2.2.1基本不等式 同步练 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学 基本不等式 同步练。分层清晰，从基础概念到创新应用递进，适配开学初巩固与能力提升，培养抽象能力、推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|基本不等式前提条件、简单应用|选择填空为主，如判断成立条件（题1），巩固概念与直接运算| |B级|综合变形、条件限制下的最值|含证明与配凑法（题15），提升推理与问题转化能力| |C级|跨情境创新、几何直观|结合无字证明（题21），发展数学眼光与创新意识|

2.2.1基本不等式 A级　基础练习 1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(　　) A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 2.已知0<x<1,则当x(5-5x)取最大值时,x的值为(　　) A. B. C. D. 3.已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 4.设x>0,y>0,且xy=4,则的最小值是(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 5.已知x<0,则x+的最大值为(　　) A.2 B.- C.-2 D. 6.已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 7.(2026山东临沂阶段练习)若xy>0,则的最小值为(　　) A.13 B.26 C.2 D. 8.(2026陕西咸阳阶段练习)已知m2+4n2=9(m>0,n>0),则mn的最大值为(　　) A. B. C. D. 9.(2026广西百色阶段练习)已知x>0,则x+的最小值是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 10.(2026黑龙江哈尔滨期中)已知正数a,b满足a2+b2=2,则a+b的最大值为(　　) A.1 B.2 C. D.2 11.(多选题)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　) A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2 C. D.≥2 12.已知t>0,则的最小值为　　　　.  13.已知0<x<2,则y=2x取最大值时x的值为　　　　　.  14.已知a,b,c为正数,求证:≥3. B级　拔高提升 15.当x>1时,-x的最大值为(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 16.若a>0,b>0,则在①,②≥a+b,③,这三个不等式中,不正确的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 17.已知两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数,类比此定理,有以下结论:三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数,即当a,b,c均为正实数时,,当且仅当a=b=c时,等号成立.利用上述结论,判断下列命题的真假,则真命题为(　　) A.若0<x<1,则x2(1-x)≤ B.若x>0,则2x+ C.若0<x<1,则x2(1-x)≥ D.若x>0,则x2+≥3 18.(2026河南南阳期中)已知正数a,b满足a+b=4,则(1+a)(1+b)的最大值为(　　) A.4 B.5 C.8 D.9 19.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　.  20.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值. C级　创新练习 21.(2026陕西西安阶段练习)(多选题)数学里有一种证明方法叫做无字证明,一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示,点C为圆O的直径AB上一点,D,F是圆上的点,且CD⊥AB,OF⊥AB,且CE⊥OD于点E,设AC=a,BC=b,则利用△OCD,△CDE,△OCF中边长间的关系可以完成的无字证明为(　　) A.(a>0,b>0) B.(a>0,b>0) C.(a>0,b>0) D.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) 答案： 1.B　基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B. 2.B　由0<x<1,可得1-x>0,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·()2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,所以x=时,x(5-5x)取得最大值.故选B. 3.A　因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥2=4,可得ab≤,当且仅当a=4b,即a=1,b=时,等号成立,所以ab的最大值为.故选A. 4.A　因为x>0,y>0,且xy=4,所以>0,>0,≥2=2=2×=1,当且仅当,即x=y=2时,等号成立.故选A. 5.C　因为x<0,可得-x>0,则x+=-[(-x)+]≤-2=-2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立,所以x+的最大值为-2.故选C. 6.D　由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+,β=b+,则α+β=a++b+=1+≥1+=5,当且仅当a=b=时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D. 7.D　由xy>0,得>0,>0,则≥2,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为.故选D. 8.D　m2+4n2=9≥2×2mn=4mn,则mn≤,当且仅当m=2n,即m=,n=时,等号成立.故选D. 9.A　因为x>0,所以x+1>0,所以x+=x+1+-1≥2-1=5,当且仅当x+1=,即x=2时等号成立.故选A. 10.B　因为正数a,b满足a2+b2=2,所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2+2=4,所以a+b≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,则a+b的最大值为2.故选B. 11.AD　对于A选项,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab,A正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2=2,B错误;对于C,取a=b=-1,此时=-2<=2,C错误;对于D,因为ab>0,所以>0,>0,所以≥2=2,当且仅当a=b≠0时,等号成立,D正确.故选AD. 12.-1　∵t>0,∴=t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立. 13.　因为0<x<2,所以y=2x=2≤2=4,当且仅当x2=4-x2,0<x<2,即x=时等号成立. 14.证明左边=-1+-1+-1=-3.∵a,b,c为正数,∴≥2(当且仅当a=b时,等号成立);≥2(当且仅当a=c时,等号成立);≥2(当且仅当b=c时,等号成立).从而≥6(当且仅当a=b=c时,等号成立).∴-3≥3,即≥3. 15.A　因为x>1,所以x-1>0,所以-x=(1-x)+-1=-1-[(x-1)+]≤-1-2=-3,当且仅当x-1=(x>1),即x=2时,等号成立,所以当x>1时,-x的最大值为-3.故选A. 16.B　因为a,b>0,对于①,由(a+b)()=2+≥2+2=4,当且仅当a=b时,等号成立,所以,所以①错误;对于②,由不等式a3+b3-a2b-ab2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a3+b3≥a2b+ab2,两边同除ab,可得≥a+b成立,所以②正确;对于③,由2a2+2b2=a2+b2+a2+b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2,可得a2+b2≥,即,所以成立,所以③正确.故选B. 17.D　因为0<x<1,则x2(1-x)=x·x·(2-2x)≤,当且仅当x=2-2x,即x=时,等号成立,故A,C错误;因为x>0,则2x+=x+x+≥3=3,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,故B错误;因为x>0,x2+=x2+≥3=3,当且仅当x2=,即x=1时,等号成立,故D正确.故选D. 18.D　(1+a)(1+b)≤()2=9,当且仅当1+a=1+b,即a=b=2时,等号成立, 所以(1+a)(1+b)的最大值为9.故选D. 19.　∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴. 当且仅当b=时,等号成立. 20.解 (x+y)=1+a+,∵x>0,y>0,a>0,∴≥2=2,∴1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时,等号成立. ∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.∴(+1)2≥9,即+1≥3,∴a≥4,故a的最小值为4. 21.ABC　依题意,不妨令a≥b>0,OD=OF=,OC=,由OF⊥AB,得CF=, 连接AD,BD,则∠ADB=90°,而CD⊥AB,则∠BDC=∠DAC,Rt△BCD∽Rt△DCA,于是,CD=, 又CE⊥OD,∠CDE=∠ODC, 则Rt△CDE∽Rt△ODC,, 于是DE=,观察图形知,OD≥CD,DE≤CD,OF≤CF,当且仅当点C,O重合时,等号成立,即,当且仅当a=b时,等号成立,故A,B,C正确;a2+b2,2ab不能表示△OCD,△CDE,△OCF中边长,故D错误.故选ABC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $