2.1等式性质与不等式性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过“基础全面练”与“综合应用练”分层设计，以概念辨析→性质应用→实际建模的路径巩固不等式性质，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|不等式性质、等价关系、取值范围|单考点辨析（如等价不等式判断）、简单运算（如含绝对值范围计算）| |综合应用练|跨性质综合、实际情境建模|多考点融合（如与函数单调性结合）、生活问题解决（如采光效果优化）|

　等式性质与不等式性质 (时间:45分钟　分值:85分) 【基础全面练】 1.(5分)与a>b等价的不等式是 (　　) A.|a|>|b| B.a2>b2 C.>1 D.a3>b3 2.(5分)(2026·房山高一检测)已知a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 (　　) A.ac2>bc2 B.a2>ab C.<1 D. 3.(5分)下列命题是真命题的是 (　　) A.若,则a>b B.若,则a<b C.若>,则a>b D.若a2>b2,则a>b 4.(5分)若1<a<3,-4<b<2,则m=a-|b|的取值范围是 (　　) A.{m|-3<m≤3} B.{m|-3<m<5} C.{m|-3<m<3} D.{m|1<m<4} 5.(5分)(多选)(2026·海口高一检测)已知c<b<a,且ac<0,则下列选项一定成立的是 (　　) A.a>0 B.b>0 C.a+c<b+c　 D.ab>ac 6.(5分)(多选)(2025·贺州高一检测)若a>b>0,c<0,则下列不等关系正确的是 (　　) A.a+c>b+c B.> C.ac>bc D.a+>b+ 7.(5分)若a>b>0,n>0,则　　 .(填“>”“<”或“=”) 8.(5分)(2026·张家口高一检测)已知-2<a<-1,2<b<4,则的取值范围为　　.  9.(5分)设a,b,c是任意实数,能够说明“若c<b<a且ac<0,则ab<ac”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　.  10.(10分)已知a>b>0,c<d<0,|b|>|c|,求证: (1)b+c>0; (2). 【综合应用练】 11.(5分)(多选)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是 (　　) A.若a>0,则a2+1>(a-1)(a+2) B.若a<b<0,则ab<b2 C.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab| D.若a>b>0,则 12.(5分)已知12<a<60,15<b<36,则的取值范围是　　.  13.(10分)已知:(1)-1≤a≤3,2≤b≤4, (2)0<a+b<2,-1<b-a<1. 分别求2a-b的取值范围. 14.(10分)(2026·长春高一检测)一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)与a>b等价的不等式是 (　　) A.|a|>|b| B.a2>b2 C.>1 D.a3>b3 【解析】选D.可利用赋值法.令a=1,b=-2, 满足a>b,但|a|<|b|,a2<b2,=-<1, 故A,B,C都不正确. 2.(5分)(2026·房山高一检测)已知a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 (　　) A.ac2>bc2 B.a2>ab C.<1 D. 【解析】选B.对于A,取c=0,得ac2=0=bc2,A错误; 对于B,由a>b>0,得a2>ab,B正确; 对于C,由a>b>0,得>1,C错误; 对于D,取a=2,b=,满足a>b>0,而=1>-2=,D错误. 3.(5分)下列命题是真命题的是 (　　) A.若,则a>b B.若,则a<b C.若>,则a>b D.若a2>b2,则a>b 【解析】选C.若a<0,b>0,满足,但此时a<b,故A错误; 若a>0,b>0,,则a>b,故B错误; 若>,则a>b,故C正确; 取a=-1,b=0,满足a2>b2,但此时a<b,故D错误. 4.(5分)若1<a<3,-4<b<2,则m=a-|b|的取值范围是 (　　) A.{m|-3<m≤3} B.{m|-3<m<5} C.{m|-3<m<3} D.{m|1<m<4} 【解析】选C.由题得0≤|b|<4,则-4<-|b|≤0,又1<a<3,所以-3<a-|b|<3. 5.(5分)(多选)(2026·海口高一检测)已知c<b<a,且ac<0,则下列选项一定成立的是 (　　) A.a>0 B.b>0 C.a+c<b+c　 D.ab>ac 【解析】选AD.已知c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,所以A正确,B错误;由不等式性质,得a+c>b+c,所以C错误; 由a>0以及b>c,两边同乘a得到ab>ac,所以D正确. 6.(5分)(多选)(2025·贺州高一检测)若a>b>0,c<0,则下列不等关系正确的是 (　　) A.a+c>b+c B.> C.ac>bc D.a+>b+ 【解析】选ABD.a>b>0,c<0,由不等式性质易知a+c>b+c,ac<bc,故A正确,C错误;因为a>b>0,c<0,则>0,所以>,故B正确;对于D,若a>b>0,则a+-(b+)=(a-b)(1+)>0,故D正确. 7.(5分)若a>b>0,n>0,则　<　 .(填“>”“<”或“=”) 【解析】因为a>b>0,n>0,所以an>bn>0,所以. 8.(5分)(2026·张家口高一检测)已知-2<a<-1,2<b<4,则的取值范围为　{|<2}　.  【解析】因为-2<a<-1,2<b<4,所以1<a2<4,,所以<2. 9.(5分)设a,b,c是任意实数,能够说明“若c<b<a且ac<0,则ab<ac”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　1,0,-1(答案不唯一)　.  【解析】若c<b<a且ac<0,则a>0,c<0,则取a=1,b=0,c=-1, 则满足条件c<b<a且ac<0,但ab<ac不成立. 10.(10分)已知a>b>0,c<d<0,|b|>|c|,求证: (1)b+c>0; (2). 【证明】(1)因为|b|>|c|且b>0,c<0,所以b>-c,即b+c>0. (2)因为c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以a-c>b-d>0, 所以>>0,所以. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是 (　　) A.若a>0,则a2+1>(a-1)(a+2) B.若a<b<0,则ab<b2 C.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab| D.若a>b>0,则 【解析】选CD.对于选项A,因为a>0,a2+1-(a-1)(a+2)=a2+1-a2-a+2=3-a,所以当a>3时,3-a<0,a2+1<(a-1)(a+2),当a=3时,3-a=0,a2+1=(a-1)(a+2),当0<a<3时,3-a>0,a2+1>(a-1)(a+2),故A错误; 因为a<b<0,所以ab>b2,故B错误; 对于选项C,(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,即|a-b|≤|1-ab|,故C正确; 对于选项D,a>b>0,a2>b2>0,a2+1>b2+1>1,所以,故D正确. 12.(5分)已知12<a<60,15<b<36,则的取值范围是　　.  【解析】因为15<b<36,所以. 又12<a<60,所以,所以<4. 13.(10分)已知:(1)-1≤a≤3,2≤b≤4, (2)0<a+b<2,-1<b-a<1. 分别求2a-b的取值范围. 【解析】(1)因为-1≤a≤3,2≤b≤4,可得-2≤2a≤6,-4≤-b≤-2,所以-2-4≤2a-b≤6-2,即{2a-b|-6≤2a-b≤4}. (2)因为0<a+b<2,-1<-a+b<1,且2a-b=(a+b)-(-a+b),结合不等式的性质可得,-<2a-b<.即{2a-b|-<2a-b<}. 14.(10分)(2026·长春高一检测)一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? 【解析】(1)设窗户面积为m m2,则地板面积为(220-m) m2. 由题意知≥10%且m<220-m,解得20≤m<110. 所以窗户面积至少为20 m2. (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【解析】(2)设窗户面积为a m2,地板面积为b m2,增加面积为h m2, 因为a,b,h>0,且a<b,所以->0, 即,所以公寓采光效果变好了. 学科网（北京）股份有限公司 $