2.1.1等式与不等式性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“基础巩固-综合理解-应用提升”分层，通过选择、填空、解答题梯度覆盖不等式性质的概念理解、性质应用及实际问题解决，适配新授课知识内化与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一不等式性质判断与简单应用|单选题聚焦核心性质直接应用（如第2题性质判断）| |综合理解|不等关系表示、命题真假判断及性质综合辨析|多选题、填空题强化概念辨析与情境转化（如第7题不等关系表示）| |应用提升|代数式比较、实际情境建模及性质迁移应用|解答题突出逻辑推理与模型构建（如第13题采光效果分析）|

2.1等式与不等式性质（第一课时） 一、单选题 1．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 2．已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于ABD，不妨设，满足， A选项，，故，A错误； B选项，，故，B错误； D选项，，故，D错误； 对于C，，则，，C正确. 3．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5．已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误. 【详解】解:由题知, 不妨取 则有, , 故选项A,B错误; 关于选项C, 不妨取 , 故选项C错误; 关于选项D, , , 故选项D正确. 故选:D 6．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 二、多选题 7．下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 【答案】CD 【分析】根据已知结合不等式与不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，x与2的和是非负数，应表示为“”，故A错误； 对于B，小明比小华轻，应表示为“”，故B错误； 对于C，的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c， 则可表示为“且且”，C正确； 对于D，若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“”，D正确. 故选：CD 8．以下四个命题中，是真命题的有（   ） A．若命题，则p的否定为： B．若，则 C．若且，则 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】AC 【详解】对于A，若命题，则的否定为：，故A正确； 对于B，若，则， 即，故B错误； 对于C：因为且， 所以， 则，故C正确； 对于D，因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误． 三、填空题 9．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 【答案】 【分析】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为： 10．已知且，则与的大小关系为_________． 【答案】 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【详解】， 因为且， 所以，所以，即． 故答案为： 四、解答题 11．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 【分析】（1）采用作差法可直接得到结果； （2）采用作差法，讨论大小关系即可得到结果. 【详解】（1），. （2）， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 12．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 13．某教室的窗户面积必须小于地板面积，且窗户面积与地板面积的比值不小于. (1)若窗户与地板面积之和为，则窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积与地板面积，教室的采光效果是否改善？说明理由. 【答案】(1)20平方米 (2) 设和分别表示教室原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，，则， 因为，，所以.又因为，所以， 因此，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，教室的采光效果变好了． 【分析】（1）设教室窗户面积与地板面积分别为，，则，化简得即得解； （2）设和分别表示教室原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较他们的大小即得解． 【详解】（1）设教室窗户面积与地板面积分别为，， 则， 所以，所以，所以， 所以这所教室的窗户面积至少为20平方米； （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1等式与不等式性质（第一课时） 一、单选题 1．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 8．以下四个命题中，是真命题的有（   ） A．若命题，则p的否定为： B．若，则 C．若且，则 D．“”是“”的充分不必要条件 三、填空题 9．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 10．已知且，则与的大小关系为_________． 四、解答题 11．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 12．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 13．某教室的窗户面积必须小于地板面积，且窗户面积与地板面积的比值不小于. (1)若窗户与地板面积之和为，则窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积与地板面积，教室的采光效果是否改善？说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $