专题15为什么要证明、认识证明暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题15为什么要证明、认识证明暑假预习讲义 ✺知识框架 1.证明的必要性：破除直观认知误区，明确观察、实验、归纳的局限性，理解逻辑证明的核心价值。 2.证明的基础认知：掌握命题、公理、定理、证明的核心概念，明晰几何推理的规范与依据。 ✅直观判断存在误差，特例归纳无法通用，所有数学可靠结论，均需依托严谨逻辑推理论证。 ✺学习目标 1.充分认知观察、实验、不完全归纳的局限性，透彻理解数学证明的必要性。 2.掌握数学结论的三类检验方法，明晰各类方法的适用范围与有效性。 3.熟记命题、真命题、假命题、公理、定理、证明的教材标准定义。 4.掌握命题的结构拆分方法，熟练运用举反例判定假命题。 5.区分公理与定理的核心差异，熟知几何证明的规范规则，建立严谨推理思维。 ✺题型归纳 题型1.观察与实验 题型2.归纳与类比 题型3.猜想与证明 题型4.判断是否是命题 题型5.写出命题的题设与结论 题型6.判断命题真假 题型7.举例说明假（真）命题 题型8.举反例 题型9.定理与证明 题型10.写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型11.已知证明过程填写理论依据 题型12.根据给出的论断组命题并证明 题型13.以几何为背景的推理与论证 题型14.以代数为背景的推理与论证 题型15.逻辑推理与论证 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一：证明的必要性 1.核心认识 依托观察、实验、不完全归纳得出的数学结论，具备偶然性与局限性，无法作为可靠的通用结论，不能直接采信。 2.三类非严谨认知的缺陷 观察判断：存在视觉偏差与图形错觉，主观直观感受无法精准判定数学、几何关系。 实验验证：存在测量误差，实验样本具有局限性，无法覆盖全部情况。 不完全归纳：仅能验证部分特例，无法推导普遍数学规律，结论不具备通用性。 3.数学结论判定准则 判定一个数学结论是否成立，唯一可靠方式是有理有据的严谨推理论证。 4.结论检验三类方法 实验验证：仅用于初步猜想，辅助参考，不具备最终判定效力。 举反例验证：找到一例满足条件、不满足结论的特例，即可直接推翻命题，判定为假命题。 逻辑推理论证：层层推导、步步有据，是判定数学结论正确的唯一有效方式。 知识点二、命题的核心概念 1.定义 命题：可以判断真假的陈述句。疑问句、感叹句、祈使句均不属于命题。 2.命题固定结构 所有命题均可拆解为 条件（题设）＋ 结论，可统一改写为“如果……，那么……”句式；“如果”衔接已知条件，“那么”衔接推导结论。 3.命题分类 真命题：题设成立时，结论必然成立的命题。 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题。 4.假命题判定方法 无需完整证明，仅需举出一个有效反例，即可证明命题为假。 知识点三、公理、定理与证明 1.公理（基本事实） 无需证明、公认成立的真命题，是几何推理的原始依据，为所有证明的逻辑起点。 课内常用公理：两点确定一条直线；两点之间线段最短；同位角相等，两直线平行。 注意：两直线平行，同位角相等为定理，不是公理 2.定理 经过严谨逻辑证明、判定为正确的真命题，可直接作为后续几何推理与证明的通用依据。例：对顶角相等、同角的余角相等。 3.证明（核心考点） 从已知条件出发，依托定义、公理、定理，通过有序逻辑推理，推导出待证结论成立的完整过程，称为证明。 4.几何证明核心规范 步步有据：每一步推理均需标注对应依据，无依据的推理无效。 逻辑严谨：禁止跳步、臆断，杜绝依靠观察、猜测推导结论。 格式标准：严格遵循“已知—求证—证明”的规范书写格式。 知识点四：核心概念辨析对比 核心概念 证明情况 本质属性 核心作用 公理 无需证明 公认成立的真命题 几何推理的原始依据、证明起点 定理 已被逻辑证明 经推导验证的真命题 后续几何推理、证明的通用依据 证明 逻辑推导过程 严谨的数学论证行为 判定结论真假、推导新定理 知识点五、易错提醒 1.并非所有陈述句都是命题，可判断真假的陈述句才是命题，各类问句、感叹句均无真假性，不属于命题。 2.观察、实验结果仅可用于猜想，不能作为数学证明的有效依据。 特例无法等同于证明：假命题可凭单一反例推翻，真命题必须完整推理论证。 3. 公理与定理不可混淆：公理是无需证明的基础事实，定理是已经经过逻辑证明的真命题。 4.几何证明全程必须有据可依，主观臆断、缺步推理均为错误。 ✺题型精讲 题型1.观察与实验 1．睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 【答案】C 【分析】本题考查日期的计算，解题的关键思路是分别计算出去年和今年睡鼠冬眠的天数，然后将二者相加，即可求解． 【详解】解：去年10月共有31天，睡鼠从10月21日开始冬眠， ∴10月冬眠的天数为（天）． 11月有30天，12月有31天， ∴去年冬眠的总天数为（天）． 今年1月有31天， ∵， ∴是闰年，闰年2月有29天， 3月有31天，4月睡鼠到3日才出冬眠， ∴4月冬眠了2天， 那么今年冬眠的总天数为（天）， 将去年和今年冬眠的天数相加，可得（天）． 答：这只睡鼠冬眠了165天． 故选：C． 2．透明盒子中有A、B、C、D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（） 1 2 3 4 当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有___________种． 【答案】11 【分析】首先明确“恰好有两个盖子被罩住”的含义，即最终有两个盖子被完全罩住，另外两个盖子能被看到，由此分解出关键问题：确定哪两个盖子被罩住，哪两个不被罩住．对于取出盖子的不同顺序进行分类讨论即可求出． 【详解】若最后取出的盖子，则有三个盖子都能被罩住， 盖子取出顺序不能是第四个，故可以为第一、第二或第三个． ①当第一个取出盖子时，第二个无论取哪个盖子都不能罩住盖子，因为有两个盖子被罩住，故盖子应该在最后取出，第二个和第三个无论是先取还是先取，这两个盖子都能被罩住，即有2种情况：，； ②当第二个取出盖子时，第一个盖子无论取哪个盖子，都能被罩住，但第三个无论取哪个盖子都不能罩住，故需要满足第四个取出的盖子能罩住第三个取出的盖子，故有3种情况：； ③当第三个取出盖子时，前两次无论取哪两个盖子，都能被罩住，即有6种情况：． 综上所述，当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合共有（种）． 3．阅读下面的材料，回答后面的两个问题：单摆是能够产生往复摆动的一种装置，它由摆球和摆绳组成，生活中的荡秋千，摆钟都可以看作是一种单摆运动．科学探究小组想知道单摆来回摆动一次的时间与什么因素有关，他们进行了如下实验：如图，把小球拉开一个小角度至A处，放开小球后，小球将沿着的轨迹做往复运动，两点为运动过程中的最高点，点O为中心点．得出的实验数据如表所示： 摆长L（cm） 质量为50g的小球30个周期（s） 1个周期T（s） 质量为100g的小球30个周期（s） 1个周期T（s） 93.76 58.35 1.945 58.30 1.943 83.68 55.05 1.835 55.08 1.836 73.46 51.55 1.718 51.51 1.717 63.44 47.50 1.583 47.56 1.585 53.71 44.70 1.490 44.70 1.490 (1)分析上述实验数据可知，影响小球来回摆动一次的时间的因素是（   ） A．小球质量                B．细绳长度 C．最高点距中心点的距离    D．以上都有关 (2)冬天天气寒冷，若只考虑摆钟的摆杆因为热胀冷缩而产生的变化，摆钟在冬天会（   ） A．变快     B．变慢    C．不变     D．无法判断 【答案】(1)B (2)A 【分析】本题主要考查了观察与实验，可根据控制变量法对实验数据进行分析，进而得出影响单摆摆动时间的因素，再结合摆长变化对摆动周期的影响来解答第二个问题即可． 【详解】（1）在该实验中，分别对质量不同的小球在不同摆长下摆动的情况进行了研究， 探究摆动时间与小球质量的关系： 观察表格数据，当摆长相同的情况下，如都取，质量的小球30个周期为，1个周期T为，可以发现不同质量的小球摆动一个周期的时间几乎相同，说明小球来回摆动一次的时间与小球质量无关； 探究摆动时间与摆长的关系： 观察表格数据，当小球质量都为时，随着摆长L从逐渐减小，1个周期T的值从逐渐减小到，当小球质量都为时，同样随着摆长L的减小，1个周期T的值也在减小，这表明小球质量相同的情况下，摆长越短，小球来回摆动一次的时间越短，即小球来回摆动一次的时间与摆长有关； 由于最高点距中心点的距离与摆长相关，在该实验中主要体现的是摆长对摆动时间的影响，所以影响小球来回摆动一次时间的因素是细绳长度． 故选：B． （2）分析摆钟在冬天的变化情况，已知冬天天气寒冷，摆钟的摆杆会因为热胀冷缩而收缩，即摆长变短；由（1）可知，单摆来回摆动一次的时间与摆长有关，摆长越短，摆动一次的时间越短，摆钟是根据单摆的等时性原理工作的，摆钟摆动一次的时间变短，那么在相同的时间内，摆钟摆动的次数就会增多，所以摆钟在冬天会变快． 故选：A． 题型2.归纳与类比 1．数形结合是一种广泛适用的解决问题的策略，学习过程中，下面用到数形结合的方法的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ 【答案】C 【分析】根据数形结合思想的意义解答即可． 本题考查了数形结合思想，熟练掌握思想的实质是解题的关键． 【详解】解：①只有数，没有形，不符合题意；②只有形，没有数，不符合题意；③④都体现了数形结合思想， 故选：C． 2．哥德巴赫在教学中发现：，，，，，，，…，，，……由此归纳出了“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个___之和． 【答案】 质数 【分析】本题考查归纳与类比． 根据题干通过多个偶数分解为两个质数之和的例子，即可归纳出哥德巴赫猜想的内容． 【详解】解：根据题干所给例子，如，，，，，，，，，， 这些偶数均被分解为两个质数的和， ∴“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和． 故答案为：质数． 3．（1）①如果，那么________； ②如果，那么________； ③如果，那么________； （2）由（1），请你归纳出比较与大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 【答案】（1）①＜  ②＝  ③＞ （2）如果，那么； （3） 【分析】（1）根据不等式的基本性质，通过与的大小关系，直接判断与的大小； （2）归纳出“作差法”比较两个数（或代数式）大小的通用方法； （3）运用作差法，对两个代数式作差并化简，根据差的符号判断大小． 【详解】解：（1）① 如果，那么； ② 略 ③ 如果，那么。 （2）比较，两数的大小，分三种情况： 如果与的差大于，那么大于； 如果与的差等于，那么等于； 如果与的差小于，那么小于． （3） ∵， ∴ 故： ． 【点睛】本题考查了作差法比较大小和不等式的基本性质，解题关键是掌握作差法的步骤：作差→变形→判断差的符号→得出结论，其中变形是核心，通常通过合并同类项、配方等方式简化差式． 题型3.猜想与证明 1．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【详解】解：通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 2．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 【答案】C、B、A、E、D 【分析】此题考查了逻辑推理， 根据老师的话“每个名次都有人猜对”，分析各人的猜测，由于第二名只有D猜测“B第二名”，因此B必须是第二名；进而第三名必须被猜对，只有E猜测“A第三名”可能正确，因此A是第三名；第一名由D猜测“C第一名”正确，故C是第一名；第四名和第五名需被猜对，第五名只能是D（因为C已是第一名），故D是第五名；第四名只能是E，被B或C猜对． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 3．阅读下列材料，解答问题： 关于的方程的解是；的解是； 的解是． (1)观察上述方程以及解的特征，请直接写出关于的方程的解为________． (2)猜想：的解是________． (3)①请验证第（2）问猜想的结论； ②利用第（2）问的结论，求解关于的方程的解（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；② 【分析】本题考查了方程的解，（1）根据题干方程与方程解的规律即可得到该方程的解，（2）根据题干的规律，可以推导出该方程的解；（3）①用代入检验法检验第二问的猜想；②根据结论推导出的是的值，移项即可得到的值. 【详解】【小题1】解：根据题干可知： 关于的方程的解为：； 故答案为：. 【小题2】解：关于的方程的解为：； 故答案为：. 【小题3】解：①把代入等式的左边， 得， 左边右边， 的解为； 则第（2）问得证． ②由题意知， ， ； 故答案为：． 题型4.判断是否是命题 1．下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 2．“你的作业做完了吗”这句话______命题．（填“是”或者“不是”） 【答案】不是 【分析】本题考查命题的概念，把握命题概念的要点是关键．根据命题的定义判断即可． 【详解】解：“你的作业做完了吗”这句话不是命题． 故答案为：不是 3．请给如图所示的图形命名，并给出名称的定义． 【答案】见解析 【详解】解：直角三角形，定义：有一个角为直角的三角形是直角三角形． 题型5.写出命题的题设与结论 1．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 2．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 3．如图，有下面四个论断：①；②；③；④．请选择其中三个论断，以两个作为条件，一个作为结论组成命题，并判断其真假． 【答案】条件：①；②；结论：④，是真命题（答案不唯一） 【分析】四个条件可以随便选出2个作为条件，剩下的两个随便一个作为结论，然后判断命题真假． 【详解】解：条件：①；②； 结论：④，是真命题， 证明如下：在和中， ， ∴， ∴． 条件：①；②； 结论：③，是真命题， 证明如下：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 题型6.判断命题真假 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】通过举反例的方法来判断命题的真假即可． 【详解】解： A、根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行， ，，，本命题是真命题； B、举反例：两个位置不相对的直角，角度相等但不是对顶角，因此本命题是假命题； C、举反例：，，满足，但，，因此本命题是假命题； D、举反例：和都是锐角，和为仍是锐角，不是钝角，因此本命题是假命题． 2．如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 【答案】 是整数 是偶数 真 【分析】命题为“如果…那么…”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，结合偶数定义即可判断命题真假． 【详解】解：对于“如果…那么…”形式的命题， “如果”引出的部分是题设，因此本题题设是是整数； “那么”引出的部分是结论，因此本题结论是是偶数； 是整数时，一定能被整除，符合偶数的定义， 该命题是真命题． 3．说明“与一个偶数前后相邻的两个偶数之和，一定是4的倍数”是一个真命题． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可； 根据题意，先设出这个偶数为， 则这个偶数的前一个偶数为，后一个偶数为， 求出其和，从而可证明． 【详解】解：设一个偶数为（为整数）， 则这个偶数的前一个偶数为，后一个偶数为， 故有， 因为为整数， 所以（为整数）一定是4的倍数， 所以原命题是真命题． 题型7.举例说明假（真）命题 1．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】找出满足但的的值即可． 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 2．命题“若，则”是_______命题．（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【分析】利用平方的性质，通过举反例即可验证命题是否正确． 【详解】解：取，，计算得，， 此时满足，但，不满足， 因此原命题不成立，该命题是假命题． 3．将“两个负数之差是负数”改写成“如果……那么……”的形式，再判断它是真命题，还是假命题？如果是真命题，请说明理由．如果是假命题，请举出反例来说明． 【答案】解：改写为：如果两个数都是负数，那么这两个数的差是负数，该命题是假命题，反例如下： 当时，满足a、b都是负数，但是，即与的差是正数， ∴原命题是假命题． 【分析】先拆分原命题得到题设和结论，改写成要求的形式，再通过举反例判断命题真假即可． 【详解】略 题型8.举反例 1．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 2．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 【答案】 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例即可. 【详解】解：当，时，满足， 计算得，， ∵， ∴， 不满足，因此可以说明命题“如果，那么”是假命题． 故，时，命题“如果，那么”是假命题．（答案不唯一） 3．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等 (2)是假命题，反例：，但 【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等； 结论：这两个数也相等． （2）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题， 反例：，但． 题型9.定理与证明 1．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【答案】C 【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误； B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误； C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确； D、定理不可能是假命题，所以本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键． 2．定理1：同角（等角）的补角________；定理2：同角（等角）的余角________；定理3：三角形的任意两边之和________第三边；定理4：对顶角________． 【答案】 相等 ， 相等 ， 大于 ， 相等 【分析】根据余补角性质定理，三角形的三边关系，对顶角定理，即可得到答案. 【详解】解：定理1：同角（等角）的补角相等； 定理2：同角（等角）的余角相等； 定理3：三角形的任意两边之和大于第三边； 定理4：对顶角相等； 故答案为相等；相等；大于；相等； 【点睛】本题考查了余补角性质定理，三角形的三边关系，对顶角定理，解题的关键是熟练掌握课本的性质定理. 3．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键． 题型10.写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 2．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 3．命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等． （根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：如图，在中，是的角平分线． 求证：． 证明：∵，是的角平分线． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，命题证明类问题；难点是写出已知和求证．先确定命题的题设和结论，据此画图用数学符号语言表示，再利用角平分线的性质及三角形全等进行证明． 【详解】略 题型11.已知证明过程填写理论依据 1．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案. 【详解】解：如图，    根据两点之间线段最短，即可判断：， ∴三角形的任意两边之和大于第三边； 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质. 2．（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， . 【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可； （2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短． 故答案为垂线段最短． （2）根据题意，当时， 有：（SSS）， 所依据的数学公理是SSS； 故答案为 ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理. 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 题型12.根据给出的论断组命题并证明 1．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 2．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 3．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】 解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】略 题型13.以几何为背景的推理与论证 1．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 2．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 3．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由如下： 设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】略 题型14.以代数为背景的推理与论证 1．卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解． 【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场， ∵日本队得6分， ∴日本队胜2场，负1场， ∵西班牙队得4分， ∴西班牙队胜1场，平1场，负1场， ∵德国队得4分， ∴德国队胜1场，平1场，负1场， ∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场， ∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平， ∴斯达黎加队胜1场，负2场， ∴哥斯达黎加的积分是3分． 故选：D 【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键． 2．某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是__________． 【答案】258 【分析】本题主要考查推理与论证；先列出所有可能的排列，再根据题意逐一排除即可求出结果． 【详解】解：根据题意，列出所有可能的排列： 密码由2、5、8组成，共有6种排列： 258，285，528，582，825，852 根据婷婷的条件：2不在末位； 排除末位为2的排列： ∴剩余候选：258，285，528，825， 应用乐乐的条件：5和8相邻， ∴剩余候选：258，285 应用香香的条件：中间位不是8， 最终剩余：258； 故答案为：258． 3．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 题型15.逻辑推理与论证 1．某次素养竞赛中有道选择题，答对记分，答错不计分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这道题的得分情况：     题号同学 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 乙 C B B C C 丙 C C B B B 丁 C C B B A 则乙同学的得分是：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】甲得分，说明仅错道题，通过分情况讨论甲错的题号，结合丙、丁的得分验证，推出道题的正确选项，再计算乙的得分即可． 【详解】解：∵甲得分， ∴甲仅错道题，分情况讨论： ①若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第题A，第题B，第题C，第题B，此时丁仅对第题，得分，与丁得分矛盾，不符合题意； ②若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第1题C，第题B，第题C，第题B，此时丙对第、、题，得分，与丙得分矛盾，不符合题意； ③若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第1题C，第题A，第题C，第题B，此时丁仅对第题，得分，与丁得分矛盾，不符合题意； ④若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第题C，第题A，第题B，第题B，此时丙对第、、题，得分，与丙得分矛盾，不符合题意； ⑤若甲错第题，则其余道正确，即第题C，第题A，第题B，第题C正确，且第题不是B。此时丙答案为C、C、B、B、B，对第题、第题，得分，符合丙得分， ∵丁得分，丁答案为C、C、B、B、A，已对第题、第题得分， ∴第题A正确，刚好得分，符合条件． ∴道题的正确答案依次为C、A、B、C、A，对照乙的答案C、B、B、C、C，乙答对第题、第题、第题，共得分． 2．桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有（）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上． 【答案】 【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，分析得翻动1次和2次都无法满足所有牌翻奇数次的要求，构造翻动3次可满足条件，因此最少翻动次数为3. 【详解】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次； 当共6张牌，每次翻动4张时： 若翻动1次，仅4张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余4张；第二次不翻第1、3张，翻其余4张；第三次不翻第2、3张，翻其余4张；各牌翻动次数为1次或3次，均为奇数，可使所有牌反面向上， 故至少翻动3次； 当共张牌，，每次翻动张时： 若翻动1次，仅张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余张；第二次不翻第1、3张，翻其余张；第三次不翻第2、3张，翻其余张； 各牌翻动次数：第1、2、3张各翻动1次，其余牌各翻动3次，所有次数都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3次. 3．将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？ 【答案】共有种方法． 【分析】本题考查排列组合知识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，然后再将剩12个小球，利用隔板法分为三堆放入即可． 【详解】解：先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩12个小球， 三个盒内每个盒子至少再放入1个，将12个球排成一排， 有11个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中， 共有种方法． ✺巩固测试 一、单选题 1．我们这样来探究二次根式的结果，当时，如，则，此时的结果是a本身；当时， ．此时的结果是零；当时，如，则，此时的结果是a的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（　　） A．分类讨论 B．数形结合 C．公理化 D．转化 【答案】A 【分析】此题考查数学解题思想，根据题意分三种情况解答，即根据分类讨论思想解决问题． 【详解】解：根据题意可知，探究过程是分三种情况讨论的，因此可知体现了数学思想是：分类讨论． 故选A． 2．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 【答案】C 【分析】公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实， 这种推理的过程称为证明． 本题考查了证明的概念，根据证明的概念求解即可． 【详解】“证明”是一种推理过程． 故选：C． 3．下列句子，是命题的是（　　） A．美好的未来 B．相等的角是同位角 C．作线段AB＝CD D．你喜欢运动吗 【答案】B 【详解】解：A、“美好的未来”是描述性语言，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； B、“相等的角是同位角”对相等的角是否为同位角作出了判断，是命题，符合题意； C、“作线段”是作图指令，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； D、“你喜欢运动吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意. 4．命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题的结构组成，在命题“如果P，那么Q”中，P是条件，Q是结论，据此即可解答． 【详解】解：∵命题是“如果，那么 ”， ∴ 条件部分是， 故选A． 5．下列命题是真命题的是（   ） A．无限小数都是无理数； B．没有平方根； C．立方根等于它本身的数是和； D．直角三角形的两边分别为和，则第三边为． 【答案】C 【详解】解：A．无限不循环小数是无理数，原命题是假命题； B．的平方根是，原命题是假命题； C．立方根等于它本身的数是和，原命题是真命题； D．直角三角形的两边分别为和，当为斜边时，第三边为，不是10，原命题是假命题． 二、填空题 6．小聪认为命题“两个无理数的和一定是无理数”不正确，请你帮他举一个反例___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是无理数的含义，相反数的性质，根据无理数的定义，寻找互为相反数的两个无理数，它们的和为有理数，即可作为反例． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，取和，二者均为无理数， ∴，0是有理数， 因此这两个无理数的和是有理数，可作为原命题的反例． 故答案为：（答案不唯一） 7．判断命题“如果，那么”是假命题可以举出一个反例，则的值可以为___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】解：当时，，满足条件， ，不满足命题结论， ∴命题“如果，那么”是假命题． 8．定理1：同角（等角）的补角________；定理2：同角（等角）的余角________；定理3：三角形的任意两边之和________第三边；定理4：对顶角________． 【答案】 相等 ， 相等 ， 大于 ， 相等 【分析】根据余补角性质定理，三角形的三边关系，对顶角定理，即可得到答案. 【详解】解：定理1：同角（等角）的补角相等； 定理2：同角（等角）的余角相等； 定理3：三角形的任意两边之和大于第三边； 定理4：对顶角相等； 故答案为相等；相等；大于；相等； 【点睛】本题考查了余补角性质定理，三角形的三边关系，对顶角定理，解题的关键是熟练掌握课本的性质定理. 9．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 10．（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， . 【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可； （2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短． 故答案为垂线段最短． （2）根据题意，当时， 有：（SSS）， 所依据的数学公理是SSS； 故答案为 ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理. 三、解答题 11．请认真阅读并完成相应的学习任务： 证明：等腰三角形两腰上的高线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：__________， 结论是：__________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，在中，，于点D，于点E． 求证：__________． 证明：__________． 【答案】（1）两条高是等腰三角形两条腰上的高；这两条高相等； （2）求证：． 证明：∵于点D，于点E， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】本题考查了命题的条件和结论，全等三角形的判定和性质． （1）根据命题的条件和结论的定义作答即可； （3）结合结论得到求证内容，进而根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】解：（1）这个命题的条件是：两条高是等腰三角形两条腰上的高， 结论是：这两条高相等， 故答案为：两条高是等腰三角形两条腰上的高；这两条高相等； （2）略 12．命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角． (1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式； (2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 (2)假命题，反例为两个直角相加也为180度 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据真假命题的判定及反例可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角； （2）解：该命题是假命题，反例为两个直角相加也为180度． 13．在学习垂直平分线的性质时，在证明“线段垂直平分线上的点到线段两段距离相等”这个命题时，陈老师让大家分组讨论，小振作了如图所示的证明过程，眼尖的小中说肯定不对． (1)聪明如你，此证明过程明显缺少环节是少写了 和 ； (2)请将正确的证明步骤写出来． 【答案】(1)已知，求证； (2)见解析 【分析】本题考查了证明的步骤，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据证明的一般步骤作答即可； （2）根据证明的一般步骤，写出已知和求证，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：由题意可知，此证明过程明显缺少环节是少写了已知和求证， 故答案为：已知，求证； （2）解：已知：如图，直线垂直平分线段，垂足为，点在上． 求证：． 证明：直线垂直平分线段， ，， 又， ， ． 14．观察下列等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1)； (2)， 证明如下： 右边 左边． 故等式成立． 【分析】本题主要考查学生观察数列规律归纳代数表达式的能力以及对平方差公式的理解与运用，正确分析等式右边两个平方项的底数与序号的关系是解题的关键．通过观察等式中个数的变化规律，找到与序号相关的代数表达式，即可求出答案． 【详解】（1）解：先观察等式左边：第个式子为，第个式子为，第个式子为，第个式子为， 每个式子均为序号，故第个等式的左边为； 再观察等式右边，右边由两部分组成： ①前半部分为一个数的平方，底数依次为，，，，相邻两数之差均为， 即第个底数为，第个底数为，第个底数为，第个底数为，每一个底数均为序号， 因此第个底数为，即第个等式右边的前半部分为； ②观察后半部分，第个式子为，第个式子为，第个式子为，第个式子为， 后半部分均为序号的平方，故第个等式右边的后半部分为． 综上，第个等式为． （2）解：由（1）可提出猜想，第个等式的左边为，第个等式右边的前半部分的底数为，即第个等式右边的前半部分为，第个等式右边的后半部分为， 故第个等式为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15为什么要证明、认识证明暑假预习讲义 ✺知识框架 1.证明的必要性：破除直观认知误区，明确观察、实验、归纳的局限性，理解逻辑证明的核心价值。 2.证明的基础认知：掌握命题、公理、定理、证明的核心概念，明晰几何推理的规范与依据。 ✅直观判断存在误差，特例归纳无法通用，所有数学可靠结论，均需依托严谨逻辑推理论证。 ✺学习目标 1.充分认知观察、实验、不完全归纳的局限性，透彻理解数学证明的必要性。 2.掌握数学结论的三类检验方法，明晰各类方法的适用范围与有效性。 3.熟记命题、真命题、假命题、公理、定理、证明的教材标准定义。 4.掌握命题的结构拆分方法，熟练运用举反例判定假命题。 5.区分公理与定理的核心差异，熟知几何证明的规范规则，建立严谨推理思维。 ✺题型归纳 题型1.观察与实验 题型2.归纳与类比 题型3.猜想与证明 题型4.判断是否是命题 题型5.写出命题的题设与结论 题型6.判断命题真假 题型7.举例说明假（真）命题 题型8.举反例 题型9.定理与证明 题型10.写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型11.已知证明过程填写理论依据 题型12.根据给出的论断组命题并证明 题型13.以几何为背景的推理与论证 题型14.以代数为背景的推理与论证 题型15.逻辑推理与论证 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一：证明的必要性 1.核心认识 依托观察、实验、不完全归纳得出的数学结论，具备偶然性与局限性，无法作为可靠的通用结论，不能直接采信。 2.三类非严谨认知的缺陷 观察判断：存在视觉偏差与图形错觉，主观直观感受无法精准判定数学、几何关系。 实验验证：存在测量误差，实验样本具有局限性，无法覆盖全部情况。 不完全归纳：仅能验证部分特例，无法推导普遍数学规律，结论不具备通用性。 3.数学结论判定准则 判定一个数学结论是否成立，唯一可靠方式是有理有据的严谨推理论证。 4.结论检验三类方法 实验验证：仅用于初步猜想，辅助参考，不具备最终判定效力。 举反例验证：找到一例满足条件、不满足结论的特例，即可直接推翻命题，判定为假命题。 逻辑推理论证：层层推导、步步有据，是判定数学结论正确的唯一有效方式。 知识点二、命题的核心概念 1.定义 命题：可以判断真假的陈述句。疑问句、感叹句、祈使句均不属于命题。 2.命题固定结构 所有命题均可拆解为 条件（题设）＋ 结论，可统一改写为“如果……，那么……”句式；“如果”衔接已知条件，“那么”衔接推导结论。 3.命题分类 真命题：题设成立时，结论必然成立的命题。 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题。 4.假命题判定方法 无需完整证明，仅需举出一个有效反例，即可证明命题为假。 知识点三、公理、定理与证明 1.公理（基本事实） 无需证明、公认成立的真命题，是几何推理的原始依据，为所有证明的逻辑起点。 课内常用公理：两点确定一条直线；两点之间线段最短；同位角相等，两直线平行。 注意：两直线平行，同位角相等为定理，不是公理 2.定理 经过严谨逻辑证明、判定为正确的真命题，可直接作为后续几何推理与证明的通用依据。例：对顶角相等、同角的余角相等。 3.证明（核心考点） 从已知条件出发，依托定义、公理、定理，通过有序逻辑推理，推导出待证结论成立的完整过程，称为证明。 4.几何证明核心规范 步步有据：每一步推理均需标注对应依据，无依据的推理无效。 逻辑严谨：禁止跳步、臆断，杜绝依靠观察、猜测推导结论。 格式标准：严格遵循“已知—求证—证明”的规范书写格式。 知识点四：核心概念辨析对比 核心概念 证明情况 本质属性 核心作用 公理 无需证明 公认成立的真命题 几何推理的原始依据、证明起点 定理 已被逻辑证明 经推导验证的真命题 后续几何推理、证明的通用依据 证明 逻辑推导过程 严谨的数学论证行为 判定结论真假、推导新定理 知识点五、易错提醒 1.并非所有陈述句都是命题，可判断真假的陈述句才是命题，各类问句、感叹句均无真假性，不属于命题。 2.观察、实验结果仅可用于猜想，不能作为数学证明的有效依据。 特例无法等同于证明：假命题可凭单一反例推翻，真命题必须完整推理论证。 3. 公理与定理不可混淆：公理是无需证明的基础事实，定理是已经经过逻辑证明的真命题。 4.几何证明全程必须有据可依，主观臆断、缺步推理均为错误。 ✺题型精讲 题型1.观察与实验 1．睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 2．透明盒子中有A、B、C、D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（） 1 2 3 4 当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有___________种． 3．阅读下面的材料，回答后面的两个问题：单摆是能够产生往复摆动的一种装置，它由摆球和摆绳组成，生活中的荡秋千，摆钟都可以看作是一种单摆运动．科学探究小组想知道单摆来回摆动一次的时间与什么因素有关，他们进行了如下实验：如图，把小球拉开一个小角度至A处，放开小球后，小球将沿着的轨迹做往复运动，两点为运动过程中的最高点，点O为中心点．得出的实验数据如表所示： 摆长L（cm） 质量为50g的小球30个周期（s） 1个周期T（s） 质量为100g的小球30个周期（s） 1个周期T（s） 93.76 58.35 1.945 58.30 1.943 83.68 55.05 1.835 55.08 1.836 73.46 51.55 1.718 51.51 1.717 63.44 47.50 1.583 47.56 1.585 53.71 44.70 1.490 44.70 1.490 (1)分析上述实验数据可知，影响小球来回摆动一次的时间的因素是（   ） A．小球质量                B．细绳长度 C．最高点距中心点的距离    D．以上都有关 (2)冬天天气寒冷，若只考虑摆钟的摆杆因为热胀冷缩而产生的变化，摆钟在冬天会（   ） A．变快     B．变慢    C．不变     D．无法判断 题型2.归纳与类比 1．数形结合是一种广泛适用的解决问题的策略，学习过程中，下面用到数形结合的方法的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ 2．哥德巴赫在教学中发现：，，，，，，，…，，，……由此归纳出了“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个___之和． 3．（1）①如果，那么________； ②如果，那么________； ③如果，那么________； （2）由（1），请你归纳出比较与大小的方法，并用文字语言叙述出来； （3）用（2）归纳出的方法，比较与的大小． 题型3.猜想与证明 1．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 2．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 3．阅读下列材料，解答问题： 关于的方程的解是；的解是； 的解是． (1)观察上述方程以及解的特征，请直接写出关于的方程的解为________． (2)猜想：的解是________． (3)①请验证第（2）问猜想的结论； ②利用第（2）问的结论，求解关于的方程的解（用含的代数式表示）． 题型4.判断是否是命题 1．下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 2．“你的作业做完了吗”这句话______命题．（填“是”或者“不是”） 3．请给如图所示的图形命名，并给出名称的定义． 题型5.写出命题的题设与结论 1．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 2．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 3．如图，有下面四个论断：①；②；③；④．请选择其中三个论断，以两个作为条件，一个作为结论组成命题，并判断其真假． 题型6.判断命题真假 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 2．如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 3．说明“与一个偶数前后相邻的两个偶数之和，一定是4的倍数”是一个真命题． 题型7.举例说明假（真）命题 1．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 2．命题“若，则”是_______命题．（填“真”或“假”）． 3．将“两个负数之差是负数”改写成“如果……那么……”的形式，再判断它是真命题，还是假命题？如果是真命题，请说明理由．如果是假命题，请举出反例来说明． 题型8.举反例 1．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 2．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 3．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 题型9.定理与证明 1．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 2．定理1：同角（等角）的补角________；定理2：同角（等角）的余角________；定理3：三角形的任意两边之和________第三边；定理4：对顶角________． 3．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 题型10.写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 2．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 3．命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等． （根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 已知： 求证： 证明： 题型11.已知证明过程填写理论依据 1．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 2．（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 题型12.根据给出的论断组命题并证明 1．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 2．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 3．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 题型13.以几何为背景的推理与论证 1．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 2．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 3．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 题型14.以代数为背景的推理与论证 1．卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是__________． 3．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 题型15.逻辑推理与论证 1．某次素养竞赛中有道选择题，答对记分，答错不计分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这道题的得分情况：     题号同学 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 乙 C B B C C 丙 C C B B B 丁 C C B B A 则乙同学的得分是：（     ） A． B． C． D． 2．桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有（）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上． 3．将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？ ✺巩固测试 一、单选题 1．我们这样来探究二次根式的结果，当时，如，则，此时的结果是a本身；当时， ．此时的结果是零；当时，如，则，此时的结果是a的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（　　） A．分类讨论 B．数形结合 C．公理化 D．转化 2．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 3．下列句子，是命题的是（　　） A．美好的未来 B．相等的角是同位角 C．作线段AB＝CD D．你喜欢运动吗 4．命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题是真命题的是（   ） A．无限小数都是无理数； B．没有平方根； C．立方根等于它本身的数是和； D．直角三角形的两边分别为和，则第三边为． 二、填空题 6．小聪认为命题“两个无理数的和一定是无理数”不正确，请你帮他举一个反例___________． 7．判断命题“如果，那么”是假命题可以举出一个反例，则的值可以为___________．（写出一个即可） 8．定理1：同角（等角）的补角________；定理2：同角（等角）的余角________；定理3：三角形的任意两边之和________第三边；定理4：对顶角________． 9．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 10．（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 三、解答题 11．请认真阅读并完成相应的学习任务： 证明：等腰三角形两腰上的高线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：__________， 结论是：__________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，在中，，于点D，于点E． 求证：__________． 证明：__________． 12．命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角． (1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式； (2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 13．在学习垂直平分线的性质时，在证明“线段垂直平分线上的点到线段两段距离相等”这个命题时，陈老师让大家分组讨论，小振作了如图所示的证明过程，眼尖的小中说肯定不对． (1)聪明如你，此证明过程明显缺少环节是少写了 和 ； (2)请将正确的证明步骤写出来． 14．观察下列等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $