2.2 基本不等式限时训练01-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 《基本不等式限时训练01》聚焦基本不等式应用，通过基础-提升-综合三层设计，实现从单一最值计算到实际问题解决的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一条件最值计算|单选2（“a+b=1”求最值），夯实基本公式应用| |提升|多条件综合应用|多选8（正实数条件下多结论判断），强化推理能力| |综合|实际问题与证明|解答14（篱笆问题三问），提升数学建模与应用意识|

2.2 基本不等式限时训练01 1．（25-26高二下·北京延庆·期末）现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 6．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 7．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 8．（25-26高二下·安徽六安·期末）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 10．（25-26高一上·湖北·期末）（多选）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 11．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 12．（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 13．（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 14．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 15．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式限时训练01 1．（25-26高二下·北京延庆·期末）现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】设截去的小正方形边长为米， 则长方体形的无盖容器的容积， 当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米. 2．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 3．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5．（25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 6．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的性质可得最小值. 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 7．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 8．（25-26高二下·安徽六安·期末）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 【答案】AC 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 10．（25-26高一上·湖北·期末）（多选）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 【答案】ACD 【分析】化简，取即可验证A，取特殊值，代入得到即可验证B，利用作差法即可证明C、D. 【详解】先化简定义的运算， 所以，故选项A正确； 当时， ，所以选项B错误； 因为， 即对任意，，都有，故选项C正确； 因为， 又因为，所以，即， 即对任意，都有，故选项D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 12．（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 13．（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 14．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 15．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $