北京市第一六一中学2025-2026学年高二上学期开学测试数学试题

北京市第一六一中学 2025-2026 学年第一学期开学测试 数学 第 1 页 共 5 页 北京市第一六一中学 2025—2026 学年第一学期开学测试 高二数学 2025.9 班级______________姓名______________学号_________ 本试卷共 3页，共 150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。 一、选择题：本大题共 10道小题，每小题 5分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目的要求。把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．。 1．设集合 π π , Z 2 A k k           ，集合 π 2 π , Z 2 B k k           ，则 A 与 B 的关系为 A． A B B．A B C． BA D． A B  2．用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的 A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 3. 在复平面内，复数 z＝sin 2＋icos 2 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．要得到函数 1 π sin 2 4 y x        的图象，只需将函数 siny x 图象上的所有点 A．先向右平移 π 4 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2 倍 B．先向右平移 π 4 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 1 2 C．先向右平移 π 8 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2 倍 D．先向右平移 π 8 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 1 2 5．关于直线 ,a b以及平面 ,M N ,下列命题中正确的是 A. 若 //a M ， //b M ，则 //a b B. 若a M ， //a N ，则M N C. 若b M ，且a b ，则a M D. 若 //a M ，b a ，则b M 6．已知 2 cos 2 3   ,则 4 4sin cos  的值为 A. 18 13 B. 18 11 C. 9 7 D. 1 北京市第一六一中学 2025-2026 学年第一学期开学测试 数学 第 2 页 共 5 页 7. 函数 ( ) sin( )f x x   的图象记为曲线 C．则“ (0) (π)f f ”是“曲线 C 关于直线 π 2 x  对 称”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚 的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）. 24h 降雨量的等级划分如下： 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 200mm，高为 300mm 的圆锥形雨 量器. 若一次降雨过程中，该雨量器收集的 24h 的雨水高度是 150mm（如图所示），则这 24h 降雨量的等级是 A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 9．在锐角 ABC 中， cos cos2B A ，则 b a 的一个可能的取值为 A. 1 B. 1.5 C. 1.8 D. 2 10. 在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，M ，N 分别为 1AA ， 1CC 的中 点，O为底面 ABCD的中心，点 P 在正方体的表面上运动，且满足 NP MO ， 则下列说法正确的是 A. 点 P 可以是棱 1BB 的中点 B. 点 P 轨迹的长度为1 2 C. 点 P 的轨迹是平行四边形 D.点 P 轨迹所围成的图形面积为 3 8 北京市第一六一中学 2025-2026 学年第一学期开学测试 数学 第 3 页 共 5 页 二、填空题：本大题共 5 道小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．。 11．若复数 z 满足 i 1 iz   ，则 z  ___________. 12．函数 tan 4 y x        的定义域是___________. 13．已知函数 ( ) lgf x x ．若 ( ) 1f ab  ，则 2 2( ) ( )f a f b  ． 14．某正方形网格纸是由6 6 个边长为1的小正方形构成，点 , , ,A B C D 的位置如图所示，动点 P 在正方形网格纸内（不．包含边界），记 ( )T PC PD AB   （ R ）.当 1   时，T  ______；当 1  时，若 动点 P 在小正方形的顶点上，则满足 2T   的点 P 的个数为______. 15．设向量 4cos ,0 2 x m        ， sin ,1 2 x n        ，函数 ( )f x m n  .若函数 ( )f x 的定义域为 ,a b ，值域 为 1,2 .给出下列四个结论：① 3  ； ② 5 6  ； ③ ； ④ 5 3  . 则b a 的 值可能是__________.（填上所有正确的结论的序号） 三、解答题：本大题共 6 道小题，共 75 分。把答案填．．．．写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．。 16.（10 分）已知 ( ,0) 2     ，且 4 cos 5   ． （Ⅰ）求  tan  的值； （Ⅱ）求 2sin sin 2 2   的值． 17.（12 分）如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，E，F 分别是棱 1DD ， 1 1C D 的中点． （Ⅰ）证明： 1A B 平面 1 1ADC B ； （Ⅱ）证明： 1B F∥平面 1A BE ． 北京市第一六一中学 2025-2026 学年第一学期开学测试 数学 第 4 页 共 5 页 18. （13 分）已知函数      sin sin3 cos cos cos3 sinf x x x x x x x    . （Ⅰ）求  f x 的单调递增区间及最小正周期； （Ⅱ）设 0m  ，若集合 ( ) 2, 0x f x m x   恰有一个元素，求m 的取值范围. 19.（13分）在 ABC 中， 2 2 2 2 3 a b c ac   . （Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若 2 6b  ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在，求 ABC 的面积. 条件①： 2 7c  ；条件②： sin 3a A  ；条件③： 6 cos 3 A  . 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一 个解答计分. 20.（14分）如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF 平面 ABCD，四边形 ADEF 为正方形，四 边形 ABCD为梯形，且 / /AD BC ， 90BAD   ， 1AB AD  ， 2BC  . （Ⅰ）求证： AF CD ； （Ⅱ）线段BD上是否存在M ，使得 / /CE 平面 AMF ？若存在， 求出 BM BD 值；若不存在，请说明理由. （III）求多面体 ABCDEF 的体积. 北京市第一六一中学 2025-2026 学年第一学期开学测试 数学 第 5 页 共 5 页 21.（13 分）对于集合  1 2, , , nA    和常数 0 ，定义：      2 2 21 0 2 0 0cos cos cos n n               为集合 A 相对的 0 的“余弦方差”. （Ⅰ）若集合 0 π π , , 0 3 4 A         ，求集合 A 相对 0 的“余弦方差”； （Ⅱ）若集合 π , , 4 A          ，是否存在 3π 3π 7 ,π , , π 4 2 4               ，使得相对任何常数 0 的“余弦方差”是 一个与 0 无关的定值？若存在，求出 ,  的值：若不存在，则说明理由.