专题11 过三点的圆 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题11 过三点的圆 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.探究规律：梳理过一点、两点、三点作圆的不同情况； 2.核心定理：掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”； 3.衍生概念：理解三角形外接圆、圆的内接三角形、三角形外心的定义； 4.实操应用：掌握三角形外接圆的尺规作图方法，熟知外心性质及不同三角形的外心位置特征。 ✅本节核心本质是通过定点数量与位置关系，确定圆的存在性与唯一性，以此延伸三角形外接圆相关概念、性质和作图方法，是衔接圆的基础性质与圆内多边形探究的关键内容。 ✺学习目标 基础知识：掌握过一点、两点、三点作圆的规律，熟记“不在同一直线上的三点确定一个圆”核心定理，精准区分外接圆、内接三角形、外心的定义。 能力提升：熟练掌握尺规作图法作任意三角形的外接圆，能运用外心的核心性质进行简单推理与计算，可判断不同类型三角形外心的位置。 综合素养：经历“探究—归纳—验证”的数学思维过程，体会数形结合、分类讨论思想，提升几何作图与逻辑推理能力。 ✺题型归纳 题型1.三角形外接圆的概念辨析 题型2.求三角形外心坐标 题型3.求特殊三角形外接圆的半径 题型4.已知外心的位置判断三角形的形状 题型5.判断三角形外接圆的圆心位置 题型6.判断确定圆的条件 题型7.确定圆心(尺规作图) 题型8.求能确定的圆的个数 题型9.画圆(尺规作图) 题型10.反证法证明中的假设 题型11.用反证法证明命题 题型12.举反例 题型13.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、过不同数量的点作圆 ▲画圆的核心是确定圆心与半径，根据已知定点的数量、位置差异，作圆的结果各不相同。 1.过一个已知点作圆 规律：经过平面内任意一点，可作无数个圆。 原理：平面内除该定点外，任意点均可作为圆心，圆心到定点的距离为半径，能作出无数个大小、位置不同的圆。 2.过两个已知点作圆 规律：经过平面内任意两个点，可以作无数个圆。 原理：若圆经过两个定点，则圆心到两点的距离相等。根据垂直平分线性质，圆心必在两点所连线段的垂直平分线上。垂直平分线上有无数个点，每一点均可作为圆心，对应不同半径，因此可作出无数个经过这两点的圆。 3.过三个已知点作圆 三点的位置关系直接决定圆的存在性，是本节核心考点： ①三点共线：无法作圆。 推导：共线三点中，任意两点连线的垂直平分线相互平行、无交点，无唯一圆心，因此无法确定圆。 ② 三点不共线：有且只有一个圆同时经过这三个点。 知识点二、核心定理——不在同一直线上的三点确定一个圆 定理表述：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 1.必备限定条件：不在同一直线上，是定理成立的核心前提。 2.“确定”的双重含义：既满足圆的存在性，也满足唯一性，即不共线三点有且仅有一个外接圆。 定理推导逻辑：不共线的三点，任意两条线段的垂直平分线必交于唯一公共点，该点为圆心，且到三个定点的距离相等、为唯一半径，由此可确定唯一的圆。 知识点三、三角形的外接圆与相关基础概念 根据上述定理，三角形的三个顶点必然是不共线的三个点，因此任意三角形有且只有一个外接圆。 1. 三角形的外接圆 定义：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。如下图。⊙O即为△ABC的外接圆。 2. 圆的内接三角形 定义：三个顶点都在同一个圆上的三角形，叫做该圆的内接三角形。 补充：一个圆可对应无数个内接三角形，但一个三角形仅对应唯一的外接圆，二者为不对等对应关系 。 3. 三角形的外心 定义：三角形外接圆的圆心即为三角形的外心。 本质：三角形三条边垂直平分线的交点。 知识点四、三角形外心的核心性质 1.距离性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，该距离为外接圆半径。 几何语言：若点O是△ABC的外心，则OA=OB=OC。 2.作图性质：三角形三边垂直平分线交于一点，因此作图时只需作出任意两条边的垂直平分线，即可确定外心，简化作图步骤。 知识点五、不同类型三角形外心的位置规律 ▲三角形类型不同，外心位置不同，具体规律如下： 1.锐角三角形：外心在三角形内部； 2.直角三角形：外心在斜边中点，可推出推论：直角三角形外接圆半径等于斜边的一半； 3.钝角三角形：外心在三角形外部。 知识点六、基础实操——尺规作三角形的外接圆 已知：任意△ABC求作：△ABC的外接圆标准作图步骤： 1.作AB、AC的垂直平分线DE、DF，DE与DF交于点D； 2.以点D为圆心，DA长为半径画圆； 3.所得⊙D即为△ABC的外接圆。 ✺题型精讲 题型1.三角形外接圆的概念辨析 1．三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 2．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为_________°． 【答案】73 【分析】连接，，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，， 点是的外心， ， ，，， ， ， 即， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．已知：在中，．求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图即为所求． 【分析】本题考查了三角形外接圆的尺规作图知识点，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图方法以及三角形外接圆的性质（三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等）。 通过作线段的垂直平分线确定外接圆的圆心O，再以圆心到三角形顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆。 【详解】略 题型2.求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 2．图中的外心坐标是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出与的垂直平分线，则它们交点的坐标为所求． 【详解】解：作，的垂直平分线交点P，如图， 则点P为的外心， P点坐标为． 故答案为∶． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．    (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 【答案】(1) 如图1所示：即为所求； (2) 【分析】本题考查了旋转的作图，三角形的外心，掌握旋转的作图方法，以及三角形的外心是三边垂直平分线是交点，是解题的关键． （1）连接并延长，使，再依次连接点即可； （2）找出，垂直平分线的交点，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，点P为的外心， ∵四边形为正方形， ∴为的垂直平分线， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， 由图可知，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点， ∴点为外心， ∴点坐标为． 故答案为：． 题型3.求特殊三角形外接圆的半径 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆 即外接圆圆心的坐标为． 故选：A． 2．直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是_____． 【答案】或6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆的应用，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半． 分为两种情况，①当斜边是12时，②当两直角边是5和12时，求出即可． 【详解】解：分为两种情况： ①当斜边是12时，直角三角形的外接圆的半径是； ②当两直角边是5和12时，由勾股定理得：斜边为， 直角三角形的外接圆的半径是； 故答案为：或6． 3．如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 题型4.已知外心的位置判断三角形的形状 1．的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 2．如图，点是外心，，是的中点， （1）连接，则______； （2）若，是边上的高，则的大小为______． 【答案】 30°/30度 23°/23度 【分析】（1）连接OC，由点是外心得OA=OB=OC，从而可以得到，，，再根据即可求出答案． （2）先求出利用等腰三角形的性质求出=90°-30°=60°，进而求出，然后利用三角形的内角和定理求出，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：（1）如图1，连接OC， 点是外心， OA=OB=OC， ，，， ，， ． 故答案为：30°； （2）如图2，连接OC， OB=OC，是的中点， =30°，，， =90°-30°=60°， ， ，，，，， ， ， 是边上的高， ． 故答案为：23°． 【点睛】本题考查了三角形的外心性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 题型5.判断三角形外接圆的圆心位置 1．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 2．已知点O是的外心，且，则________． 【答案】3 【分析】根据三角形的外心的性质解答即可； 【详解】∵点 为 的外心， 故答案为3 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键 3．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出将绕点顺时针方向旋转得到的； (2)请用尺规作图画出的外接圆（不写做图步骤但保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图所示，为所求； (2) 如图所示，为所求． 【分析】本题考查旋转作图，三角形外接圆的性质，画圆． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，连接各点即可； （2）分别作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画圆即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型6.判断确定圆的条件 1．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 2．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 3．已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）． （1）如图1．当时，的面积为　　； （2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点． ①如图2，当时，若直线，求的长度； ②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）先根据等边三角形的边长为8，计算等边△ABC的面积，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得△PBC的面积； （2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题； ②如图3中，过点P作PH垂直于AC，当B'、P、H共线时，△ACB′的面积最大，求出PH的长即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， ∵等边△ABC的边长为8， ∴等边△ABC的面积=， ∵PB=3AP， ∴△BPC的面积为； 故答案为：12； （2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O， ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°， ∴△PEB是等边三角形， ∵PB=5，且B，B′关于PE对称， ∴BB′⊥PE，BB′=2OB， ∴∠PBO=30°， ∴OP=PB=，OB=， ∴BB′=5； ②如图3中，过点P作PH垂直于AC， 由题意可得：B'在以P为圆心半径长为6的圆上运动， 当HP的延长线交圆P于点B′时面积最大， 在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6， ∵PA=2， ∵∠PAH=60°， ∴AH=1，PH=， ∴BH=6+， ∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 题型7.确定圆心(尺规作图) 1．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，． （1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为___________________． （2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过__________格点． 注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice point） 【答案】 （2，0） 8 【分析】（1）根据不共线三点确定圆心，找到的垂直平分线的交点，继而根据点M的位置写出坐标即可 （2）根据平面直角坐标系直接判断即可． 【详解】（1）如图， （2）如图，经过点，共8个格点 故答案为：8 【点睛】本题考查了不共线三点确定圆心，坐标与图形，找到圆心是解题的关键． 3．如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【答案】(1) 如图为所求作的图形． (2) 【分析】本题考查了确定圆心，求圆的周长； （1）先确定圆心，在小圆上任意取三点，作出两条线段，作这两条线段的垂直平分线，交于同一点即为圆环的圆心，进而画出车轮的圆环图； （2）根据圆环外径（外圆的直径）是，根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）圆的周长， ∴车轮滚动一圈直走的路程是． 题型8.求能确定的圆的个数 1．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 2．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 3．经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 【答案】 无数 三 【分析】根据确定圆的条件解答即可． 【详解】解：经过两点可以做无数个圆， 不在同一直线的三个点可以确定一个圆， 故答案为：无数，三． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型9.画圆(尺规作图) 1．下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到D B．延长线段至C，使 C．作直线 D．以点D为圆心，任意长为半径画弧 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线以及直线的概念及尺规作图，熟练掌握线段、射线以及直线的性质是解题的关键； 根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论． 【详解】解：A．根据射线是从A向B无限延伸，故延长射线到D是错误的；不符合题意； B．延长线段至C，则，故使是错误的；不符合题意； C．根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的；不符合题意； D．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；符合题意； 故选：D． 2．如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点A，与l相切且半径最小； (2)过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1) 即为所求： (2) 解：如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形， 所以，， 延长交直线l于点P，则, 以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作， 所以，, 所以，，即， 所以直线是的切线，此时的度数为． 【分析】（1）如图，过点A作直线l于点D，以为直径作即可； （2）如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形，延长交直线l于点P，以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作即可． 【详解】（1）理由：由垂线段最短可知：所有过点A，与l相切的圆中，是最短的直径， 所以，半径最小； （2） 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点O即为所求． 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形外心的定义画出图形即可． 【详解】略 题型10.反证法证明中的假设 1．用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（     ） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 【答案】A 【详解】解：用反证法证明命题时，第一步应假设结论的反面成立，命题“等腰三角形的底角是锐角”的结论的反面为等腰三角形的底角是直角或钝角． 2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设_______． 【答案】三角形三个内角都小于 【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．据此解答即可． 【详解】解：用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设三角形三个内角都小于． 3．用反证法证明：如图所示，已知，那么． 【答案】 证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图， ∵， ∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立， ∴原命题正确． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，进而证明即可解答． 【详解】略 【点睛】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 题型11.用反证法证明命题 1．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 【答案】B 【分析】根据题干给出的条件，逐步排除得到每个人的位置和年龄大小关系即可判断选项． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件： 1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙； 2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙； 3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋； ∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。 ∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大， ∴ 乙的年龄大于丙的年龄； 又∵ 乙比前锋年龄小， ∴ 前锋年龄大于乙的年龄； 得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小． 综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确． 2．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 【答案】①④②③ 【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此即可解答． 【详解】解：如图，已知：在中，．求证：． 假设，；假设，； 无论哪种情况，都与已知矛盾． 因此假设都不成立，所以． 3．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 题型12.举反例 1．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．，B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，只需找出满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A．，，且，符合原命题，不是反例． 选项B．，，且，满足条件，但不满足结论，是原命题的反例． 选项C．，，不满足命题条件，不是反例． 选项D．，，不满足命题条件，不是反例． 2．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题题设，不满足命题结论的反例即可，本题题设为，结论为，只需找出符合要求的反例即可． 【详解】解：当时，，满足题设条件，，不满足的结论，因此可以说明原命题是假命题． 3．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)两个角的和等于时，这两个角互为余角； (2)如果，那么． 【答案】(1)真命题 (2) 如果，那么，是假命题， 反例：若，满足， 但，此时，不满足． 【分析】（1）根据互余的定义判断即可； （2）举反例，即可说理． 【详解】（1）解：两个角的和等于时，这两个角互为余角，是真命题； （2）略 ✺巩固测试 一、单选题 1．三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案. 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 2．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 【答案】C 【详解】∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立． 原结论为“直角三角形中至少有一个锐角不大于”， “至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”， 又∵直角三角形有且仅有两个锐角， ∴应假设两个锐角都大于． 3．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 4．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 5．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 二、填空题 6．已知直角三角形的两直角边分别为和，则它的外接圆的直径为_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，勾股定理，熟记直角三角形外接圆的直径等于斜边长是解题的关键．根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形外接圆的直径等于斜边长即可得解． 【详解】解：直角三角形的两直角边分别为和， 直角三角形的斜边长为， 这个直角三角形的外接圆的直径为：． 故答案为： ． 7．如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】根据外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，进行解答即可． 【详解】解：如图：外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点， ∵垂直平分线的交点坐标为， ∴外接圆的圆心坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的圆心，熟知三角形外接圆的圆心即为三角形三边的垂直平分线的交点是解本题的关键． 8．如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设___________， （_____________）． 这与___________相矛盾，故___________不成立． 与不平行． 【答案】 两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，先假设，根据平行线的性质得出，说明与矛盾，从而证明原结论正确． 【详解】证明：假设， （两直线平行，同位角相等）． 这与相矛盾，故不成立． 与不平行． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；． 9．已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，有下列结论：①点在的角平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③点是的外心；④点是的重心．其中正确的有_________．（直接填写序号） 【答案】①②④ 【分析】①取的中点，连接，根据勾股定理解得的长，再证明，由全等三角形对应角相等解得，据此解题即可；②根据中线的性质，即可解题；③根据题意可得，从而得到点P不在的垂直平分线上，即可；④由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可． 【详解】解：①取的中点，连接，则点A，P，E三点共线，点B，P，F三点共线， 由图可知，， ， ∵分别是的中点， 又， ， ， 平分 点在的角平分线上，故①正确； ②∵是的中点，点B，P，F三点共线， ∴是的中线， 即直线把分成面积相等的两个部分，故②正确； ③∵，   ∴， ∴点P不在的垂直平分线上， ∴点P不是三边垂直平分线的交点， ∴点不是的外心，故③错误； ④分别是的中点， 分别是的中线， 点P是的重心，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查网格与勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的外心，重心等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10．如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 【答案】 /90度 2 【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性质即可得解； （2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定最短长度，然后利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ .∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 故答案为． （2）∵，点E在以为直径的圆上，设的中点为O，则当O，E，C三点共线时，的值最小，此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 三、解答题 11．如图，在中，请用尺规作图法求作，使圆心在上，且圆经过点，与交于点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，即为所求． 【分析】本题主要考查了尺规作图—作圆，解题的关键是确定圆心的位置． 根据经过A，B两点，且圆心在上，得到圆心O为线段的中点，作线段的中垂线，垂足为O，以为圆心，的长为半径，画圆即可． 【详解】略 12．已知，． (1)求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若为，为，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径为5． 【分析】本题主要考查三角形外接圆，圆的有关概念以及勾股定理和垂直平分线的作法，掌握三角形外接圆的画法和其性质是解题的关键． （1）根据题意画的外接圆，即先画三条边的垂直平分线，其交点为圆心，以为半径作圆即可； （2）先根据勾股定理求出，即可求出半径的值． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）∵，，，， ∴， ∵令的半径为， ∴． 13．课本上是这样证明“在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”的． 已知：a，b，c是同一平面内三条不同的直线，，． 求证：． 证明：假设a，c不平行，那么它们相交于一点P，如图． ，， ∴过点P的两条直线a，c都与直线b ① ． 这与基本事实“② ”矛盾． ∴假设不成立，． (1)填写空格； (2)用不同于课本的方法证明．（要求：①按照课本证明中的“已知”“求证”重新画图；②完整证明，并写出证明过程中的每一步的依据．） 【答案】(1)①平行②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)已知：直线，，求证：． 证明：如图所示，作直线与直线相交，交点分别为点, ， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）； 当直线在直线的上方，同理可证； 当直线在直线的下方，同理可证； 【分析】（1）利用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”证明即可； （2）利用平行线的性质证得，再利用同位角相等，两直线平行证得结果． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 14．用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性． 如图，已知：直线、被直线所截，分别交、于点、，， 求证：． 把以下证明过程补充完整 (1)证法一：如图1，假设直线与直线不平行，且与相交于点， 所以____________（                        ）， 所以____________ ，这与“”矛盾， 故假设不成立，所以． (2)证法二：如图2，假设直线与直线不平行，那么可以过点作直线，则． 因为， 所以（                          ）， 因为， 所以_________________（                         ）， 这与“”矛盾，故假设不成立，所以． 【答案】(1)；三角形内角和等于；； (2)两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等 【分析】根据反证法的基本步骤，结合三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【答案】(1) 解：如图，即为所求作． (2) 【分析】 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交 于E，连接． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 过三点的圆 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.探究规律：梳理过一点、两点、三点作圆的不同情况； 2.核心定理：掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”； 3.衍生概念：理解三角形外接圆、圆的内接三角形、三角形外心的定义； 4.实操应用：掌握三角形外接圆的尺规作图方法，熟知外心性质及不同三角形的外心位置特征。 ✅本节核心本质是通过定点数量与位置关系，确定圆的存在性与唯一性，以此延伸三角形外接圆相关概念、性质和作图方法，是衔接圆的基础性质与圆内多边形探究的关键内容。 ✺学习目标 基础知识：掌握过一点、两点、三点作圆的规律，熟记“不在同一直线上的三点确定一个圆”核心定理，精准区分外接圆、内接三角形、外心的定义。 能力提升：熟练掌握尺规作图法作任意三角形的外接圆，能运用外心的核心性质进行简单推理与计算，可判断不同类型三角形外心的位置。 综合素养：经历“探究—归纳—验证”的数学思维过程，体会数形结合、分类讨论思想，提升几何作图与逻辑推理能力。 ✺题型归纳 题型1.三角形外接圆的概念辨析 题型2.求三角形外心坐标 题型3.求特殊三角形外接圆的半径 题型4.已知外心的位置判断三角形的形状 题型5.判断三角形外接圆的圆心位置 题型6.判断确定圆的条件 题型7.确定圆心(尺规作图) 题型8.求能确定的圆的个数 题型9.画圆(尺规作图) 题型10.反证法证明中的假设 题型11.用反证法证明命题 题型12.举反例 题型13.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、过不同数量的点作圆 ▲画圆的核心是确定圆心与半径，根据已知定点的数量、位置差异，作圆的结果各不相同。 1.过一个已知点作圆 规律：经过平面内任意一点，可作无数个圆。 原理：平面内除该定点外，任意点均可作为圆心，圆心到定点的距离为半径，能作出无数个大小、位置不同的圆。 2.过两个已知点作圆 规律：经过平面内任意两个点，可以作无数个圆。 原理：若圆经过两个定点，则圆心到两点的距离相等。根据垂直平分线性质，圆心必在两点所连线段的垂直平分线上。垂直平分线上有无数个点，每一点均可作为圆心，对应不同半径，因此可作出无数个经过这两点的圆。 3.过三个已知点作圆 三点的位置关系直接决定圆的存在性，是本节核心考点： ①三点共线：无法作圆。 推导：共线三点中，任意两点连线的垂直平分线相互平行、无交点，无唯一圆心，因此无法确定圆。 ② 三点不共线：有且只有一个圆同时经过这三个点。 知识点二、核心定理——不在同一直线上的三点确定一个圆 定理表述：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 1.必备限定条件：不在同一直线上，是定理成立的核心前提。 2.“确定”的双重含义：既满足圆的存在性，也满足唯一性，即不共线三点有且仅有一个外接圆。 定理推导逻辑：不共线的三点，任意两条线段的垂直平分线必交于唯一公共点，该点为圆心，且到三个定点的距离相等、为唯一半径，由此可确定唯一的圆。 知识点三、三角形的外接圆与相关基础概念 根据上述定理，三角形的三个顶点必然是不共线的三个点，因此任意三角形有且只有一个外接圆。 1. 三角形的外接圆 定义：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。如下图。⊙O即为△ABC的外接圆。 2.圆的内接三角形 定义：三个顶点都在同一个圆上的三角形，叫做该圆的内接三角形。 补充：一个圆可对应无数个内接三角形，但一个三角形仅对应唯一的外接圆，二者为不对等对应关系 。 3.三角形的外心 定义：三角形外接圆的圆心即为三角形的外心。 本质：三角形三条边垂直平分线的交点。 知识点四、三角形外心的核心性质 1.距离性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，该距离为外接圆半径。 几何语言：若点O是△ABC的外心，则OA=OB=OC。 2.作图性质：三角形三边垂直平分线交于一点，因此作图时只需作出任意两条边的垂直平分线，即可确定外心，简化作图步骤。 知识点五、不同类型三角形外心的位置规律 ▲三角形类型不同，外心位置不同，具体规律如下： 1.锐角三角形：外心在三角形内部； 2.直角三角形：外心在斜边中点，可推出推论：直角三角形外接圆半径等于斜边的一半； 3.钝角三角形：外心在三角形外部。 知识点六、基础实操——尺规作三角形的外接圆 已知：任意△ABC求作：△ABC的外接圆标准作图步骤： 1.作AB、AC的垂直平分线DE、DF，DE与DF交于点D； 2.以点D为圆心，DA长为半径画圆； 3.所得⊙D即为△ABC的外接圆。 ✺题型精讲 题型1.三角形外接圆的概念辨析 1．三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为_________°． 3．已知：在中，．求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型2.求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 2．图中的外心坐标是___． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．    (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 题型3.求特殊三角形外接圆的半径 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 2．直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是_____． 3．如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 题型4.已知外心的位置判断三角形的形状 1．的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 2．如图，点是外心，，是的中点， （1）连接，则______； （2）若，是边上的高，则的大小为______． 3．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 题型5.判断三角形外接圆的圆心位置 1．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知点O是的外心，且，则________． 3．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出将绕点顺时针方向旋转得到的； (2)请用尺规作图画出的外接圆（不写做图步骤但保留作图痕迹）． 题型6.判断确定圆的条件 1．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 2．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 3．已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）． （1）如图1．当时，的面积为　　； （2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点． ①如图2，当时，若直线，求的长度； ②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值． 题型7.确定圆心(尺规作图) 1．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 2．如图，在平面直角坐标系中，． （1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为___________________． （2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过__________格点． 注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice point） 3．如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 题型8.求能确定的圆的个数 1．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 3．经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 题型9.画圆(尺规作图) 1．下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到D B．延长线段至C，使 C．作直线 D．以点D为圆心，任意长为半径画弧 2．如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点A，与l相切且半径最小； (2)过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 3．如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹） 题型10.反证法证明中的假设 1．用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（     ） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设_______． 3．用反证法证明：如图所示，已知，那么． 题型11.用反证法证明命题 1．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 2．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 3．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 题型12.举反例 1．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．，B．， C．， D．， 2．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 3．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)两个角的和等于时，这两个角互为余角； (2)如果，那么． ✺巩固测试 一、单选题 1．三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 2．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 3．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 5．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知直角三角形的两直角边分别为和，则它的外接圆的直径为_____． 7．如图，外接圆的圆心坐标为______． 8．如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设___________， （_____________）． 这与___________相矛盾，故___________不成立． 与不平行． 9．已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，有下列结论：①点在的角平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③点是的外心；④点是的重心．其中正确的有_________．（直接填写序号） 10．如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 三、解答题 11．如图，在中，请用尺规作图法求作，使圆心在上，且圆经过点，与交于点．（保留作图痕迹，不写作法） 12．已知，． (1)求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若为，为，求的半径． 13．课本上是这样证明“在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”的． 已知：a，b，c是同一平面内三条不同的直线，，． 求证：． 证明：假设a，c不平行，那么它们相交于一点P，如图． ，， ∴过点P的两条直线a，c都与直线b ① ． 这与基本事实“② ”矛盾． ∴假设不成立，． (1)填写空格； (2)用不同于课本的方法证明．（要求：①按照课本证明中的“已知”“求证”重新画图；②完整证明，并写出证明过程中的每一步的依据．） 14．用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性． 如图，已知：直线、被直线所截，分别交、于点、，， 求证：． 把以下证明过程补充完整 (1)证法一：如图1，假设直线与直线不平行，且与相交于点， 所以____________（                        ）， 所以____________ ，这与“”矛盾， 故假设不成立，所以． (2)证法二：如图2，假设直线与直线不平行，那么可以过点作直线，则． 因为， 所以（                          ）， 因为， 所以_________________（                         ）， 这与“”矛盾，故假设不成立，所以． 15．如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $