专题06反比例函数暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题06反比例函数暑假预习讲义 · 知识目标：理解反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式 y=(k)\)，能准确判断一个函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式。 · 图象目标：会画反比例函数的双曲线图象，能根据 k 的正负判断图象分布的象限、增减变化规律，明白双曲线分两支、不连续的特点。 · 性质目标：掌握反比例函数的对称性（关于原点对称），理解 k 的几何意义，能利用矩形、三角形面积公式快速解题。 · 综合能力目标：会对比正比例函数、一次函数与反比例函数的区别，能利用图象比较函数值大小、求交点坐标。 · 应用目标：能从实际问题中建立反比例函数模型，能根据实际情况确定自变量取值范围，解决简单实际应用题。 · 思想方法目标：初步建立数形结合思想，学会用图像理解函数性质，养成分类讨论（k>0、k<0)的解题习惯。 预习必备知识梳理 1.反比例函数的定义 2.反比例函数解析式的确定 3.反比例函数的图象画法 4.反比例函数图象与性质 5反比例函数K的几何意义 6.反比例函数与一次函数综合 7.反比例函数应用 8.高频易错点汇总 常考 题型 精讲 精练 1.用反比例函数描述数量关系 2.由定义判断反比例函数 3.由反比例函数的定义求参数 4.求反比例函数值 5.由反比例函数函数值求自变量 6.判断反比例函数图象 7.反比例函数图象判断解析式 8.双曲线分布象限求参数范围 9.判断反比例函数的增减性 10.判断反比例图象所在象限 11.由求参数反比例函数增减性 12.比较反比例函数值/自变量大小 13.由比例系数求特殊图形面积 14.求反比例函数解析式 15.反比例函数与几何综合 16.由图形面积求比例系数 17.一次函数与反比例函数交点问题 18.一次函数反比例函数综合判断 强化题 解答题10题 知识点01:反比例函数基础定义与三种表达式 1. 定义 一般地，如果两个变量x、y的乘积等于一个非零常数k（k为常数，k≠0），即xy=k，那么称y是x的反比例函数。 2. 三种等价表达式 形式 解析式 主要用途 分式形式 y= (k 求解析式、常规计算 乘积形式 xy=k (k 判断变量是否成反比例关系 负指数形式 y=kx−1 (k 函数类型判定题 3. 取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4. 判断反比例函数核心要点 (1)x、y次数必须为-1； (2)常数项k不能等于 0； (3)不能出现y=这类分母含一次多项式的形式（不属于反比例函数）。 5.正反比例函数对比表 函数类型 解析式 自变量次数 k符号要求 图像形状 正比例函数 y=kx(k≠0) x次数为 1 k>0、k<0 过原点直线 反比例函数 y=(k≠0) x次数为 - 1 k>0、k<0 双曲线，不过原点 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图像画法（描点法） 图象基础特征 图象名称：双曲线，由左右完全分离的两支曲线组成； 渐近特点：两支曲线无限向 x 轴、y 轴靠近，但永远不与坐标轴相交（因为 x≠0，y≠0）； 画法：描点法，取点时必须分正负两组取值（正 x 一组，负 x 一组），分别画出两支，不能连为一条曲线。 步骤 解读 图示 ① 列表 自变量通常取原点附近的相反数，如 1,2,3 等，然后求出对应的 y 值 ② 描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③ 连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数与一次函数综合 1. 交点求解方法 联立两个函数解析式，组成方程组，消元得到一元二次方程，方程的解对应交点横、纵坐标。 2. 交点核心性质 (1)若有两个交点，则两点关于原点中心对称； (2)联立方程判别式Δ>0：2 个交点；Δ=0：1 个交点；Δ<0：无交点。 3. 图像综合应用 (1)比较函数值大小：同一竖直线x=a，观察图像上下位置，上方函数值更大； (2)解不等式>mx+n：直接看图像，双曲线在直线上方对应的x取值范围 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 知识点08:高频易错点 易错分类 详细错误表现 完整正确结论 细致避坑提示 概念判定 忽略k≠0；整理后x次数不是-1仍判定为反比例函数 三种解析式统一要求k≠0，自变量次数必须为-1 判断前先将式子整理成标准乘积式核查 增减性描述 直接写 “在全体定义域内，y 随 x 增大而增大 / 减小” 增减性仅在同一个象限内成立，跨象限无规律 考试答题必须带上 “在每个象限内” 限定语 图像特征 画图时让双曲线与坐标轴相交；两支曲线连在一起 x≠0，y≠0，双曲线无限靠近坐标轴，永不相交；两支独立分开 描点时分正负取值，左右两支分开画 交点计算 联立函数后不计算判别式，直接默认两个交点 联立得到一元二次方程，Δ决定交点个数，可能 0、1、2 个交点 综合大题求交点前先判断Δ正负 函数值比较 跨象限直接根据 x 大小判断 y 大小 必须以x=0和交点横坐标分段讨论，不能跨象限直接比较 先画图划分区间，再对比上下图像 实际应用题 列出函数后不标注自变量取值范围 时间、长度、效率等量均大于 0，(x>0) 写出解析式后立刻补充x的取值范围 对称性使用 忘记双曲线关于原点对称，求对称点坐标出错 (a,b)在图像上，则(-a,-b)、(b,a)、(-b,-a)均在图像上 求坐标优先用原点对称快速计算 题型1.用反比例函数描述数量关系 【典例】在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的自变量是不为0的任意实数求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的自变量是不为0的任意实数是解题的关键． 【跟踪专练1】若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 【跟踪专练2】某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【答案】丙 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 【跟踪专练3】某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 题型2.由定义判断反比例函数 【典例】下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 【跟踪专练1】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 【跟踪专练2】用，表示两个相关联的量，下列关系中，和成反比例关系的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的定义，涉及的知识点是“反比例关系的判定：两个相关联的量，若满足（为定值，），则和成反比例关系”．解题方法是根据反比例关系的定义，逐一分析选项中x与y的关系式，判断是否符合定值的形式；解题关键是区分反比例关系与正比例关系、一次关系的表达式特征．易错点是混淆反比例关系（乘积为定值）与正比例关系（比值为定值）的形式．解题思路为：对每个选项，分析与的关系式，判断是否满足“乘积为定值”，进而确定成反比例关系的选项． 【详解】解：∵反比例关系的定义是（为非零常数）， 选项A：表示和定，不是反比例； 选项B：满足反比例定义； 选项C：表示差定，不是反比例； 选项D：可化为，表示正比例关系． 故选：B． 题型3.由反比例函数的定义求参数 【典例】已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 【跟踪专练1】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 【跟踪专练2】点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】设点关于轴对称的点为点，由对称性可得点的坐标为，将点坐标代入对应的解析式可得，，结合，求出的值． 【详解】解：设点关于轴对称的点为点， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得， ∵， ∴， 解得． 【跟踪专练3】下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。 【详解】解：∵ 反比例函数为，取已知对应值代入解析式 得 解得 ∴ 反比例函数解析式为 将代入解析式得 ， 解得 题型4.求反比例函数值 【典例】已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【答案】 【分析】将已知代入反比例函数解析式，计算即可得到的值 【详解】解：将代入，得 【跟踪专练1】已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 【跟踪专练2】若，且x只能取整数，则y的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据的正负分类讨论，确定最小值的范围，再结合为整数的条件，求出的最小值． 【详解】解：∵ ∴反比例函数图象在第一，三象限， ∴当为正整数时，； 当为负整数时，， ∵， ∴图象在第三象限随的增大而减小， ∴当时，y有最小值，此时． 【跟踪专练3】在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据自变量的条件，分和两种情况，结合反比例函数的增减性得到函数的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 当时，，、都满足，均为可能的函数值； 当时，当时，，结合函数增减性可得时，∴3是可能的函数值； 因此是不可能的函数值． 题型5.由反比例函数函数值求自变量 【典例】已知反比例函数的图象经过点，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入已知反比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 将，代入得： ， 等式两边同乘得： ， 等式两边同除以得：， 移项得：． 【跟踪专练1】在反比例函数中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，熟练掌握反比例函数的增减性，是解题的关键．由反比例函数的性质求x的范围即可． 【详解】解：∵中， ∴当时，y随x的增大而减小， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 故选：B． 【跟踪专练2】已知点，在反比例函数图象上． （1）若，则______． （2）若，，则当自变量时，函数y的取值范围是______． 【答案】 /0.5 或 【分析】（1）根据在反比例函数上的点可得，即可求解； （2）根据已知条件，结合（1）的结论可得，，进而根据反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵点，在反比例函数图象上． ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴，则 ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵反比例函数的图象在第一，三象限，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，即时，或 或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的增减性、根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可． 【详解】解：当时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，则当时，y有最小值， ∴，解得； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，有最小值，当时，有最大值， ∴，解得， ∴或． 故选：B． 题型6.判断反比例函数图象 【典例】反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，双曲线的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】直接根据反比例函数的性质结合图象分布解答即可． 【详解】解：∵中，k=-6＜0 ∴双曲线的图象在二、四象限，排除C、D 当x=-2时，y=3时，故A符合题意，B不符合题意． 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图像确定方法是解题关键． 【跟踪专练2】二次函数y＝ax2＋bx＋c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次函数的图象可得的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可得． 【详解】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴， ， 抛物线的对称轴位于轴的右侧， ， ， 由可知，反比例函数的图象位于第一、三象限， 由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第二、四象限， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数和正比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键． 题型7.反比例函数图象判断解析式 【典例】在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握当，反比例函数图象经过第一、三象限，当，反比例函数图象经过第二、四象限是解题的关键；写出一个比例系数为正数的反比例函数即可． 【详解】解：一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】点（－3，4）在反比例函数的图象上，则的值为_______ 【答案】 【分析】将点（－3，4）代入反比例函数，求解即可． 【详解】解：将点（－3，4）代入反比例函数，得，解得 故答案为 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的有关性质是解题的关键． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数图象确定k的取值范围． 【详解】解：如图所示， 反比例函数的图象位于第二、四象限，则． 又，即． 观察选项，只有选项合题意． 故选：． 【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点． 题型8.双曲线分布象限求参数范围 【典例】如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过反比例函数图象，确定参数的取值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一、三象限． 【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限， 因此比例系数， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象的象限由系数符号决定，第二、四象限时系数小于零，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， 选项中只有1满足条件， 故选A． 【跟踪专练2】已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大. 【跟踪专练3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：由图象可知，反比例函数在二、四象限， ， 的值可能是， 故选：C． 题型9.判断反比例函数的增减性 【典例】下列函数中，随着的增大而减小的有_________. ①；②；③；④；⑤ 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，根据一次函数、反比例函数和二次函数的增减性进行判断.一次函数中，当比例系数小于0时，y随x增大而减小；反比例函数中，当比例系数大于0时，在各自象限内y随x增大而减小；二次函数中，当二次项系数小于0且x在对称轴右侧时，y随x增大而减小. 【详解】解：①是一次函数，，因此随增大而减小； ②是一次函数，，因此随增大而增大； ③是反比例函数， ，在或时，随增大而减小； ④ 是反比例函数，，在或时，随增大而增大； ⑤ ()是二次函数，二次项系数，对称轴为轴，当时，随 增大而减小. 故答案为：①③⑤ 【跟踪专练1】下列函数中，当时，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握性质四解题的关键． 【详解】解：当时， A. 在第四象限中，y的值随x值的增大而增大，不符合题意；     B. 在第一象限中，y的值随x值的增大而增大，不符合题意；     C. 在第一象限中，y的值随x值的增大而增大，不符合题意；         D. 在第一象限中，y的值随x值的增大而减小，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数、反比例函数和一次函数的图象和性质．根据二次函数，一次函数，反比例函数的图象的性质解答即可． 【详解】解：A、一次函数中一次项系数为， ∴y随x的增大而增大，故本选项符合题意； B、∵二次函数，中二次项系数为， ∴图象开口向上，当时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； C、∵二次函数中二次项系数为 ∴图象开口向下，当时，y随x的增大而减少，故本选项不符合题意； D、反比例函数中系数为，经过一三象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练3】若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而_________（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出，从而推出，最后由反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数过第二象限， ∴， ∴， ∴则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而减小， 故答案为：减小． 题型10.判断反比例图象所在象限 【典例】已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第________象限． 【答案】一、三/三、一 【分析】本题考查了反比例函数图象．熟练掌握反比例函数图象是解题的关键． 根据在第一或第三象限，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，在第一或第三象限， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限， 故答案为：一、三． 【跟踪专练1】关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数，，图象位于第一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴的图象位于第一、三象限内，图象与坐标轴不相交，每个象限内，y随x的增大而减小，当时，，故B、C、D正确，A错误， 故选：A． 【跟踪专练2】已知抛物线与x轴没有交点，则函数的图象位于第 ________象限． 【答案】二、四 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握以上函数性质． 利用二次函数性质求出的取值范围，然后根据反比例函数的性质即可判定出图象所在象限． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得， ∴函数的图象位于第二、四象限， 故答案为：二、四． 【跟踪专练3】对于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可． 【详解】A选项：把点代入函数中，得成立， ∴点在函数的图象上，本选项说法正确； B选项：∵， ∴函数图象在第一、三象限，本选项说法正确； C选项：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，本选项说法错误； D选项：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，本选项说法正确． 故选：C 题型11.由求参数反比例函数增减性 【典例】已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是_______________ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，结合得出反比例函数图象分布在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，且， ∴， ∵， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 【跟踪专练2】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得反比例函数关系式，求得时，，再利用反比例函数的增减性质，可求得答案． 【详解】解：设，代入 随的增大而减小 当时， 其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 故答案为：． 【跟踪专练3】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象为双曲线，当>，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可． 【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降， ， ， 故选：A． 题型12.比较反比例函数值/自变量大小 【典例】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分别把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，进而即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故答案为． 【跟踪专练1】已知点，，在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：，，随的增大而增大， ∵， ∴，故该选项不合题意； B：，，随的增大而减小， ∵， ∴，故该选项不合题意； C：，，函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，且第一象限点的纵坐标为正，第三象限点的纵坐标为负， ∵， ∴，故该选项不合题意； D：，，对称轴为轴，当时，随的增大而增大，和关于轴对称， ∵， ∴，故该选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】已知反比例函数，对于正数m，当自变量x满足时，函数y的最小值为a，则当时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．根据反比例函数的性质，可知图象在第一、三象限，在每个象限内， 随的增大而减小，再根据对于一个正数，当自变量满足时，函数的最小值为，求出解析式为，再根据反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对于一个正数，当时，函数的最小值为， 则时，， ∴， ∴， 当时， 当时，函数的最小值为：， 当时，函数的最大值为：． 故答案为：；． 【跟踪专练3】已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，可直接代入计算函数值再比较大小，也可利用反比例函数的增减性结合点所在象限分析. 【详解】解：方法一：直接计算比较 将代入， 可得：， 将代入， 可得：， 将代入， 可得：， ， 方法二：利用函数性质比较 反比例函数中，， 该函数在第一象限内随的增大而减小，且函数值为正；在第三象限内随的增大而减小，且函数值为负， 点，在第三象限，且， ， 点在第一象限， ， ∴. 题型13.由比例系数求特殊图形面积 【典例】如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 【跟踪专练1】如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义求解即可，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：∵轴，轴，垂足分别为， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，熟练掌握从反比例关系函数的图象上任意上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 连接、，设交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义得到，，则平行四边形的面积． 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 题型14.求反比例函数解析式 【典例】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质． 根据题意，将点和代入反比例函数表达式，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：函数的图象经过点和， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的概念是关键． 设反比例函数解析式为，代入已知点求，再验证各选项点是否满足解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入，得， 对于A，，不是，故A错误； 对于B，，不是，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，不是，故D错误． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连接．若点C的坐标为，，的面积为3，则的面积是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，求反比例函数的解析式，根据三角形的面积公式求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法确定的值，再根据三角形的面积与的关系求出结果即可． 【详解】解：， ， ，的面积为3，轴， ∴， ， ， ， ∵点A是反比例函数图象上的一点，且轴， ， 故答案为：4． 【跟踪专练3】如图，若抛物线与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数（）的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出k的值；找到二次函数图象与x轴、y轴的交点，即可得出k值，从而得出的解析式. 【详解】解：抛物线，当时，；当时，， 则抛物线与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为，，，，共有4个，如图所示： ∴， ∴反比例函数的解析式为. 故选：D. 题型15.反比例函数与几何综合 【典例】如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数图象上点的坐标特征，设，则，可得，进而由的面积为得到，即可求出的值，再代入计算即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵轴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上 ∴， ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，图形的平移，设，结合平移的性质可得的纵坐标为，的横坐标为，再利用面积公式计算即可. 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴设， ∵将线段沿轴向右平移至线段， ∴的纵坐标为， ∵点落在反比例函数的图像上． ∴的横坐标为， ∴线段扫过的面积为， 故选：C 【跟踪专练2】如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， 即轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C， ∴轴于点C， ∵轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，根据题意表示出线段的长度是解题的关键． 作轴于，于，即可求得，，，，由，得到，，，，进而，然后利用勾股定理得到，代入数值求解即可． 【详解】解：作轴于，于， ∴轴， ∵轴于点，轴于点， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴， 故选：A． 题型16.由图形面积求比例系数 【典例】如图，P是反比例函数的图像上一点，过点P作轴于点B，点A在y轴上，的面积为2，则k的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，掌握与矩形或三角形的面积之间的关系是解题的关键． 连接，则轴，则，即可求解． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第一象限， ∴， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义．由的面积为3，可得，再结合图象经过一、三象限，从而可确定的值． 【详解】解：的面积为3， ， ， ， 图象经过一、三象限 ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，为等腰三角形，，反比例函数过点，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．作轴于点，利用三线合一性质得到，进而得出，再利用反比例函数系数的几何意义得到，解出，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数过点B， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（    ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型17.一次函数与反比例函数交点问题 【典例】直线与双曲线有两个交点和，其中点的坐标是，则点的坐标________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与正比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据反比例函数图象与正比例函数图象的中心对称性求解即可． 【详解】解：直线与双曲线有两个交点和， ∴点与关于原点对称， ∵点的坐标是， 点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握数形结合是关键． 所求不等式的解集为双曲线在直线上方对于的自变量x的取值范围，根据两个函数图象及交点横坐标直接写出不等式解集即可． 【详解】解：由题意可知，，两点的横坐标分别为1和3， 不等式的解集为：或． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】直线与双曲线交于，两点，则代数式的值为（    ） A．6 B．﹣9 C．27 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质（图象上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标关系）；掌握利用对称点的坐标关系转化表达式中的未知数是解题的关键．根据反比例函数图象上关于原点对称的点的坐标关系，结合反比例函数性质即可得出结果． 【详解】解：反比例函数图象上点的坐标特征可知点，关于原点对称， ∴，， 把代入双曲线得， ∴ ， 故选：D． 题型18.一次函数反比例函数综合判断 【典例】如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是_____． 【答案】或/或 【分析】根据表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【详解】解：表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， 则由函数图象可知，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键． 【跟踪专练1】在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．根据函数解析式分别讨论正比例函数与反比例函数图象所经过的象限即可解答． 【详解】解：函数中，，则函数图象经过一、三象限， 函数中，，则函数图象经过二、四象限， 可见，符合条件的只有A． 故选：A． 【跟踪专练2】若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，先画出函数图象，结合图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：函数的图象如图所示： 故直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：A ． 解答题 1．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【答案】(1)见解析 (2)成反比例，理由见解析 (3) 页 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； 故表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 （2）解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 2．已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质与定义，得出m的值是解题的关键． （1）根据反比例函数定义，以及反比例函数增减性列出等式与不等式求解，即可解题； （2）由（1）得到反比例函数解析式，结合解析式分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ； （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或． 3．已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为； (2)不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）解：不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 4．在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． (1)若，求证：． (2)若，，，求该函数的表达式． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）根据题意得出，，然后由，即可证得． （2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值． 【详解】（1）证明：反比例函数的图象过点． ，， ， ． （2）解：，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该函数的表达式为． 5．已知图中的曲线是函数（m为常数）图象的一支． (1)求常数m的取值范围； (2)诺该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求点A的坐标及m的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）可得，即可求解； （2）将代入得，可求的坐标，将的坐标代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：图象的一支在第一象限， 解得：； （2）解：由题意得 将代入得 ， 解得：， ， ， 解得：； 故，． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，掌握性质及解法是解题的关键． 6．已知反比例函数的图象经过点，若，是这个反比例函数图象上的两个点，请比较，的大小． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，以及反比例函数的图象与性质，解题的关键是正确掌握反比例函数的图象与性质．利用待定系数法先求出值，再根据反比例函数的图象与性质求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数过二、四象限，且在各自象限内随着的增大而增大， ， ． 7．如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． (1)当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； (2)如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，k有最大值； （2）先根据题意得到，，连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）， ∴． ∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，， ∴，， ∴当，时，k有最大值． （2）∵，，且四边形OABC为矩形， ∴， ∴，． ∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 9．如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． (1)求一次函数和反比例函数的解释式． (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先把代入可得反比例函数解析式，再把点代入反比例函数关系式求出坐标，然后将两个点的坐标代入直线关系式，求出一次函数的解析式； （2）求出C点的坐标，结合得出答案； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：把代入得到， 所以反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 把和代入得， 解得． 所以一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 所以C点坐标为， 则， ； （3）解：由图象得不等式的解集为或． 10．如图，一次函数与反比例函数（为常数，且）的图象相交于点，点是一次函数与轴的交点，过点作轴，垂足为，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，连接、，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据围成面积求点的坐标； （1）将代入得，再代入，求出k即可解答； （2）根据题意得，求出，由得，求出再分情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：一次函数经过点． ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：轴，垂足为，点的坐标为， ，点的坐标为，即， ， ，即， ， 当点在第一象限时，，此时点的坐标为， 当点在第三象限时，，此时点的坐标为， 点的坐标为或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06反比例函数暑假预习讲义 · 知识目标：理解反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式 y=(k)\)，能准确判断一个函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式。 · 图象目标：会画反比例函数的双曲线图象，能根据 k 的正负判断图象分布的象限、增减变化规律，明白双曲线分两支、不连续的特点。 · 性质目标：掌握反比例函数的对称性（关于原点对称），理解 k 的几何意义，能利用矩形、三角形面积公式快速解题。 · 综合能力目标：会对比正比例函数、一次函数与反比例函数的区别，能利用图象比较函数值大小、求交点坐标。 · 应用目标：能从实际问题中建立反比例函数模型，能根据实际情况确定自变量取值范围，解决简单实际应用题。 · 思想方法目标：初步建立数形结合思想，学会用图像理解函数性质，养成分类讨论（k>0、k<0)的解题习惯。 预习必备知识梳理 1.反比例函数的定义 2.反比例函数解析式的确定 3.反比例函数的图象画法 4.反比例函数图象与性质 5反比例函数K的几何意义 6.反比例函数与一次函数综合 7.反比例函数应用 8.高频易错点汇总 常考 题型 精讲 精练 1.用反比例函数描述数量关系 2.由定义判断反比例函数 3.由反比例函数的定义求参数 4.求反比例函数值 5.由反比例函数函数值求自变量 6.判断反比例函数图象 7.反比例函数图象判断解析式 8.双曲线分布象限求参数范围 9.判断反比例函数的增减性 10.判断反比例图象所在象限 11.由求参数反比例函数增减性 12.比较反比例函数值/自变量大小 13.由比例系数求特殊图形面积 14.求反比例函数解析式 15.反比例函数与几何综合 16.由图形面积求比例系数 17.一次函数与反比例函数交点问题 18.一次函数反比例函数综合判断 强化题 解答题10题 知识点01:反比例函数基础定义与三种表达式 1. 定义 一般地，如果两个变量x、y的乘积等于一个非零常数k（k为常数，k≠0），即xy=k，那么称y是x的反比例函数。 2. 三种等价表达式 形式 解析式 主要用途 分式形式 y= (k 求解析式、常规计算 乘积形式 xy=k (k 判断变量是否成反比例关系 负指数形式 y=kx−1 (k 函数类型判定题 3. 取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4. 判断反比例函数核心要点 (1)x、y次数必须为-1； (2)常数项k不能等于 0； (3)不能出现y=这类分母含一次多项式的形式（不属于反比例函数）。 5.正反比例函数对比表 函数类型 解析式 自变量次数 k符号要求 图像形状 正比例函数 y=kx(k≠0) x次数为 1 k>0、k<0 过原点直线 反比例函数 y=(k≠0) x次数为 - 1 k>0、k<0 双曲线，不过原点 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图像画法（描点法） 图象基础特征 图象名称：双曲线，由左右完全分离的两支曲线组成； 渐近特点：两支曲线无限向 x 轴、y 轴靠近，但永远不与坐标轴相交（因为 x≠0，y≠0）； 画法：描点法，取点时必须分正负两组取值（正 x 一组，负 x 一组），分别画出两支，不能连为一条曲线。 步骤 解读 图示 ① 列表 自变量通常取原点附近的相反数，如 1,2,3 等，然后求出对应的 y 值 ② 描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③ 连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数与一次函数综合 1. 交点求解方法 联立两个函数解析式，组成方程组，消元得到一元二次方程，方程的解对应交点横、纵坐标。 2. 交点核心性质 (1)若有两个交点，则两点关于原点中心对称； (2)联立方程判别式Δ>0：2 个交点；Δ=0：1 个交点；Δ<0：无交点。 3. 图像综合应用 (1)比较函数值大小：同一竖直线x=a，观察图像上下位置，上方函数值更大； (2)解不等式>mx+n：直接看图像，双曲线在直线上方对应的x取值范围 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 知识点08:高频易错点 易错分类 详细错误表现 完整正确结论 细致避坑提示 概念判定 忽略k≠0；整理后x次数不是-1仍判定为反比例函数 三种解析式统一要求k≠0，自变量次数必须为-1 判断前先将式子整理成标准乘积式核查 增减性描述 直接写 “在全体定义域内，y 随 x 增大而增大 / 减小” 增减性仅在同一个象限内成立，跨象限无规律 考试答题必须带上 “在每个象限内” 限定语 图像特征 画图时让双曲线与坐标轴相交；两支曲线连在一起 x≠0，y≠0，双曲线无限靠近坐标轴，永不相交；两支独立分开 描点时分正负取值，左右两支分开画 交点计算 联立函数后不计算判别式，直接默认两个交点 联立得到一元二次方程，Δ决定交点个数，可能 0、1、2 个交点 综合大题求交点前先判断Δ正负 函数值比较 跨象限直接根据 x 大小判断 y 大小 必须以x=0和交点横坐标分段讨论，不能跨象限直接比较 先画图划分区间，再对比上下图像 实际应用题 列出函数后不标注自变量取值范围 时间、长度、效率等量均大于 0，(x>0) 写出解析式后立刻补充x的取值范围 对称性使用 忘记双曲线关于原点对称，求对称点坐标出错 (a,b)在图像上，则(-a,-b)、(b,a)、(-b,-a)均在图像上 求坐标优先用原点对称快速计算 题型1.用反比例函数描述数量关系 【典例】在函数中，自变量x的取值范围是______． 【跟踪专练1】若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【跟踪专练2】某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【跟踪专练3】某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 题型2.由定义判断反比例函数 【典例】下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【跟踪专练2】用，表示两个相关联的量，下列关系中，和成反比例关系的是（） A． B． C． D． 题型3.由反比例函数的定义求参数 【典例】已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【跟踪专练1】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【跟踪专练2】点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【跟踪专练3】下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 题型4.求反比例函数值 【典例】已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【跟踪专练1】已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，且x只能取整数，则y的最小值是______． 【跟踪专练3】在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 题型5.由反比例函数函数值求自变量 【典例】已知反比例函数的图象经过点，则______． 【跟踪专练1】在反比例函数中，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点，在反比例函数图象上． （1）若，则______． （2）若，，则当自变量时，函数y的取值范围是______． 【跟踪专练3】已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 题型6.判断反比例函数图象 【典例】反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【跟踪专练1】如图，双曲线的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】二次函数y＝ax2＋bx＋c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型7.反比例函数图象判断解析式 【典例】在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 【跟踪专练1】点（－3，4）在反比例函数的图象上，则的值为_______ 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 题型8.双曲线分布象限求参数范围 【典例】如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 【跟踪专练1】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【跟踪专练2】已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为______． 【跟踪专练3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 题型9.判断反比例函数的增减性 【典例】下列函数中，随着的增大而减小的有_________. ①；②；③；④；⑤ 【跟踪专练1】下列函数中，当时，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而_________（选填“增大”或“减小”） 题型10.判断反比例图象所在象限 【典例】已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第________象限． 【跟踪专练1】关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【跟踪专练2】已知抛物线与x轴没有交点，则函数的图象位于第 ________象限． 【跟踪专练3】对于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 题型11.由求参数反比例函数增减性 【典例】已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是_______________ ． 【跟踪专练1】如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是______． 【跟踪专练3】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 题型12.比较反比例函数值/自变量大小 【典例】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 【跟踪专练1】已知点，，在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知反比例函数，对于正数m，当自变量x满足时，函数y的最小值为a，则当时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．（用含a的式子表示） 【跟踪专练3】已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 题型13.由比例系数求特殊图形面积 【典例】如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【跟踪专练1】如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【跟踪专练2】如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为______． 【跟踪专练3】如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 题型14.求反比例函数解析式 【典例】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为___________． 【跟踪专练1】一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连接．若点C的坐标为，，的面积为3，则的面积是______． 【跟踪专练3】如图，若抛物线与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数（）的图象是（    ） A． B． C． D． 题型15.反比例函数与几何综合 【典例】如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为，则的值为______． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【跟踪专练2】如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型16.由图形面积求比例系数 【典例】如图，P是反比例函数的图像上一点，过点P作轴于点B，点A在y轴上，的面积为2，则k的值为________． 【跟踪专练1】如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【跟踪专练2】如图，为等腰三角形，，反比例函数过点，若，则______． 【跟踪专练3】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（    ） A．5 B．8 C． D． 题型17.一次函数与反比例函数交点问题 【典例】直线与双曲线有两个交点和，其中点的坐标是，则点的坐标________． 【跟踪专练1】如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【跟踪专练3】直线与双曲线交于，两点，则代数式的值为（    ） A．6 B．﹣9 C．27 D．18 题型18.一次函数反比例函数综合判断 【典例】如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是_____． 【跟踪专练1】在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是____________． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 2．已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 3．已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 4．在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． (1)若，求证：． (2)若，，，求该函数的表达式． 5．已知图中的曲线是函数（m为常数）图象的一支． (1)求常数m的取值范围； (2)诺该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求点A的坐标及m的值． 6．已知反比例函数的图象经过点，若，是这个反比例函数图象上的两个点，请比较，的大小． 7．如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 8．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． (1)当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； (2)如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 9．如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． (1)求一次函数和反比例函数的解释式． (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 10．如图，一次函数与反比例函数（为常数，且）的图象相交于点，点是一次函数与轴的交点，过点作轴，垂足为，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，连接、，且，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $