精品解析：江西省南康中学2025-2026学年第二学期高三数学考前测试卷（三）

南康中学2025―2026学年度第二学期高三数学考前测试卷（三） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分；共40分． 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得的范围为，求解的范围，再结合分母不为0即可得解． 【详解】由题意得，解得， 由，解得， 故函数的定义域是， 故选：B． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，当时，可得； 当，不能得到，所以充分性不成立； 反之：由，可得， 根据不等式的基本性质，可得成立，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换以及诱导公式计算即可． 【详解】因为， 所以，故． 故选：B. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式可以判断出该函数的单调性，再结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为对于任意两个实数且，不等式恒成立， 所以有，或， 即，或， 所以当时，函数单调递增， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以当时，函数单调递增， 由，或， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由， 由， 由， 所以不等式的解集为， 故选：D 5. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由平移变换知识得到函数的图象，再由的取值范围和的单调性即可得到函数在所给区间上的单调性，从而得到最值. 【详解】函数的图象先向左平移个单位长度后得到函数的图象， 再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 当时，，因为在上单调递增， 则在上单调递增， 故. 故选：D 6. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，再利用辅助角公式求解即可. 【详解】∵，由正弦定理， 得， 即， 而，所以， ∵， 由正弦定理，得， ∴，而， ∴，∴， 因为，所以，∴． 设的外接圆半径为，则， ∴，而， ∴， 故选：C 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明不等式和，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而，故. 8. 定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出各函数的导函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项. 【详解】对于①，则，由， 即，，所以无实数根， 因此不存在“自足点”，故①错误； 对于②，，则，由， 可得，其中，令，显然在定义域上单调递增， 又，， 所以函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，故②正确； 对于③，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，故③正确； 对于④，则， 由，可得， 因为，， 所以， 所以方程无实解，故④错误. 故存在“自足点”的函数共有个. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分；共18分．有错选、多选的不得分，部分选对的得部分分． 9. 已知偶函数满足：当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 函数在区间上有零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义、性质判断ABC；利用零点存在性定理判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，则，B错误； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，则， 当时，，因此，C正确； 对于D，，，即， 因此在区间上有零点，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象向右移个单位长度后，图象关于y轴对称，则的最小值为 D. 若关于x的方程在上有两个实数根，则实数m的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用降幂公式、和角公式与辅助角公式将化成正弦型函数，由正弦型函数的最小正周期判断A；利用代入检验法判断B：根据图象平移后的函数，结合偶函数特征求得，根据的范围求得的值，判断C；将方程的根的情况转化为两个函数图象的交点情况，利用正弦函数的图象求得m的取值范围判断D． 【详解】对于A，因 ，故的最小正周期为，故A错误： 对于B，因为时，，且，即函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，将的图象向右移个单位长度后，可得的图象， 由的图象关于y轴对称，则， 则，解得，又，故的最小值为，故C正确； 对于D，由得，即， 因，设，则，关于x的方程有两个实数根， 等价于函数与的图象在上有两个交点，所以， 解得，故D正确. 故选：BCD． 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，存在增区间 C. 若只有一个极值点，则或 D. 当时，对任意实数，总存在实数，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由题的零点个数转化为方程根的个数，令，求导由单调性可判断；对B，利用导数证明恒成立，即是减函数，得解；对C，结合选项B，可知，即在R上单调递减，无极值，可判断；对D，求导，判断单调性，作出的图象，观察图象可得. 【详解】对于A，当时，，令，得， 令，则，所以在R上单调递增， 所以至多有一个零点，即方程至多有一个根，故A错误； 对于B，， 令，得，设， 则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，又当时，，所以恒成立， 即时，是减函数，故B错误； 对于C，当时，由B知，，即，所以， 所以在R上单调递减，无极值，故C错误； 对于D，当时，，，由切线放缩知， ，即在R上单调递减，当时，，当时，， 可得的大致图象如下： 由图可知对任意实数，总存在实数，使得，故D正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分． 12. 已知，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦的和差角公式展开化简可得到的值，再把按倍角公式展开化成关于的式子，代入即得答案. 【详解】由正弦的和差角公式得： ， ， 代入方程：， 得， 得， 解得：， 利用倍角公式得： ，  代入得： . 故答案为： 13. 已知函数在区间上恰有一个零点，则的取值范围______． 【答案】． 【解析】 【分析】先求出的取值范围，再结合正弦函数的性质，根据函数在给定区间上恰有一个零点来确定的取值范围. 【详解】已知，，则，所以.  因为函数（）在区间上恰有一个零点. 正弦函数的零点为，. 当时，； 当时，. 要使函数在上恰有一个零点，则. 解不等式可得：.  的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度， 当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题；共77分． 15. 已知函数， （1）求函数的值域、对称轴方程、单调递减区间； （2），若，求函数的值. 【答案】（1）值域，对称轴方程，减区间； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用和角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由同角公式求出，再代入（1）中求值. 【小问1详解】 依题意，， 所以函数的值域为； 由，得函数的对称轴方程； 由，得单调递减区间. 【小问2详解】 由，，得，所以. 16. 已知函数为奇函数 （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域； （2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果. 【小问1详解】 函数为奇函数，定义域为， 则，所以，经检验知符合题意； 因为，则 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由题知：当恒成立； 则； 令， 所以； 又，当且仅当时等号成立， 而，所以， 则. 17. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，求出角； （2）根据已知条件求出的值，最后利用面积公式求出三角形面积. 【小问1详解】 （方法一）由及正弦定理， 得. 又，得， 即. 因为，所以. （方法二）由及正弦定理， 得. 又，得， 即， 因为，所以，故， 所以，故，即. 【小问2详解】 由（1）得. 由的周长为，得. 由， 所以，即， 故， 所以. 18. 已知在中，角所对的边分别为． （1）若，求的取值范围； （2）在（1）的条件下且三角形不为直角三角形，若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求范围； （2）切化弦，角化边，利用（1）条件求范围. 【小问1详解】 因为， 所以，当且仅当时取等号. 又，所以， 所以的范围是. 【小问2详解】 因为， 所以，化简得， 由正弦定理可化为， 所以， 又由可得，由（1）可得， 所以的取值范围是. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上递减，当时，在上递减，在上递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【小问1详解】 ∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． 【小问2详解】 由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． 【小问3详解】 由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康中学2025―2026学年度第二学期高三数学考前测试卷（三） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分；共40分． 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分；共18分．有错选、多选的不得分，部分选对的得部分分． 9. 已知偶函数满足：当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 函数在区间上有零点 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象向右移个单位长度后，图象关于y轴对称，则的最小值为 D. 若关于x的方程在上有两个实数根，则实数m的取值范围为 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，存在增区间 C. 若只有一个极值点，则或 D. 当时，对任意实数，总存在实数，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分． 12. 已知，则的值为____________． 13. 已知函数在区间上恰有一个零点，则的取值范围______． 14. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题；共77分． 15. 已知函数， （1）求函数的值域、对称轴方程、单调递减区间； （2），若，求函数的值. 16. 已知函数为奇函数 （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 17. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 18. 已知在中，角所对的边分别为． （1）若，求的取值范围； （2）在（1）的条件下且三角形不为直角三角形，若，求的取值范围． 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $