精品解析：北京市景山学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

北京市景山学校2026~2027学年度第一学期高三开学 数学试卷 2026.8 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 集合，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先明确集合，再求其交集即可. 【详解】因为，， 所以有4个元素. 故选：D 2. 设，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，选项A错误； 当时，选项B错误； 当时，选项C错误； ∵函数在上单调递增， ∴当时，． 本题选择D选项. 点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 3. 昆明以其多样的民族文化和独特的地方美食闻名.现有一名游客计划在三天内品尝完过桥米线、汽锅鸡、烧饵块、鲜花饼这4种特色美食，每天至少选择1种（当天选择的种类不分先后顺序）.若三天后他恰好品尝完所有4种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】先部分平均分组，再排列，利用分步乘法计数原理得解. 【详解】先将4种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为， 故选：C. 4. 物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C. 在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D. 在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别令，，得两式，运算可求得，再令，求得，即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，①， 当时，②， ①+②=， 所以， 所以， 故选：C. 6. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 32种 B. 48种 C. 64种 D. 72种 【答案】D 【解析】 【分析】先利用捆绑法将三位“80后”看作一个整体后与“70后”蔡旭哲进行排列，再利用插空法即可. 【详解】因三位“80后”相邻，可将其看作一个整体， 再将这三位“80后”和“70后”蔡旭哲先进行排列，有种排法， 在其前后会留下3个空位，再将剩下的两位“90后”插入这3个空位中，有种插法， 因此不同的站法共有种. 故选：D. 7. 设函数，则“”是“有个零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，探讨函数的极值情况，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】函数定义域为R，求导得， 当，即时，恒成立，函数在R上单调递增，最多1个零点， 当，即时，方程有两个不等实根， 当或时，，当时，， 因此函数在取得极大值，在取得极小值， 当且时，函数有3个零点， 由上，当时，不能确保函数有3个零点， 反之函数有3个零点，由三次函数性质知，必有两个极值点，，即， 所以“”是“有个零点”的必要而不充分条件. 故选：B 8. 设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得 即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立， ∴不等式的解集为. 故选：C. 9. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导法则和基本函数的导数，再根据题设定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则，， 因为，所以在区间上恒成立，所以选项A不正确， 对于选项B，因为，则，， 易知在区间上恒成立，所以选项B错误， 对于选项C，因为，则，， 易知易知在区间上恒成立，所以选项C错误， 对于选项D，因为，则，， 则在上不是凸函数，所以选项D正确， 故选：D. 10. 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记．下列命题中正确的是（ ） A. 已知，，且，则 B. 已知，，则存在实数a，使得 C. 已知，若，则对任意，都有 D. 已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 【答案】D 【解析】 【分析】A直接计算即可判断；B分类讨论判断；C举反例判断；D对任意的实数，求出满足条件即可． 【详解】对于A，∵，，∴，于是或，∴A错； 对于B，假设存在实数，使， 若，，矛盾， 若，，矛盾， 若，，矛盾， 若，，矛盾， 若，，矛盾， ∴B错； 对于C，取，，则，但对任意，，不成立，∴C错； 对于D，对任意的实数，只须满足，，，就有，从而，∴D对． 故选：D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 的二项展开式中，项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为． 故答案为：． 12. 已知函数，则______；在区间上有______个极值点. 【答案】 ①. ## ②. 2 【解析】 【分析】先求导，即可求，利用导数研究单调性即可得极值点. 【详解】由题意有，所以， 令有或，当时，有或， 由有或解得或， 由有或解得或， 所以的单调增区间为，单调减区间为， 所以的极大值点为，极小值点为，在区间上有2个极值点， 故答案为：；2. 13. 已知函数若 使得 则实数a的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，分别求出函数的最小值，结合不等式恒成立列不等式求解，即得答案. 【详解】由，可得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故； 由，，可得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于若 使得故， 即，即实数a的取值范围是， 故答案为： 14. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，按和分类讨论，结合指数函数值域求解即得. 【详解】当时，若，则， 若，则，当且仅当时取等号， 则当时，恰有一个零点，因此； 当时，若，则， 若，，显然，此时有一个解， 由恰有一个零点，则当且仅当，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 15. 已知函数的定义域为，满足，且当时，．有以下三个结论： ①； ②当时，方程在区间上有三个不同的实根； ③函数有无穷多个零点，且存在一个零点． 其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①② 【解析】 【分析】利用即可计算；利用，且当时，可计算函数在上的解析式，作出函数图象与直线判断方程根的个数；利用当时，可解得一个零点，再利用得零点为即可. 【详解】因为，所以，即，故①正确； 由，且当时，得 . 函数在的大致图象如图所示，由图可得，当时，函数与直线有三个交点，即方程在区间上有三个不同的实根，故②正确； 当时，由得. 由得若，则，，所以函数的所有零点为. 所以函数有无穷多个零点，但不存在整数零点.故③错误. 16. 已知函数，其中．给出下列四个结论： ①当时，函数有极大值，无极小值； ②若方程存在三个根，则； ③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点； ④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】每个命题都画出对应的函数图像，数形结合，即可得出答案． 【详解】对于①,第二段的对称轴为，画出函数草图，则函数无极大值，故①错误． 对于②，如图所示． 方程存在三个根，在第一段内显然有一个根，则在第二段内一定有两个根． 即在上有两根，即在有两根．必须满足 ，解得，故②正确. 对于③，当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点，等价于第二段函数图像关于原点对称的图像，与原函数的第一段图像有交点，如图所示，显然成立.故③正确. 对于④，当时，，大概画出草图如下. 由图像得在原点两侧才能存在公共切线， 当 时，，。 在点 处的切线方程为： 即： 当 时，，。 在点 处的切线方程为： 即： 切线重合需满足斜率相等和截距相等： ， 由第二式得，代入第一式得， 令，则， 且（当 ），故存在 使， 因此存在，，使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线，④正确。 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：本题综合考查了函数极值，对称性，切线，零点问题.直接计算有时候比较复杂，可以数形结合，可以简化分析运算. 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的值； （3）设集合，若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过解一元二次不等式求得集合，进而求得. （2）根据，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的值. （3）根据集合的元素的个数进行列举，由此求得正确答案. 【小问1详解】 令，解得，， 当时，， 令，解得，， 所以. 【小问2详解】 由， ①当时，，符合题意， ②当时，，此时不满足， ③当时，， 若，则需，此时方程组无实数解. 综上，. 【小问3详解】 集合， 由（2）可知， 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，要使中有且只有三个元素， 而，则，则，. 所以或. 18. 已知函数（，为正实数）． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）见解析，（Ⅲ） 【解析】 【分析】(I)先对函数求导，然后根据导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程； (II)先对函数求导，可得．通过讨论a﹣2的正负，判断导数在[0，+∞）上的符号，进而求出函数的单调区间； (III)结合（II）中函数单调区间，可求函数取得最小值的条件及最小值，从而可求a的范围. 【详解】(I)当时，， 则 所以.又， 因此所求的切线方程为； (II) 当，即时，因为，所以， 所以函数在上单调递增. 当，即时， 令，则（），解得. 当时，，当时，. 所以函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为； (III)由(II)知当时，函数在上单调递增， 则的最小值为，满足题意. 当时，函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为， 则的最小值为，而，不合题意. 所以的取值范围是. 19. 为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动，活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段公组记录如下表： 组别 男生 女生 合格 不合格 合格 不合格 第一组 90 10 80 20 第二组 88 12 72 28 第三组 60 40 58 42 第四组 80 20 62 38 第五组 82 18 78 22 合计 400 100 350 150 假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立. （1）从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率； （2）从该地区众多中小学的男生､女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分布列与数学期望； （3）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“”表示第k组同学跳绳成绩合格，“”表示第k组同学跳绳成绩不合格()，试确定方差中哪个最大？哪个最小？(只需写出结论). 【答案】（1） （2）X的分布列为 X的数学期望， （3）最小，最大 【解析】 【分析】（1）根据表格求出男女生跳绳合格的人数，总的人数，利用古典概型求解； （2）根据相互独立事件的概率求出分布列，计算期望即可； （3）根据表格所给数据，由方差的意义直接得到. 【详解】（1）设事件A=“从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格” 样本中男生跳绳成绩合格的有:90+88+60+80+82=400人， 样本中女生跳绳成绩合格的有:80+72+58+62+78=350人， 样本中男、女跳绳成绩合格的共有:400+350=750， 样本中的男生总人数:400+100=500 人， 样本中的男生总人数:350+150=500人， 样本中男、女生总数:500+500=1000， 所以， （2）设事件B=“从该地区众多中小学的男生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”, 则 设事件C=“从该地区众多中小学的女生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”， 则 由题可知X的可能取值为0，1，2， 则， ， ， 所以X的分布列为 所以X的数学期望， （3）最小，最大. 20. 已知函数． （1）若在R上是增函数，求实数a的取值范围； （2）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由； （3）若存在三个实数，满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，求导后利用单调性求得函数的最小值，即可求得结果；（2）对函数二次求导后求得导数的单调性即可判断出结果；（3）若存在三个实数，满足，则函数存在3个单调区间，结合（1）中函数的单调性且时，，利用单调性解得结果. 【小问1详解】 ∵，则，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，，得，得，即在递减，在递增，则，故. 【小问2详解】 当时，，，得，则递增，，则时，，时，，则在上递减，在上递增，故是函数的极小值点. 【小问3详解】 ∵，令，得，由（1）得， 又在递减，在递增，则， 且时，，， 当时，， 若存在三个实数，满足，故当有两根使得，故或时，，此时递增，时，，此时递减，且时，，则必有先增后减再增，故必存在，满足，故，即. 21. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． （1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． （2）若集合是集合的一个元基底，证明：； （3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 【答案】（1） ①不是的一个二元基底. 理由是； ②是的一个二元基底. 理由是， . （2） 不妨设，则 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数至多有个； 形如 的正整数至多有个. 又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底. 故，即. （3） 的最小可能值为5.的一个基底 【解析】 【分析】（1）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.． （2）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即． （3）由（2）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得 的最小可能值为5． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，所以. 当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设为的一个4元基底， 不妨设，则. 当时，有，这时或. 如果，则由，与结论*矛盾. 如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，均不可能是的4元基底. 当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，的最小可能值为5. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市景山学校2026~2027学年度第一学期高三开学 数学试卷 2026.8 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 集合，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设，，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 昆明以其多样的民族文化和独特的地方美食闻名.现有一名游客计划在三天内品尝完过桥米线、汽锅鸡、烧饵块、鲜花饼这4种特色美食，每天至少选择1种（当天选择的种类不分先后顺序）.若三天后他恰好品尝完所有4种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 42 4. 物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C. 在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D. 在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 32种 B. 48种 C. 64种 D. 72种 7. 设函数，则“”是“有个零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记．下列命题中正确的是（ ） A. 已知，，且，则 B. 已知，，则存在实数a，使得 C. 已知，若，则对任意，都有 D. 已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 的二项展开式中，项的系数为________. 12. 已知函数，则______；在区间上有______个极值点. 13. 已知函数若 使得 则实数a的取值范围是_______________. 14. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是__________. 15. 已知函数的定义域为，满足，且当时，．有以下三个结论： ①； ②当时，方程在区间上有三个不同的实根； ③函数有无穷多个零点，且存在一个零点． 其中，所有正确结论的序号是_____． 16. 已知函数，其中．给出下列四个结论： ①当时，函数有极大值，无极小值； ②若方程存在三个根，则； ③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点； ④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的值； （3）设集合，若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合. 18. 已知函数（，为正实数）． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围． 19. 为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动，活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段公组记录如下表： 组别 男生 女生 合格 不合格 合格 不合格 第一组 90 10 80 20 第二组 88 12 72 28 第三组 60 40 58 42 第四组 80 20 62 38 第五组 82 18 78 22 合计 400 100 350 150 假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立. （1）从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率； （2）从该地区众多中小学的男生､女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分布列与数学期望； （3）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“”表示第k组同学跳绳成绩合格，“”表示第k组同学跳绳成绩不合格()，试确定方差中哪个最大？哪个最小？(只需写出结论). 20. 已知函数． （1）若在R上是增函数，求实数a的取值范围； （2）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由； （3）若存在三个实数，满足，求实数a的取值范围． 21. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． （1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． （2）若集合是集合的一个元基底，证明：； （3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $