精品解析：江西赣州市十八县（市、区）二十四校联考2025-2026学年高三下学期四月期中联考数学试卷

2026届高三年级四月测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数， 可得复数在复平面内对应的点为位于第二象限. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得，结合集合并集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 又由集合， 根据集合并集的定义与运算，可得. 3. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 由题知，所以的离心率为. 4. 若函数的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，得到，又，所以的最小值为. 5. 若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 6. 将所有正整数按照如下规律形成数阵： 其中表示第行第个数，例如，若，则（ ） A. 53 B. 54 C. 55 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到每一行的数字的个数构成等差数列，且前行中数字的个数之和为，结合和，得到位于数阵的第行的第个数，即可求解. 【详解】根据数阵的规律，可得每一行的数字的个数组成首项为，公差为的等差数列， 所以前行中数字的个数之和为， 当时，可得；当时，可得， 则， 又由数阵的第行的第一个数为， 所以位于数阵的第行的第个数，即，所以. 7. 已知，函数的最大值为0，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值． 【详解】依题意可得函数的定义域为， 由函数的最大值为0， 即在上恒成立， 即的图象在的下方， 结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值， 根据对称性，不妨只考虑的情况， 即当与相切时，取得最小值， 即在上恒成立， 令，即时，取得最小值， 则，令，则， 又时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减， 所以，解得． 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知奇函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据周期定义得出周期，再应用奇函数定义结合特殊值法计算判断A，结合赋值法计算判断B，C，D选项. 【详解】因为，所以，所以的周期为6， 又因为是奇函数，所以， 选项A，取函数，符合周期为6，且奇函数， 但是，A错误； 对于选项B，因为， 因为，令代替， 所以，所以，B正确. 对于选项C，， 因为，令代替， 所以，所以，C正确. 对于选项D，， 因为，所以，D正确. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（ ） A. ，，外接圆的半径为1 B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AD 【解析】 【分析】对A：借助正弦定理及三角形内角和可得该三角形存在且唯一；对B：由可得，结合可得不存在这样的；对C：利用正弦定理计算可得有两解，故C不符合题意；对D：借助余弦定理可得唯一确定，即可得该三角形存在且唯一. 【详解】对A：由正弦定理可得，则， ，，则， 故存在且唯一，故A正确； 对B：由，故，又，则， 故不存在这样的，故B错误； 对C：由正弦定理可得，， 又，则，此时有两解，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 故唯一确定，即该三角形三边确定，故存在且唯一，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 10. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得到， 即，所以， 两边取平方，， 解得. 11. 将红､黄､蓝､绿四个小球放入三个盒子，三个盒子的颜色分别是红色､黄色､紫色，其中每个盒子至少放入一个小球，若不可以将小球放入和小球颜色相同的盒子，则不同的放法种数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个盒子放2个球， 分2步进行分析：先将四个小球分成3组，再分类将分好的3组对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案； 【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个盒子，且没有空盒， 则三个盒子中有1个盒子放2个球，剩下的2个盒子各放1个球， 若红黄球一组，则这两个球只能放入紫色盒子，有种放法； 若红蓝球一组，当这两个球放入紫色盒子时，有种放法，当这两个球放入黄色盒子时，有种放法，共有种放法； 若红绿球一组，当这两个球放入紫色盒子时，有种放法，当这两个球放入黄色盒子时，有种放法，共有种放法； 若黄蓝球一组，当这两个球放入紫色盒子时，有种放法，当这两个球放入红色盒子时，有种放法，共有种放法； 若黄绿球一组，当这两个球放入紫色盒子时，有种放法，当这两个球放入红色盒子时，有种放法，共有种放法； 若蓝绿球一组，当这两个球放入紫色盒子时，有种放法，当这两个球放入红色盒子时，有种放法， 当这两个球放入黄色盒子时，有种放法，共有种放法； 共有种放法. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 12. 在数列中，. （1）证明数列为等比数列，并求出的通项公式； （2）设，记数列的前项和，证明：. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件得，再由等比的定义及等比数列的通项公式，即可求解； （2）根据条件得，利用裂项相消法得，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，又，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 则，得到，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则， 又，所以. 13. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，是面积为的等边三角形. （1）已知是的中点，证明：平面. （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，通过四边形是平行四边形即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 等边面积​​，得， 由，，得，且， 在中，， 取中点，连接， 因为是中点，故且， 结合且， 得且，即四边形是平行四边形， 因此， 又平面，平面， 由线面平行判定定理得：平面 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为：， 平面为平面，其一个法向量为， 设平面的法向量为， ，， 由，得：，令，得， 即， 设平面与平面夹角为 则， 即平面与平面夹角的余弦值是. 14. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，右焦点为. （1）求的方程； （2）经过的直线与交于两点，且以为直径的圆与直线相切，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率不存在时，直接求出圆心和半径，再检验是否满足题意即可；当斜率存在时，设，，联立直线与椭圆方程，求出圆心和半径，结合条件得，即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，则①， 又，则②，由①②解得，则， 所以的方程为. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，，由，得到， 所以，此时以为直径的圆的圆心为，半径为， 又到直线的距离为，不合题意， 若直线的斜率存在，设，， 由，消得到， 则， ，， 所以的中点为，则到直线的距离为， 又，由题有， 整理得到，解得，所以的方程为或, 即或 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若为整数，当时，，求的最小值. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，的减区间为，增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义和直线的点斜式，即可求解； （2）利用导数与函数的单调性间的关系，分和，即可求解； （3）根据条件得在上恒成立，构造函数，求出的最大值，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则，所以，， 则曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 易知的定义域为，又， 当时，恒成立，此时在上单调递减， 当时，令，即，解得， 当时，，当时，， 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，的减区间为，增区间为. 【小问3详解】 由，得到，整理得到， 令，则， 令，则，当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以， 即在区间上恒成立，当时，，当时，， 又恒成立，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则， 又，所以，则， 又，所以，则， 由题知，且为整数，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级四月测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将所有正整数按照如下规律形成数阵： 其中表示第行第个数，例如，若，则（ ） A. 53 B. 54 C. 55 D. 56 7. 已知，函数的最大值为0，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知奇函数满足，则（ ） A. B. C. D. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（ ） A. ，，外接圆的半径为1 B. ，， C. ，， D. ，， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 10. 已知，则__________. 11. 将红､黄､蓝､绿四个小球放入三个盒子，三个盒子的颜色分别是红色､黄色､紫色，其中每个盒子至少放入一个小球，若不可以将小球放入和小球颜色相同的盒子，则不同的放法种数为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 12. 在数列中，. （1）证明数列为等比数列，并求出的通项公式； （2）设，记数列的前项和，证明：. 13. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，是面积为的等边三角形. （1）已知是的中点，证明：平面. （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 14. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，右焦点为. （1）求的方程； （2）经过的直线与交于两点，且以为直径的圆与直线相切，求的方程. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若为整数，当时，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $