分数百分数应用题（讲义）-2025-2026学年六年级数学下册人教版

小升初数学培优讲义 · 分数百分数应用题 小升初数学培优讲义 专 题 三 分数、百分数应用题 （人教版 ） 量率对应 单位"1"转化 分数乘除应用题 折扣利润 按比分配 一、学习目标 1. 理解分数、百分数应用题的结构特征，能准确找出单位"1"的量； 2. 掌握分数乘法应用题：求一个数的几分之几是多少，用乘法； 3. 掌握分数除法应用题：已知一个数的几分之几是多少求这个数，用除法或方程； 4. 理解并掌握"量率对应"的思想，能借助线段图分析数量关系； 5. 掌握百分数应用题中折扣、利率、增长率等常见类型； 6. 能综合运用分数与比的知识，解决按比分配等实际问题。 二、知识梳理 1. 分数应用题的三种基本类型 类型 方法 关键 求一个数的几分之几 单位"1"的量 × 分率 = 对应量 用乘法 已知几分之几求总数 对应量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量 用除法或方程 求一个数是另一个数的几分之几 比较量 ÷ 单位"1"的量 = 分率 用除法 2. 找准单位"1" 单位"1"是分数应用题中被当作标准的量，找单位"1"是解题的第一步。 常见规律： （1）"谁的几分之几"——"谁"就是单位"1"； （2）"比谁多（或少）几分之几"——"谁"就是单位"1"； （3）"占谁的几分之几"——"谁"就是单位"1"； （4）"相当于谁的几分之几"——"谁"就是单位"1"。 注意："比多比少"问题中，多（或少）的部分是相对于单位"1"而言的。 如：甲比乙多 ，是以乙为单位"1"，甲 = 乙 ×(1+ )； 乙比甲少 ，是以甲为单位"1"，乙 = 甲 ×(1− )。两者完全不同！ 3. 量率对应 在分数应用题中，每一个具体数量（量）都对应一个分率（率），量与率的对应关系是解题的关键。 核心公式： 单位"1"的量 × 分率 = 对应量 对应量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量 画线段图是帮助理解量率对应的有效方法：先画单位"1"，再标出已知的量和率。 4. 百分数应用题 百分数应用题的解题思路与分数应用题一致，只需把百分数化为分数或小数计算。 常见类型： （1）求百分率：如出勤率、成活率、合格率、及格率等； （2）求一个数的百分之几是多少（用乘法）； （3）已知一个数的百分之几是多少求这个数（用除法或方程）； （4）折扣问题：几折 = 百分之几十； （5）增长率问题：现量 = 原量 ×(1+增长率)。 常用公式： 折扣价 = 原价 × 折扣（如八折 = ×80%） 节省金额 = 原价 ×(1−折扣) 增长率 = (现量−原量)÷原量×100% 出勤率 = 出勤人数÷总人数×100% 5. 按比分配 把一个总量按照一定的比分成若干部分，叫做按比分配。 解题步骤：①求总份数；②求每份是多少；③分别求出各部分的量。 如：甲∶乙 = 3∶5，总量为80，则甲 = 80×=30，乙 = 80×=50。 三、典例精析 【例1】一本书有120页，小明第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 。还剩多少页没看？ 全书120页为单位"1"。 方法：先求还剩全书的几分之几，再用乘法计算。 还剩 = 1 − − = 1 − − = 还剩页数 = 120 × = 42（页） 答：还剩42页没看。 【例2】修一条公路，已经修了全长的 ，正好修了360米。这条公路全长多少米？ 公路全长为单位"1"，360米对应的分率是 。 全长 = 360 ÷ = 360 × = 960（米） 答：这条公路全长960米。 【例3】果园里有苹果树120棵，梨树比苹果树多 。梨树有多少棵？ 苹果树为单位"1"，梨树是苹果树的 (1+ )= 。 梨树 = 120 ×(1+ ) = 120 × = 150（棵） 答：梨树有150棵。 【例4】一件衣服原价300元，现在打八折出售。现价多少元？比原价便宜了多少元？ 八折 = 80%，即现价是原价的80%。 现价 = 300 × 80% = 300 × 0.8 = 240（元） 便宜 = 300 − 240 = 60（元） （也可：便宜 = 300 ×(1−80%) = 300 × 0.2 = 60元） 答：现价240元，比原价便宜60元。 【例5】一桶油，第一次用去总量的 ，第二次用去余下的 ，还剩10千克。这桶油原来有多少千克？ 本题需要统一单位"1"，或用倒推法。 第二次用去余下的 ，则剩下的10千克是第一次用完后余下的 。 第一次用完后余下 = 10 ÷ = 20（千克） 第一次用去总量的 ，余下20千克对应总量的 1− = 。 原来有油 = 20 ÷ = 30（千克） 答：这桶油原来有30千克。 【例6】学校图书馆有科技书和文艺书共600本，科技书与文艺书的本数比是3∶2。两种书各有多少本？ 总份数 = 3+2 = 5（份） 每份 = 600 ÷ 5 = 120（本） 科技书 = 120 × 3 = 360（本） 文艺书 = 120 × 2 = 240（本） 答：科技书360本，文艺书240本。 【例7】六年级有学生180人，今天的出勤率是95%。今天有多少人缺勤？ 缺勤率 = 1 − 95% = 5% 缺勤人数 = 180 × 5% = 180 × 0.05 = 9（人） 答：今天有9人缺勤。 【例8】商店同时卖出两件商品，每件各卖120元。其中一件赚了20%，另一件亏了20%。商店卖这两件商品总体上是赚了还是亏了？赚或亏了多少元？ 赚20%的商品：成本为单位"1"，售价 = 成本×(1+20%)，成本 = 120÷1.2 = 100（元） 亏20%的商品：成本为单位"1"，售价 = 成本×(1−20%)，成本 = 120÷0.8 = 150（元） 总成本 = 100+150 = 250（元），总售价 = 120+120 = 240（元） 240 < 250，亏了 250−240 = 10（元） 答：商店总体亏了10元。 【例9】甲、乙两数之和为90，甲数的 等于乙数的 。甲、乙两数各是多少？ 由甲× = 乙× ，可得 甲∶乙 = ∶ = 4∶5。 总份数 = 4+5 = 9（份），每份 = 90÷9 = 10 甲 = 10×4 = 40，乙 = 10×5 = 50 验证：40× = 10，50× = 10，相等，正确。 答：甲数是40，乙数是50。 【例10】一批货物，第一天运走总数的 ，第二天运走140吨，两天正好运走了总数的 。这批货物共有多少吨？ 第二天运走的140吨对应的分率 = − = − = 。 总量 = 140 ÷ = 140 × = 400（吨） 答：这批货物共有400吨。 四、分层练习 A组 · 基础巩固 1. 一桶油重50千克，用去了 ，还剩多少千克？ 2. 小明看一本书，已经看了80页，正好是全书的 。这本书共有多少页？ 3. 果园里有桃树80棵，梨树比桃树少 。梨树有多少棵？ 4. 一件商品原价200元，打七五折出售，现价是多少元？ 5. 六年级一班有50人，今天的出勤率是98%，今天有几人缺勤？ 6. 修一条长480米的路，第一天修了全长的 ，第二天修了全长的 。还剩多少米没修？ 7. 银行一年期存款年利率是3%，小明存了2000元，到期后利息是多少元？ 8. 一袋大米，吃了 后还剩15千克。这袋大米原来有多少千克？ 9. 某班男生人数是女生人数的 ，女生有25人。全班共有多少人？ 10. 用120厘米长的铁丝围成一个长方形，长与宽的比是3∶2，这个长方形的面积是多少平方厘米？ B组 · 能力提升 1. 一根绳子，第一次剪去全长的 ，第二次剪去余下的 ，还剩6米。这根绳子原来长多少米？ 2. 水果店运来苹果和梨共119千克，苹果卖出 ，梨卖出 后，剩下的苹果和梨重量相等。原来苹果和梨各有多少千克？ 3. 修一条路，第一周修了全长的 ，第二周修了全长的 ，第一周比第二周少修60米。这条路全长多少米？ 4. 甲、乙、丙三人合租一辆车，甲在全程的 处下车，乙在全程的 处下车，丙坐到终点。共付车费90元，三人各应分摊多少元？ 5. 一批零件，师傅单独做10天完成，徒弟单独做15天完成。师徒合作几天完成？ 6. 有两筐苹果，甲筐比乙筐多12千克。如果从甲筐取出 放入乙筐，两筐苹果就一样重。原来两筐各有多少千克？ 7. 某商店同时卖出两件商品，每件售价均为60元，一件赚20%，另一件亏20%。商店卖出这两件商品是赚还是亏？赚或亏多少元？ 8. 甲、乙两堆煤共重180吨，甲堆运走 ，乙堆运走 ，这时两堆剩下的煤正好相等。原来甲、乙两堆煤各有多少吨？ 五、参考答案与解析 A组 · 基础巩固 1. 50×(1− ) = 50× = 20（千克） 2. 80 ÷ = 80× = 200（页） 3. 80×(1− ) = 80× = 60（棵） 4. 200×75% = 200×0.75 = 150（元） 5. 50×(1−98%) = 50×2% = 1（人） 6. 480×(1− − ) = 480× = 200（米） 7. 2000×3%×1 = 60（元） 8. 15 ÷(1− ) = 15 ÷ = 60（千克） 9. 男生 = 25× = 20人，全班 = 25+20 = 45（人） 10. 长+宽 = 120÷2 = 60cm，总份数5，每份12cm。长=36cm，宽=24cm，面积=36×24=864（cm²） B组 · 能力提升 1. 倒推法：第二次剪去余下的 后剩6米，说明6米是余下的 ，第一次余下 = 6 ÷ = 12米。12米是原长的 1− = ，原长 = 12 ÷ = 18（米）。 2. 设苹果x千克，则梨(119−x)千克。 由 x = (119−x)，8x = 9(119−x)，17x = 1071，x = 63。 苹果63千克，梨 119−63 = 56千克。 验证：63× = 42，56× = 42，相等，正确。 3. 60 ÷( − ) = 60 ÷ = 1200（米） 4. 按乘车路程比分配：甲∶乙∶丙 = ∶ ∶1 = 1∶2∶3。 总份数 = 6，每份 = 90÷6 = 15元。 甲 = 15元，乙 = 30元，丙 = 45元。 5. 把总量看作单位"1"，师傅每天做 ，徒弟每天做 。 合作天数 = 1 ÷( + ) = 1 ÷ = 6（天）。 6. 设乙筐x千克，则甲筐(x+12)千克。 甲取出 后剩 (x+12)，乙得到后为 x + (x+12)。 相等： (x+12) = x + (x+12)， (x+12) = x，3x+36 = 5x，x = 18。 甲筐 = 30千克，乙筐 = 18千克。 7. 赚的成本 = 60÷(1+20%) = 50元，亏的成本 = 60÷(1−20%) = 75元。 总成本 = 50+75 = 125元，总售价 = 60+60 = 120元。 120 < 125，亏了 125−120 = 5（元）。 8. 设甲堆x吨，则乙堆(180−x)吨。 甲剩 x，乙剩 (180−x)，相等： x = (180−x)。 12x = 15(180−x)，27x = 2700，x = 100。 甲堆100吨，乙堆80吨。验证：100× = 60，80× = 60，相等，正确。 — 讲义完 — 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $