奥数：第1讲 百分数综合应用（利润折扣+利率复利）（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

【人教版】小学六年级下数学奥数：第1讲 百分数综合应用（利润折扣+利率复利） 讲座目标 1. 熟练掌握多次折上折、多件商品组合的利润与盈亏问题，厘清成本、定价、售价、折扣、利润率五大核心量之间的逻辑关系； 2. 理解银行单利、复利的含义与基本模型，熟练掌握利息、本息和的标准计算方法； 3. 学会巧用单位 “1”、百分数算术法，独立解决商业销售与储蓄理财类综合应用题，强化分数百分数综合解题思维与实战能力。 一、易错知识点总结 （一）利润与折扣板块 1. 概念混淆 分不清成本、定价、标价、折后售价、利润、利润率；容易把定价当成成本，把折扣价当作原价。 👉 关系梳理： 名称 含义 关系式 成本 进货价或制作成本 — 定价/标价 计划出售的价格（折扣基准） 定价 = 成本 × (1 + 期望利润率) 售价 实际成交价 售价 = 定价 × 折扣 利润 售价 − 成本 利润 = 成本 × 实际利润率 利润率 利润占成本的百分比 利润率 = 利润 ÷ 成本 2. 多次折扣算法错误 连续折上折不能用加减法，正确公式： 3. 利润率公式记反：，不是除以售价，是高频易错点。 👉 反例警示：成本100元，售价150元，误算利润率 50÷150≈33.3% → 错误。正确应为 50÷100=50%。 4. 多件商品混算：必须分开每件（或每种）单件计算，再合计总利润/总成本。多件商品进价、折扣、利润率不同时，不分开单件单独计算，直接混加总价，盈亏判断容易出错。 5. 同幅盈亏误区：两件商品一件盈利、一件亏损，且盈亏百分数相同，误以为不赚不亏，实际整体一定亏损。 👉 证明例子：设盈利商品成本C₁，亏损商品成本C₂，售价相等 ⇒ C₁(1+a%) = C₂(1−a%) ⇒ C₁＜C₂，总利润 = a%(C₁−C₂)＜0。 （二）利率与复利板块 1. 单利公式漏乘时间： 2. 复利概念模糊：复利即利滚利。当年利息计入下一年本金，逐年计息，不能直接按单利累加多年利息。 👉 时间轴示例（本金10000元，年利率2.5%，2年）： 第1年末本息和 = 10000×(1+2.5%) = 10250元 第2年末本息和 = 10250×(1+2.5%) = 10506.25元 3. 利息与本息和混淆：题目求本息和，只算利息忘记加本金。 4. 百分数换算粗心：百分数与小数互化出错，导致折扣、利率计算偏差。 （三）通用解题易错 1. 不会设单位 “1”，只会硬算，不善于用份数思想解题； 2. 不会梳理数量关系，易被题目多余条件干扰； 3. 解题跳步、不写分步过程，口算居多，粗心失分严重。 二、经典例题 例 1 基础折扣利润问题（单位“1”思想） 某商品进价 200 元，按 50% 利润率定价，再打八折出售，求折后售价和每件利润。 解法一（算术法） 定价： 300元 折后售价： 元 利润： 元 解法二（设成本为单位“1”） 成本为1，定价为1.5，售价为1.5×0.8=1.2，利润=0.2（成本的20%）。实际利润=200×0.2=40元，售价=200×1.2=240元。 答：折后售价240元，每件利润40元。 例 2 多次折上折问题 一件服装成本 180 元，先加价 30% 定价，再连续打九折、九五折，求最终售价。 解： 定价： 元 最终售价： 元 答：最终售价为 200.07 元。 例 3 多件商品盈亏综合 甲、乙两件商品进价都是 300 元，甲加价 40% 卖出，乙打八五折卖出，求两件合计盈亏多少元。 解： 甲售价： 元 乙售价： 元 总售价： 元 总成本： 元 总盈利： 元 答：两件合计盈利 75 元。 例 4 单利基础应用 存入本金 5000 元，年利率 2.4%，定期 3 年，单利计息，求到期利息和本息和。 解： 利息： 元 本息和： 元 答：利息 360 元，本息和 5360 元。 例 5 复利初步（利滚利） 本金 10000 元，年利率 2.5%，按复利存 2 年，求两年后本息和。 解： 复利公式： 两年本息和： 逐步计算： 第一年利息：10000×2.5%=250元 → 本息和10250元； 第二年利息：10250×2.5%=256.25元 → 本息和10506.25元。 公式法： 答：按利滚利计算，两年后可得对应本息和为10506.25 元。 三、基本练习（基础巩固）★ 1. 商品成本 150 元，利润率 30%，求利润和售价。 2. 定价 450 元的商品，打七五折出售，实际售价多少元？ 3. 存入 3000 元，年利率 2%，存 2 年单利，可得利息多少元？ 4. 一件商品八折后售价 240 元，这件商品原价多少元？ 四、拓展练习（综合中档） ★★ 1. 一件商品先降价 10%，再涨价 10%，现价与原价相比是涨还是降？变化幅度是多少？ 2. 两件商品总成本 800 元，一件盈利 25%，一件亏损 25%，两件售价相等，判断整体赚还是亏。 3. 本金 8000 元，年利率 2.25%，存 4 年单利，求到期本息和。 4. 某商品定价 400 元，先打八折，再享会员九五折，求实际售价。 五、拓展练习（拔高压轴）★★★ 1. 购进 A、B 两种商品各 10 件，A 每件进价 50 元，按 40% 利润定价后打九折卖出；B 每件进价 80 元，直接八五折卖出，求全部卖完的总利润。 2. 本金 20000 元，年利率 3%，按复利存 3 年，求三年后本息和（保留整数）。 3. 一件商品按定价九折出售盈利 80 元，按七五折出售亏损 70 元，求这件商品的定价与进价。 六、基本练习答案与解析★ 1. 利润： 元； 售价： 元 （利润率=利润÷成本） 2. 实际售价： 元 3. 利息：3000×2%×2=120元 4. 原价： 元 七、拓展练习答案与解析 （1） 中档拓展练习★★ 1.设原价为1，降价后0.9，再涨价得0.9×1.1=0.99，现价比原价降低 1%。 2.设盈利商品成本a，亏损商品成本b，售价相等：1.25a=0.75b ⇒ b=(5/3)a。总成本= a+(5/3)a=(8/3)a，总售价=1.25a+0.75b=2.5a。2.5a < 2.667a ⇒ 亏损。 3. 利息=8000×2.25%×4=720元，本息和=8720元。 4.实际售价=400×0.8×0.95=304元。 （二）拔高压轴练习★★★ 1. 分别求出 A、B 单件利润，再乘以 10 求和即为总利润。 A 单件利润：50×(1+40%)×0.9 - 50 = 13 元，10 件利润 130 元； B 单件利润：80×0.85 - 80 = -12 元（亏损），10 件利润 -120 元； 总利润=130−120=10元。 2. 复利计算：，保留整数 21855 元。 3. 设定价为x元，进价为y元： 0.9x−y=80，0.75x−y=−70。 解得 x=1000，y=820。答：定价1000元，进价820元。 结束语 本讲重在理清五个核心量之间的关系，熟练掌握单利与复利模型，并学会用单位“1”简化计算。建议反复练习错题，逐步提升综合应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $