精品解析：江西省南康中学2025-2026学年高三下学期开学前课后作业数学试题

南康中学2026届高三开学前课后作业数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 2. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确； 由题意得，，，， ，故B，D均正确； 因为，故C错误. 故选：C. 4. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 5. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 6. 已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，可知，由四边形的最小面积是，可知此时取最小值，由勾股定理可知的最小值为，即圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出的值. 【详解】如下图所示，由切线长定理可得，又，，且，， 所以，四边形的面积为面积的两倍， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 四边形的最小面积是，所以，面积的最小值为， 又，， 由勾股定理， 当直线与直线垂直时，取最小值， 即，整理得，，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故选：B. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有3个女生4个男生共7名同学排成一纵队做游戏，以下正确的是（ ） A. 若游戏纵队变为环形首尾相接，不同的排法有720种 B. 男女相间的不同排法有144种 C. 男生排在一起、女生也排在一起的概率为 D. 男生甲排在正中间的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，按环形排列的特点，先固定一人，再排其他人；对于B，利用插空法可解；对于C，利用捆绑法再结合古典概型的概率公式可解；对于D，求出甲排在正中间的排法，由古典概型的概率公式可解. 【详解】对于A，游戏纵队变为环形首尾相接，相当于固定一人，剩下6人全排列， 共有种排法，A正确； 对于B，男女相间时，可先排3个女生，再将4个男生插入到女生排好形成的4个空中（含两端）， 共有种排法，B正确； 对于C，7名同学排成一纵队共有种排法， 男生排在一起、女生也排在一起的排法有种， 故男生排在一起、女生也排在一起的概率为，C错误； 对于D，男生甲排在正中间，即男生甲先排在中间，其余6人全排列，排法有， 故男生甲排在正中间的概率为，D正确， 故选：ABD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 若方程在上有且只有5个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项. 【详解】对于A，由，得，即，又， ，故A正确； 对于C，又的图象过点，则，即， ，即得，，又，， 所以，故C正确； 对于B，因为，而， 故直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于D，由，得， 解得或，， 方程在上有5个根，从小到大依次为：， 而第6个根为，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为 B. 存在点，使得平面 C. 若平面，则动点的轨迹长度为 D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，然后证明截面为，求出周长即可判断A；假设存在点F，根据，分别判断点F位置即可得到矛盾，B错误；根据平面平面即可确定动点的轨迹，可判断C；由AC判断点F位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间两点距离公式确定球心位置，然后可判断D. 【详解】A选项，如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以，， 所以过点，，的平面截正方体所得的截面为梯形， 其周长为，故A选项正确； B选项，假设存在点，使得平面， 则，得只能在线段上， 再由，得只能在线段上，即与重合，不符合题意，故B选项错误； C选项，如图，取的中点M，的中点， 连接，，，可得，， 又平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以动点的轨迹为线段，其长度为，故C选项正确； D选项，由A，C选项可得，平面平面， 所以当在点时，到平面的距离最大，此时为等边三角形， 因为平面，所以三棱锥的外接球球心一定在直线上， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设， 由得，，解得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为，故D选项正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，，则________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据累加法即可求解. 【详解】由可得， 故， ， ……, , 相加可得， 故答案为：5 13. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式. 【详解】由得， 所以函数是R上的增函数， 又由得函数奇函数， 则由得， 所以， 解得. 故答案为：. 14. P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此， 则， 可得，， 又，则， 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列通项公式； （2）求出，然后运用裂项相消法求出可得结论. 【小问1详解】 设数列的公比为q， 由，，成等差数列可得， 故，解得， 由可得， 解得，故，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 故. 当时，取得最大值，当时， ， 故. 16. 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】（1） （2）时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 【解析】 【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率； （2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【小问1详解】 记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． 【小问2详解】 由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 17. 在图1中，四边形ABCD为梯形，，，，，过点A作，交BC于E．现沿AE将△ABE折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问： （1）求四棱锥的体积； （2）若F在侧棱BC上，，求二面角的大小． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）在图1中，证明出平行四边形AECD为菱形，作出辅助线，得到，进而得到平面ABC，得到，证明出平面AECD，利用棱锥体积公式求出答案； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到两法向量垂直，得到二面角大小为. 【小问1详解】 在图1中，∵，， ∴，又，∴， 又，∴四边形AECD平行四边形． ∵，∴平行四边形AECD为菱形． 在图2中，连接AC，则， 又，AC，平面ABC，， ∴平面ABC， ∵平面ABC，∴， ∵，，AE，平面AECD， ∴平面AECD， 其中菱形的面积为， ． 【小问2详解】 在图2中，以A为原点，以AD所在的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系， 则，，，， ， 设面CEF的一个法向量为，， 由， 解得，令，则，取， 设面DEF的一个法向量为，又， 由， 令，则，，取， 所以，∴， 故二面角为． 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 小问1详解】 由题意知，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. 小问3详解】 设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）当时，证明：； （3）当恰有四个零点，，，时，证明：． 【答案】（1），无极小值 （2） ． 令， ，故在上为减函数． ，即． 由（1）可知在上为增函数，，， 即． （3） 由（2）同理可证，当时，． 令，得， 由题意得直线与两条曲线，共有四个交点． 如图所示，，且． 由，得． ，，且在上为增函数， ，即．．同理：． 故，即，得证． 【解析】 【分析】（1）利用导数分析单调性可得； （2）作差后构造函数，利用导数分析最值可得； （3）先由当时，，令，得到，再结合对数的单调性和运算性质以及与指数的关系可得. 【小问1详解】 由题知， 令，则． 当时，，此时在上为减函数， 当时，，此时在上为增函数， 故，无极小值． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康中学2026届高三开学前课后作业数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 4. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 5. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有3个女生4个男生共7名同学排成一纵队做游戏，以下正确的是（ ） A. 若游戏纵队变为环形首尾相接，不同的排法有720种 B. 男女相间的不同排法有144种 C. 男生排在一起、女生也排在一起的概率为 D. 男生甲排在正中间的概率为 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 若方程在上有且只有5个根，则 11. 如图，在棱长为2正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 过点，，平面截正方体所得的截面周长为 B. 存在点，使得平面 C. 若平面，则动点的轨迹长度为 D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，，则________. 13. 已知函数，则不等式的解集为__________. 14. P是椭圆C：（）上一点，、是两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前n项和为，证明：. 16. 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 17. 在图1中，四边形ABCD为梯形，，，，，过点A作，交BC于E．现沿AE将△ABE折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问： （1）求四棱锥体积； （2）若F在侧棱BC上，，求二面角的大小． 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）当时，证明：； （3）当恰有四个零点，，，时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $