2.2.3 基本不等式 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕基本不等式，通过基础应用、变形拓展到综合实践的三阶分层设计，构建从公式记忆到实际建模的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式直接应用|单选题1-3聚焦正实数最值求解，强化公式记忆与运算能力| |发展层|几何意义与条件变形|单选4结合《几何原本》无字证明渗透几何直观，多选7-8辨析公式适用条件培养推理意识| |综合层|实际问题与证明应用|解答题13以矩形花园为情境构建模型，提升应用意识与创新思维，实现数学语言表达现实世界|

2.2 基本不等式（第三课时） 一、单选题 1．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 2．已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】将，，三数相加，借助于基本不等式即可说明. 【详解】因都是正数， 由， 当且仅当时，等号成立， 所以，，至少有一个不小于2. 3．已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 4．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 5．现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】设截去的小正方形边长为米， 则长方体形的无盖容器的容积， 当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米. 6．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 二、多选题 7．下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及对勾函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 8．若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件. 【详解】A：由均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，错误， B：因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，正确， C：由题设， 由，得， 当且仅当，即时取等号，错误， D：设，问题化为，求的最大值， 根据柯西不等式， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时，代入，解得，符合的条件， 所以的最大值为，正确. 三、填空题 9．设，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 10．设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 四、解答题 11．已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由基本不等式得，化简即可证明； （2），展开再由基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 12．（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. （2） 【分析】（1）结合基本不等式证明即可. （2）根据基本不等式及求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 13．完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式（第三课时） 一、单选题 1．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 3．已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 4．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 5．现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 7．下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 8．若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 9．设，则的最小值为__________． 10．设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 四、解答题 11．已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 12．（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 13．完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $