专题27.3 实际问题与反比例函数（暑假预习讲义）2026年人教版九年级数学上学期培优讲义

专题27.3 实际问题与反比例函数 【本节预习目标】 1.知识与技能 能识别生活、工程、物理、几何场景中成反比例的两个变量，建立函数模型 熟练用待定系数法求实际问题中的反比例函数解析式，结合实际写出自变量取值范围 能利用反比例图象、增减性求解最值、取值范围、方案选择类实际问题 掌握分段情境（一次+反比例、跨学科情境下函数综合解题方法 2.过程与方法 经历“审题→找定值→建模型→求解→检验”完整建模流程，发展数学抽象、建模核心素养 通过行程、压强、工程等多类情境对比，总结反比例应用通用解题思路 结合图象数形结合分析变量变化规律，提升几何直观与逻辑推理能力 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节关联 反比例函数概念与图象 定义；图象一、三象限，在每个象限随增大而减小；二、四象限 建模基础，利用增减性解决最值、范围问题 待定系数法 已知一组求值 求实际问题函数解析式核心方法 一次函数图象与性质 增减性、分段图象分界点识别 处理分段综合应用题 常见等量关系 路程=速度×时间；工作量=效率×时间；压强×面积=压力 识别反比例定值，建立函数关系式 知识点1：实际问题建立反比例函数模型 1.反比例关系判定核心 若两个变量的乘积为固定常量，则是的反比例函数，解析式写为。 2.建模标准六步骤 ①审：找出常量、变量，确定乘积不变的等量关系； ②设：设自变量与函数； ③列：代入一组对应数值，构造关于的方程； ④解：计算比例系数； ⑤写：写出完整解析式，标注自变量实际取值范围； ⑥验：结果符合生活、学科实际意义。 3.自变量双重限制 ①数学限制：； ②实际限制：长度、速度、人数、时间等必须为正数，部分场景限定整数、上下界。 知识点2：四类典型反比例实际模型（表格） 模型类别 定值等量关系 函数表达式 典型情境 行程模型 路程固定 高速区间测速、轮船运输 工程模型 总工程量固定 河道清理、土石方运输 物理跨学科 压力/电压固定 压强、电路电流、杆 经济几何 总面积/总资金固定 矩形围建、采购预算、销售总额 知识点3：分段函数与反比例综合应用 1.分段图象特征 前一段为正比例/一次函数（升温、燃烧、生产前期），后一段为反比例函数（降温、药物挥发、治污后期），转折点为两段分界。 2.分段解题要点 ①根据自变量区间区分对应函数解析式； ②求解取值、时长时，代入对应分段表达式； ③结合增减性分析区间内变量变化趋势。 【基础巩固题型】 【题型1】生活情境列反比例解析式 1.核心知识点: 反比例关系判定；待定系数法；自变量实际取值范围 2.解题方法技巧: ①定值法：找出乘积不变的固定总量，确定 ②设元法：合理设速度、长度、销量等变量 ③范围标注法：根据实际舍去负数，标注 【例题1】.（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026·河南洛阳·三模）冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【变式题1-3】.（2025·内蒙古包头·三模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数表达式是_______． 【题型2】几何面积反比例基础应用 1.核心知识点: 矩形/三角形面积公式；反比例函数建模；简单求值 2.解题方法技巧: ①面积定值转化：固定面积推出边长反比例关系 ②代入求值法：已知一边直接求另一边长度 ③图象辅助法：草图直观判断变量变化趋势 【例题2】.（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）生活中做拉面的过程就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条粗细（横截面面积）的反比例函数，y与x之间的函数关系式为（），其图象如图所示，则k的值为__________． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x（），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 【题型3】行程类反比例基础计算 1.核心知识点: 路程速度时间关系；反比例增减性；速度范围求解 2.解题方法技巧: ①路程定值建模： ②增减性判断：，越大越小 ③不等式法：限定时间求最低行驶速度 【例题3】.（25-26九年级上·河南三门峡·期末）机器狗学名四足机器人，是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，先进的机器狗的功能已经从单纯的“能跑”拓展到了“能看”、“能思考”和“能干活”．下面图象所示其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，则下列说法错误的是（   ） A．函数表达式为 B．已知机器狗无载重时的最快移动速度为，则机器狗的质量为 C．要使机器狗的最快移动速度v不低于，其载重后总质量不能大于 D．机器狗的质量越大，其移动速度越快 【变式题3-1】.（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·上海·阶段检测）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【变式题3-3】.（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【题型4】表格数据识别反比例关系 1.核心知识点: 表格数据分析；反比例判定；待定系数求 2.解题方法技巧: ①乘积验证法：计算每组，数值相等即为反比例 ②均值法：多组数据取平均减小误差 ③代入检验法：用其余数据验证解析式准确性 【例题4】.（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离．记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格． 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)观察表格，与之间的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围） (2)当托盘中砝码的质量为时，求托盘与点的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·全国·期末）阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻R，之间的关系为 通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： 1 a 4 6 4 3 2 b (1) ， ； (2)根据以上实验，构建函数 结合表格信息，探究函数 的图象与性质． ①在图2中画出函数 的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·广东广州·期末）在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格： 托盘与点之间的距离/ 托盘中砝码的总质量/ (1)根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式； (2)根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据： 0 5 10 20 30 40 50 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0 (1)补全表格中的信息：_________________，___________________． (2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________． (3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程： 首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵__________________， ∴__________________，当且仅当_____________时等号成立． 【培优提升题型】 【题型5】物理跨学科反比例应用题 1.核心知识点: 压强、欧姆定律；跨学科等量转化；反比例增减性 2.解题方法技巧: ①学科公式转化：转化为反比例模型 ②取值约束法：结合器材额定值限定变量区间 ③图象分析法：利用双曲线第一分支分析变化 【例题5】.（25-26九年级下·江西·中考复习）如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 【变式题5-1】.（2026·河南三门峡·三模）如图1所示的电路图．已知电源的电压U（V）保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻，电流表的读数即电流发生改变．测得电路中总电阻R和通过的电流I之间的关系如图2所示（提示：总电阻灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（     ） A．电流I（A）关于电路中的总电阻的函数关系为 B．当经过灯泡的电流为时，电路中的总电阻为 C．当电路中I为时，则滑动变阻器的阻值为 D．由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共40个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元．若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花352元 【变式题5-2】.（2026九年级·吉林·专题练习）在一定的电压下，电流和可变电阻之间成反比例关系．小明用一个蓄电池作为电源组装了一个电路，如图①所示，通过实验，得到电流值随着电阻值的变化而变化的几组数据如下表所示． … 2 3 4 6 12 … … 24 16 12 8 4 … 请解答下列问题： (1)这个蓄电池的电压值是__________V； (2)请在图②所示的坐标系中，通过描点画出电流I和电阻R之间的关系图象，并直接写出I和R之间的函数关系式； (3)如果要使此电路长期正常工作，需保持电流不得低于且不得超过，则可变电阻的阻值应控制在什么范围内． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·山东淄博·期末）数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【题型6】工程工期优化情境题 1.核心知识点: 工作量模型；反比例不等式；实际方案取舍 2.解题方法技巧: ①总量定值列式：总工程量不变建立函数 ②区间求解法：给定工期范围，求效率最低值 ③整数约束：人数、机器台数取正整数 【例题6】.（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．设原计划每天加工个零件． (1)求原计划每天加工零件的个数； (2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？ 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 【变式题6-3】.（2026·北京平谷·二模）某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲组挤出头出料时的出料量为__________； (2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 【压轴素养题型】 【题型7】分段一次+反比例图象问题 1.核心知识点: 分段函数识别；分段解析式求解；区间求值 2.解题方法技巧: ①分界点定位：找准两段图象交点横坐标 ②分段代入：不同时间代入对应函数式 ③时长计算法：联立函数求临界自变量，计算有效区间长度 【例题7】.（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【变式题7-1】.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【变式题7-3】.（2026·山东德州·二模）某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的__________函数；当时，是的__________函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．请你根据图表中给出的信息，结合测量学，求出学生学习解综合题效果显著的状态能持续多长时间？ 【题型8】跨学科探究题 1.核心知识点: 溶液浓度；生物生长规律；模型对比选择 2.解题方法技巧: ①数据拟合：对比一次、二次、反比例模型匹配度 ②趋势验证：结合学科常识筛选合理函数 ③预测求值：利用解析式估算未知变量 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． 【变式题8-2】.（2026·吉林松原·模拟预测）项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 (1)数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． (2)数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． (3)效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 易错点 1、建立解析式后遗漏自变量实际取值范围，忽略、正整数等约束 2、描述增减性未加 “在第一象限内”，直接笼统说y随x增大而减小 3、混淆正比例（比值定值）与反比例（乘积定值）等量关系，建错模型 4、分段题目将数值代入错误区间的函数解析式 5、跨学科问题忽略器材额定限制，求出不符合实际变量 重点 1、从实际情境提取乘积定值，建立反比例函数模型 2、待定系数法求解析式，结合实际标注自变量取值范围 3、利用反比例增减性解决速度、效率、成本的最值与取值范围问题 4、分段一次 + 反比例图象综合计算 难点 1、多重约束下的方案设计类探究题，分类筛选可行方案 2、物理、生物跨学科背景下等量关系提取与建模 3、分段函数临界值求解、区间时长综合计算 4、几何围栏、动态面积结合反比例的数形综合问题 一、单选题 1．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 2．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 3．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 5．根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 6．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 三、解答题 7．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 8．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 9．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 10．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.3 实际问题与反比例函数 【本节预习目标】 1.知识与技能 能识别生活、工程、物理、几何场景中成反比例的两个变量，建立函数模型 熟练用待定系数法求实际问题中的反比例函数解析式，结合实际写出自变量取值范围 能利用反比例图象、增减性求解最值、取值范围、方案选择类实际问题 掌握分段情境（一次+反比例、跨学科情境下函数综合解题方法 2.过程与方法 经历“审题→找定值→建模型→求解→检验”完整建模流程，发展数学抽象、建模核心素养 通过行程、压强、工程等多类情境对比，总结反比例应用通用解题思路 结合图象数形结合分析变量变化规律，提升几何直观与逻辑推理能力 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节关联 反比例函数概念与图象 定义；图象一、三象限，在每个象限随增大而减小；二、四象限 建模基础，利用增减性解决最值、范围问题 待定系数法 已知一组求值 求实际问题函数解析式核心方法 一次函数图象与性质 增减性、分段图象分界点识别 处理分段综合应用题 常见等量关系 路程=速度×时间；工作量=效率×时间；压强×面积=压力 识别反比例定值，建立函数关系式 知识点1：实际问题建立反比例函数模型 1.反比例关系判定核心 若两个变量的乘积为固定常量，则是的反比例函数，解析式写为。 2.建模标准六步骤 ①审：找出常量、变量，确定乘积不变的等量关系； ②设：设自变量与函数； ③列：代入一组对应数值，构造关于的方程； ④解：计算比例系数； ⑤写：写出完整解析式，标注自变量实际取值范围； ⑥验：结果符合生活、学科实际意义。 3.自变量双重限制 ①数学限制：； ②实际限制：长度、速度、人数、时间等必须为正数，部分场景限定整数、上下界。 知识点2：四类典型反比例实际模型（表格） 模型类别 定值等量关系 函数表达式 典型情境 行程模型 路程固定 高速区间测速、轮船运输 工程模型 总工程量固定 河道清理、土石方运输 物理跨学科 压力/电压固定 压强、电路电流、杆 经济几何 总面积/总资金固定 矩形围建、采购预算、销售总额 知识点3：分段函数与反比例综合应用 1.分段图象特征 前一段为正比例/一次函数（升温、燃烧、生产前期），后一段为反比例函数（降温、药物挥发、治污后期），转折点为两段分界。 2.分段解题要点 ①根据自变量区间区分对应函数解析式； ②求解取值、时长时，代入对应分段表达式； ③结合增减性分析区间内变量变化趋势。 【基础巩固题型】 【题型1】生活情境列反比例解析式 1.核心知识点: 反比例关系判定；待定系数法；自变量实际取值范围 2.解题方法技巧: ①定值法：找出乘积不变的固定总量，确定 ②设元法：合理设速度、长度、销量等变量 ③范围标注法：根据实际舍去负数，标注 【例题1】.（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 【变式题1-1】.（2026·河南洛阳·三模）冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用待定系数法求出比例系数，即可得到与的关系式． 【详解】解：∵与成反比， ∴设， ∵时，， ∴， 因此与之间的关系式为． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 【变式题1-3】.（2025·内蒙古包头·三模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数表达式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设，根据已知400度的近视眼镜镜片的焦距是，求出的值即可． 【详解】解：设， ∵400度的近视眼镜镜片的焦距是， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数表达式是：， 故答案为：． 【题型2】几何面积反比例基础应用 1.核心知识点: 矩形/三角形面积公式；反比例函数建模；简单求值 2.解题方法技巧: ①面积定值转化：固定面积推出边长反比例关系 ②代入求值法：已知一边直接求另一边长度 ③图象辅助法：草图直观判断变量变化趋势 【例题2】.（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，， ∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）生活中做拉面的过程就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条粗细（横截面面积）的反比例函数，y与x之间的函数关系式为（），其图象如图所示，则k的值为__________． 【答案】128 【详解】解：由图可知，点在反比例函数图象上， ． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中的解析式，即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 即这个三角形的底边长为． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x（），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 【答案】（） 【详解】由三角形的面积公式底高，得，即（）． 【题型3】行程类反比例基础计算 1.核心知识点: 路程速度时间关系；反比例增减性；速度范围求解 2.解题方法技巧: ①路程定值建模： ②增减性判断：，越大越小 ③不等式法：限定时间求最低行驶速度 【例题3】.（25-26九年级上·河南三门峡·期末）机器狗学名四足机器人，是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，先进的机器狗的功能已经从单纯的“能跑”拓展到了“能看”、“能思考”和“能干活”．下面图象所示其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，则下列说法错误的是（   ） A．函数表达式为 B．已知机器狗无载重时的最快移动速度为，则机器狗的质量为 C．要使机器狗的最快移动速度v不低于，其载重后总质量不能大于 D．机器狗的质量越大，其移动速度越快 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：设函数表达式为，代入， 解得， ∴函数表达式为，故该选项不合题意； B：当时，， 解得，即机器狗的质量为，故该选项不合题意； C：当时，， 解得，即载重后总质量不能大于，故该选项不合题意； D：由图象可知，机器狗的质量越大，移动速度越小，故该选项符合题意． 故选：D ． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【分析】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·上海·阶段检测）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键． （1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域． （2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【变式题3-3】.（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； （2）解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 【题型4】表格数据识别反比例关系 1.核心知识点: 表格数据分析；反比例判定；待定系数求 2.解题方法技巧: ①乘积验证法：计算每组，数值相等即为反比例 ②均值法：多组数据取平均减小误差 ③代入检验法：用其余数据验证解析式准确性 【例题4】.（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离．记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格． 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)观察表格，与之间的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围） (2)当托盘中砝码的质量为时，求托盘与点的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 【答案】(1) (2)当托盘中砝码的质量为时，托盘与点的距离是 (3) 应往托盘中添加砝码．理由如下： ∵， ∴该函数图像在第一象限内，的值随值的增大而减小． ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）观察表格可得：的乘积为定值300，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）把代入解析式求解，可得答案； （3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘与点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小． 【详解】（1）解：根据表格可得：，即， ∴与的函数关系式为：； （2）解：把代入，得， 解得． 答：当托盘中砝码的质量为时，托盘与点的距离是． （3）略 【变式题4-1】.（25-26九年级下·全国·期末）阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻R，之间的关系为 通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： 1 a 4 6 4 3 2 b (1) ， ； (2)根据以上实验，构建函数 结合表格信息，探究函数 的图象与性质． ①在图2中画出函数 的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ． 【答案】(1)2，1.5 (2) ①画图如下： ②不断减小 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解； （2）①用描点法，画出图象；②根据表格里函数的图象性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）解：①略 ②由图象可知：随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·广东广州·期末）在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格： 托盘与点之间的距离/ 托盘中砝码的总质量/ (1)根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式； (2)根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量． 【答案】(1)选择反比例函数表示与的关系， (2) 【分析】本题考查反比例函数的判定与解析式求解，反比例函数的实际应用，识别反比例关系是解题关键． （1）根据表格中与的乘积为定值，判定其为反比例函数，代入一组数据求出值，从而确定函数解析式； （2）将代入已求出的反比例函数解析式，计算得出对应的砝码总质量． 【详解】（1）解：根据表格，的值恒定，则选择反比例函数表示与的关系， 设反比例函数为， 将，代入，可得， 故反比例函数为． （2）解：对于反比例函数为， 当时，， 故当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据： 0 5 10 20 30 40 50 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0 (1)补全表格中的信息：_________________，___________________． (2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________． (3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程： 首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵__________________， ∴__________________，当且仅当_____________时等号成立． 【答案】(1)2，3.2 (2)画出函数图象如图： (3)40，3.6，10 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量和函数值，画函数图象，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）根据，求出的值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据均值不等式，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； ∴； 故答案为：2，3.2； （2）由题意，可知：； （3）首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵， ∴，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：40，3.6，10 【培优提升题型】 【题型5】物理跨学科反比例应用题 1.核心知识点: 压强、欧姆定律；跨学科等量转化；反比例增减性 2.解题方法技巧: ①学科公式转化：转化为反比例模型 ②取值约束法：结合器材额定值限定变量区间 ③图象分析法：利用双曲线第一分支分析变化 【例题5】.（25-26九年级下·江西·中考复习）如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 【答案】B 【分析】根据表格数据求出与的函数关系式，再结合反比例函数的性质及实际意义对各选项进行判断即可． 【详解】解：由表格数据可知：，，，， 与成反比例关系，且， 即，故A选项正确； 表示受力面积， ， 函数图象只分布在第一象限，故B选项不正确； 当时，， 解得，故C选项正确； 当时，， 在第一象限内随的增大而减小， 当时，， 即压强最小为， 故D选项正确． 【变式题5-1】.（2026·河南三门峡·三模）如图1所示的电路图．已知电源的电压U（V）保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻，电流表的读数即电流发生改变．测得电路中总电阻R和通过的电流I之间的关系如图2所示（提示：总电阻灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（     ） A．电流I（A）关于电路中的总电阻的函数关系为 B．当经过灯泡的电流为时，电路中的总电阻为 C．当电路中I为时，则滑动变阻器的阻值为 D．由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共40个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元．若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花352元 【答案】C 【分析】根据函数图象，运用待定系数法求出电流强度I与总电阻R之间的函数解析式为，再把代入计算，得出，把数值代入滑动变阻器电阻=总电阻灯泡电阻计算，得当电路中I为时，则滑动变阻器的阻值为，设购买电流表x个，则滑动变阻器个，再列出不等式得出，然后得出学校的总花销，根据一次函数的性质分析，即可作答． 【详解】解：∵电源两端电压U（单位：V）保持不变，电流强度I与总电阻R成反比， ∴可设，将代入，得， ∴电流强度I与总电阻R之间的函数解析式为， ∴故选项A说法正确，不符合题意； 当时，，故选项B说法正确，不符合题意； 当时，， 则滑动变阻器电阻=总电阻灯泡电阻 故选项C说法不正确，符合题意； 设购买电流表x个，则滑动变阻器个， 则，得， 学校的总花销， ∵ ∴学校的总花销随着的增大而增大 ∴当时，则（元）， ∴至少需要花销元 故选项D说法正确，不符合题意． 【变式题5-2】.（2026九年级·吉林·专题练习）在一定的电压下，电流和可变电阻之间成反比例关系．小明用一个蓄电池作为电源组装了一个电路，如图①所示，通过实验，得到电流值随着电阻值的变化而变化的几组数据如下表所示． … 2 3 4 6 12 … … 24 16 12 8 4 … 请解答下列问题： (1)这个蓄电池的电压值是__________V； (2)请在图②所示的坐标系中，通过描点画出电流I和电阻R之间的关系图象，并直接写出I和R之间的函数关系式； (3)如果要使此电路长期正常工作，需保持电流不得低于且不得超过，则可变电阻的阻值应控制在什么范围内． 【答案】(1)48 (2) 画图如答图所示． (3)可变电阻的阻值应控制在不低于且不高于范围内 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，也考查了电流、电阻、电压之间的关系，理解题意是正确解题的关键． （1）由，求解即可； （2）根据数据描点、作图，设，将点代入求解即可； （3）将、分别代入，求出对应的阻值，即可得到可变电阻的阻值的控制范围． 【详解】（1）解：∵在一定的电压下，电流和可变电阻之间成反比例关系， ∴， 代入，可得． （2） 设， 将点代入得：， 解得， ． （3）解：当时，；当时，． 故可变电阻的阻值应控制在不低于且不高于范围内． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·山东淄博·期末）数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练读懂题意，准确求出函数解析式为解题关键． （1）设可变电阻与物体质量之间的关系式为，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入求出结果即可； （2）设电流I与电阻之间的关系式为，再代入求解即可； （3）由题意可知当取得最小值时，x取得最大值，将代入中求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，设可变电阻与物体质量之间的关系式为， 将，代入中， 得，， 解得：， 可变电阻与物体质量x之间的关系式为， 将代入，中，得， 当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为； （2）解：电流与总电阻成反比例， 又， 设电流与电阻之间的关系式为：， 由（1）知，当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为， 又当放置物体质量为时，电流表显示为， ， ， 电流与电阻之间的关系式为； （3）解：根据素材2图3中的图象易知，当时，随x的增大而减小， 当取得最小值时，x取得最大值， 由（2）知，电流I与电阻之间的关系式为， 当时，， 将代入中， 得，， 解得：， 当电流范围设定为时，该电子托盘秤称得物体最大质量为． 【题型6】工程工期优化情境题 1.核心知识点: 工作量模型；反比例不等式；实际方案取舍 2.解题方法技巧: ①总量定值列式：总工程量不变建立函数 ②区间求解法：给定工期范围，求效率最低值 ③整数约束：人数、机器台数取正整数 【例题6】.（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可； （2）根据（1）所求，求出时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．设原计划每天加工个零件． (1)求原计划每天加工零件的个数； (2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？ 【答案】(1)原计划每天加工零件25个 (2)原计划完成任务的天数最多为20天 【分析】（1）根据题意，列出分式方程，求解该方程即可得出答案； （2）不妨设原计划完成任务的天数为，那么，由题意判断出原计划的加工零件个数，结合反比例函数的性质，可得原计划完成任务的最多天数． 【详解】（1）解：设原计划每天加工个零件，根据题意得：， 解得，(舍去)， 经检验，是原分式方程的解， 答：原计划每天加工零件个． （2）解：不妨设原计划完成任务的天数为，那么，实际每天加工的零件个数为个， ∵实际每天至少要加工20个零件， ∴， ∴， ∵的图象在时，随的增大而减小， ∴当取最小值时，天数最多， 此时天数 (天) ， 答：原计划完成任务的天数最多为天． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 【答案】(1) (2)至少需要完成运送工作 【分析】（1）由每小时运送的垃圾质量和总量列出函数关系即可； （2）结合（1）的解析式结合函数性质解答. 【详解】（1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得， 根据反比例函数的性质，当时， 随 的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过时，至少需要完成运送工作. 【变式题6-3】.（2026·北京平谷·二模）某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲组挤出头出料时的出料量为__________； (2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) (3)①9.5  ②4.4 【分析】第（1）问：根据“出料量与时间成正比例”，设，用表格数据求出比例系数，再代入计算出料量； 第（2）问：根据乙组表格中的数据，在坐标系中描点，再用平滑曲线连接，得到反比例型函数图象； 第（3）问：观察乙组数据，发现，即，代入求； 先根据甲组的正比例函数，求出“出料”所需的时间，再代入乙组的反比例模型，反求挤出头孔径． 【详解】（1）解：∵出料量与出料时间成正比例函数关系， ∴设与之间的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得：， ∴与之间的函数解析式为， ∴当时，， ∴甲组挤出头出料时的出料量为； （2）在坐标系中，根据表格数据，依次描出点： ，，，，， 再用平滑的曲线，将描出的各点依次连接起来，形成一条从左上向右下逐渐下降的曲线； （3）观察乙组数据， ，，，，， ∴与满足， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． 【点睛】解题核心是先根据变量关系确定函数解析式，再分步代入计算，注意乙组中与成反比例，而非与直接反比例，同时跨组计算时要找准前后关联量，计算时留意小数取值与单位规范． 【压轴素养题型】 【题型7】分段一次+反比例图象问题 1.核心知识点: 分段函数识别；分段解析式求解；区间求值 2.解题方法技巧: ①分界点定位：找准两段图象交点横坐标 ②分段代入：不同时间代入对应函数式 ③时长计算法：联立函数求临界自变量，计算有效区间长度 【例题7】.（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 【变式题7-1】.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【答案】(1)启动阶段：，下降阶段： (2) 【分析】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数； （2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长． 【详解】（1）解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为， 在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 故启动阶段，关于的函数解析式为； 在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得， 故下降阶段，关于的函数解析式为． （2）解：在中，令， 解得， 在中，令，得， 解得， 可得， 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】(1)，； (2)； (3)能；40 【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【详解】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 【变式题7-3】.（2026·山东德州·二模）某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的__________函数；当时，是的__________函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．请你根据图表中给出的信息，结合测量学，求出学生学习解综合题效果显著的状态能持续多长时间？ 【答案】(1)一次，反比例 (2) (3)29.5分钟 【分析】（1）根据表格，函数图象分析即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据函数解析式，分别求出时的时间，求差即可． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数； （2）解：当时，是的一次函数， 设解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，；当时， 是的反比例函数，当时，， ∴设反比例函数解析式为， ∴，解得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； 综上所述，， （3）解：当时，一次函数解析式为， 当时，，解得，， 当时，反例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∵， ∴学生学习解综合题效果显著的持续时间是29.5分钟 【题型8】跨学科探究题 1.核心知识点: 溶液浓度；生物生长规律；模型对比选择 2.解题方法技巧: ①数据拟合：对比一次、二次、反比例模型匹配度 ②趋势验证：结合学科常识筛选合理函数 ③预测求值：利用解析式估算未知变量 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1) (2)0.8；1.4 (3) 【分析】（1）因为已知是的反比例函数，所以先设反比例函数的一般形式为，再将表格中水的、代入，求出常数，即可得到关于的函数解析式． （2）因为已经得到函数解析式，所以将酒精对应的代入解析式可求出，将蜂蜜对应的代入解析式可求出． （3）因为随的增大而减小，所以将最小浸没深度代入解析式得到最大密度，将最大浸没深度代入解析式得到最小密度，即可确定的范围． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入，得， 解得， 反比例函数解析式为． （2）解：将酒精的浸没深度代入解析式，得， 将蜂蜜的浸没深度代入解析式，得； （3）解：当时，； 当时，， 该密度计能测量的液体密度的范围为． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． 【答案】(1) (2)该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天 【分析】（1）把数值代入求出即可得出表达式； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天． 【变式题8-2】.（2026·吉林松原·模拟预测）项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【答案】(1)减小，反比例函数； (2)这个空牛奶盒的质量为； (3)右边托盘应向左边移动 【分析】（1）根据表格数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小，根据，猜想：l与m满足怎样的函数关系：反比例函数； （2）先设l关于m的函数解析式为，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为，再设空牛奶盒的质量为，根据题意得：，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量； （3）含水的牛奶盒质量为，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有，求出l，并根据任务二，求出右边托盘应向左边移动． 【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 (1)数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． (2)数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． (3)效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 【答案】(1)主动释放阶段：；自然消散阶段： (2)或 (3)达到有效净化标准 【分析】（1）先设出一次函数和反比例函数的表达式，利用给定的数据点来确定函数表达式； （2）将给定的浓度代入相应的函数表达式，求解即可； （3）根据有效净化的标准，计算净化因子浓度不低于的持续时间，然后判断是否达标即可． 【详解】（1）设主动释放阶段的函数表达式为， 当时，，当时，，将其代入， 得，解得， 主动释放阶段的函数表达式为； 设自然消散阶段的函数表达式为， 当时，，将其代入，得，解得， 自然消散阶段的函数表达式为； （2）当时，将代入，得， 解得； 当时，将代入，得， 解得； 当净化因子浓度时，对应的释放时间的值为或； （3）令，解得， 主动释放阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 令，解得， 自然消散阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 净化因子浓度不低于的总持续时间为， ， 本次实验中“净化因子释放”模式达到有效净化标准． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用，通过代入已知点求解函数解析式，是解决后续问题的基础，过程中注意分类讨论思想的应用；将净化因子浓度的变化转化为函数问题，通过函数计算验证实际“有效净化”标准，体现了数学建模解决实际问题的应用价值． 易错点 1、建立解析式后遗漏自变量实际取值范围，忽略、正整数等约束 2、描述增减性未加 “在第一象限内”，直接笼统说y随x增大而减小 3、混淆正比例（比值定值）与反比例（乘积定值）等量关系，建错模型 4、分段题目将数值代入错误区间的函数解析式 5、跨学科问题忽略器材额定限制，求出不符合实际变量 重点 1、从实际情境提取乘积定值，建立反比例函数模型 2、待定系数法求解析式，结合实际标注自变量取值范围 3、利用反比例增减性解决速度、效率、成本的最值与取值范围问题 4、分段一次 + 反比例图象综合计算 难点 1、多重约束下的方案设计类探究题，分类筛选可行方案 2、物理、生物跨学科背景下等量关系提取与建模 3、分段函数临界值求解、区间时长综合计算 4、几何围栏、动态面积结合反比例的数形综合问题 一、单选题 1．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，变形得． 2．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可． 【详解】解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 3．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 二、填空题 4．成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 5．根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 【答案】20 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，利用待定系数法求出的值，将值代入求解即可． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数， ∴设该函数为， 将，代入，得， 解得， ， 当时，，解得． 6．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 三、解答题 7．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【答案】(1) 反比例， (2) 不能到达乙地 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 8．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】(1)反比例函数，； (2)解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【分析】（1）根据表格数据可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）略． 9．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 10．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2)完成表格如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … 函数的图象为： (3)不低于 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先把表格中自变量的值分别代入（1）中的函数解析式，求出对应的函数值，然后描点连线可得函数的图象； （3）由题意可知电流的值满足小于等于10A，据此列不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $