AFD=180°−120°=60°， ∴ ∠AFG=∠CFG=60°； 4. CF 平分∠ACB，∠GCF=∠ECF，CF=CF， △CFG ≌ △CEF (ASA)，∴ CG=CE； 5. AC=AG+CG=AD+CE，得证。 【例2】阅读题：如图1，平分，以为圆心任意长为半径画弧，交射线，于，两点，在射线上任取一点（点除外），连接，，可证，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，，平分交于点，试判断与、之间的数量关系； （2）如图3，在四边形中，平分，，，，求的面积． 解析： (1) 结论：BC=AC+AD 证明：在BC上截取CE=AC，连接DE。 ∵ CD平分∠ACB，∴ ∠ACD=∠ECD。 ​ ∴ △ACD≅△ECD(SAS)。 ∴ AD=ED，∠A=∠CED。 ∵ ∠A=2∠B，∴ ∠CED=2∠B。 ∵ ∠CED=∠EDB+∠B，∴ ∠EDB=∠B。 ∴ ED=EB，∴ AD=EB。 BC=CE+EB=AC+AD，即BC=AC+AD。 (2) 解： 在AB上截取AE=AD=8，连接CE。 ∵ AC平分∠BAD，∴ ∠DAC=∠EAC。 ​ ∴ △ADC≅△AEC(SAS)。 ∴ CD=CE。 ∵ CD=BC=10，∴ CE=BC=10。 EB=AB−AE=20−8=12。 过点C作CF⊥AB于点F。 ∵ CE=BC，∴ EF=BF=21​EB=6。 在Rt△CFB中，CF=BC2−BF2​=102−62​=8。 S△ABC​=21​×AB×CF=21​×20×8=80。 答：△ABC的面积为80。 【例3】．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 解析： (1) 解： ∵ AB=BE，∠ABC=60°， ∴ △ABE 为等边三角形， ∴ ∠AEB=60°。 ∵ ∠AEB 是△AEC 的外角， ∴ ∠AEB=∠C+∠CAE，即∠C+∠CAE=60°。 ∵ ∠AED=∠C， ∴ ∠AED+∠CAE=60°。 在△ADE 中， ∠ADE=180°-(∠CAE+∠AED)=120°。 又∠ADE+∠CDE=180°， ∴ ∠CDE=180°-120°=60°。 (2) 证明： 在 BD 上截取 DM=DE，连接 EM。 由 (1) 得∠ADE=120°，故∠ADB=180°-∠ADE=60°。 ∵ DM=DE，∠ADB=60°， ∴ △DEM 是等边三角形， ∴ EM=DE，∠DEM=60°。 ∵ △ABE 是等边三角形， ∴ AE=BE，∠AEB=60°， ∴ ∠AEB=∠DEM。 ∴ ∠AEB−∠AEM=∠DEM−∠AEM， 即∠BEM=∠AED。 在△BEM 和△AED 中 BE=AE ∠BEM=∠AED EM=ED ∴ △BEM ≌ △AED(SAS)， ∴ BM=AD。 ∵ BD=BM+DM，BM=AD，DM=DE， ∴ BD=AD+DE。命题得证。 【例4】．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． （1）请完成下题的证明过程：如图1，在中，，平分．求证：． 证明：在上截取，连接…… （2）如图2，，，分别平分，，过点，求证：． 解析： (1) 完整证明（截长法） 证明：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE。 1. AD 平分∠BAC，∠BAD=∠EAD； AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴ △ABD ≌ △AED (SAS)； 2. BD=ED，∠B=∠AED； ∵ ∠B=2∠C，∴ ∠AED=2∠C； 3. ∠AED=∠EDC+∠C，∴ ∠EDC=∠C，∴ ED=EC； 4. EC=BD，AC=AE+EC=AB+BD，得证。 (2) 证明（截长法） 在 AD 上截取 AF=AB，连接 EF； 1. AE 平分∠BAD，∠BAE=∠FAE，AE=AE，AB=AF， △ABE ≌ △AFE (SAS)，∠AFE=∠B； 2. AB∥CD，∠B+∠C=180°；∠AFE+∠DFE=180°， ∴ ∠DFE=∠C； 3. DE 平分∠ADC，∠FDE=∠CDE，DE=DE， △DFE ≌ △DCE (AAS)，DF=CD； 4. AD=AF+DF=AB+CD。 课后作业 一、解答题 1．如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 解析： (1) 证明 ∵ AB=AC，∠C=30°，∴ ∠B=∠C=30°，∠BAC=120°； AD 平分∠BAC，∠BAD=∠CAD=60°； ∠ADC=∠BAD+∠B=90°； 截长：在 AC 取 AE=AB，证△ABD≌△AED，BD=DE，∠AED=30°，DE=EC，AC=AE+EC=AB+BD。 (2) 答案：∠B=90° 解析： 截长 AE=AB，△ABD≌△AED，BD=DE，AC=AB+BD=AE+EC，∴ DE=EC，∠EDC=∠C，∠AED=∠EDC+∠C=2∠C，又∠AED=∠B，∴ ∠B=2∠C； 结合 AB=AC，∠B=∠ACB，解得∠B=90°。 (3) 证明（同例 4 (1) 思路） 在 AC 截取 AE=AB，连接 DE； AD 平分∠BAC，△ABD ≌ △AED (SAS)，BD=ED，∠B=∠AED； ∠B=2∠C，∴ ∠AED=2∠C，∠EDC=∠C，ED=EC； AC=AE+EC=AB+BD。 2．如图，在中，，，垂足为，且，则的度数是　 　． 解析： 答案：25° 解： 在 CD 上截取 DE=BD，连接 AE。 ∵ AD⊥BC，BD=DE， ∴ AB=AE， ∴ ∠B=∠AEB。 ∵ CD=AB+BD，CD=DE+EC，BD=DE，AB=AE， ∴ EC=AE， ∴ ∠C=∠EAC。 ∵ ∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C， ∴ ∠B=2∠C。 在△ABC 中，∠BAC+∠B+∠C=180°， 即 105°+2∠C+∠C=180°， 3∠C=75°， 解得∠C=25°。 3．（1）如图1，四边形中，，，的角平分线交于边上的点，求证：①；②是的中点； （2）如图2，（1）中的条件“”改为“条件”，其他条件不变，（1）中的结论是否都依然成立？请什么理由． 解析： (1) 证明： 过 E 作 EF⊥CD 于 F。 ∵ DE 平分∠ADC，EA⊥AD，EF⊥CD，∴ EA=EF。 ∵ CE 平分∠BCD，EB⊥BC，EF⊥CD，∴ EB=EF。 ∴ EA=EB，即 E 是 AB 中点。 在 Rt△ADE 和 Rt△FDE 中 EA=EF DE=DE ∴ Rt△ADE≌Rt△FDE (HL)，∴ AD=FD。 同理 Rt△BCE≌Rt△FCE (HL)，∴ BC=FC。 ∵ CD=FD+FC，∴ CD=AD+BC。 (2) 解：两个结论仍然成立。 证明：在 CD 上截取 DF=AD，连接 EF。 ∵ DE 平分∠ADC，∴ ∠ADE=∠FDE。 在△ADE 和△FDE 中 AD=DF ∠ADE=∠FDE DE=DE ∴ △ADE≌△FDE (SAS)，∴ ∠A=∠DFE，AE=FE。 ∵ AD∥BC，∴ ∠A+∠B=180°。 ∵ ∠DFE+∠EFC=180°，∴ ∠B=∠EFC。 ∵ CE 平分∠BCD，∴ ∠BCE=∠FCE。 在△BCE 和△FCE 中 ∠B=∠EFC ∠BCE=∠FCE CE=CE ∴ △BCE≌△FCE (AAS)，∴ BC=FC，BE=FE。 ∴ AE=BE，E 是 AB 中点。 CD=DF+FC=AD+BC。 6 学科网（北京）股份有限公司 $暑假提升专题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第五讲全等三角形一； 截长补短模型 第5讲 截长补短模型 1 暑假提升专题 一、 知识讲解 模型解读 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分 线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往 需证2次全等)。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段， 补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 常见模型与证法 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法 ①在AD上取一点F使得AFBE,证DFDC, ②在AD上取一点F使DFDC.证AFBE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+DC-AD 方法： ①延长DC至点M处，使CM=BE,证DM=AD, ②延长DC至点M处，使DM仁AD,证CM=BE 2 暑假提升专题 二、例题精析 【例1】.在△ABC中，AE,CD为△ABC的角平分线，AE,CD交于点F. (1)如图1，若∠B=60° ①直接写出∠AFC的大小； ②求证：AC=AD+CE. B D E 图1 3 暑假提升专题 【例2】阅读题：如图1，OM平分∠AOB,以O为圆心任意长为半径画弧，交射线OA, OB于C,D两点，在射线OM上任取一点E(点O除外)，连接CE,DE,可证 △OCE≌△ODE,请你参考这个作全等的方法，解答下列问题： (1)如图2，在△ABC中，∠A=2LB,CD平分∠ACB交AB于点D,试判断BC与AC、 AD之间的数量关系； (2)如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,BC=CD=10,AB=20,AD=8, 求△ABC的面积. A C E D 图1 B 0 图2 图3 4 暑假提升专题 【例3】.在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和 AE;并且有AB=BE,∠AED=∠C. (1)求∠CDE的度数； (2)求证：AD+DE=BD. A D B E 5 暑假提升专题 【例4】，阅读：探究线段的和.差.倍.分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通 常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将 某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明. (1)请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B=2LC,AD平分∠BAC,求证： AB+BD=AC. 证明：在AC上截取AE=AB,连接DE… (2)如图2，AD/IBC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证： AB=AD+BC. D D 图1 图2 6 暑假提升专题 课后作业 一、解答题 1.如图，在△ABC中，AC=BC,AD平分∠CAB. C 、D D BA∠ B 图1 图2 图3 (1)如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD; (2)如图2，若AB=AC+BD,求∠ACB的度数； (3)如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD. 2.如图，在△MBC中，∠A=105°，AD⊥BC,垂足为D,且AB+BD=CD,则∠C的 度数是 B 7 暑假提升专题 3.(1)如图1，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠ADC,∠BCD的角平分线交于AB 边上的点E,求证：①CD=AD+BC;②E是AB的中点； (2)如图2，(1)中的条件“∠A=∠B=90°”改为“条件AD11BC”,其他条件不变， (1)中的结论是否都依然成立？请什么理由. D D E 图1 图2 8